3. Таблиця факторіалів
1!=1
2!=1*2=2
3!=1*2*3=6
4!=1*2*3*=24
5!=1*2*3*4*5=120
6!=1*2*3*4*5*6=720
7!=1*2*3*4*5*6*7=5040
8!=1*2*3*4*5*6*7*8=40320
9!=1*2*3*4*5*6*7*8*9=362880
10!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10=3628800

5. m-число сприятливих події
фіналів,
n-число всіх рівноможливих
результатів.
P(A)- ймовірність випадкової події

6.  У фірмі таксі в даний момент вільно 20 машин: 10 чорних, 2 жовтих і 8 зелених. За
викликом виїхала одна з машин. Знайдіть ймовірність того, що виїхало зелене таксі.
Розв'язання:
Подія A полягає в тому, що виїхало зелене таксі.
Для зеленого таксі число сприятливих фіналів дорівнює 8.
Загальне число машин одно 20, значить
P (A) = 8/20 = 0.4
• При дворазовому киданні грального кубика в сумі випало 6 очок. Знайдіть ймовірність
того, що в перший раз випало менше 3 очок.
Розв'язання:
При дворазовому киданні можливі наступні випадання:
1-й кидок - 2-й кидок
1 - 5
2 - 4
3 - 3
4 - 2
5 - 1
Нехай подія A полягає в тому, що в перший раз випало менше 3 очок.
Число сприятливих фіналів для події A дорівнює 2, загальне число фіналів дорівнює 5
отже
P (A) = 2/5 = 0.4

7.  Знайти ймовірність того, що при киданні двох монет випаде два
герба.
Розв'язання :
Нехай, подія А – випало два герба, то простір елементів
подій:
А1 – Г,Г
А2 – Г,Ц
А3 – Ц,Г
А4 – Ц,Ц
Події А сприяє лише подія А1, то, m=1, n=4,тоді Р(А) = ¼.
Розв'язання:
• У скринці а – білих, b – чорних кульок. Із неї навмання взяли 1 кульку.
Знайти й-сть того, що кулька – біла.
П.А – взяли білу кульку,
m - a
n – a+b
P(A) = m/n
P (A) = a/а+b

9. Pn - будь-яка упорядкована
множина, яка складається з n
елементів, називається
перестановкою з n елементів.
n-число всіх рівноможливих
результатів

10.  Всі рівноможливі комбінації овочів:
P3 = 3!
P3= 3 x 2
P3 = 6
• Записати усі можливі перестановки фігур:
, , , , ,
P3 = 3!
P3= 3 x 2
P3 = 6

11.  Скількома способами можна скласти список із 9 прізвищ?
Розв’язування.
 Скількома способами можна розкласти вісім різних листів у вісім
різних конвертів, якщо в кожний кладеться лише один лист ?
Розв’язування.
Р8 = 8! = 1·2·3·4·5·6·7·8=40320
Конверти можна розкласти 40320 способами.
 Із цифр 0, 1, 2, 3, 4 скласти всі можливі п’ятизначні числа так, що в
кожному числі цифри не повторюються. Скільки одержали чисел ?
Розв’язування.
Р5 = 5! = 1·2·3·4·5=120 , а так як перша цифра в числі не може
бути 0, то
Р5 –Р4 =120-24=96 чисел можна скласти з даних цифр
362880
!9
9
9
Р
Р

12. Формула

13. Приклад:
У класі 20 чол. Скількома способами можна вибрати 2
чол. для конкурсу.
Рішення:
n = 20
m = 2.
Використовуючи формулу отримаємо число вибірок:
380
!18
20*19*18
)!220(
!20
20
2
A
n
m
A

14. Приклад:
У фінальній частині чемпіонату з футболу беруть участь 16 команд.
Скількома способами можна розподілити золоті, срібні та бронзові
нагороди?
Рішення:
n = 16
m = 3
Використовуючи формулу отримаємо число вибірок:
336016*15*14
!13
!16
)!1316(
!16
16
3
A

