Здесь рассмотрены дополнительные задачи по теории вероятностей из прототипов открытого банка ЕГЭ ФИПИ.

1. {ГБОУ школа №1381(СП762) г. Москва 2015
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В ЗАДАЧАХ ЕГЭ И ГИА
Часть 2

2. {

3. {
№1.
На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9.
Какова вероятность того, что случайно
нажатая цифра будет меньше 4?

4. Решение:
1)Рассмотрим возможные исходы
при нажатии на клавиши с цифрами:
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9.
Всего исходов 10. (N=10)
2) Выделим среди исходов те,
в которых случайно нажатая цифра будет
меньше 4: 0;1;2;3.
Благоприятствующих исходов ровно 4. [N(A)=4]
3)Подставим эти значения в формулу, получим:
Р =
𝟒
𝟏𝟎
= 𝟎, 𝟒

5. №2.
В группе туристов 32 человек. Их
вертолётом в несколько приёмов
забрасывают в труднодоступный район
по 4 человека за рейс. Порядок, в
котором вертолёт перевозит
туристов, случаен. Найдите вероятность
того, что турист П. полетит первым
рейсом вертолёта.

6. Решение:
1)Найдём количество возможных исходов
𝟑𝟐: 𝟒 = 𝟖
Всего исходов 8. (N=8)
2)Благоприятствующий исход( турист
попал на первый рейс) ровно 1. [N(A)=1]
3)Подставим эти значения в формулу,
получим:
Р =
𝟏
𝟖
= 𝟎, 𝟏𝟐𝟓

7. №3.
В группе туристов 6 человек. С
помощью жребия они выбирают
трёх человек, которые должны
идти в село за продуктами. Турист
К. хотел бы сходить в магазин, но
он подчиняется жребию. Какова
вероятность того, что К.
пойдёт в магазин?

8. Решение:
1)Найдём количество возможных исходов
выбора трёх человек из шести:
𝑪 𝒌
𝒏
=
𝒌!
𝒏! 𝒌 − 𝒏 !
𝑪 𝟔
𝟑
=
𝟔!
𝟑! 𝟔 − 𝟑 !
= 𝟐𝟎
Всего исходов 20. (N=20)
2)Благоприятствующих исходов( турист К пошёл
в магазин) ровно 𝑪 𝟓
𝟐
=
𝟓!
𝟐! 𝟓−𝟐 !
= 𝟏𝟎 . [N(A)=10]
3)Подставим эти значения в формулу, получим:
Р =
𝟏𝟎
𝟐𝟎
= 𝟎, 𝟓

9. №4.
В классе 33 учащихся, среди них
двое друзей — Анна и Михаил. Класс
случайным образом разбивают на 3
равные группы. Найдите вероятность
того, что Анна и Михаил окажутся в
одной группе.

10. Решение:
1) Если Анна уже заняла место в группе, то для
Михаила осталось 33-1=32 места.
Всего исходов 32. (N=32)
При этом в каждой группе 33:3=11 учеников.
2)Благоприятствующих исходов( Михаил попал в
группу с Анной) ровно
𝟏𝟏 − 𝟏 = 𝟏𝟎 (ведь одно место уже заняла Анна ).
[N(A)=10]
3)Подставим эти значения в формулу, получим:
Р =
𝟏𝟎
𝟑𝟐
= 𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓

11. №5.
Ковбой Джон попадает в муху на стене с
вероятностью 0,8, если стреляет из
пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет
из не пристрелянного револьвера, то он попадает
в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10
револьверов, из них только 2 пристрелянные.
Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу
хватает первый попавшийся револьвер и
стреляет в муху. Найдите вероятность того, что
Джон промахнётся.

12. Решение:
Составим дерево возможных исходов, определив их
вероятность. По формуле умножения вероятностей
зависимых событий и сложения вероятностей
несовместных событий, имеем :
Р = 𝟎, 𝟐 ∙ 𝟎, 𝟐 + 𝟎, 𝟖 ∙ 𝟎, 𝟖 = 𝟎, 𝟔𝟖

13. №6.
В Волшебной стране бывает два типа
погоды: хорошая и отличная, причём
погода, установившись утром, держится
неизменной весь день. Известно, что с
вероятностью 0,7 погода завтра будет
такой же, как и сегодня. 6 сентября погода
в Волшебной стране хорошая. Найдите
вероятность того, что 9 сентября в
Волшебной стране будет отличная погода.

