Презентация подробно освещает теорию решения различных видов рациональных уравнений, включая уравнения 3-й и 4-й степеней, но не охватывает линейные и квадратные уравнения. Каждый тип уравнения сопровождается rozwiązania, что делает материал полезным для уроков алгебры и углубленного изучения математики. Она также содержит различные примеры применения теоремы Безу и методы решения уравнений.

1. Вишняков А.Ю.Вишняков А.Ю.
Prezentacii.comPrezentacii.com

2. В данной презентации достаточно полноВ данной презентации достаточно полно
изложена теория решения различных видовизложена теория решения различных видов
рациональных уравнений,рациональных уравнений,
за исключением линейных и квадратныхза исключением линейных и квадратных
уравнений, а также общей теорииуравнений, а также общей теории
решения уравнений 3-й и 4-й степеней.решения уравнений 3-й и 4-й степеней.
Нет здесь и примеров, решаемыхНет здесь и примеров, решаемых
с помощью теоремы Безу.с помощью теоремы Безу.
Каждый вид уравнения сопровождаетсяКаждый вид уравнения сопровождается
решением соответствующего примера.решением соответствующего примера.
Данные материалы могут быть использованыДанные материалы могут быть использованы
частично на уроках алгебрычастично на уроках алгебры
в обычных классах,в обычных классах,
но в большей мере пригодятсяно в большей мере пригодятся
для изучения этой темыдля изучения этой темы
в классах с углубленным изучениемв классах с углубленным изучением
математики.математики.

3. Рациональные
уравнения
Целые Дробные
Способ подстановки возвратные
распадающиесяраспадающиеся биквадратные
((xx ++ aa))44
+ (+ (xx ++ bb))44
== cc
симметричные
3-го и 4-го порядка
((xx ++ aa)()(xx ++ bb)()(xx ++ cc)()(xx ++ dd) =) = mmОднородное 2-го порядка
endend

4. Рациональные
уравнения
Целые Дробные
Сумма двух и более
дробей
2 2
,( 0)
px qx
r r
ax bx c ax dx c
+ = ≠
+ + + +
( )
0
( )
P x
Q x
=
( ) ( )
0
( ) ( )
P x Q x
а b c
Q x P x
+ + =
endend

5. Способ подстановкиСпособ подстановки
 При решении некоторых целых рациональныхПри решении некоторых целых рациональных
уравнений есть смысл ввести новуюуравнений есть смысл ввести новую
переменную величину, обозначив некотороепеременную величину, обозначив некоторое
рациональное выражение новой буквой.рациональное выражение новой буквой.
 Например, в уравнении ,Например, в уравнении ,
гдегде Р(х)Р(х) –– многочлен, удобно ввести новуюмногочлен, удобно ввести новую
переменнуюпеременную y=y=Р(х)Р(х),, решить полученноерешить полученное
квадратное уравнениеквадратное уравнение
относительноотносительно yy и, наконец, решитьи, наконец, решить
уравнениеуравнение Р(х)=Р(х)= yyоо,, гдегде yyоо –– коренькорень
уравненияуравнения
0)(х)(2
=+⋅+⋅ cPbxPa
Обратно
в меню
Пример
02
=++ cbyay
02
=++ cbyay

6. ПримерПример
 Решите уравнениеРешите уравнение
 РешениеРешение.. Введем новую переменную. ПустьВведем новую переменную. Пусть
Тогда получим уравнениеТогда получим уравнение
Находим кореньНаходим корень у = 1у = 1 и делаем обратнуюи делаем обратную
подстановку.подстановку.
Ответ: 2; 3.Ответ: 2; 3.
.1)65(2)75( 222
=+−−+− хххх
yxx =+− 752
Обратно
в меню
.1)1(22
=−− yy



