4. Зміст
Розділ I. Множини й числа
§ 1. Множини та операції над ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Множина та її елементи (7). Задавання множини (7). Підмножи-
на (7). Переріз множин (8). Об’єднання множин (8). Різниця мно-
жин (8). Закони операцій над множинами (8).
§ 2. Дійсні числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Числові множини (9). Числова пряма і дійсні числа (9). Порів-
няння дійсних чисел (10). Властивості арифметичних дійнад дій-
сними числами (10). Степінь (10). Властивості степенів із цілими
показниками (11). Властивості степенів із раціональними показ-
никами (11). Стандартний вигляд числа (12). Арифметичний квад-
ратний корінь (12). Властивості арифметичного квадратного коре-
ня (12). Арифметичний корінь n-го степеня (13). Властивості
коренів (13). Модуль дійсного числа (14). Властивості модуля (14).
Ціла й дробова частини числа (14). Логарифми (15). Основні влас-
тивості логарифмів (15).
Розділ ІІ. Алгебраїчні вирази
§ 3. Одночлени й многочлени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Одночлени (16). Дії над одночленами (16). Многочлени (17). Дода-
вання й віднімання многочленів (17). Умножение і деление мно-
гочленов (18). Формули скороченого множення (18). Розкладання
многочлена на множники (18). Многочлен з однією змінною (19)
§ 4. Алгебраїчні вирази . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Раціональні алгебраїчні вирази (19). Ірраціональні алгебраїчні
вирази (20). Алгебраические дроби і действия над ними (20). Ірра-
ціональні вирази та дії над ними (21). Як звільнитися від ірраціо-
нальності в знаменнику дробу (21).
§ 5. Порівняння алгебраїчних виразів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Тотожно рівні вирази. Тотожність (22). Тотожна нерівність вира-
зів (22)
Розділ ІІІ. Функції та графіки
§ 6. Властивості функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Поняття функції (23). Координатна площина й графік фун-
кції (23). Способи задавання функції (24). Правила знаходжен-
ня області визначення функцій, заданих аналітично (24). Парні і
непарні функції (25). Періодичні функції (25). Зростаючі і спадні
функції (26). Обернені функції (26). Складені функції (26)
§ 7. Властивості деяких функцій та їхні графіки . . . . . . . . . . . . . . 27
Прямапропорційність y kx= , k ≠ 0 (27).Лінійнафункція y kx b= + ,
k ∈R, b ∈R (27). Обернена пропорційність y
k
x
= , k ∈R, k ≠ 0 (28).
5. Дробово-лінійна функція y
ax b
cx d
=
+
+
(28). Функція y x= (29).
Квадратична функція y ax bx c= + +2
, a ≠ 0 (29). Степенева функ-
ція y xn
= 30. Показникова функція y ax
= , a 0 , a ≠ 1 (31). Фун-
кція y xn
= , n 2, n ∈N 32. Логарифмічна функція y xa= log ,
a 0 , a ≠ 1 (32)
§ 8. Перетворення графіків функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Перетворення графіка функції y f x= ( ) у графік функції y f x= − ( )
(33). Перетворення графіка функції y f x= ( ) у графік функції
y f x= −( ) (33). Перетворення графіка функції y f x= ( ) у графік
функції y f x b= ( )+ (33). Перетворення графіка функції y f x= ( )
у графік функції y f x a= −( ) (33). Перетворення графіка функції
y f x= ( ) у графік функції y f kx= ( )(34). Перетворення графіка фун-
кції y f x= ( ) у графік функції y kf x= ( ) (34). Перетворення графі-
ка функції y f x= ( ) у графік функції y f x= ( ) (34). Перетворення
графіка функції y f x= ( ) у графік функції y f x= ( ) (34)
Розділ IV. Тригонометрія
§ 9. Означення та властивості тригонометричних функцій . . . . . . 35
Радіанна система вимірювання кутів і дуг (35). Радіанна й гра-
дусна міри деяких кутів (35). Одиничне коло. Точки одинично-
го кола і дійсні числа (35). Означення тригонометричних фун-
кцій (36). Знаки тригонометричних функцій (36). Значення три-
гонометричних функцій деяких кутів (37).
§ 10. Основні тригонометричні формули . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Співвідношення між тригонометричними функціями того само-
го аргументу (37). Формули додавання (37). Формули подвійно-
го аргументу (38). Формули потрійного аргументу (38). Формули
зниження степеня (38). Формули перетворення добутку тригоно-
метричних функцій у суму (38). Формули половинного аргумен-
ту (38). Вираження тригонометричних функцій через тангенс поло-
винного аргументу (39). Формули перетворення суми тригономет-
ричних функцій у добуток (39). Формули зведення (39).
§ 11. Обернені тригонометричні функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Арксинус, арккосинус, арктангенс і арккотангенс числа (40).
Основні співвідношення для аркфункцій (40). Значення аркфун-
кцій деяких чисел (41). Деякі додаткові співвідношення для арк-
функцій (41).
§ 12. Властивості тригонометричних функцій,
графіки цих функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Функція y x= sin (42). Функція y x= cos (42). Функція (43). Фун-
кція y x= ctg (43). Функція y x= arcsin (44). Функція y x= arccos
(44). Функція y x= arctg (45). Функція y x= arcctg (45).
6. Розділ V. Рівняння й системи рівнянь
§ 13. Рівняння з однією змінною . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Рівняння. Корені рівняння (46). Рівносильні рівняння (46). Лінійні
рівняння (47). Неповні квадратні рівняння (47). Квадратні рівнян-
ня (48). Окремі випадки квадратних рівнянь (48). Теорема Вієта
(49). Розкладання квадратного тричлена на множники (49). Систе-
ми й сукупності рівнянь (49). Методи розв’язування рівнянь (50).
Цілі рівняння вищих ступенів (50). Рівняння зі змінною в знамен-
нику (51). Раціональні рівняння (52). Ірраціональні рівняння (52).
Показникові рівняння (53). Логарифмічні рівняння (54). Рівняння
з модулем (57). Тригонометричні рівняння (58). Графічний спосіб
розв’язування рівнянь (60).
§ 14. Рівняння з двома змінними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Рівняння та його розв’язки (61). Графік рівняння з двома змін-
ними (61).
§ 15. Системи рівнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Системи рівнянь із двома змінними (63). Рівносильні системи рів-
нянь (64). Графічний спосіб розв’язування системи рівнянь із дво-
ма змінними (64). Системи лінійних рівнянь із двома змінними
(65). Розв’язування системи рівнянь із двома змінними способом
додавання (66). Розв’язування системи рівнянь із двома змінни-
ми способом підстановки (66).
Розділ VI. Нерівності й системи нерівностей
§ 16. Нерівності й системи нерівностей з однією змінною . . . . . . . . 67
Нерівності з однією змінною та їхні розв’язки (67). Рівносильні
нерівності (67). Деякі підмножини дійсних чисел, їх позначення,
зображення на координатнійпрямій і запис у вигляді нерівнос-
ті (69). Лінійні нерівності з однією змінною (70). Системи лінійних
нерівностей з однією змінною (71). Квадратичні нерівності (72).
Нерівності виду f x g x( ) ( ) 0 і f x g x( ) ( ) 0 (73). Розв’язування
подвійних нерівностей (73). Дробові нерівності (73). Ірраціональ-
ні нерівності (74). Нерівності з модулем (75). Розв’язування раціо-
нальних нерівностей методом інтервалів (77). Показникові нерів-
ності (78). Логарифмічні нерівності (79). Метод інтервалів (узагаль-
нений) (80). Графічний спосіб розв’язування нерівностей з однією
змінною (80). Тригонометричні нерівності (81).
§ 17. Нерівності з двома змінними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Розв’язок і графік нерівності (82). Графічний спосіб розв’язування
систем нерівностей із двома змінними (84).
Розділ VII. Елементи математичного аналізу
§ 18. Числові послідовності . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Означення числової послідовності (85). Способи задавання послі-
довності (85). Види послідовностей (86). Арифметична прогресія
(86). Геометрична прогресія (87). Нескінченно спадна геометрич-
на прогресія (87).
7. § 19. Границя функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Границя функції y f x= ( ), якщо x → ∞ (88). Границя функції
в точці (88). Теореми про границі функцій (89). Неперервні функ-
ції (89). Теореми про неперервність функції (90). Обчислення гра-
ниць функції в точці (90).
§ 20. Похідна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Приріст аргументу й приріст функції (91). Означення похідної
(91). Основні правила диференціювання (92). Таблиця похідних
(92). Геометричний зміст похідної (93). Механічний зміст похід-
ної (93).
§ 21. Застосування похідної в дослідженні функцій і побудові
графіків . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Достатня умова зростання (спадання) функції (94). Екстремуми
(максимуми й мінімуми) функції (94). Необхідна умова екстре-
муму (теорема Ферма) (95). Достатні умови екстремуму (96). Схе-
ма знаходження найбільшого (найменшого) значення функції
на проміжку (96). Схема дослідження функції на монотонність
і екстремуми (97). Схема дослідження функції. Побудова графі-
ка функції (98).
§ 22. Первісна, невизначений інтеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Первісна (99). Основна властивість первісної (99). Правила обчис-
лення первісних (99). Невизначений інтеграл (99). Основні пра-
вила інтегрування (100). Таблиця первісних і таблиця невизна-
чених інтегралів (100).
§ 23. Визначений інтеграл і його застосування . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Визначений інтеграл (101). Основні правила обчислення визначе-
ного інтеграла (101). Геометричний зміст визначеного інтеграла
(101). Фізичний зміст визначеного інтеграла (101). Площа фігури
(102). Об’єм тіла обертання (102).
Розділ VIII. Комбінаторика, метод математичної індукції, елементи теорії
імовірностей і статистики
§ 24. Елементи комбінаторики й метод математичної індукції . . . 103
Перестановки (103). Розміщення (103). Комбінації (103). Три-
кутник Паскаля (104). Метод математичної індукції (104). Біном
Ньютона (104).
§ 25. Початки теорії імовірностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Основні поняття (105). Класичне означення імовірності (106). Ста-
тистичне означення імовірності (106). Операції над подіями (106
Теорема про імовірність суми подій (107). Теорема про імовірність
добутку подій (107). Незалежні випробування (107).
