1. Вас вітають журналісти 11-Б класу.
У цій презентації ми розповімо
вам про парадокси у теорії
ймовірностей
2. •
• Парадокси в теорії ймовірностей
• Парадокси в теорії ймовірностей - різного роду
парадокси, що виникають в теорії
ймовірностей через недосконалість
аксіоматики, зокрема через визначення
ймовірності через ймовірність, невизначеності
поняття «рівноімовірні події» та інших
прогалин в підставах даного розділу
математики.
.
3. Підстави виникнення парадоксів
У теорії ймовірності парадокси бувають двох типів : перший
- коли існує суворе рішення в рамках аксіоматики , просто
воно не очевидно , і умови завдання такі , що ведуть
інтуїтивне розуміння умов у помилковому ключі ,
прикладами таких парадоксів є - Санкт- Петербурзький
парадокс , Парадокс закону великих чисел Бернуллі ,
Парадокс днів народження ; другий тип - парадокси , які
грунтуються на неоднозначної інтерпретації аксіоматики
теорії ймовірності , її недовизначених , яку відзначав ще
Пуанкаре , їх і можна назвати істинними парадоксами .
Приклади істинних парадоксів : Проблема Монті Холла ,
Парадокс двох конвертів , Парадокс Хемпель , Парадокс
Бертрана . Цінність обох типів парадоксів в тому , що вони
допомагають краще зрозуміти суть теорії , область її
обмеження , глибше зрозуміти підстави теорії , і іноді
дослідження парадоксів вело до створення окремих розділів
математики.
4. Найбільш відомі парадокси
• Санкт- Петербурзький парадокс
Парадокс отримав популярність після публікації Данилом
Бернуллі в нотатках Академії наук Санкт -Петербурга в 1738
році, проте вперше парадокс згадується двоюрідним братом
Данила , - Миколою Бернуллі в 1713 році в листі до
математика Монмору . Іноді , помилково , парадокс
приписують Ейлера . Суть парадоксу : гравцем кидається
правильна монета до моменту випадання решки , гравець
при випаданні отримує <math> 2 ^ r </ math > рублів , де
<math> r </ math > - це номер кидання , при якому випала
решка , - при кожному подальшому киданні потенційний
виграш збільшується вдвічі. Скільки необхідно виплатити
гравцеві за участь у грі з такими умовами , щоб його середній
виграш перекрив виплату за гру. Відповідь парадоксальна , -
математичне очікування банківських виплат нескінченне .
Виграш може випасти при будь-якому з r бросаний , тоді
математичне сподівання дорівнює :
<math> textstyle { frac { 1 } { 2 }} 2 + { frac { 1 } { 4 }} 4 + { frac
{ 1 } { 8 }} 8 ... = 1 + 1 + 1 ... </ math > Цей нескінченний ряд
розходиться , тобто має нескінченну суму
5. Парадокс намагалися дослідити Бюффон , Крамер ,
проте прийнятного рішення задачі в загальному вигляді
досі немає , є деякі приватні рішення . наприклад, коли
кількість бросаний обмежено 1 мільйоном , банк починає
вигравати , коли середня ставка гравця складає 21 рубль.
Хоча Петербурзький парадокс як модель
використовується в оцінці фінансових ризиків при
інвестиціях , вона більше говорить про невизначеність
фінансових ризиків .
Сам факт , що петербурзька Проблема не отримала
унікального і взагалі прийнятного рішення більш , ніж за
200 років спроб найбільшими умами світу , припускає ,
що проблема зростання акцій не залишає ніяких надій на
задовільне рішення .
6. Парадокс закону великих чисел Бернуллі
Так як за Законом великих чисел , при досить великому
числі підкидань правильної монети , частота випадання орла
і решки прагне до <math> { frac { 1 } { 2 }} </ math > , то
гравці вважають , що чим частіше випадає орел , тим більше
вірогідність випасти Решке на кожному наступному кидку і
навпаки. Парадокс заснований на інтуїтивному розумінні
Закону великих чисел , при якому монеті приписується
«пам'ять» , тобто результат наступних бросаний повинен
залежати від попередніх , що, природно , неможливо , кожне
окреме кидання незалежно від попередніх і наступних , і
ймовірність випадання послідовностей
ОООООООООООООР і РОРОРОРОРОРОРО ( Р - решка , О
- орел ) однакові й становлять <math> { frac { 1 } { 2 ^ { 14
}} } </ math > , для правильної монети.
7. Парадокс Монті Холла
Найбільш цікава версія проблеми була
викладено в журналі Parade Magazine в 1990 році ,
сам парадокс заснований на телешоу « Let's Make a
Deal » , і названий по імені ведучого цієї передачі .
Умова задачі наступне:
Уявіть , що ви стали учасником гри , в якій вам
потрібно вибрати одну з трьох дверей . За однією з
дверей знаходиться автомобіль , за двома іншими
дверима - кози. Ви вибираєте одну з дверей ,
наприклад , номер 1 , після цього ведучий , який
знає , де знаходиться автомобіль , а де - кози ,
відкриває одну з решти дверей , наприклад , номер 3
, за якою знаходиться коза. Після цього він запитує
вас , чи не бажаєте ви змінити свій вибір і вибрати
двері номер 2. Чи збільшаться ваші шанси виграти
автомобіль , якщо ви приймете пропозицію
ведучого і зміните свій вибір?