=
=
⇔=+−⇔=+−
.3
,2
065175 22
x
x
xxxx

7. Распадающееся уравнениеРаспадающееся уравнение
 Рациональное уравнение называетсяРациональное уравнение называется
распадающимся, если его можно привести краспадающимся, если его можно привести к
виду , где –виду , где –
рациональные выражения с переменнойрациональные выражения с переменной х.х.
 Для решения воспользуемся равносильнымДля решения воспользуемся равносильным
переходомпереходом
 Применяемые приемы разложения на множители:Применяемые приемы разложения на множители:
- вынесение общего множителя за скобки;- вынесение общего множителя за скобки;
- способ группировки;- способ группировки;
-формулы сокращенного умножения.-формулы сокращенного умножения.
0)(х)( =⋅QxP )(х),( QxP



=
=
⇔=⋅
.0)(х
,0)(
0)(х)(
Q
xP
QxP
Обратно
в меню
Пример

8. ПримерПример
 Решите уравнениеРешите уравнение
 РешениеРешение.. Разложим левую часть уравненияРазложим левую часть уравнения
на множители:на множители:
Воспользуемся равносильным переходом:Воспользуемся равносильным переходом:
Ответ:-2;0;1;2.Ответ:-2;0;1;2.
.044 234
=+−− хххх
⇔=+−−⇔=−−⇔
⇔=−−−⇔=−−−
.0)2)(2)(1(,0)4)(1(
,0)1(4)1(,0)44()(
2
3234
ххххххх
хххххххх






−=
=
=
=
⇔






=+
=−
=−
=
⇔
.2
,2
,1
,0
,02
,02
,01
,0
х
х
х
x
х
х
х
x
Обратно
в меню

9. Однородное уравнение 2-го порядкаОднородное уравнение 2-го порядка
 При решении уравнения надо проверить две ситуации:
1) т.е. корнями заданного уравнения
являются решения этой системы.
2) Если Q(x) ≠ 0, то после деления заданного уравнения на
Q2
(x) получим уравнение
которое подстановкой сводится
к квадратному уравнению
В ответ включают числа, полученные
при рассмотрении обеих ситуаций.
2
( ) ( )
0,
( ) ( )
P x P x
а b c
Q x Q x
 
+ + = ÷
 
Обратно
в меню
Пример
( )
( )
P x
t
Q x
=
2
0аt bt c+ + =
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0аP x bP x Q x cQ x+ + =



=
=
.0)(х
,0)(
Q
xP

10. ПримерПример
 Решить уравнениеРешить уравнение
(x2
– 2х)2
– (x2
– 2х)(x2
– х – 2) – 2(x2
– х – 2)2
= 0.
 Решение.Решение. Возможны две ситуации.Возможны две ситуации.
 Рассмотрим первую:Рассмотрим первую:
Обратно
в меню
2
2
0,
2,2 0,
2.
1,2 0,
2,
x
xx x
x
xx x
x
 =
 = − = 
⇒ ⇒ = 
= −− − =  
 =
Найден первый корень уравненияНайден первый корень уравнения х=2.х=2.

11. Продолжение решенияПродолжение решения
 Рассмотрим вторую ситуацию: разделим почленно заданное
уравнение на (x2
– х – 2)2
при условии, что х ≠ -1 и х ≠ 2.
Уравнение принимает вид
Обозначим и решим квадратное
уравнение t2
– t –2 = 0. Получаем t1= -1, t2= 2.
Обратная подстановка дает уравнения
откуда х = -0,5 и х = -2.
С учетом обеих ситуаций получаем
ответ: - 0,5; -2; 2.
22 2
2 2
2 2
2 0.
2 2
x x x x
x x x x
 − −
− − = ÷
− − − − 
Обратно
в меню
2
2
2
2 1
x x x
t
x x x
−
= =
− − +
1, 2,
1 1
x x
x x
= − =
+ +

12. Биквадратное уравнениеБиквадратное уравнение
 Уравнение имеет видУравнение имеет вид
aх4
+bх2
+c=0..
 Сделаем подстановкуСделаем подстановку x2
= t. Значит,. Значит, x4
= t2
.
Получаем квадратное уравнениеПолучаем квадратное уравнение
at2
+bt+c=0.
Находим значения t и, сделав обратную подстановку,
находим корни исходного уравнения.
Замечание.
При решении биквадратного уравнения можно
получить от 1 до 4-х корней или же это
уравнение может совсем не иметь корней.
Обратно
в меню
Пример

