ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ по АЛГЕБРЕ
ДИДАКТИЧЕСКИЕ
МАТЕРИАЛЫ
http://matematika.advandcash.biz/proverochnie-raboti-po-algebre/
ПО АЛГЕБРЕ
И
НАЧАЛАМ АНАЛИЗА для 10 класса
стр. 138-150
Презентация к вебинару по построению системы юридически значимого документооборота. Презентация основана на опыте внедрения ряда подсистем в федеральных органах исполнительной власти.Рассмотрены нормативно-правовые акты и реальные показатели назначения системы.
Рассказ о том, как обеспечить юридическую значимость используя продукты в виде сервисов. Рассмотрены примеры использования в банках, крупных корпорациях и органах власти разного уровня.
- Elliptic curves are algebraic structures used in cryptography and defined by cubic equations over finite fields. They form groups where the group operation is point addition.
- A digital signature algorithm can be based on elliptic curves by using the discrete logarithm problem over elliptic curve groups.
- The seminar discusses definitions of groups, elliptic curves, and their use in cryptography including defining the group operation of point addition on elliptic curves and calculating parameters like the group order.
This seminar discusses hash functions and attacks on hash functions. It defines a hash function as a function that maps bit rows into bit rows of a fixed length while meeting certain requirements related to calculating input data from the output and finding collisions. It then discusses different types of hash functions as well as the Merkle-Damgard algorithm. The document provides details on the GOST R 34.11-2012 hash function standard including its initialization process, transformation functions, and iterative constants. Finally, it briefly outlines some common attacks on hash functions such as collision detection attacks and pre-image determination attacks.
Лекция по безопасной разработке приложений защиты информации в РФ. Читается на 4 курсе ФРТК МФТИ. Рассмотрен процесс создания криптографических и технических средств защиты информации.
This document summarizes Seminar #3 on block ciphers. It covers the following topics: applications of block ciphers; Galois fields and operations with polynomials; the Feistel scheme; GOST 28147-89 and its key length, crypto unit size, and number of cycles; AES including its key lengths, crypto unit size, number of cycles, and details of its SubBytes, ShiftRows, MixColumns, and AddRoundKey stages; and encryption algorithms application schemes such as ECB, cipher block chaining, cipher feedback, output feedback, and XTS modes.
This document provides an overview of number theory concepts including modular arithmetic, greatest common divisor (GCD), Fermat's theorem, and Euler's function. It also introduces group, ring, and field theory. Key topics covered include modular arithmetic and properties, prime number detection methods like the Sieve of Eratosthenes and Fermat test, GCD calculation using the Euclidean algorithm, and examples of calculating GCD and modular inverse elements. Finite fields or Galois fields are defined as fields with a finite number of elements.
4. Определение группы
Группой G называется множество элементов a,b,c, обладающее
следующими свойствами:
• Для элементов множества G определена операция двух переменных,
записываемая в виде a┴b=c.
• Замкнутость операции: в результате применения операции к двум
любым элементам группы также получается элемент группы
(замкнутость).
• Для любых трёх элементов группы справедливо (a ┴ b) ┴ c=a ┴ (b ┴
c) (ассоциативность).
• В группе существует нейтральный элемент e, при этом для любого
элемента группы справедливо e ┴ a=a ┴ e=a.
• Каждый элемент a группы G обладает обратным элементом a’, при
этом a’ ┴ a=a ┴ a’=e.
5. Определение группы
•
•
•
•
Если для любых элементов группы G a и b выполняется
коммутативный закон, т.е. справедливо равенство a ┴ b=b ┴ a, то
группа называется абелевой.
Число элементов группы называется порядком группы. В случае
полной системы вычетов GF(p) множество всех ненулевых
элементов группы образует абелеву группу порядка p-1.
Некоторое подмножество группы G называется подгруппой, если оно
удовлетворяет всем свойствам группы.
Конечная группа, которая состоит из степеней одного элемента
1, g, g², g³, … одного из её элементов g, называется циклической
группой. При этом наименьшее целое число m, такое что gm=1,
называется порядком элемента g.
6. Общий вид эллиптической
кривой
• ЭК в общем виде выглядит следующим
образом:
y2 + axy + by = x3 + cx2 + dx + e
• Ограничения в криптографии:
• Кривая не должна иметь особых точек –
самопересечений и точек возврата.
7. Графическое представление
эллиптической кривой
• Эллиптическая кривая E
соответствует уравнению
y²+y=x³–x.
• На этой кривой лежат
только 4 точки, координаты
которых являются целыми
числами:
• A(0,0), B(1,-1), C(1,0) и D(0,1).
8. Операции на группе точек ЭК
Будем считать, что
• На плоскости существует
бесконечно удалённая точка
O, принадлежащая E, в
которой сходятся все
вертикальные прямые.
• Касательная к кривой
пересекает точку касания к P
два раза (касательная PR –
это предельное положение
секущей PM при стремлении
точки M к точке P).
9. Пример сложения
Правило сложения точек P и Q:
1) Проведём прямую линию через
точки P и Q, найдём третью
точку S пересечения этой
прямой с кривой E.
2) Проведём через точку S
вертикальную прямую до
пересечения с кривой E в точке
T;
3) Искомая сумма равна P+Q=T.
10. Пример сложения
Применив это правило к группе
точек G={A,B,C,D,O}, получим:
A+A=B, A+B=C, A+C=D, A+D=0,
2A=B, 3A=C, 4A=D, 5A=O, 6A=A.
Для любых точек P,Q из G
справедливо P+Q=Q+P.
Для любой точки P из G
справедливо P+O=P, иными
словами, точка O – это
аддитивный единичный
элемент группы G.
11. ЭК над конечным полем
В реальных криптосистемах используются
уравнение вида
2
3
3
2
y = x + ax + b, a, b ∈ GF ( p ), 4a + 27b ≠ 0(mod p ), p > 3
P = ( x1 , y1 ), Q = ( x2 , y2 )
Пусть
x3 = λ 2 − x1 − x2 ;
y3 = λ ( x1 − x3 ) − y1 ;
где
P + Q = ( x3 , y3 ),
y2 − y1
x − x , если P ≠ Q;
2 1
λ= 2
3 x1 + a , если P = Q.
2 y1
тогда
12. Параметры кривой
• Порядок эллиптической кривой -порядок
группы точек эллиптической кривой
(число различных точек на Ɛ, включая
точку O)
• Для эллиптической кривой Ɛ заданной
над простым полем Fp, порядок m
группы точек данной кривой зависит от
размера поля, определяемого простым
числом p, и удовлетворяет неравенству:
p+1-2√p≤m≤p+1+2√p
13. Параметры кривой
• Каждая точка P эллиптической кривой над простым
полем Ɛ(Fp)образует циклическую подгруппу
Gгруппы точек эллиптической кривой
• Порядок циклической подгруппы группы точек
эллиптической кривой (число точек в подгруппе)
называется порядком точки эллиптической кривой
• Точка P на Ɛ F(p) называется точкой порядка q, если:
qP=O
• где q–наименьшее натуральное число, при котором
выполняется данное условие
14. Нахождение генератора
группы и групп точек ЭК
• Алгоритм Шуфа
• Алгоритм Шуф-Еткис-Аткин
• Количество элементов группы φ(m), где
m – модуль кривой.