Схема Бернуллі (108). Закон великих чисел. Теорема Бернул-
лі (108).
§ 26. Елементи статистики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Поняття про статистику (108). Центральні тенденції вибірки (109).
Середні значення (109).
Предметний покажчик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8. РозділI
Розділ I. Множини й числа
§ 1. Множини та операції над ними
Множина та її елементи
Під множиною розуміють сукупність будь-яких предметів,
об’єктів, об’єднаних між собою певною спільною для них озна-
кою.
Предмети (об’єкти), з яких складається множина, називають-
ся її елементами.
Якщо елемент a є елементом множини A, то символьно запи-
сують так: a A∈ .
Якщо елемент x не є елементом множини A, то символьно за-
писують так: x A∉ .
Задавання множини
Множину, що має скінчену кількість елементів, називають
скінченною.
Якщо множина має нескінченну кількість елементів, її нази-
вають нескінченною. Множину, що не має жодного елемента, на-
зивають порожньою й позначають символом ∅ .
Множину можна задати переліком її елементів; елемен-
ти множини записують у фігурних дужках. Наприклад, як-
що A — множина дільників числа 12, то A = { }1 2 3 4 6 12; ; ; ; ; .
Множину елементів, що має певну характеристичну влас-
тивість, описують так: пишуть фігурні дужки, у них — по-
значення елемента множини, після нього — двокрапку,
а потім — характеристичну властивість. Наприклад, запис
A x x={ }: є ажителем Париж означає, що множина A складаєть-
ся з усіх жителів Парижа.
Підмножина
Якщо кожний елемент множини A містить-
ся в множині B, то множину A називають під-
множиною множини B і символьно записують
так: A B⊂ (див. рис.). Запис A B⊂ означає, що
коли x A∈ , то x B∈ . Якщо одночасно A B⊂
і B A⊂ , то кажуть, що множини A і B є рівни-
ми A B=( ). A B⊂A B⊂
9. РозділI
Переріз множин
Перерізом множин A і B називають
множину їхніх спільних елементів (див.
рис.).
Переріз множин A і B символьно запи-
сують так: A B∩ .
Якщо C A B= ∩ і x C∈ , то це означає,
що x A∈ і x B∈ .
Об’єднання множин
Об’єднанням множин A і B називають
множину елементів, які входять до скла-
ду принаймні однієї з цих двох множин
(див. рис.).
Об’єднання множин А і B символьно за-
писують так: A B∪ .
Якщо C A B= ∪ і x C∈ , то це означає,
що x A∈ або x B∈ .
Різниця множин
Різницею множин A і B називають мно-
жину таких елементів, які належать до
множини A, але не містяться в множи-
ні B (див. рис.).
Різницю множин A і B символьно запи-
сують так: A B .
Якщо C A B= і x C∈ , то це означає,
що x A∈ і x B∉ .
Закони операцій над множинами
Переставний закон: A B B A∩ ∩= ; A B B A∪ ∪= .
Закон ідемпотентності: A A A∩ = ; A A A∪ = .
Закон порожньої множини: ∅ = ∅∩ A ; ∅ =∪ A A .
Закон поглинання: A A B A∪ ∩( )= ; A A B A∩ ∪( )= .
Сполучний закон: A B C A B C∩ ∩ ∩ ∩( ) = ( );
A B C A B C∪ ∪ ∪ ∪( ) = ( ).
Розподільний закон: A B C A B A C∪ ∩ ∪ ∩ ∪( )= ( ) ( );
A B C A B A C∩ ∪ ∩ ∪ ∩( )= ( ) ( ).
10. РозділI
§ 2. Дійсні числа
Числові множини
N — множина натуральних чисел.
N ={ }1 2 3 4 5; ; ; ; ,..., ,... .n
Z — множина цілих чисел, що містить у собі
натуральні числа, протилежні їм числа й число
нуль.
Z = − − −{ }..., ; ; ; ; ; ; ;... .3 2 1 0 1 2 3
Раціональними числами називаються числа,
які можна подати у вигляді
m
n
, де m ∈Z , n∈N .
Множина раціональних чисел позначається Q.
Будь-яке раціональне число можна подати або у вигляді скін-
ченного десяткового дробу, або у вигляді нескінченного десят-
кового періодичного дробу.
Ірраціональними числами називаються числа, які не можна
подати у вигляді
m
n
, де m ∈Z , n ∈N .
Наприклад, число π , π ≈ …3 1415926, ; числа 3 ; 5 ; 6
та інші.
Будь-яке ірраціональне число можна записати у вигляді не-
скінченного неперіодичного десяткового дробу.
Наприклад, 2 1 4142= …, ; e = …2 7182818,
Раціональні й ірраціональні числа утворюють множину дійс-
них чисел, яку позначають символом R (див. рис.).
Числова пряма і дійсні числа
Кожному дійсному числу a відповідає єдина точка A числової
прямої, і кожній точці A числової прямої відповідає єдине чис-
ло a, що називається координатою точки A й позначається A a( ).
Наприклад, координатами точок A, B, C (див. рис.) є числа
−1
1
2
;
1
2
; 2 . Це записується так: A −
1
1
2
; B
1
2
; C 2( ).
⊂ ⊂ ⊂⊂ ⊂ ⊂
11. 10
РозділI
Порівняння дійсних чисел
Із двох дійсних чисел більшим (меншим) є те число, котре при
зображенні цих чисел точками на числовій прямій розташоване
праворуч (ліворуч) (див. рис.).
Сума, різниця, добуток, частка (на нуль ділити не можна) дійс-
них чисел є дійсними числами.
Властивості арифметичних дій
над дійсними числами
Нехай a, b, c — дійсні числа, тоді
a b b a+ = + ; ab ba= ;
a b c a b c+( )+ = + +( ); ab c a bc( ) = ( );
a a a+ = − =0 0 ; a a a⋅ = ⋅ =1 1 ;
a a+ − =( ) 0 ; a a⋅ = ⋅ =0 0 0 ;
− − =( )a a ; a
a
⋅ =
1
1 ;
0− = −a a ; 0 0:a = ;
a
0
— не визначено;
a b c ab ac+( )= + . ( ):a b c
a
c
b
c
+ = + .
Степінь
У записі a bn
= число a називають основою степеня, n — по-
казником степеня, b — значенням степеня.
Степінь із натуральним показником:
a a a an
n
= ⋅ ⋅…⋅
разів
, n ∈N , n 2.
1 1n
= , n ∈N ; 0 0n
= , n ∈N ; a a1
= .
Степінь із нульовим показником: a0
1= , a ≠ 0 .
Нульовий степінь нуля 00
( ) не визначається.
Степінь із від’ємним цілим показником: якщо a ≠ 0 і n ∈N ,
то a
a
n
n
−
=
1
. Вираз 0−n
, де n ∈N , не визначається.
Степінь із раціональним показником: a a
m
n mn
= , де a 0 ;
m n n∈ ∈Z N, , 2 .
Наприклад, 144 144 12
1
2
= = ; 16 16
1
16
1
8
3
4 34
3
4
−
−
= = = .
12. 11
РозділI
Властивості степенів із цілими показниками
1. a a am n m n
⋅ = +
, m ∈Z , n ∈Z .
Наприклад, 5 5 5 5 257 5 7 5 2
⋅ = = =− −
.
2. a a am n m n
: = −
, або
a
a
a
m
n
m n
= −
, m ∈Z , n ∈Z .
Наприклад, 3 3 3 3 93 5 3 5 2− − − − −( )
= = =: .
3. a am
n
mn
( ) = , m ∈Z , n ∈Z .
Наприклад, −( )( ) = −( ) =2 2 1024
5
2
10
.
4. ab a b
n n n
( ) = , n ∈Z .
Наприклад, 2 3 2 3 8 27 216
3 3 3
⋅( ) = ⋅ = ⋅ = .
5.
a
b
a
b
n n
n
= , n ∈Z .
Наприклад, −
=
−( ) =
2
3
2
3
16
81
4 4
4
.
6.
a
b
b
a
n n
=
−
, n ∈Z .
Наприклад,
1
2
2
1
2 32
5 5
5
=
= =
−
.
7. a k2
0 , a ≠ 0 , k ∈N .
Наприклад, 5 25 02
= ; −( ) = 3 81 0
4
; −( ) =
−
7
1
49
0
2
.
8. Якщо a 0 , то a k2 1
0−
, k ∈N ; якщо a 0 , то a k2 1
0−
, k ∈N .
Наприклад, 2 8 03
= ; −( ) = − 2 8 0
3
.
Властивості степенів із раціональними показниками
Властивості степенів із цілими показниками справджуються
й для степенів із раціональними показниками:
a a ar r r r1 2 1 2
⋅ = +
; a a ar r r r1 2 1 2
: = −
; a ar
r
r r1
2
1 2
( ) = ; ab a b
r r r
( ) = ;
a
b
a
b
r r
r
= , b ≠ 0.
Наприклад, a a a a
1
3
1
2
1
3
1
2
5
6
⋅ = =
+
; a b a b a b
1
5
1
3
15
16 1
5
15
16
1
3
15
16
3
16
5
16
= ⋅ =
⋅ ⋅
;
a a a a
2
3
3
4 2
3
3
4
2
4
1
2
= = =
⋅
.
13. 12
РозділI
Стандартний вигляд числа
Стандартним виглядом числа α називається його запис
у вигляді a n
⋅10 , де 1 10 a , n ∈Z . Число n називають поряд-
ком числа.
Наприклад, α = = ⋅125000 1 25 105
, .
Арифметичний квадратний корінь
Арифметичним квадратним коренем із невід’ємного чис-
ла a називається таке невід’ємне число b, квадрат якого дорів-
нює a.
Позначають так: a b= ; цей запис означає: b a2
= , b 0 .
Символ називається знаком кореня або знаком радикала.
Наприклад, 16 4= , оскільки 4 162
= і 4 0 .
Квадратний корінь із від’ємного числа не існує.
Властивості арифметичного квадратного кореня
Основні тотожності
1. a a
a a
a a
2 0
0
= =
−
, ,
, .
якщо
якщо
Наприклад, 25 5 5 52
= = = .
2. a a( ) =
2
; 0 0= .