13. ПримерПример
 Решите уравнение х4
–3х2
–4=0.
 Решение.Решение.
Сделаем подстановку x2
= t. Получаем
квадратное уравнение
t2
–3t–4=0,
корни которого t = -1 и t = 4.
Обратная замена дает два уравнения
x2
= -1 и x2
= 4, из которых первое
уравнение не имеет корней, а корни
второго уравнения -2 и 2.
Ответ: -2; 2.Обратно
в меню

14. Симметричное уравнениеСимметричное уравнение
3-го порядка3-го порядка
 Уравнение имеет видУравнение имеет вид
ах3
+bх2
+bх+а=0.
 Сгруппируем слагаемые: а(х3
+1)+bх(х+1)=0.
Применим формулу суммы кубов
а(х+1)(х2
–х+1)+bх(х+1)=0
и выполним разложение на множители
(х+1)(ах2
+(b - а)х+а)=0.
Получили распадающееся уравнение. Значит,
х+1=0 или ах2
+(b - а)х+а=0.
Решив эти два уравнения, найдем корни
исходного уравнения.Обратно
в меню
Пример

15. ПримерПример
 Решите уравнение 2х3
–3х2
– 3х +2=0.
 Решение.Решение. Сгруппируем слагаемые парами и в каждой
паре вынесем общий множитель за скобки:
2(х3
+1)–3х(х+1)=0.
Применим формулу суммы кубов и вынесем общий
множитель (х+1):
2(х+1)(х2
–х+1)– 3х(х+1)=0,
(х+1)(2х2
–5х+2)=0.
Значит,
х+1=0 или 2х2
–5х+2=0.
Решив эти два уравнения, найдем корни
исходного уравнения: -1; 0,5; 2.
Обратно
в меню

16. Симметричное уравнениеСимметричное уравнение
4-го порядка4-го порядка
 Уравнение имеет видУравнение имеет вид
ах4
+bх3
+сх2
+bх+а=0.
 Сгруппируем слагаемые и разделим обе части уравненияСгруппируем слагаемые и разделим обе части уравнения
нана хх22
. Получаем. Получаем
Сделаем подстановкуСделаем подстановку ,, тогдатогда
Получаем квадратное уравнениеПолучаем квадратное уравнение
a(ta(t22
-2)+bt+c=0-2)+bt+c=0..
0
11
2
2
=+





++





+ c
х
хb
х
хa
t
х
х =+
1
2
1 2
2
2
−=+ t
х
х
Обратно
в меню
Пример

17. ПримерПример
 Решите уравнениеРешите уравнение
 Решение.Решение. Разделим обе части уравнения наРазделим обе части уравнения на xx22
≠ 0 и, удобно≠ 0 и, удобно
группируя, получим равносильное уравнение:группируя, получим равносильное уравнение:
Сделаем подстановку , тогда
Получаем квадратное уравнение , корни
которого 2 и -3,5.
Обратная подстановка дает два рациональных
уравнения и
откуда и находим корни исходного уравнения.
Ответ: 1;
t
х
х =+
1
4 3 2
2 3 10 3 2 0.x x x x+ − + + =
2
2
1 1
2 3 10 0.x x
x x
   
+ + + − = ÷  ÷
   
.2
1 2
2
2
−=+ t
х
х
2
2 3 14 0t t+ − =
1
2x
x
+ =
1 7
,
2
x
x
+ = −
7 33
.
4
− ±
Обратно
в меню

18. Возвратное уравнениеВозвратное уравнение
 Уравнение видаУравнение вида
axax44
++ bxbx33
++ cxcx22
++ dxdx ++ ee = 0= 0,,
гдегде aa ≠ 0,≠ 0, bb ≠ 0≠ 0 и ,и ,
называется возвратным уравнениемназывается возвратным уравнением
четвертого порядка.четвертого порядка.
Это уравнение сводится к квадратному сЭто уравнение сводится к квадратному с
помощью подстановкипомощью подстановки
2