14. Решение:
Распишем все возможные исходы данного события,
отметив желтым цветом, если погода поменялась,
голубым, если осталась прежней.
Вероятность того, что погода не изменилась равна 0, 7.
Значит, смена погоды происходит с вероятностью 1-0,7=0,3.
По формуле умножения вероятностей зависимых событий
и сложения вероятностей несовместных событий, имеем :
Р = 𝟎, 𝟕 ∙ 𝟎, 𝟕 ∙ 𝟎, 𝟑 + 𝟎, 𝟕 ∙ 𝟎, 𝟑 ∙ 𝟎, 𝟕 +
+𝟎, 𝟑 ∙ 𝟎, 𝟑 ∙ 𝟎, 𝟑 + 𝟎, 𝟑 ∙ 𝟎, 𝟕 ∙ 𝟎, 𝟕 = 𝟎, 𝟒𝟔𝟖

15. №7.
Всем пациентам с подозрением на гепатит делают
анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то
результат анализа называется положительным. У
больных гепатитом пациентов анализ даёт
положительный результат с вероятностью 0,9. Если
пациент не болен гепатитом, то анализ может дать
ложный положительный результат с вероят-
ностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступа-
ющих с подозрением на гепатит, действительно
больны гепатитом. Найдите вероятность того, что
результат анализа у пациента, поступившего в
клинику с подозрением на гепатит,
будет положительным.

16. Решение:
Составим дерево возможных исходов, определив
их вероятность. По формуле умножения
вероятностей зависимых событий и сложения
вероятностей несовместных событий, имеем :
Р = 𝟎, 𝟎𝟓 ∙ 𝟎, 𝟗 + 𝟎, 𝟗𝟓 ∙ 𝟎, 𝟎𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟒𝟓

17. №8.
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он
выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью
0,56. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б.
с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б.
играют две партии, причем во второй партии
меняют цвет фигур. Найдите вероятность того,
что А. выиграет оба раза.

18. Решение:
События «гроссмейстер А., играя белыми, выиграет
у гроссмейстера Б.», и «гроссмейстер А., играя
черными, выиграет у гроссмейстера Б.» -
независимые. Событие «гроссмейстер А. выиграет у
гроссмейстера Б. оба раза» является их
произведением. По формуле умножения
вероятностей независимых событий имеем:
𝑷 = 𝟎, 𝟓𝟔 ∙ 𝟎, 𝟑 = 𝟎, 𝟏𝟔𝟖

19. №9.
Агрофирма закупает куриные яйца в двух
домашних хозяйствах. 60% яиц из первого
хозяйства — яйца высшей категории, а из второго
хозяйства — 70% яиц высшей категории.
Всего высшую категорию получает 65%
яиц. Найдите вероятность того, что яйцо,
купленное у этой агрофирмы, окажется
из первого хозяйства.

20. Решение:
Составим дерево возможных исходов, определив их вероятность. По
формуле умножения вероятностей зависимых событий и сложения
вероятностей несовместных событий, имеем :
Р = 𝟎, 𝟕𝒙 + 𝟎, 𝟔 ∙ (𝟏 − 𝒙) = 𝟎, 𝟔𝟓
Решив уравнение, находим, что вероятность получить яйцо из
первого хозяйства равна 0,5

21. №10.
По отзывам покупателей Игорь Игоревич
оценил надёжность двух интернет-магазинов.
Вероятность того, что нужный товар доставят
из магазина А, равна 0,82. Вероятность того,
что этот товар доставят из магазина Б,
равна 0,87. Игорь Игоревич заказал товар
сразу в обоих магазинах. Считая, что
интернет-магазины работают независимо
друг от друга, найдите вероятность того,
что ни один магазин не доставит товар.

22. Решение:
Составим дерево возможных исходов,
определив их вероятность. По формуле
умножения вероятностей зависимых событий
имеем :
Р = 𝟎, 𝟏𝟖 ∙ 𝟎, 𝟏𝟑 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟑𝟒

23. №11.
На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт
точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На
каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не
полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите,
с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

24. Решение:
Составим дерево возможных исходов, определив их
вероятность. По формуле умножения вероятностей
зависимых событий имеем :
Р =
𝟏
𝟐
∙
𝟏
𝟐
=
𝟏
𝟒
= 𝟎, 𝟐𝟓

25. ИСТОЧНИКИ
• ФИПИ .Открытый банк заданий ЕГЭ по
математике.
• Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В10.
Элементы теории вероятностей
• http://reshuege.ru
• http://egetrener.ru
• И.Р.Высоцкий, И.В. Ященко .ЕГЭ 2014.
Математика. Задача В10. Теория
Вероятностей. Рабочая тетрадь.
• http://ege-ok.ru