Наприклад, 9 9
2
( ) = .
3. ab a b= ⋅ , де a 0 , b 0 .
Наприклад, 25 16 25 16 5 4 20⋅ = ⋅ = ⋅ = .
4.
a
b
a
b
= , де a 0 , b 0 .
Наприклад,
25
16
25
16
5
4
1
1
4
= = = .
Внесення множника під знак квадратного кореня
b a b a= 2
, якщо b 0 ; b a b a= − 2
, якщо b 0 .
Винесення множника з-під знака квадратного кореня
b a b a2
= , якщо b 0 , a 0 ;
b a b a2
= − , якщо b 0 , a 0.
b a b a2
= .
14. 13
РозділI
Арифметичний корінь n -го степеня
Арифметичним коренем n-го степеня n n∈ ( )N, 1
з невід’ємного числа a називається таке невід’ємне число b, яке
при піднесенні його до степеня n дає число a. Число n називається
показником кореня, число a — підкореневим виразом.
Позначення: a bn
= ; цей запис означає: b an
= , a 0, b 0.
Наприклад, 8 23
= , оскільки 2 83
= і 2 0 ; 81 34
= , оскільки
3 814
= , 3 0 .
Коренем непарного степеня з від’ємного числа a називається
таке від’ємне число b, яке при піднесенні його до цього непарного
степеня дорівнює числу a.
Запис a bk2 1+
= означає: b ak2 1+
= , b 0 , k ∈N .
Наприклад, − = −27 33
, оскільки −( ) = −3 27
3
; − = −32 25
, оскільки
−( ) = −2 32
5
.
Властивості коренів
Основні тотожності
1. a an
n
( ) = , n ∈N , n 2.
2. a amn mknk
= , a 0 , n ∈N , m ∈Z , k ∈N , n 2.
3. a a
a a
a a
kk 22 0
0
= =
−
, ,
, .
якщо
якщо
Крім того, a akk 2 12 1 ++
= , k ∈N .
4. a akn nk
= , n ∈N , k ∈N , a 0 , n 2, k2 .
5. a an
k
kn
( ) = , k ∈N , n ∈N , n 2, a 0 .
6. ab a bn n n
= ⋅ , a 0 , b 0 .
7.
a
b
a
b
n
n
n
= , a 0 , b 0 .
Наприклад,
32
243
32
243
2
3
5
5
5
= = .
Винесення множника з-під знака кореня:
b a b a
b a b
b a b a k
kk k
k
k
22 2
2
2
0
0 0
= ⋅ =
− ∈
, ,
, , , .
якщо
якщо
N
b a b a kkk k2 12 1 2 1++ +
= ∈, N .
Наприклад, 32 3 32 3 2 35 5 5 5
⋅ = ⋅ = .
15. 14
РозділI
Внесення множника під знак кореня:
b a b ak kk2 22
= , якщо b 0 ,
b a b ak kk2 22
= − , якщо b k b a b a kk kk
∈ = ∈+ ++
0 2 1 2 12 1
, ,N. N.
Наприклад, 2 3 32 3 965 5 5 5
= ⋅ = ; − = − ⋅ = −3 2 3 2 1624 44
.
Модуль дійсного числа
a
a a
a a
a
=
−
=
, ,
, ,
, .
якщо
якщо
якщо
0
0
0 0
Геометрична інтерпретація: якщо точка A має на числовій
прямій координату a (див. рис.), то відстань від A до O дорівнює
a , тобто AO a= .
Властивості модуля
a 0 ; − =a a ; a a ;
a a
2 2
= ; ab a b= ⋅ ;
a
b
a
b
= , b ≠ 0 ;
a an n
= ; a a
k k2 2
= , k ∈N ; a b a b+ + ;
a b a b+ − ; a b a b− − ; a b a b− + ;
a a a a a an n1 2 1 2+ +…+ + +…+ .
Ціла й дробова частини числа
Цілою частиною числа a (або антьє a) називається найбільше
ціле число, яке не перевищує числа a; позначається так: a[ ].
Наприклад, 2 1 2,[ ]= ; 2 1
= ; 0 3 0,[ ]= ; −[ ]= −1 3 2, ; −
= −3 2 .
Дробовою частиною числа a називається число, що дорівнює
a a−[ ]; позначається так: a{ } , тобто a a a{ }= −[ ].
Наприклад, 2 1 2 1 2 0 1, , ,{ }= − = ; 0 3 0 3 0 0 3, , ,{ }= − = ; −{ }= − − −( )=1 3 1 3 2 0 7, , ,
−{ }= − − −( )=1 3 1 3 2 0 7, , , .
Будь-яке число a можна подати у вигляді a a a= [ ]+{ }.
Наприклад, 1 3 1 0 3, ,= + ; − = − +1 3 2 0 7, , .
16. 15
РозділI
Логарифми
Логарифмом додатного числа b b ( )0 за основою a
a a ≠( )0 1, називається показник степеня, до якого тре-
ба піднести основу a, щоб дістати число b; позначення: loga b .
Наприклад, log2 16 4= ; log 3
3 2= ; log5
1
25
2= − .
Формулу a ba blog
= , де a 0 , a ≠ 1 , b 0 ,називають основною
логарифмічною тотожністю.
Десятковими логарифмами називаються логарифми, осно-
ва яких дорівнює 10; позначаються символом lg: log lg10 b b= .
Натуральними логарифмами називаються логарифми,
основа яких дорівнює e e ≈( )2 7182818, ; позначаються симво-
лом ln: log lne b b= .
Основні властивості логарифмів
1. loga 1 0= a a ≠( )0 1, .
2. loga a = 1 a a ≠( )0 1, .
3. log log loga a axy x y( )= + a ( 0, a ≠ 1, x 0, y )0 .
Наприклад, log log log log log5 5 5 3 515 3 5 3 5 3 1= ⋅( )= + = + .
4. log log loga a a
x
y
x y
= − a ( 0, a ≠ 1 , x 0 , y )0 .
Наприклад, log log log log2 2 2 2
3
8
3 8 3 3= − = − .
5. log loga
p
ax p x= a ( 0, a ≠ 1 , x )0 .
Наприклад, log log log3
3
3
1
3
33 3
1
3
3
1
3
1
1
3
= = = ⋅ = .
6. log
log
loga
c
c
b
b
a
= a ( 0, a ≠ 1 , b 0 , c 0 , c ≠ )1 .
Наприклад, log
log
log2
5
5
3
3
2
= ;
log
log
log3
3
8
2
8
2
1
3
= = .
Наслідки:
1) log
loga
b
b
a
=
1
a ( 0, a ≠ 1 , b 0 , b ≠ )1 .
2) log loga a
p
b bp= a ( 0, a ≠ 1 , b )0 .
3) log loga ap b
p
b=
1
a ( 0, a ≠ 1 , b )0 .
4) loga
p
q a
p
q
= a ( 0, a ≠ )1 .
17. 16
РозділII
Розділ ІІ. Алгебраїчні вирази
§ 3. Одночлени й многочлени
Одночлени
Одночленом називається добуток чисел, змінних та їхніх на-
туральних степенів, а також самі числа, змінні та їхні натураль-
ні степені.
Одночлен стандартного вигляду — одночлен, який містить
тільки один числовий множник, що стоїть на першому місці, і
степені з різними буквеними основами.
Коефіцієнтом одночлена називається числовий множник од-
ночлена стандартного вигляду.
Щоб записати одночлен у стандартному вигляді, треба пере-
множити всі його числові множники й одержане число поставити
на перше місце, а потім добутки однакових буквених множників
записати у вигляді степенів.
Наприклад, 2 7 3 422 3 3 2
xy axy a bx a bx y⋅ ⋅ −( ) = − .
Степенем одночлена називається сума показників степенів
усіх буквених множників, які належать до одночлена.
Наприклад, степінь одночлена 2 2
x yz дорівнює 4.
Дії над одночленами
Якщо одночленом є число, відмінне від нуля, то вважається,
що його степінь дорівнює нулю. Число 0 степеня не має.
Щоб помножити одночлен на одночлен, треба перемножи-
ти їхні коефіцієнти й перемножити степені з однаковими ос-
новами.
Наприклад, 12 3 362 2 2 2 3
a xy xy z a x y z⋅ −( )= − .
Щоб піднести одночлен до степеня, потрібно піднести йо-
го коефіцієнт до цього степеня й помножити показник степеня
кожної букви на показник степеня, до якого підносять одночлен.
Наприклад, −( ) =2 162 6
4
8 4 24
x yz x y z .
Щоб поділити одночлен на одночлен, треба поділити ко-
ефіцієнт діленого на коефіцієнт дільника, до знайденої част-
ки приписати множниками кожну змінну діленого з показни-
ком, що дорівнює різниці показників цієї змінної в діленому
й дільнику.
Наприклад, 9 3
9
3
37 6 5 3 5 7 3 6 5 5 1 4 4
x y z x y z x y z x yz:( )= =− − −
.
18. 17
РозділII
Многочлени
Многочленом називається алгебраїчна сума кількох одно-
членів.
Наприклад, 5 2 32
x x− + ; 7 52 2
a b ab xy− + — многочлени.
Подібні члени многочлена — це однакові одночлени або,
якщо їх записати в стандартному вигляді, такі, які відрізняють-
ся тільки коефіцієнтами.
Щоб звести подібні члени, треба додати їхні коефіцієнти
й приписати їхню спільну буквену частину.
Наприклад, 2 3 2 5 4 32 2 2 2 2 2
ab b a a ab b b ab a+ − + − + = − −
.
Стандартний вигляд многочлена — це запис многочлена, де
всі члени многочлена — одночлени стандартного вигляду й серед
них немає подібних.
Наприклад, ab bc abc+ + — многочлен стандартного вигляду.
Степенем многочлена стандартного вигляду називається
найбільший степінь одночленів, що утворюють многочлен.
Наприклад, степінь многочлена 2 35 2
x y xy+ дорівнює 6.
Додавання й віднімання многочленів
Щоб додати два многочлени, досить з’єднати їх знаком «+»
і звести подібні члени. При додаванні многочленів користують-
ся правилом розкриття дужок: якщо перед дужками стоїть знак
«+», то дужки можна опустити й зберегти знак кожного одно-
члена.