8. Парадокс двох конвертів
У різних формулюваннях парадокс відомий
з 1930 року , варіант з двома конвертами ,
який і отримав велику популярність ,
описаний в кінці 1980 -х. Умови парадоксу
наступні - існує два конверти з грошима ,
сума в одному конверті в два рази більше
суми в іншому , пропонується вибраний
конверт відкрити , і в разі бажання вибрати
інший конверт . Якщо в першому (
відкритому ) конверті була сума А , в
другому може перебувати 0,5 • ( 2 • А ) + 0,5
• ( 0,5 • А ) = 1,25 • А , що більше А. За
таких умов доцільніше відмовитися від
першого конверта і вибрати другий , однак ,
все ті ж міркування справедливі при виборі
другого конверта - більшу привабливість
набуває перший , і навпаки , до
нескінченності. Різні варіанти дозволу
парадоксу пропонуються до цих пір.
9. У разі , якщо буде знайдено прийнятне
рішення, яке дозволяє парадокс , це
допоможе знайти рішення в різних
теоретичних і прикладних областях:
наочне розуміння деяких парадоксів
термодинаміки , оптимізація роботи
технічних систем , поліпшення
електронних схем , складання
виграшної стратегії гри на фондовому
ринку .
10. К Ключем до розуміння парадоксу служить розгляд двох задач , де
завдання А - кількість грошей в конверті ніколи не може
перевищувати Х одиниць. В даному випадку , відкривши конверт з
грошима і отримавши чек на більш ніж Х / 2 одиниць грошей ,
гравець свідомо обізнаний , що його конверт більший . Завдання В -
кількість грошей в більшому конверті одно від 2 одиниць до
нескінченності , так само зводиться до завдань С і D. С - коли
гравець отримує 1 одиницю грошей і знає , що його конверт
менший . У разі завдання D ми маємо ситуацію , в якій
математичне сподівання кількості грошей , що лежать в конверті
отриманих гравцем , одно ∞ / 2 і при обміні конверта математичне
сподівання його виграшу одно 1,25 • ∞ / 2 . Враховуючи рівність ∞ /
2 і 1,25 • ∞ / 2 , можна прийти до висновку , що з імовірністю 1 - 1 /
∞ настане ситуація , коли обмін байдужий. Таким чином , якщо не
розглядати ситуації С і D , то потрібно зробити зауваження , що в
області дійсних чисел можлива експертна оцінка можливості
виграшу і програшу .
11. Парадокс другої дитини
Парадокс сформульований в 1959 -му році
Мартіном Гарднером у статті « The Two Children
Problem » опублікованій в журналі Scientific
American . Перша формулювання була наступною:
У містера Джонса двоє дітей. При цьому
старший дитина - дівчинка. Яка ймовірність того ,
що обидві дитини дівчинки ? У містера Сміта двоє
дітей. При цьому хоча б одна дитина - хлопчик.
Яка ймовірність того , що обидві дитини хлопчики
12. • Інтуїтивний варіант на друге питання це
що ймовірність дорівнює <math> { frac
{ 1 } { 2 }} </ math > , хоча насправді
поле рівноймовірно подій в цьому
випадку складається з трьох варіантів -
ММ , МД , ДМ ( якщо діти НЕ близнюки )
, і варіант ММ тільки один з них , отже ,
шукана ймовірність дорівнює <math> {
frac { 1 } { 3 }} </ math > . Сам Гарднер
згодом зрозумів , що в третьому
варіанті ситуація неоднозначна , і
залежить від додаткових умов -
залежно від того , за яких умов
з'ясовується , що друга дитина
хлопчик.
14. « Ступінь очевидності
екстраординарної заяви
пропорційна її дивацтву» .
« Перевага добре побудованої
мови в тому , що його
найпростіші поняття часто
стають джерелами глибоких
теорій ».
15. • Наполеон : «Ви написали цю
величезну книгу про будову
миротворця , ні одного разу не
згадавши творця всесвіту ».
Лаплас : « Сер , я не мав ніякої
потреби в цій гіпотезі ».
«В основі теорії ймовірностей - тільки
здоровий глузд , зведений до
обчислення ; ця теорія дозволяє нам
оцінити з точністю те, що точні уми
відчувають своїм інстинктом , що
знаходяться поза часом і нездатним
рахувати» .
16. «Розум має свої ілюзії так само,
як і зір ; і в тій же самій манері ,
в якій сенс почуття підправляє
останнє, рефлексія і обчислення
підправляють розум».
« Чудово, що наука , яка почалася
з розгляду азартних ігор ,
повинна стати найважливішим
об'єктом людського знання ».
17. а ) «Те , що ми знаємо , - обмежено , а
те, чого ми не знаємо , - нескінченно ».
б) « Те , що ми знаємо , так мізерно в
порівнянні з тим , чого ми не знаємо».
Теорія ймовірності це все, звичайно ,
добре , але практика життя це
заперечує. Бо щоб ви не робили ,
відповіді буде всього два - або «Так» ,
або «Ні». Дмитро Соло
18. Якщо космос розпорядженні
безмежним запасом часу , це не просто
означає , що може статися все , що
завгодно. Це означає , що все коли-
небудь дійсно відбудеться . Ерленд Лу
Так взагалі-то не буває й по теорії
ймовірностей такого траплятися не
повинно , однак в житті трапляється і
не таке , у зв'язку з чим вчені винайшли
гіпотезу , згідно з якою закони теорії
ймовірностей застосовувати для
розумних істот. Антонов Антон
19. Дякуємо за увагу.
Бажаємо , щоб у вашому житті не
траплялося парадоксів.
Підготували : Каденюк Юлія та
Кайбулаєва Анастасія