15. !3
!10
10
7
А
10987654
10
7
А
604800
10
7
А

16. !21
!25
25
4
A
25
4
A 22*23*24*25=30360
0

18.  Сполученнями із m елементів по n
називаються такі сполуки, які містять n
елементів з безлічі m елементів і
відрізняються один від одного
принаймні одним елементом.
 Позначають Сm
n
 m-загальна кількість елементів,
 n - кількість відбираються елементів
 Сm
n =!)!(
!
nnm
m

19. mn
n
m
n
n
n
n
n
CC
C
nC
C
1
1
1
0
nn
n
n
nnnn
m
n
m
n
m
n
m
n
nm
n
CCCCC
CCC
C
m
n
C
2...
1
1
1210
1
1
1

20. Мається стопка з 25 книг. Скількома
способами можна вибрати 3 книги.
Розв’язання
Загальна кількість елементів m = 25, n = 3.
Порядок не важливий, вибірки відрізняються
тільки складом книг. Використовуючи
формулу отримаємо число вибірок :
С3
25 =
2300
3*2
25*24*23
!3)!325(
!25

21. У класі 7 хлопчиків і 14 дівчаток. 1 вересня випадковим
чином визначають двох чергових на 2 вересня. Скількома
способами можна вибрати чергових.
Розв’язання
У класі всього 21 чол. , вибрати двох можна.
m=21, n=2. Використовуючи формулу отримаємо
С2
21 = )(210
!2)!27(
!21
способів

22.  Скількома способами можна вибрати
трьох журі з 20 осіб?
Розв’язання:
!3)!320(
!203
20C
!3!17
!203
20C
3*2
20*19*183
20C
20*19*63
20C
)(11403
20 способівC

23.  Дано три букви А, В, С. Скласти всі
можливі комбінації з цих букв.
Розв’язання
ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA
( 6 комбінацій )

24. Приклад 1
№ 1. У змаганнях зі штовхання ядра беруть участь 9
спортсменів з Данії, 3 спортсмена зі Швеції, 8
спортсменів з Норвегії та 5 - з Фінляндії. Порядок, в
якому виступають спортсмени, визначається
жеребом. Знайдіть ймовірність того, що
спортсмен, який виступає останнім, виявиться з
Фінляндії.
Розв’язання:
Всього бере участь 9 +3 +8 +5 = 25 спортсменів.
А так як фінів 5 осіб, то ймовірність того, що на
останньому місці буде спортсмен з Фінляндії :
5/25 = 1/5 = 0,2

25. №2. У фірмі таксі в даний момент вільно 15
машин: 2 червоних, жовтих і зелених. За
викликом виїхала одна з машин, що
випадково опинилися найближче до
замовниці. Знайдіть ймовірність того, що
до неї приїде жовте таксі.
Розв’язання:
Всього є машин, тобто до замовниці приїде
одна з п'ятнадцяти. Жовтих - дев'ять, і
значить, ймовірність приїзду саме жовтої
машини дорівнює 9/15, тобто 0,6.

26. №3. У випадковому експерименті кидають три гральні
кістки. Знайдіть ймовірність того, що в сумі випаде
14 очок. Результат округлите до сотих.
Розв’язання:
Всього різних варіантів випадання очок буде 6 * 6 * 6 =
216
Підрахуємо кількість сприятливих результатів, тобто
варіантів, в яких сума трьох кубиків дорівнювала 14.
6;6;2 6;2;6 2;6;6
5;5;4 5;4;5 4;5;5
4;4;6 4;6;4 6;4;4
6;5;3 6;3;5 5;6;3 5;3;6 3;5;6 3;6;5
Всього 15 сприятливих результатів
Ймовірність дорівнює 15/216 = 0,06944 ... ≈ 0,07

27. №4. Учня попросили назвати число від 1 до
100. Яка ймовірність того, що він назве
число кратне п'яти?
Розв’язання:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…,100.
Кожне п'яте число з даної множини ділиться
на 5. Значить, ймовірність дорівнює 1/5.