Наприклад,
3 2 5 6 5 3 3 2 5 6 5 3 9 3 22 2 2 2 2
x x x x x x x x x x− +( )+ + −( )= − + + + − = + + .
Щоб знайти різницю двох многочленів, треба поставити
знак «–» перед узятим у дужки другим многочленом. При відні-
манні многочленів також користуються відповідним правилом
розкриття дужок: якщо перед дужками стоїть знак «–», то дуж-
ки можна опустити, змінивши знак кожного одночлена, що був
у дужках, на протилежний.
Наприклад,
3 2 5 6 5 3 3 2 5 6 5 3 3 7 82 2 2 2 2
x x x x x x x x x x− +( )− + −( )= − + − − + = − − +
.
Щоб записати алгебраїчну суму кількох многочленів як мно-
гочлен стандартного вигляду, потрібно розкрити дужки й звести
подібні члени.
Наприклад, 2 3 2 3 2 1 2 1 2 12 2 2 2
x x x x x x x x− +( )− − −( )− − + +( )+ − + −( )=
= − + − + + + − − − + − = − − +2 3 2 3 2 1 2 1 2 1 2 2 12 2 2 2 2
x x x x x x x x x x− − +2 2 12
x x .
19. 18
РозділII
Множення і ділення многочленів
Щоб помножити одночлен на многочлен, треба кожний член
многочлена помножити на цей одночлен і одержані одночлени
додати.
Наприклад, 2 2 2 2 4 6 22 2 3 2 3 3 2
a a a a a a a a a− +( )= − + = − .
Щоб помножити многочлен на многочлен, треба кожний
член одного многочлена помножити на кожний член другого мно-
гочлена й одержані одночлени додати.
Наприклад, 3 2 2 3 3 2 3 3 2 2 2 3x x x x x x−( ) −( )= ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ =
= − − + = − +6 9 4 6 6 13 62 2
x x x x x .
Щоб поділити многочлен на одночлен, потрібно кожний член
многочлена поділити на цей одночлен і одержані результати додати.
Наприклад, 5 7 3 2 26 4 3 2
x x x x x− + −( ) ( )=: = ( )− ( )+ ( )− ( )5 2 7 2 3 2 2 26 4 3 2
x x x x x x x x: : : :
( )− ( )+ ( )− ( )=2 7 2 3 2 2 26 4 3 2
x x x x x x x: : : : = − + −2 5 3 5 1 55 3 2
, , ,x x x x .
Формули скороченого множення
1. Квадрат суми (різниці) двох виразів:
a b a ab b±( ) = ± +
2 2 2
2 .
Наприклад, a a a+( ) = + +3 6 9
2 2
; x x x−( ) = − +2 4 4
2 2
.
2. Куб суми (різниці) двох виразів:
a b a a b ab b±( ) = ± + ±
3 3 2 2 3
3 3 .
Наприклад, a a a a+( ) = + + +1 3 3 1
3 3 2
, a a a a−( ) = − + −2 6 12 8
3 3 2
.
3. Добуток різниці двох виразів та їхньої суми:
a b a b a b−( ) +( )= −2 2
.
Наприклад, a a a−( ) +( )= −5 5 252
; 2 3 2 3 4 92 2
a b a b a b−( ) +( )= − .
4. Добуток суми (різниці) двох виразів та неповного квадрата їх-
ньої різниці (суми): a b a ab b a b±( ) +( )= ±2 2 3 3
∓ .
Наприклад, 2 3 4 6 9 8 272 3
a a a a−( ) + +( )= − , 2 4 2 82 3
+( ) − +( )= +y y y y .
Розкладання многочлена на множники
При розкладанні многочлена на множники використовують:
1) винесення спільного множника за дужки.
Наприклад, 5 10 5 22
x x x x+ = +( );
2) спосіб групування.
Наприклад, 5 5 5 52 2
x y x xy x y x xy− − + = −( )− −( )== −( )− −( )= −( ) −( )5 5x y x x y x y x
= −( )− −( )= −( ) −( )5 5x y x x y x y x ;
3) формули скороченого множення.
Наприклад, 4 9 2 3 2 32 2
a b a b a b− = −( ) +( ), 27 1 3 1 9 3 13 2
a x x x+ = +( ) − +( ).
20. 19
РозділII
Многочлен з однією змінною
Многочленом n-го степеня з однією змінною називається
многочленом виду:
a x a x a x a x an
n
n
n
+ +…+ + +−
−
1
1
2
2
1 0 , де an , an−1 , …, a2 , a1 , a0 —
дійсні числа, an ≠ 0, x — змінна, n ∈N .
Число α називається коренем многочлена a x a x a x a x an
n
n
n
+ +…+ + +−
−
1
1
2
2
1 0
x a x a x an
n
+…+ + +−
−
1
1
2
2
1 0 (де an , an−1 , … a2 , a1 , a0 — дійсні числа, an ≠ 0 ),
якщо a a a a an
n
n
n
α α α α+ +…+ + + =−
−
1
1
2
2
1 0 0 .
Наприклад, число 2 — корінь многочлена x x x x4 3 2
2− − − − , тому що
2 2 2 2 2 04 3 2
− − − − = .
Якщо число α — корінь многочлена a x a x a x a x an
n
n
n
+ +…+ + +−
−
1
1
2
2
1 0
a x a x a+…+ + +2
2
1 0 , то a x a x a x a x a x b x b x b xn
n
n
n
n
n
n
n
+ +…+ + + = −( ) + +…+−
−
−
−
−
−
1
1
2
2
1 0 1
1
2
2
2α (
b x b x b xn
n
n
n
) + +…+ +−
−
−
−
1
1
2
2
2
2
α bb x b1 0+( ).
Наприклад, x = 2 — корінь многочлена x x x3
3 6+ − − , тоді x x x x x3 2 2
3 6 2+ − − = −( )(
x x x x x x3 2 2
3 6 2 3 3+ − − = −( ) + +( ).
Многочлен a x a x a x a x an
n
n
n
+ +…+ + +−
−
1
1
2
2
1 0,де an ≠ 0, може ма-
ти не більш ніж n коренів.
Якщо многочлен a x a x a x a x an
n
n
n
+ +…+ + +−
−
1
1
2
2
1 0 , де an ≠ 0 ,
має корені α1 , α2 , …, αn , то цей многочлен можна розкласти на
множники:
a x a x a x a x a a x x xn
n
n
n
n n+ +…+ + + = −( ) −( )⋅…⋅ −( )−
−
1
1
2
2
1 0 1 2α α α .
§ 4. Алгебраїчні вирази
Раціональні алгебраїчні вирази
Алгебраїчним виразом називається вираз, у якому числа
й букви об’єднані чотирма арифметичними діями, а також діями
піднесення до натурального степеня й добування арифметичного
кореня.
Наприклад, a b+ ; a b x+ 2 3
;
3 2
a
a b+
— алгебраїчні вирази.
Вираз, який не містить операції добування кореня зі змінної,
називається раціональним.
Раціональний вираз, що не містить дії ділення на змінну (бук-
ву) або на вираз, у якому є змінна, називається цілим.
Наприклад, a b2
+ ;
1
2
1
3
2 2
a b+ — цілі вирази.
21. 20
РозділII
Ірраціональні алгебраїчні вирази
Алгебраїчний вираз називається ірраціональним, якщо в ньо-
му є дії добування арифметичного кореня з букв (змінних) або
виразів, що містять букви (змінні).
Наприклад, x y− ; 3 5x + ;
1
x y+
— ірраціональні вирази.
Алгебраїчні дроби та дії над ними
Якщо a і b — алгебраїчні вирази, то вираз
a
b
називається ал-
гебраїчним дробом.
Основна властивість дробу:
a
b
ac
bc
= , де b ≠ 0 , c ≠ 0 .
Основна властивість дробу використовується для скорочення
дробів.
Наприклад,
x xy
xy y
x x y
y x y
x
y
2
2
5
2 10
5
2 5 2
+
+
=
+( )
+( )
= , x y≠ −5 .
Наслідок:
−
−
= −
−
= −
−
=
a
b
a
b
a
b
a
b
.
Додавання й віднімання дробів з однаковими знаменника-
ми:
a
c
b
c
a b
c
± =
±
, c ≠ 0 .
Щоб додати (відняти) дроби з різними знаменниками, тре-
ба звести їх до спільного знаменника, а потім скористатися
правилом додавання (віднімання) дробів з однаковими зна-
менниками.
Наприклад,
x
x
x
x
x
x x
x
x
x x x
x x
2
2
2 2 2
4 2 2 2 2
2
2 2−
−
−
=
−( ) +( )
−
−
=
− −
−( ) +( )
=
=
−
−
=
−
2
4
2
42 2
x
x
x
x
.
Множення дробів:
a
b
c
d
ac
bd
⋅ = , b ≠ 0 , d ≠ 0 .
Наприклад,
x
x
x
x
x x
x x
x x x
x x
x
x
2
2
2
2 2
4
2 4
4
2 4
2 2
2 2
2
2
−
⋅
+
=
−( )⋅
⋅ +( )
=
−( ) +( )
⋅ +( )
=
−
,
x ≠ 0 , x ≠ −2 .
Ділення дробів:
a
b
c
d
a
b
d
c
ad
bc
: = ⋅ = , b ≠ 0 , c ≠ 0 , d ≠ 0 .
Наприклад,
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
2
2
2 2 2 2
9
2
3
4
9
2
4
3
9 4
2 3
−
+
+
−
=
−
+
⋅
−
+
=
−( ) −( )
+( ) +( )
=:
=
−( ) +( ) −( ) +( )
+( ) +( )
= −( ) −( )= − +
x x x x
x x
x x x x
3 3 2 2
2 3
3 2 5 62
, x ≠ ±2 , x ≠ −3.
22. 21
РозділII
Ірраціональні вирази та дії над ними
Щоб виконати множення (ділення) ірраціональних виразів
із різними показниками кореня, потрібно: звести їх до спільного
показника, перемножити (поділити) підкореневі вирази й запи-
сати добуток (частку) під знак кореня зі спільним показником.
Наприклад,
a
b
b
a
a
b
b
a
a b
b a
a
b
3 4
4
4
12
3
3
12
4 3
4 3
3 12⋅ = ⋅ =
⋅
⋅
= .