=
b
d
a
e
bx
d
xt +=
Обратно
в меню
Пример

19. ПримерПример
 Решить уравнениеРешить уравнение
xx44
++ xx33
- 6- 6xx22
- 2- 2xx + 4 = 0.+ 4 = 0.
 Решение.Решение. Заметим, что и, следовательно, данноеЗаметим, что и, следовательно, данное
уравнение есть возвратное уравнение четвертого порядка.уравнение есть возвратное уравнение четвертого порядка.
Так какТак как xx = 0 не является решением уравнения, разделим на= 0 не является решением уравнения, разделим на xx22
ии
получим равносильное уравнениеполучим равносильное уравнение
Обозначим , тогдаОбозначим , тогда
и уравнение примет види уравнение примет вид tt22
++ tt - 2 = 0, корни которого- 2 = 0, корни которого tt11 = -2 и= -2 и tt22 = 1.= 1.
Делаем обратную замену и после умножения наДелаем обратную замену и после умножения на xx ≠ 0≠ 0
получаем два квадратных уравненияполучаем два квадратных уравнения
xx22
+ 2+ 2xx - 2 = 0,- 2 = 0, xx22
-- xx - 2 = 0,- 2 = 0,
откуда и получим корни исходного уравнения.откуда и получим корни исходного уравнения.
Ответ:Ответ:
2
4 2
1 1
−   
= ÷  ÷
   
2
2
4 2
6 0.x x
x x
+ + − − =
2
t x
x
= − 2 2
2
4
4,x t
x
+ = +
1 3; 1;2.− ± −
Обратно
в меню

20. Уравнения видаУравнения вида
((xx ++ aa)()(xx ++ bb)()(xx ++ cc)()(xx ++ dd) =) = mm
 ЕслиЕсли aa ++ bb == cc ++ dd , то это уравнение сводится к, то это уравнение сводится к
квадратному уравнению. Действительно,квадратному уравнению. Действительно,
((xx ++ aa)()(xx ++ bb) =) = xx22
+ (+ (aa ++ bb))xx ++ abab
((xx ++ cc)()(xx ++ dd) =) = xx22
+ (+ (cc ++ dd))xx ++ cdcd ==
== xx22
+ (+ (aa ++ bb))xx ++ cdcd
 ОбозначивОбозначив xx22
+ (+ (aa ++ bb))xx == t,t, получим квадратноеполучим квадратное
уравнениеуравнение
((tt ++ abab)()(tt ++ cdcd) =) = mm
Из этого уравнения найдем значенияИз этого уравнения найдем значения tt и,и,
сделав обратную подстановку, закончимсделав обратную подстановку, закончим
решение исходного уравнения.решение исходного уравнения.
Обратно
в меню
Пример

21. ПримерПример
 Решить уравнениеРешить уравнение
((xx - 2)(- 2)(xx + 1)(+ 1)(xx + 4)(+ 4)(xx + 7) = 19.+ 7) = 19.
 Решение.Решение. Заметим, что -2 + 7 = 1 + 4. Удобно группируя,Заметим, что -2 + 7 = 1 + 4. Удобно группируя,
получимполучим
[([(xx - 2)(- 2)(xx + 7)]·[(+ 7)]·[(xx + 1)(+ 1)(xx + 4)] = 19+ 4)] = 19
илиили
((xx22
+ 5+ 5xx – 14 )(– 14 )(xx22
+ 5+ 5xx + 4) = 19.+ 4) = 19.
ОбозначимОбозначим tt == xx22
+ 5+ 5xx - 14, тогда- 14, тогда xx22
+ 5+ 5xx + 4 =+ 4 = tt + 18.+ 18.
Уравнение примет видУравнение примет вид
tt((tt + 18) = 19 или+ 18) = 19 или tt22
+ 18+ 18tt - 19 = 0,- 19 = 0,
откудаоткуда tt = -19 и= -19 и tt = 1.= 1.
Сделав обратную подстановку, получимСделав обратную подстановку, получим
xx22
+ 5+ 5xx - 14 = -19 и- 14 = -19 и xx22
+ 5+ 5xx - 14 = 1.- 14 = 1.
ОкончательныйОкончательный ответответ::
5 5 5 85
; .
2 2
− ± − ±
Обратно
в меню

