1. Республиканский конкурс учебных и социальных проектов
учащихся (кадетов) кадетских школ и кадетских классов
Симметрия в задачах с параметрами
Васильева Анастасия
11класс.
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
« Октябрьская средняя общеобразовательная школа»
Мариинско-Посадского района Чувашской Республики.
Научный руководитель:
Яковлева Галина Васильевна,
учитель математики
МБОУ «Октябрьская СОШ»
Мариинско-Посадского района
Чувашской Республики.
С.Октябрьское, 2012 г.

2. Каждый момент жизни требует от человека размышления,
анализа возникших обстоятельств. Изучение физических, химических,
экономических и многих других закономерностей часто приводит к
решению задач, зависящих от многих параметров. Не случайно,
ежегодно задачи с параметрами включаются в задания ЕГЭ.
Задачи с параметрами являются одними из наиболее трудных в
математике. Трудности связаны с обилием формул и методов,
используемых при их решении. Практически каждая задача решается
своим особым способом, требует исследования и подбора наиболее
подходящего метода.
При решении задач с параметрами необходимо выяснить, при
каких значениях параметра они имеют решение, и найти все эти
решения. В том случае, когда хотя бы одно из допустимых значений
параметра не исследовано, задание не считается полностью
решенным. Как правило, немногие школьники могут справиться с
ними. Прежде чем приступить к решению подобных задач, учащийся
должен в совершенстве владеть общим курсом математики.

3. Исследовать
1)способы подбора путей решения задач с параметрами
2) целесообразность применения метода симметрии для решения .
Задачи исследования
 1)Убедиться в возможности нахождения эффективных путей решения
задач с параметрами.
 2) Развить умение анализировать содержание заданий для нахождения
подходящего способа их решения.
 3)Овладеть техникой решения задач с параметрами , используя метод
симметрии.

4. Симметрия.
Подходы:
1)наличие в условии требования
найти единственное решение;
2)в задании видна
четность функций,
симметричность неизвестных.
Известно, если область определения функции f(x) симметрична относительно
точки x=0 и f(−x) = f(x), то функция f(x)-чётная, Пусть при решении задачи функция
f(x) оказалась чётной. Тогда если x0 является решением задачи, то и (−х0)— решение
задачи поскольку f(x0)=f(−x0).
Следовательно,
1)необходимым условием единственности решения является, чтобы х=0 было
решением задачи,
2) достаточным условием, чтобы решений ,кроме x=0, больше не было.
Действия:
Решая задачу, мы сначала будем:1) находить возможные значения параметров из
условия х=0,т. е. из необходимого условия единственности; 2) для найденных значений
параметров будем проверять, что других решений (кроме x=0) нет, т. е. проверять
достаточное условие единственности.
При решении уравнений вида f(x, y)=0, если выполняется симметрия f(x, y) =f(y, x), то
наряду с решением (x0; y0) пара (y0; x0) тоже будет решением. Необходимым условием
единственности в этом случае является х=у

6. Задача .При каких значениях параметра а уравнение
имеет единственное решение?
x 2 − 2a sin ( cos x ) + a 2 = 0
 Решение. Относительно переменной х левая часть уравнения представляет
четную функцию, единственным корнем может быть только х=0.Подставим
х0=0 в уравнение, получим уравнение относительно а
−2a sin 1 +a 2 =0
a = 0,
a ( − 2 sin 1 + a ) = 0 ⇔ 
a = 2 sin 1
При а=0 и при а = 2 sin 1 исходное уравнение примет вид х 2 = 0 и
x 2 = 4 sin 1sin ( cos x ) − 4 sin 2 1
соответственно и имеет
единственный корень х=0
Ответ. При a = 0
а = 2 sin 1

7. Задача. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
.
система неравенств имеет единственное решение.
y ≥ x 2 + 2a,


x ≥ y 2 + 2a

Решение. Пусть ( x0 ; y 0 ) -решение системы неравенств, то
ввиду симметрии ( y 0 ; х0 ) тоже решение. Следовательно,
необходимым условием единственности является х=у.
Подставим в одно из неравенств х − х + 2а ≤ 0
2
Полученное неравенство имеет единственное решение, если
дискриминант равен нулю: D = 1 − 8a , 1 − 8a = 0, a = 1 ,
82
 1 2
1
a= , 
y ≥x + ,
2
 1  1
8


4 х−  +  у−  ≤ 0
x ≥ y 2 + 1  2  2

 4
1
Ответ. При a = , x = y = 1 -единственное решение
8 2

9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате проведенного исследования, я пришла к
выводу, что, действительно:
1).Задачи с параметрами- по сути тест на проверку
уровня математической культуры, на ее присутствие
или отсутствие.
2).Решения задач требуют учета применимости
выбранного метода к данной задаче в зависимости от
свойств функций, формул, входящих в условие.
3).Решение каждой задачи с параметром- это особая
исследовательская работа, в результате которой
расширяется круг практического приложения знаний
школьного курса математики.
4).Метод симметрии–один из многих
оригинальных путей решения задач с параметрами
различного уровня сложности

10. Литература
1.Пак Г.К. Задачи с параметрами. Серия : математика для
абитуриента. Сам себе репетитор. Учеб.пособие, Владивосток.
Изд. –во Дальневосточного университета, 2000,- 16с.
2.Козко А.Н., Чирский В.Г. Задачи с параметрами и другие
сложные задачи. –М. МЦНМО, 2007,-296с.
3.Крамор В.С. Задачи с параметрами и методы их решения.-
М.: ООО «Изд.-во Оникс» , : ООО «Изд.-во «Мир и
образование», 2007.-416с.:-(Школьный курс математики)
4.Евсюк С.Л. Математика: Учебное пособие. –Мн.: Книжный
дом, 2006.- 556с. (репетитор)
5.Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика. Пособие для
поступающих в вузы : учеб. пособие.-М. : Дрофа, 2010.-653с.