Щоб виконати піднесення кореня до степеня, треба піднести
до цього степеня підкореневий вираз, залишивши той самий по-
казник кореня.
Наприклад, a a a a+
= +( ) = + +2 2 2 2 23
2 2
3 23
.
Щоб добути корінь із кореня, треба перемножити показники
коренів, а підкореневий вираз залишити без змін.
Наприклад, a a+ = +1 13 6
.
Як звільнитися від ірраціональності
в знаменнику дробу
Якщо знаменник дробу — корінь або добуток кореня і раціо-
нального множника, то треба чисельник і знаменник дробу до-
множити на такий степінь кореня того самого показника, щоб
дістати степінь із показником, який дорівнює показнику кореня.
Наприклад,
3 3 3
3
2
3
2 23
3 23
2 23
23a
a
a a
a a
a a
a
a a=
⋅
= = .
Якщо знаменник дробу — сума (різниця) квадратних ко-
ренів, то слід помножити чисельник і знаменник на різницю (су-
му) тих самих радикалів.
Наприклад,
a
a
a a
a a
a a
a1
1
1 1
1
1−
=
+( )
−( ) +( )
=
+( )
−
,якщо a 0, a ≠ 1.
Якщо знаменник дробу — сума (різниця) кубічних коренів,
то слід домножити чисельник і знаменник дробу на неповний
квадрат різниці (суми) тих самих радикалів.
Наприклад,
1
3 3
23 3 23
3 3 23 3 23
23 3 23
a b
a ab b
a b a ab b
a ab b
a b−
=
+ +
−( ) + +( )
=
+ +
−
.
23. 22
РозділII
§ 5. Порівняння алгебраїчних виразів
Тотожно рівні вирази. Тотожність
Два вирази зі змінними називаються тотожно рівними на
певній множині, якщо їхні відповідні значення збігаються при
всіх значеннях змінних, що належать до цієї множини.
Наприклад, вирази 3 2x +( ) і 3 6x + є тотожно рівними на множині
всіх дійсних чисел; a b+( )2
і a ab b2 2
2+ + — тотожно рівні вирази на мно-
жині всіх пар дійсних чисел.
Тотожним перетворенням виразу називається заміна вира-
зу на тотожно рівний йому.
Рівність, у якій права і ліва частини — тотожно рівні вирази на
певній множині, називається тотожністю на цій множині.
Наприклад, a b a ab b−( ) = − +
2 2 2
2 , a b a b a b−( ) +( )= −2 2
— тотожності.
Тотожна нерівність виразів
Нехай задано алгебраїчні вирази A і B на деякій множині і для
будь-яких відповідних значень значення виразу A більше (мен-
ше), ніж відповідне значення виразу B; тоді кажуть, що на цій
множині справджується тотожна нерівність A B A B( ).
Наприклад, на множині дійсних чисел справджується тотожна не-
рівність a a2 2
1+ .
Іноді виникає необхідність довести, що дана нерів-
ність зі змінними є правильною для всіх указаних зна-
чень змінних. Це можна зробити на підставі означень
понять «більше» й «менше»: A B , якщо різниця A B− —
число додатне; A B , якщо різниця A B− — число від’ємне.
Наприклад, доведемо, що для додатних a і b
a b
ab
+
2
.
Доведення:
a b
ab
a b ab a ab b a b+
− =
+ −
=
− +
=
−( )
2
2
2
2
2 2
2
.
Вираз
a b−( )
2
2
при будь-яких додатних a і b є невід’ємним. Отже,
якщо a 0 і b 0 , то
a b
ab
+
2
. Рівність досягається, коли a b= .
24. 23
РозділIII
Розділ ІІІ. Функції та графіки
§ 6. Властивості функцій
Поняття функції
Залежність змінної y від змін-
ної x називається функцією, якщо
кожному значенню x відповідає єди-
не значення y (див. рис.). Цю залеж-
ність позначають або f, або f x( ), або
y f x= ( ).
Змінна x називається незалежною змінною, або аргументом
функції, а змінна y — залежною змінною, або функцією.
Областю визначення функції f x( ) називається множина дій-
сних значень незалежної змінної x, для яких ця функція визна-
чена (має зміст). Позначається так: D f( ) .
Областю значень функції y f x= ( ) називається множина всіх
дійсних значень, яких набуває залежна змінна y при всіх зна-
ченнях аргументу з області визначення. Позначається так: E f( ).
Якщо області визначення D f( ) і значень E f( ) функції — числові
множини, то така функція називається числовою.
Координатна площина й графік функції
Кожній точці координатної пло-
щини (див. рис.) відповідають два
числа (координати), які записують-
ся після точки в дужках (на першому
місці координата по осі x — абсциса,
на другому — координата по осі y —
ордината).
Для будь-якої пари чисел x y;( ) іс-
нує лише одна точка, для якої абсци-
сою є число x, а ординатою — число y.
Графіком функції y f x= ( ) називається множина всіх то-
чок площини з координатами x f x; ( )( ), де перша координа-
та «пробігає» всю область визначення функції y f x= ( ) , а дру-
га координата — це відповідне значення функції в точці x.
25. 24
РозділIII
Способи задавання функції
Табличний спосіб — функція задається таблицею.
Графічний спосіб — функція задається множиною точок ко-
ординатної площини.
Аналітичний спосіб — функція задається формулою.
Областю визначення функції y f x= ( ), заданої формулою, на-
зивається множина значень x, при яких формула має зміст (усі
дії, зазначені у формулі, можна виконати).
Наприклад, якщо f x
x
( )=
−
1
1
, то D f( )= −∞( ) + ∞( ); ;1 1∪ ; якщо
y x x= +3 2
, то D y( )= R .
Правила знаходження області визначення функцій,
заданих аналітично
Функція Область визначення
y a x a x a x an
n
n
n
= + +…+ +−
−
1
1
1 0 −∞ + ∞( );
y
f x
g x
=
( )
( )
, f x( ) і g x( ) — многочлени g x( )≠ 0
y f xk= ( )2 , k ∈N f x( ) 0
y g xf x
= ( )( )log
g x
f x
f x
( )
( )
( )≠
0
0
1
,
,
y f x= ( )( )tg f x n( )≠ +
π
π
2
, n ∈Z
y f x= ( )( )ctg f x n( )≠ π , n ∈Z
y f x= ( )( )arcsin f x( ) 1
y f x= ( )( )arccos f x( ) 1
y x= α
, де a:
— натуральне число
— ціле від’ємне число або нуль
— додатне неціле число
— від’ємне неціле число
R
−∞( ) + ∞( ); ;0 0∪
0; + ∞ )
0; + ∞( )
26. 25
РозділIII
Парні і непарні функції
Функція y f x= ( ) називаєть-
ся парною, якщо для будь-яко-
го x D y∈ ( ) виконується рівність
f x f x−( )= ( ) , при цьому − ∈ ( )x D y .
Графік парної функції є симет-
ричним відносно осі Oy.
Наприклад, f x x x( )= − +4 2
є парною,
оскільки f x x x x x f x−( )= − −( ) + −( ) = − + = ( )
4 2 4 2
x x x f x−( ) = − + = ( )
2 4 2
для всіх x ∈R (див.
на рис. 1).
Функція y f x= ( ) називаєть-
ся непарною, якщо для будь-яко-
го x D y∈ ( ) виконується рівність
f x f x−( )= − ( ), при цьому − ∈ ( )x D y .
Графік непарної функції є си-
метричним відносно початку коор-
динат.
Наприклад, f x x x( )= −5 3
— не-
парна, оскільки f x x x x x x x f x−( )= −( ) − −( ) = − + = − −( )= − ( )5 3 5 3 5 3
x x x x x x f x− ) − −( ) = − + = − −( )= − ( )5 3 5 3 5 3
для всіх
x ∈R . (Графік функції f x x x( )= −5 3
див. на рис. 2.)
Існують функції, які не є ні парними, ні непарними.
Наприклад, функції y x= , y xk
= 2
, k ∈N ; y ax
= , a 0 , a ≠ 1 ;
y xa= log , a 0 , a ≠ 1 ; y x= { }; y x= arccos ; y x= arcctg не є ні парни-
ми, ні непарними.
Єдинафункція,задананамножиніR,єйпарною,йнепарною,—
це функція y = 0 (рис. 3).
Періодичні функції
Функція y f x= ( ) називається пе-
ріодичною з періодом T ≠ 0 , якщо
для будь-якого x з області визначен-
ня виконується рівність:
f x T f x T f x+( )= −( )= ( ) (див. рис.).
Періодом функції прийнято називати найменший із додатних
періодів.
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
27. 26
РозділIII
Зростаючі і спадні функції
Функція y f x= ( ) називається зростаю-
чою на певній множині Х, якщо для будь-
яких x X1 ∈ , x X2 ∈ , таких, що x x2 1 ,
виконується нерівність f x f x2 1( ) ( ) , або
y y2 1 (рис. 1).
Якщо за названих умов виконується не-
рівність f x f x2 1( ) ( ) , або y y2 1 , то функція
називається неспадною.
Функція y f x= ( ) називається спадною
на певній множині X, якщо для будь-яких
x X1 ∈ , x X2 ∈ , таких, що x x2 1 , вико-
нується нерівність f x f x2 1( ) ( ) , або y y2 1
(рис. 2).
Якщо за названих умов виконується нерівність f x f x1 2( ) ( ) ,
або y y1 2 , то функція називається незростаючою.
Обернені функції
Функція називається оборотною, якщо
кожного свого значення вона набуває
в єдиній точці області визначення.
Функція g називається оберненою до
функції f, якщо функція g в кожній точ-
ці x області значень оборотної функції f на-
буває такого значення y, що f y x( )= .
Якщо функція f x y( )= є оборотною,
то, виразивши x із формули y f x= ( ) і помінявши x і y місцями,
дістанемо формулу оберненої функції.
Графіки функції f x( ) та оберненої до неї функції g x( ) є симет-
ричними відносно прямої y x= (див. рис.).
Функції f і g називаються взаємно оберненими.
Складені функції
Якщо y є функцією від u: y f u= ( ), де u, у свою чергу, є функ-
цією від аргументу x, тобто u g x= ( ), то y називається складеною
функцією від x: y f g x= ( )( ).