22. Уравнение видаУравнение вида
((xx ++ aa))44
+ (+ (xx ++ bb))44
== cc
 Используя подстановку , уравнениеИспользуя подстановку , уравнение
можно свести к биквадратному уравнениюможно свести к биквадратному уравнению
относительноотносительно tt..
Действительно, подставив в уравнениеДействительно, подставив в уравнение ,, получимполучим
Обозначим и возведемОбозначим и возведем
каждое слагаемое в 4-ю степень. После приведениякаждое слагаемое в 4-ю степень. После приведения
подобных получим биквадратное уравнениеподобных получим биквадратное уравнение
2
ba
xt
+
+=
2
ba
tx
+
−=
.
22
44
c
ba
t
ba
t =




 −
−+




 −
+ m
ba
=
−
2
.0)2(122 4224
=−++ cmtmtОбратно
в меню
Пример

23. ПримерПример
 Решить уравнениеРешить уравнение
((xx + 3)+ 3)44
+ (+ (xx - 1)- 1)44
= 82.= 82.
 Решение.Решение. Сделаем подстановкуСделаем подстановку
Получим следующее уравнение относительноПолучим следующее уравнение относительно tt::
((tt + 2)+ 2)44
+ (+ (tt - 2)- 2)44
= 82= 82
илиили
tt44
+ 8+ 8tt33
+ 24+ 24tt22
+ 32+ 32tt + 16 ++ 16 + tt44
- 8- 8tt33
+ 24+ 24tt22
- 32- 32tt + 16 - 82 = 0.+ 16 - 82 = 0.
Откуда получим биквадратное уравнениеОткуда получим биквадратное уравнение
tt44
+ 24+ 24tt22
- 25 = 0,- 25 = 0,
корни которогокорни которого tt = ± 1.= ± 1.
Следовательно,Следовательно, xx + 1 = ± 1.+ 1 = ± 1.
Значит, корни исходного уравненияЗначит, корни исходного уравнения
xx = -2 и= -2 и xx = 0.= 0.
Ответ: -2;0.Ответ: -2;0.
3 ( 1)
1
2
t x x
+ −
= + = +
Обратно
в меню

24. Уравнение видаУравнение вида
Решить уравнение Р(х) = 0.
Для каждого корня уравнения Р(х) = 0
сделать проверку: удовлетворяет ли он
условию Q(х) ≠ 0 или нет. Если да, то
это — корень заданного уравнения,
а если нет, то этот корень является
посторонний для заданного уравнения
и в ответ его включать не следует.
( )
0
( )
P x
Q x
=
Обратно
в меню
Пример

25. ПримерПример
 Решите уравнениеРешите уравнение
 Решение.Решение.
Приравняем числитель дроби к нулю и решим
полученное уравнение:
Значение х = 2 не удовлетворяет условию
Следовательно, уравнение имеет один
корень х= 4.
Ответ: 4.Ответ: 4.
2 2,
6 8 0,
4.
x
x x
x
=
− + = ⇒  =
2
2
6 8
0.
2
x x
x x
− +
=
−
Обратно
в меню
2
2 0.x x− ≠

26. Уравнение видаУравнение вида
 Подстановкой это уравнение
сводится к виду
 Умножим на и решим полученное квадратное
уравнение относительно t.
Остается сделать обратную подстановку
где tо - корень квадратного уравнения,
и решить полученное уравнение
относительно х.
( ) ( )
0
( ) ( )
P x Q x
а b c
Q x P x
+ + =
Обратно
в меню
Пример
( )
( )
P x
t
Q x
=
1
0аt b c
t
+ + =
0t ≠
0
( )
,
( )
P x
t
Q x
=

27. Уравнение видаУравнение вида
 Подстановкой это уравнение
сводится к виду
 Умножим на и решим полученное квадратное
уравнение относительно t.
Остается сделать обратную подстановку
где tо - корень квадратного уравнения,
и решить полученное уравнение
относительно х.
( ) ( )
0
( ) ( )
P x Q x
а b c
Q x P x
+ + =
Обратно
в меню
Пример
( )
( )
P x
t
Q x
=
1
0аt b c
t
+ + =
0t ≠
0
( )
,
( )
P x
t
Q x
=

