1. Общеизвестно,что знаменитый звёздчатый многоугольник,служивший в школе Пифагора опознавательным знаком и символом здоровья,привлекает возможностью демонстрации золотого сечения. С А В AC CB CB AB Звезда-фигура уникурсальная(её можно начертить одним росчерком). Ранее мы решали задачи,связанные с некоторыми особенностями звездчатого многоугольника.Например:

2. 1)Провести 5 прямых так, чтобы при их пересечении образовались 10треугольников C D F G H P R A B Искомыми треугольниками являются треугольники: BCD,DEF,FGH,HPR,RAB и(что менее очевидно) AEH,AGD,CRG,CFP и EPB. E

3. 2)Рассадить 10 яблонь в 5 рядов так, чтобы в каждом ряду было по 4 яблони. 1 2 7 8 6 10 5 3 4 9

4. Рассмотрим ещё одну особенность звёздчатого многоугольника: ” Сумма углов Звёздчатого многоугольника равна 180 градусам. ” Решим эту задачу несколькими способами, а затем выберем из них наиболее Рациональный, наиболее привлекательный с эстетической точки зрения. В процессе решения будем опираться на следующие известные факты: 1)Теоремы, обратные признакам параллельности прямых. 2)Теорема о сумме внутренних углов треугольника и следствия из неё. 3)Определение выпуклого многоугольника. 4)Теоремы о сумме внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника. Условимся в том, что - сумма углов звезды( α + β + γ + π + ρ = ) ; -сумма внутренних углов пятиугольника BDFHR - сумма внутренних углов треугольника. -сумма внешних углов пятиугольника. 5 3 C D F G H P R A B E α β γ π ρ

5. 1 способ(а) C D F G H P R A B E α β γ π ρ M X N α L π β γ α π Решение 1)MX CG, P ϵ MX. 2)AG ∩ MX=M. 3)PN ║ AE,PN ∩ AG=N. 4)PL ║ AG. 5)CG ║ MX,MG- секущая, поэтому угол AMP= π PL ║ AG,MX- секущая, поэтому угол LPX= π 6)AE ║ PN,MN -секущая, следовательно, угол GNP= α MN ║ PL,PN- секущая, значит, угол NPL= α 7)AE ║ PN,EP- секущая, поэтому угол MPN= γ 8)MX ║ CG,CP- секущая, поэтому угол MPR= β Угол MPX -развёрнутый, значит, угол MPX= 180 Но угол MPX= β + ρ + γ + α + π Итак, α + β + γ + π + ρ =180 . Требуемое доказано. Заметим, что решение основано на применении теорем, обратные признакам параллельности прямых. Было проведено дополнительное построение - четыре прямые: MX,MG,PN,PL. 1 способ(б) Решение, подобное предыдущему, возможно и на таком чертеже: Дополнительные построения: MN ║ CG, XY ║ AE, RZ ║ EP. C D F G H R A B E α β γ π ρ P M N Y X Z

6. 2 способ C D F G H P R A B E α β γ π ρ M π β Решение 1) PM ║ CG,GA∩PM=M. 2)CG║MP,GM- секущая, поэтому ے HMP= ے π . 3)CG║MP,CP- секущая, поэтому ے MPR= ے β . 4) ے MHP- внешний угол треугольника AEH, следовательно, ے MHP= ے α + ے γ . 5) Сумма углов треугольника MPH равна 180 ° ,поэтому ے HMP+ ے MHP+ ے MPH=180°. Итак, ے α + ے β + ے γ + ے π + ے ρ =180 ° ,требуемое доказано. Обратим внимание: в процессе решения проведены 2 прямые( AG и MP) и использована теорема, обратная признаку параллельности прямых, теорема о сумме углов треугольника и свойство внешнего угла треугольника.