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 1
Рис. 2
28. 27
РозділIII
§ 7. Властивості деяких функцій та їхні графіки
Пряма пропорційність y kx= , k ≠ 0
1. Область визначення — R.
2. Область значень — R.
3. Функція непарна.
4. Якщо x = 0 , то y = 0 .
5. Якщо k 0 , то функція зростає на мно-
жині R (див. рис., графік I).
6. Якщо k 0 , то функція спадає на мно-
жині R (див. рис., графік II).
7. Графік прямої пропорційності — пря-
ма, що проходить через початок коор-
динат.
Лінійна функція y kx b= + , k ∈R , b ∈R
1. Область визначення — R.
2. Область значень — R, якщо k ≠ 0 ; b{ },
якщо k = 0 .
3. Якщо k ≠ 0 , b ≠ 0 , то функція не є ні
парною, ні непарною; якщо k = 0 —
функція парна; якщо b = 0 , k ≠ 0 —
функція непарна; якщо k = 0 , b = 0 —
функція і парна, і непарна.
4. Якщо x = 0 , то y b= ; якщо x
b
k
= − ,
функція y = 0 .
5. Якщо k 0 , то функція зростає на мно-
жині R (рис. 1); якщо k 0 , то фун-
кція спадає на множині R
(рис. 2); якщо k = 0 , то функція є ста-
лою, y b= (рис. 3).
6. Графік лінійної функції — пряма, що
утворює з віссю абсцис кут ϕ , тангенс
якого дорівнює k.
7. Якщо b = 0, графік лінійної функції
проходить через початок координат
і є графіком прямої пропорційності.
Рис. 3
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 1
Рис. 2
29. 28
РозділIII
Обернена пропорційність y
k
x
= , k ∈R , k ≠ 0
1. Область визначення —
−∞( ) + ∞( ); ;0 0∪ .
2. Область значень — −∞( ) + ∞( ); ;0 0∪ .
3. Функція y
k
x
= непарна.
4. Якщо k 0 , то функція спадає на ін-
тервалах −∞( ); 0 і 0; + ∞( ) (рис. 1).
Якщо k 0 , то на інтервалах −∞( ); 0 ,
0; + ∞( ) функція зростає (рис. 2).
5. Графік функції y
k
x
= не перетинає осі
координат.
6. Якщо k 0 , x 0 то функція є додат-
ною; якщо k 0 , x 0 — від’ємною.
Якщо k 0 , x 0 то функція
від’ємна; якщо k 0 , x 0 — додатна.
7. Графік оберненої пропорційності — гі-
пербола.
Дробово-лінійна функція y
ax b
cx d
=
+
+
1. Область визначення —
−∞ −
− + ∞
; ;
d
c
d
c
∪ .
2. Область значень —
−∞
+ ∞
; ;
a
c
a
c
∪ .
3. Точки перетину з осями координат:
−
b
a
; 0 і 0;
b
d
.
4. Функція спадає на −∞ −
;
d
c
і − + ∞
d
c
; , якщо ad bc (рис. 1).
5. Функція зростає на −∞ −
;
d
c
і − + ∞
d
c
; , якщо ad bc (рис. 2).
6. Графік функції — гіпербола.
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 1
Рис. 2
30. 29
РозділIII
Функція y x=
1. Область визначення — R.
2. Область значень — 0; + ∞[ ).
3. Функція парна.
4. Якщо x 0 , то функція спадає;
якщо x 0 , то функція зростає.
5. Графік функції — об’єднання двох
променів: бісектрис першої та другої координатних чвертей
(див. рис.).
Квадратична функція y ax bx c= + +2
, a ≠ 0
1. Область визначення — R.
2. Область значень: якщо a 0 , то
−
−
+ ∞
b ac
a
2
4
4
; ; −∞ −
−
;
b ac
a
2
4
4
,
якщо a 0 .
3. Якщо b ≠ 0 , то функція не є ні пар-
ною, ні непарною; якщо b = 0 , то
функція y ax c= +2
парною.
4. Якщо a 0 , то функція спа-
дає на проміжку −∞ −
;
b
a2
і зростає на проміжку − + ∞
b
a2
; ;
x
b
a
0
2
=− — точка мінімуму (рис. 1).
Якщо a 0 , то функція зростає на
проміжку −∞ −
;
b
a2
і спадає на
проміжку − + ∞
b
a2
; ; x
b
a0
2
= − —
точка максимуму (рис. 2).
5. Графікфункціїперетинаєосікоординатуточках 0; c( ), x1 0;( ),
x2 0;( ) , де x
b b ac
a1 2
2
4
2, =
− ± −
.
6. Графік функції — парабола, вітки якої напрямлені вго-
ру, якщо a 0 , і вниз, якщо a 0 ; координати верши-
ни — − −
−
b
a
b ac
a2
4
4
2
; ; вісь симетрії графіка — x
b
a
= −
2
.
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 1
Рис. 2
31. 30
РозділIII
Степенева функція y xn
=
Властивості функції y xn
= , де n ∈N
1. Область визначення — R.
2. Область значень — якщо n k= 2 , k ∈N , то
0; + ∞[ ); якщо n k= −2 1 , k∈N , то R.
3. Якщо n k= 2 , k ∈N , то функція парна;
якщо n k= −2 1 , k ∈N , то функція непар-
на.
4. Графік функції проходить через початок
координат.
Графік функції є симетричним відносно
осі Oy, якщо n k= 2 , k ∈N (рис. 1); симет-
ричним відносно початку координат, якщо
n k= −2 1, k ∈N (рис. 2).
5. Якщо n k= 2 , k ∈N , то функція спадає
на проміжку −∞( ]; 0 і зростає на про-
міжку 0; + ∞[ ). Якщо n k= −2 1 , k ∈N , то функція зростає на
множині R.
Властивості функції y x n
= −
, де n ∈N
1. Область визначення — −∞( ) + ∞( ); ;0 0∪ .
2. Область значень: 0; + ∞( ), якщо n k= 2 ,
k ∈N ; −∞( ) + ∞( ); ;0 0∪ , якщо n k= −2 1,
k ∈N .
3. Якщо n k= 2 , k ∈N, то функція парна, гра-
фік є симетричним відносно осі Oy (рис. 1);
якщо n k= −2 1, k ∈N, то функція непарна
й графік симетричний відносно початку ко-
ординат (рис. 2).
4. Точок перетину з осями координат графік
функції не має.
5. Якщо n k= 2 , k ∈N , то функція зростає
на проміжку −∞( ); 0 і спадає на про-
міжку 0; + ∞( ); якщо n k= −2 1 , k ∈N , то функція спадає на
кожному з проміжків −∞( ); 0 , 0; + ∞( ).
32. 31
РозділIII
Властивості функції y x= α
, де α — неціле число
1. Область визначення: 0; + ∞[ ), якщо
α 0 ; 0; + ∞( ), якщо α 0 .
2. Область значень: 0; + ∞[ ) , якщо
α 0 ; 0; + ∞( ), якщо α 0 .
3. Функція не є ні парною, ні непар-
ною.
4. Якщо α 0 , то графік функції про-
ходить через початок координат
(рис. 1, 2); якщо α 0 , то графік
функції не перетинає осей коорди-
нат (рис. 3).
5. Якщо α 0 , то функція зростає
на всій області визначення; якщо
α 0 , то функція спадає на всій об-
ласті визначення.
Показникова функція y ax
= , a 0 , a ≠ 1
1. Область визначення — R.
2. Область значень — 0; + ∞( ).
3. Функція не є ні парною, ні непар-
ною.
4. Графік функції перетинає вісь Oy
у точці 0 1;( ), осі Ox не перетинає.
5. Якщо a 1 , то функція зростає на
множині R (рис. 1); якщо 0 1 a ,
то функція спадає на множині R
(рис. 2).
6. Коли a 1 , то y 1 якщо x 0 ;
0 1 y якщо x 0 . Коли 0 1 a ,
то y 1 якщо x 0 ; 0 1 y якщо x 0 .
33. 32
РозділIII
Функція y xn
= , n 2, n ∈N
1. Область визначення: 0; + ∞[ ),
якщо n k= 2 , k ∈N ; R, якщо
n k= +2 1 , k ∈N .
2. Область значень: 0; + ∞[ ), якщо
n k= 2 , k ∈N ; R, якщо n k= +2 1 ,
k ∈N .
3. Якщо n k= 2 , k ∈N , то функ-
ція не є ні парною, ні непарною
(рис. 1); якщо n k= +2 1 , k ∈N ,
то функція непарна і її графік
є симетричним відносно початку
координат (рис. 2).
4. Функція зростає на всій області
визначення.
5. Графік функції проходить через початок координат.
Логарифмічна функція y xa= log , a 0 , a ≠ 1
1. Область визначення — 0; + ∞( ).
2. Область значень — R.
3. Функція не є ні парною, ні не-
парною.
4. Графік функції перетинає вісь Ox
у точці 1 0;( ), осі Oy не перети-
нає.
5. Якщо a 1 , то функція зростає
на всій області визначення
(рис. 1); якщо 0 1 a , то функ-
ція спадає на всій області визна-
чення (рис. 2).
6. Коли a 1 , то y 0 , якщо x 1 ;
y 0 , якщо 0 1 x . Коли
0 1 a , то y 0 , якщо 0 1 x ;
y 0 , якщо x 1 .
34. 33
РозділIII
§ 8. Перетворення графіків функцій
Перетворення графіка функції y f x= ( )
у графік функції y f x= − ( )
Графік функції y f x= − ( )
одержують із графіка функції
y f x= ( ) за допомогою симетрії
відносно осі Ox.
Приклад перетворення наве-
дено на рисунку.
Перетворення
графіка функції y f x= ( ) у графік функції y f x= −( )
Графік функції y f x= −( )
одержують із графіка функції
y f x= ( ) за допомогою симетрії
відносно осі Oy.
Приклад перетворення наве-
дено на рисунку.
Перетворення графіка функції y f x= ( )
у графік функції y f x b= ( )+
Графік функції y f x b= ( )+
одержують із графіка функції
y f x= ( ) за допомогою паралель-
ного перенесення вздовж осі Oy
на b одиниць.