28. ПримерПример
 Решите уравнениеРешите уравнение
 Решение.Решение.
Сделаем подстановку и решим полученное
уравнение относительно t :
Обратная подстановка приводит к уравнению
корень которого х = -1.
Ответ: -1.Ответ: -1.
21
2, 2 1 0, 1.t t t t
t
+ = ⇒ − + = ⇒ =
2 1
2.
2 1
x x
x x
+
+ =
+
Обратно
в меню
2 1
x
t
x
=
+
1,
2 1
x
x
=
+

29. Уравнения, состоящие из суммыУравнения, состоящие из суммы
двух и более дробейдвух и более дробей
1-й способ1-й способ
 Перенести все члены уравнения
в одну часть.
 Привести уравнение к виду и найти
корни полученного уравнения.
2-й способ2-й способ
 Определить О.Д.З. уравнения.
 Умножить обе части уравнения на общий знаменатель
дробей и получить целое уравнение.
 Найти корни полученного уравнения и проверить их
соответствие О.Д.З.
0
)(х
)(
=
Q
xP
Обратно
в меню
Пример

30. ПримерПример
 Решите уравнениеРешите уравнение
 Решение.Решение. Найдём О.Д.З. Знаменатели дробей не могут
обращаться в нуль . Значит, О.Д.З. уравнения: х ≠ 2 и х ≠ 0.
Перенесём члены из правой части уравнения в левую и
приведём к общему знаменателю.
.
Приравняем числитель дроби к нулю: х2
– 6х + 8 = 0.
Находим корни квадратного уравнения: х = 4 и х = 2.
Значение х = 2 не удовлетворяет О.Д.З.
Следовательно, уравнение имеет один корень х= 4.
Ответ: 4.Ответ: 4.
( )
2 1 4
2 2 2x x x
+ =
− −
( )
( ) ( )
2
2 2 2 4 2 6 8
0 0.
2 2 2 2
x x x х х
x x x x
× + − − × − + −
= ⇔ =
− −
Обратно
в меню

31. Уравнения видаУравнения вида
Данное уравнение сводится кДанное уравнение сводится к
квадратному уравнению заменойквадратному уравнению заменой
переменнойпеременной
2 2
,( 0)
px qx
r r
ax bx c ax dx c
+ = ≠
+ + + +
c
t ax
x
= +
Обратно
в меню
Пример

32. ПримерПример
 Решить уравнениеРешить уравнение
 Решение.Решение. О.Д.З. уравнения есть множество
Поскольку x = 0 не является решением данного уравнения,
перепишем уравнение в виде
(разделим числитель и знаменатель каждой дроби на x).
Обозначим и уравнение примет вид
2 2
2 13
6.
2 5 3 2 3
х х
х х х х
+ =
− + + +
1
1;1 .
2
R
 
 
 
2 13
6
3 3
2 5 2 1х х
x x
+ =
− + + +
3
2t x
x
= +
2 13
6.
5 1t t
+ =
− +
Обратно
в меню

33. Продолжение решенияПродолжение решения
О.Д.З. полученного уравнения t ≠ 5 и t ≠ -1.
Решая это уравнение, приходим к квадратному
уравнению
2t2
- 13t + 11 = 0,
корни которого t1 = 1 и t2 = 11/2 удовлетворяют О.Д.З..
Делаем обратную подстановку и получаем два
рациональных уравнения
решив которые находим корни заданного
уравнения.
Ответ:
3
2 1,x
x
+ =
3 11
2 ,
2
x
x
+ =
3
;2.
4
Обратно
в меню

34. ЛитератураЛитература
 Алгебра и математический анализ, 10Алгебра и математический анализ, 10
Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов,Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов,
С.И. ШварцбурдС.И. Шварцбурд
 Алгебра и начала анализа. 8 – 11 кл. ПособиеАлгебра и начала анализа. 8 – 11 кл. Пособие
для школ и классов с углубл. изучениемдля школ и классов с углубл. изучением
математики (серия «Дидактическиематематики (серия «Дидактические
материалы»)материалы»)
Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В.Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В.