7. C D F G H P R A B E α β π ρ 10 γ 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Решение 3 способ Соединим вершины A,C,E,G и P звезды - получим выпуклый Многоугольник ACEGP. =( ے 1+ ے 2)+ β +( ے 3+ 4)+ γ +( ے 5+ ے 6)+ π +( ے 7+ ے 8)+ ρ +( ے 9+ ے 10)+ α , =( α + β + γ + π + ρ )+( ے CBD+ ے EDF+ ے GFH+ ے PHR+ ے ARB), _ = + , = ; =540°-360°, =180°. Итак, требуемое доказано. Доказательство основано на применении теоремы о сумме внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника. Выполнено дополнительное построение. 5 ACEGP ACEGP 5 ACEGP BDFHR 5 ACEGP 5 BDFHR

8. 4 способ A N P C Q D R E M B ρ γ π 10 β 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Решение α Соединим вершины A,B,C,D и E звезды - получим выпуклый многоугольник ABCDE. = α + ے 1+ ے 2+ ے 3+ ے 4. (1). = ρ + β + π + ے 9+ ے 10. (2). = γ + ے 5+ ے 6+ ے 7+ ے 8. (3). Сложим почленно равенства (1),(2) и (3). + + = α + β + γ + π + ρ +( ے 1+ ے 2)+( ے 3+ ے 4)+( ے 5+ ے 6)+( ے 7+ ے 8)+( ے 9+ ے 10) Так как левая часть полученного равенства есть сумма внутренних углов пятиугольника ABCDE( ), а α + β + γ + π + ρ = ,и ( ے 1+ ے 2)+( ے 3+ ے 4)+( ے 5+ ے 6)+( ے 7+ ے 8)+( ے 9+ ے 10)= ے AMN+ ے BNP+ ے CPQ+ ے DQR+ ے ERM= , то = + ,откуда = - , =540 ° -360 ° ,то есть =180 ° , что и требовалось доказать. Решение основано на применении следующих теорем: 1)Теорема о сумме углов треугольника и свойство внешнего угла треугольника. 2)Теорема о сумме внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника. 3 EAB 3 EBD 3 DBC MNPQR 3 EBD 3 DBC 5 ABCDE 5 ABCDE MNPQR 5 ABCDE MNPQR 3 EAB

10. 6 способ Решение C D F G H P R A B E α β γ π ρ 2 1 3 4 5 На основании свойства внешнего угла треугольника можно записать следующие равенства: (1): ے 1= α + ے ABR( из ∆ ABR), (2) : ے 2= β + ے CDB( из ∆BCD), (3): ے 3= γ + ے EFD( из ∆EFD), (4): ے 4= π + ے GHF( из ∆ GHF), (5): ے 5= ρ + ے PRH( из ∆ PRH). Сложим почленно эти равенства: ے 1+ ے 2+ ے 3+ ے 4+ ے 5=( α + β + γ + π + ρ )+( ے ABR+ ے CDB+ ے EFD+ ے GHF+ ے PRH). Иначе, = + ,то есть 540 ° = +360 ° ,откуда =180 ° . Требуемое доказано. BDFHR 5 BDFHR Для решения задачи использованы: теорема о свойстве внешнего угла треугольника и теоремы о сумме внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника.

11. 7 способ Решение C D F G H P R A B E α β γ π ρ 5 4 1 2 3 (1): = α + ے 1+ π , (2): = β + ے 2+ ρ , (3): = γ + ے 3+ α , (4): = π + ے 4+ β , (5): = ρ + ے 5+ γ . Сложим почленно эти равенства. + + + + =( α + β + γ + π + ρ )*2+( ے 1+ ے 2+ ے 3+ ے 4+ ے 5). Перепишем это равенство в виде: 180 ° *5= *2+ ,то есть 900 ° =2* +540 ° ,откуда =180 ° . Требуемое доказано. 3 ADG 3 CFP 3 EHA 3 GRC 3 PBE 3 ADG 3 CFP 3 EHA 3 GRC 3 PBE BDFHR 5 Для ответа на вопрос задачи применялись: теорема о сумме углов треугольника, теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника.

12. 8 способ Решение C D F G H P R A B E α β γ π ρ α + γ β + π 1) ے AHP- внешний угол ∆ AEH ,поэтому ے AHP= α + γ . 2) ے HRP- внешний угол ∆ CGR ,значит ے HRP= β + π . 3) В треугольнике RHP ے R+ ے H+ ے P=180° ,следовательно α + β + γ + π + ρ =180 ° . Требуемое доказано.

13. Подведём итоги демонстрации способов решения задачи. 7 0 2 VIII 8 0 2 VII 8 0 2 VI 8 0 2 V 8 5 4 IV 8 5 3 III 7 2 3 II 7 3 2 I б) 7 4 2 I а) На уровне какого класса решена задача Дополнительное построение (число линий) Число используемых теоретических фактов № способа