Приклад перетворення наведено на рисунку.
Перетворення графіка функції y f x= ( )
у графік функції y f x a= −( )
Графік функції y f x a= −( )
одержують із графіка функції
y f x= ( ) за допомогою паралель-
ного перенесення вздовж осі Ox
на a одиниць.
Приклад перетворення наведено на рисунку.
35. 34
РозділIII
Перетворення графіка функції y f x= ( )
у графік функції y f kx= ( )
Графік функції y f kx= ( ), де
k 0, одержують із графіка функції
y f x= ( ) : стисканням його вздовж
осі Ox у k разів, якщо k 1 ; розтя-
гуванням його вздовж осі Ox у
1
kразів, якщо 0 1 k .
Приклад перетворення — див. рис.
Перетворення графіка функції y f x= ( )
у графік функції y kf x= ( )
Графік функції y kf x= ( ), де
k 0 , одержують із графіка функції
y f x= ( ): розтягуванням його вздовж
осі Oy у k разів, якщо k 1; стискан-
ням уздовж осі Oy у
1
k
разів, якщо
0 1 k .
Приклад перетворення — див. рис.
Перетворення графіка функції y f x= ( )
у графік функції y f x= ( )
Графік функції y f x= ( ) одержу-
ють із графіка функції y f x= ( ) так:
вище від осі Ox (і на самій осі) зали-
шають його без змін; нижче від осі
Ox симетрично відображають його
відносно осі Ox.
Приклад перетворення — див. рис.
Перетворення графіка функції y f x= ( )
у графік функції y f x= ( )
Графік функції y f x= ( ) одержу-
ють із графіка функції y f x= ( ) так:
праворуч від осі Oy (і на самій осі) за-
лишають без змін і симетрично відоб-
ражають цю частину відносно осі Oy.
Приклад перетворення — див.
рис.
36. 35
РозділIV
Розділ IV. Тригонометрія
§ 9. Означення та властивості
тригонометричних функцій
Радіанна система вимірювання кутів і дуг
π рад = °180 ; n
n
° =
π
180
рад ; α
α
π
рад
180
=
°
.
Радіанна й градусна міри деяких кутів
Кути
в радіанах
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2
3
π 3
4
π 5
6
π
π
3
2
π
2π
Кути
в градусах
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
Одиничне коло. Точки одиничного кола
і дійсні числа
Одиничним (тригонометричним) ко-
лом називається коло радіуса 1 із цен-
тром у початку координат (рис. 1).
Кожному дійсному числу t відповідає ли-
ше одна точка Pt одиничного кола. Числу 0
ставиться у відповідність точка P0 1 0;( ),
а кожному числу t — точка Pt , утворена в ре-
зультаті повороту точки P0 1 0;( ) на кут t нав-
коло початку координат: якщо t 0 , то пово-
рот виконується проти годинникової стрілки;
якщо t 0 — за годинниковою стрілкою.
Кожній точці Pt відповідає нескінчен-
на множина чисел вигляду t n+2π , де n ∈Z
(рис. 2).
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 1
Рис. 2
37. 36
РозділIV
Означення тригонометричних функцій
Косинусом числа t називається абсциса точки Pt одиничного
кола: cost xPt
= (рис. 1).
Синусом числа t називається ордината точки Pt одиничного
кола: sint xPt
= (рис. 2).
Тангенсом числа t називається відношення sint до cost
cost ≠( )0 : tg
sin
cos
t
t
t
= t n n≠ + ∈
π
π
2
, Z .
Вісь тангенсів — пряма x = 1 . Тангенс числа t — ордината
відповідної точки осі тангенсів (рис. 3).
Котангенсом числа t називається відношення cost к sint
sint ≠( )0 : ctg
cos
sin
t
t
t
= t n n≠ ∈( )π , Z .
Вісь котангенсів — пряма y = 1 . Котангенс числа t — абсциса
відповідної точки осі котангенсів (рис. 4).
Рис. 1 Рис. 2
Рис. 3 Рис. 4
Знаки тригонометричних функцій
Знаки синуса Знаки косинуса Знаки тангенса
й котангенса
38. 37
РозділIV
Значення тригонометричних функцій деяких кутів
t, рад 0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2
π
2π
t, град 0 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
Функція
sint 0
1
2
2
2
3
2
1 0 –1 0
cost 1
3
2
2
2
1
2
0 –1 0 1
tgt 0
3
3
1 3 — 0 — 0
ctgt — 3 1
3
3
0 — 0 —
§ 10. Основні тригонометричні формули
Співвідношення між тригонометричними
функціями того самого аргументу
sin cos2 2
1α α+ = , α ∈R ;
tg
sin
cos
α
α
α
= , α
π
π≠ +
2
n , n ∈Z ; ctg
cos
sin
α
α
α
= , α π≠ n , n ∈Z ;
tg ctgα α⋅ = 1, α
π
≠
n
2
, n ∈Z ;
1
12
2
+ =tg
cos
α
α
, α
π
π≠ +
2
n , n ∈Z ;
1
12
2
+ =ctg
sin
α
α
, α π≠ n , n ∈Z .
Формули додавання
sin sin cos cos sinα β α β α β±( )= ± ;
cos cos cos sin sinα β α β α β±( )= ∓ ;
tg
tg tg
tg tg
α β
α β
α β
±( )=
±
1∓
, α
π
π≠ +
2
n, β
π
π≠ +
2
n , α β
π
π± ≠ +
2
n,
n ∈Z ;
ctg
ctg ctg
ctg ctg
α β
α β
α β
±( )=
±
∓1
, α π≠ n , β π≠ n , α β π± ≠ n , n ∈Z .
39. 38
РозділIV
Формули подвійного аргументу
sin sin cos2 2α α α= ; cos cos sin2 2 2
α α α= − ;
tg
tg
tg
2
2
1 2
α
α
α
=
−
, α
π
π≠ +
4
n , α
π
π≠ +
2
n , n ∈Z ;
ctg
ctg
ctg
2
1
2
2
α
α
α
=
−
, α
π
≠
k
2
, n ∈Z .
Формули потрійного аргументу
sin sin sin3 3 4 3
α α α= − ; cos cos cos3 4 33
α α α= − ;
tg
tg tg
tg
3
3
1 3
3
2
α
α α
α
=
−
−
, α
π
≠ +( )6
2 1n , n ∈Z ;
ctg
ctg ctg
ctg
3
3
1 3
3
2
α
α α
α
=
−
−
; α
π
≠
n
3
, n ∈Z .
Формули зниження степеня
sin
cos2 1 2
2
α
α
=
−
; cos
cos2 1 2
2
α
α
=
+
.
Формули перетворення добутку
тригонометричних функцій у суму
sin sin cos cosα β α β α β= −( )− +( )( )1
2
;
cos cos cos cosα β α β α β= −( )+ +( )( )1
2
;
sin cos sin sinα β α β α β= −( )+ +( )( )1
2
.
Формули половинного аргументу
sin
cosα α
2
1
2
= ±
−
; cos
cosα α
2
1
2
= ±
+
;
tg
cos
cos
sin
cos
α α
α
α
α2
1
1 1
= ±
−
+
=
+
, α π π≠ +2 n , n ∈Z ;
tg
cos
sin
α α
α2
1
=
−
, α π≠ n , n ∈Z ;
ctg
cos
cos
sin
cos
α α
α
α
α2
1
1 1
= ±
+
−
=
−
, α π≠ 2 n , n ∈Z ;
ctg
cos
sin
α α
α2
1
=
+
, α π≠ n , n ∈Z .
40. 39
РозділIV
Вираження тригонометричних функцій
через тангенс половинного аргументу
sin
tg
tg
α
α
α
=
+
2
2
1
2
2
, cos
tg
tg
α
α
α
=
−
+
1
2
1
2
2
2
, α π π≠ +2 n , n ∈Z ;
tg
tg
tg
α
α
α
=
−
2
2
1
2
2
, α π π≠ +2 n , α
π
π≠ +
2
k , k ∈Z ;
ctg
tg
tg
α
α
α
=
−1
2
2
2
2
, α
π
≠
n
2
, n ∈Z .
Формули перетворення суми
тригонометричних функцій у добуток
sin sin sin cosα β
α β α β
+ =
+ −
2
2 2
; sin sin sin cosα β
α β α β
− =
− +
2
2 2
;
cos cos cos cosα β
α β α β
+ =
− +
2
2 2
; cos cos sin sinα β
α β α β
− =−
− +
2
2 2
;
tg tg
sin
cos cos
α β
α β
α β
+ =
+( ) , α
π
π≠ +
2
n , n ∈Z ; β
π
π≠ +
2
k , k ∈Z ;
tg tg
sin
cos cos
α β
α β
α β
− =
−( ) , α
π
π≠ +
2
n , n ∈Z ; β
π
π≠ +
2
k , k ∈Z ;
ctg ctg
sin
sin sin
α β
α β
α β
+ =
+( ) , α π≠ n , n ∈Z ; β π≠ k , k ∈Z ;
ctg ctg
sin
sin sin
α β
α β
α β
− = −
−( ) , α π≠ n , n ∈Z , β π≠ k , k ∈Z .
Формули зведення
Функ-
ція
Аргумент t
π
α
2
−
π
α
2
+ π α− π α+
3
2
π
α−
3
2
π
α+ 2π α− 2π α+
sint cosα cosα sinα −sinα −cosα −cosα −sinα sinα
cost sinα −sinα −cosα −cosα −sinα sinα cosα cosα
tgt ctgα −ctgα −tgα tgα ctgα −ctgα −tgα tgα
ctgt tgα −tgα −ctgα ctgα tgα −tgα −ctgα ctgα
41. 40
РозділIV
§ 11. Обернені тригонометричні функції
Арксинус, арккосинус, арктангенс і арккотангенс числа
Арксинусом числа a називається кут (число) t з проміжку
−
π π
2 2
; , синус якого дорівнює a.
Запис arcsina t= означає: t ∈ −
π π
2 2
; і sint a= .
Наприклад, arcsin
2
2 4
=
π
; arcsin
1
2 6
=
π
.
Арккосинусом числа a називається кут (число) t з проміжку
0; π[ ], косинус якого дорівнює a.
Запис arccosa t= означає: t ∈[ ]0; π і cost a= .
Наприклад, arccos
3
2 6
=
π
; arccos1 0= .
Арктангенсом числа a називається кут (число) t з проміжку
−
π π
2 2
; , тангенс якого дорівнює a.
Запис arctga t= означає: t ∈ −
π π
2 2
; і tgt a= .
Наприклад, arctg1
4
=
π
; arctg0 0= .
Арккотангенсом числа a називається кут (число) t з проміж-
ку 0; π( ) , котангенс якого дорівнює a.
Запис arcctga t= означає: t ∈( )0; π і ctgt a= .
Наприклад, arcctg1
4
=
π
; arcctg0
2
=
π
.
arcsina, arccosa, arctga, arcctga називають аркфункціями.
Основні співвідношення для аркфункцій
sin arcsina a( )= , cos arccosa a( )= , a ∈ −[ ]1 1; ;
tg arctga a( )= , ctg arcctga a( )= , a ∈R .
arcsin arcsin−( )= −a a ; arccos arccos−( )= −a aπ ;
arctg arctg−( )= −a a ; arcctg arcctg−( )= −a aπ ;
arcsin sinϕ ϕ( )= , ϕ
π π
∈ −
2 2
; ; arccos cosϕ ϕ( )= , ϕ π∈[ ]0; ;
arctg tgϕ ϕ( )= , ϕ
π π
∈ −
2 2
; ; arcctg ctgϕ ϕ( )= , ϕ π∈( )0; ;
arcsin arccosa a+ =
π
2
, a ∈ −[ ]1 1; ;
arctg arcctga a+ =
π
2
, a ∈R .
42. 41
РозділIV
Значення аркфункцій деяких чисел
Функ-
ція
Аргумент x
1
3
2
2
2
1
2
0 −
1
2
−
2
2
−
3
2
–1
arcsinx
π
2
π
3
π
4
π
6
0 −
π
6
−
π
4
−
π
3
−
π
2
arccosx 0
π
6
π
4
π
3
π
2
2
3
π 3
4
π 5
6
π
π
Функ-
ція
Аргумент x
3 1
1
3
0 −
1
3
–1 − 3
arctgx
π
3
π
4
π
6
0 −
π
6
−
π
4
−
π
3
arcctgx
π
6
π
4
π
3
π
2
2
3
π 3
4
π 5
6
π
Деякі додаткові співвідношення для аркфункцій
arcsin arccos arctg arcctgx x
x
x
x
x
= − =
−
=
−
1
1
12
2
2
,
0 1 x ;
arccos arcsin arctg arcctgx x
x
x
x
x
= − =
−
=
−
1
1
1
2
2
2
,
0 1 x ;
arctg arcctg arcsin arccosx
x
x
x x
= =
+
=
+
1
1
1
12 2
, x ∈R ;
arcctg arctg arcsin arccosx
x
x
x
x
x
= =
+
=
+
1
1 12 2
, x ∈R .
43. 42
РозділIV
§ 12. Властивості тригонометричних
функцій, графіки цих функцій
Функція y x= sin
1. Область визначення — R.
2. Область значень — −[ ]1 1; .
3. Функція непарна.
4. Функція періодична (T = 2π ).
5. Графік функції перетинає
вісь Oy у точці 0 0;( ), а вісь Ox — у точках πk; 0( ), де k ∈Z
(див. рис.).
6. y 0 , якщо x k k∈ +( )2 2π π π; , k ∈Z ;
y 0 , якщо x k k∈ + +( )π π π π2 2 2; , k ∈Z .
7. Функція зростає на проміжках − + +
π
π
π
π
2
2
2
2k k; , k ∈Z,
і спадає на проміжках
π
π
π
π
2
2
3
2
2+ +
k k; , k ∈Z.
8. ymax = 1 у точках x kmax = +
π
π
2
2 , k ∈Z ; ymin = −1 у точках
x kmin = − +
π
π
2
2 , k ∈Z .
Функція y x= cos
1. Область визначення — R.
2. Область значень — −[ ]1 1; .
3. Функція парна.
4. Функція періодична
(T = 2π ).
5. Графік функції перетинає вісь Oy у точці 0 1;( ), вісь Ox —
у точках
π
π
2
0+
k; , k ∈Z (див. рис.).
6. y 0, якщо x k k∈ − + +
π
π
π
π
2
2
2
2; , k ∈Z ;
y 0 , якщо x k k∈ + +
π
π
π
π
2
2
3
2
2; , k ∈Z .
7. Функція зростає на проміжках − +[ ]π π π2 2k k; , k ∈Z ,
і спадає на проміжках 2 2π π πk k; +[ ], k ∈Z .
8. ymax = 1 у точках x kmax = 2π , k ∈Z ;
ymin = −1 у точках x kmin = +π π2 , k ∈Z .
44. 43
РозділIV
Функція y x= tg
1. Область визначення —
x k≠ +
π
π
2
, k ∈Z .
2. Область значень — R.
3. Функція непарна.
4. Функція періодична
з найменшим додатним
періодом π .
5. Графік функції перетинає
вісь Oy у точці 0 0;( ), вісь
Ox — у точках πk; 0( ) ,
k ∈Z (див. рис.).
6. y 0 , якщо x k k∈ +
π
π
π;
2
, k ∈Z ;
y 0 , якщо x k k∈ − +
π
π π
2
; , k ∈Z .
7. Функція зростає на проміжках − + +
π
π
π
π
2 2
k k; , k ∈Z .
8. Найменших і найбільших значень функція не має.
Функція y x= ctg
1. Область визначення —
x k≠ π , k ∈Z .
2. Область значень — R.
3. Функція непарна.
4. Функція періодична з най-
меншим додатним періо-
дом π .
5. Графік функції не перети-
нає осі Oy, а вісь Ox
перетинає в точках
π
π
2
0+
k; , k ∈Z (див. рис.).
6. y 0, якщо x k k∈ +
π
π
π;
2
, k ∈Z ;
y 0 , якщо x k k∈ + +
π
π π π
2
; , k ∈Z .
7. Функція спадає на проміжках π π πk k; +( ), k ∈Z .
8. Найбільших і найменших значень функція не має.
45. 44
РозділIV
Функція y x= arcsin
1. Область визначення — −[ ]1 1; .
2. Область значень — −
π π
2 2
; .
3. Функція непарна.
4. Графік функції перетинає осі координат
у точці 0 0;( ) (див. рис.).
5. Проміжки знакосталості: y 0 , якщо x ∈( ]0 1; ; y 0 , якщо
x ∈ −[ )1 0; .
6. Функція зростає, якщо x ∈ −[ ]1 1; .
7. Функція набуває найбільшого значення ymax =
π
2
у точці
xmax = 1 і найменшого значення ymin = −
π
2
у точці xmin = −1.
Функція y x= arccos
1. Область визначення — −[ ]1 1; .
2. Область значень — 0; π[ ].
3. Функція не є ні парною, ні непарною.
arccos arccos−( )= −x xπ .
4. Графік функції перетинає вісь Oy у точці
0
2
;
π
(див. рис.), a вісь Ox — у точці
1 0;( ).
5. Проміжки знакосталості: y 0 , якщо x ∈ −[ ]1 1; .
6. Функція спадає, якщо x ∈ −[ ]1 1; .
7. Функція набуває найбільшого значення ymax = π у точці
xmax = −1 і найменшого значення ymin = 0 у точці xmin = 1 .
46. 45
РозділIV
Функція y x= arctg
1. Область визначення — R.
2. Область значень —
−
π π
2 2
; .
3. Функція непарна.
4. Графік функції перетинає вісь координат у точці 0 0;( )
(див. рис.).
5. Проміжки знакосталості: y 0 , якщо x ∈ +∞( )0; ; y 0 , якщо
x ∈ −∞( ); 0 .
6. Функція зростає, якщо x ∈R .
7. Найбільших і найменших значень функція не має.
Функція y x= arcctg
1. Область визначення — R.
2. Область значень — 0; π( ) .
3. Функція не є ні парною, ні не-
парною.
arcctg arcctg−( )= −x xπ .
4. Графік функції перетинає вісь Oy у точці 0
2
;
π
(див. рис.),
а осі Ox не перетинає.
5. y 0 , якщо x ∈R .
6. Функція спадає, якщо x ∈R .
7. Найбільших і найменших значень функція не має.
47. 46
РозділV
Розділ V. Рівняння й системи рівнянь
§ 13. Рівняння з однією змінною
Рівняння. Корені рівняння
Рівнянням називається рівність, що містить змінну (невідо-
ме).
Коренем (розв’язком) рівняння з однією змінною називаєть-
ся значення змінної, яке перетворює рівняння в правильну чис-
лову рівність.
Розв’язати рівняння означає знайти його корені або довести,
що їх немає.
Областю допустимих значень (ОДЗ) рівняння називається
множина значень змінної, при яких вирази в обох частинах рів-
няння є визначеними.
Рівносильні рівняння
Два рівняння називаються рівносильними, якщо множини їх-
ніх коренів збігаються.
Теореми про рівносильність рівнянь
1. Якщо до обох частин рівняння додати одне й те саме число або
вираз зі змінною, який не втрачає змісту при будь-яких зна-
ченнях змінної, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.
Наприклад, рівняння x2
9= і x x x2
9+ = + є рівносильними.
2. Якщо з однієї частини рівняння перенести в другу частину до-
данок із протилежним знаком, то дістанемо рівняння, рівно-
сильне даному.
Наприклад, рівняння x x3
1= − і x x3
1 0− + = є рівносильними.
3. Якщообидвічастинирівнянняпомножитиабоподілитинаодне
йтесамечисло,відмінневіднуля,абонавираззізмінною,який
не перетворюється в нуль при будь-яких значеннях змінної
й не втрачає змісту на множині допустимих значень невідо-
мої для даного рівняння, то дістанемо рівняння, рівносильне
даному.
Наприклад, рівняння x x2
= і
x
x
x
x
2
2 2
1 1+
=
+
є рівносильними.
4. Якщо обидві частини рівняння піднести до непарного натураль-
ного степеня, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.
Наприклад, рівняння x + =1 0 і x +( ) =1 0
3
є рівносильними.
