Modul ini membahas tentang fungsi kuadrat, termasuk domain, kodomain, range, pengertian dan bentuk umum fungsi kuadrat, sketsa grafik fungsi kuadrat, dan penerapannya.
Evaluasi merupakan soal ujian tentang konsep-konsep dasar kalkulus, meliputi:
1. Menghitung turunan fungsi pada titik tertentu
2. Menentukan nilai stasioner dan jenis titik stasioner suatu fungsi
3. Menggambar grafik dan kurva fungsi tertentu
4. Mencari persamaan garis singgung kurva fungsi
5. Memecahkan masalah optimisasi untuk mencari nilai maksimum atau minimum
Kartu soal berisi soal-soal tentang konsep geometri, trigonometri, kalkulus yang terkait dengan perbandingan trigonometri, fungsi trigonometri, aturan sinus dan kosinus, persamaan lingkaran, transformasi, turunan, integral, dan limit fungsi. Soal-soal tersebut meminta menentukan bayangan kurva, persamaan bayangan lingkaran, koordinat bayangan setelah refleksi dan transformasi, titik belok fungsi, turunan pertama fungsi, dan turunan pertama fun
Dokumen tersebut membahas tentang integral tak tentu, yang meliputi konsep dasar integral tak tentu, materi integral tak tentu seperti mengenal integral sebagai anti turunan dan merumuskan integral fungsi aljabar dan trigonometri, serta aplikasi integral tak tentu dalam pemecahan masalah.
Modul ini membahas tentang fungsi kuadrat, termasuk domain, kodomain, range, pengertian dan bentuk umum fungsi kuadrat, sketsa grafik fungsi kuadrat, dan penerapannya.
Evaluasi merupakan soal ujian tentang konsep-konsep dasar kalkulus, meliputi:
1. Menghitung turunan fungsi pada titik tertentu
2. Menentukan nilai stasioner dan jenis titik stasioner suatu fungsi
3. Menggambar grafik dan kurva fungsi tertentu
4. Mencari persamaan garis singgung kurva fungsi
5. Memecahkan masalah optimisasi untuk mencari nilai maksimum atau minimum
Kartu soal berisi soal-soal tentang konsep geometri, trigonometri, kalkulus yang terkait dengan perbandingan trigonometri, fungsi trigonometri, aturan sinus dan kosinus, persamaan lingkaran, transformasi, turunan, integral, dan limit fungsi. Soal-soal tersebut meminta menentukan bayangan kurva, persamaan bayangan lingkaran, koordinat bayangan setelah refleksi dan transformasi, titik belok fungsi, turunan pertama fungsi, dan turunan pertama fun
Dokumen tersebut membahas tentang integral tak tentu, yang meliputi konsep dasar integral tak tentu, materi integral tak tentu seperti mengenal integral sebagai anti turunan dan merumuskan integral fungsi aljabar dan trigonometri, serta aplikasi integral tak tentu dalam pemecahan masalah.
Dokumen tersebut membahas tentang turunan dan rumus-rumus dasar turunan. Terdapat penjelasan tentang definisi turunan, rumus turunan untuk fungsi bilangan real, dan contoh soal beserta pembahasannya untuk mempelajari konsep turunan.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi kuadrat, mulai dari bentuk umum fungsi kuadrat, sifat-sifat grafiknya berdasarkan nilai a dan diskriminan, sampai langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat.
Dokumen tersebut membahas tentang konsep dasar fungsi dan grafiknya. Fungsi didefinisikan sebagai aturan hubungan satu lawan satu antara elemen-elemen daerah asal dengan nilai-nilai daerah hasil. Dokumen tersebut juga menjelaskan notasi fungsi, daerah asal, daerah hasil, grafik fungsi, fungsi genap dan ganjil, serta dua fungsi khusus yaitu fungsi nilai mutlak dan fungsi bilangan bulat terbes
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi kuadrat yang merupakan fungsi dengan pangkat tertinggi variabelnya adalah 2, mirip dengan persamaan kuadrat namun berbentuk fungsi. Rumus umum fungsi kuadrat adalah y=ax2+bx+c dan langkah-langkah menggambar grafiknya adalah menentukan titik potong sumbu x dan y, persamaan sumbu simetri, nilai maksimum dan minimum, serta koordinat titik puncak. Contoh
Dokumen tersebut membahas tentang metode interpolasi linear untuk menentukan nilai fungsi pada titik yang tidak diketahui berdasarkan dua titik yang diketahui. Metode ini menghubungkan dua titik yang mengapit wilayah yang akan diinterpolasi secara garis lurus. Langkah-langkahnya meliputi menghitung nilai fungsi pada interval antara dua titik, menggambar garis lurus, dan mengulang proses tersebut hingga nilai fungsi mendekati
Persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat
Dokumen ini membahas tentang persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat. Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum ax^2 + bx + c = 0 dimana a, b, dan c adalah bilangan real dan a tidak sama dengan nol. Dibahas pula jenis-jenis persamaan kuadrat, cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat, dan contoh soal. Fungsi kuadrat memiliki bentuk f(x) = ax^2
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi kuadrat dan soal-soal matematika terkait fungsi kuadrat. Diberikan penjelasan tentang rumus-rumus dasar fungsi kuadrat seperti nilai maksimum dan minimum, grafik, dan cara penyelesaian soal-soal yang melibatkan fungsi kuadrat.
Kumpulan soal ujian masuk perguruan tinggi terkait fungsi kuadrat, termasuk menentukan nilai fungsi, grafik fungsi, titik ekstrem, dan transformasi grafik. Terdapat 36 soal yang mencakup berbagai aspek fungsi kuadrat.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan kuadrat dan cara-cara penyelesaiannya, termasuk menggunakan rumus, diskriminan, dan jenis-jenis akar. Juga dibahas tentang menyusun persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat.
Fungsi kuadrat adalah pemetaan bilangan nyata ke dirinya sendiri dengan bentuk f(x)=ax^2+bx+c dimana a tidak sama dengan nol. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan titik balik dan sumbu simetri yang dapat diidentifikasi.
Matematika 2 - Slide week 5 Integral Lipat TigaBeny Nugraha
Modul ini membahas tentang integral lipat tiga, baik bentuk tak tentu maupun bentuk tentu. Integral lipat tiga merupakan integral biasa yang diintegralkan sebanyak tiga kali. Penyelesaian integral lipat tiga tak tentu dilakukan dengan mengintegralkan fungsi terhadap variabel satu per satu, sementara bentuk tentu menggunakan batas atas dan bawah. Beberapa contoh soal juga diberikan beserta penyelesaiannya.
Dokumen tersebut membahas tentang materi fungsi dan soal-soal latihan terkait fungsi, termasuk pengertian fungsi, notasi fungsi, menentukan nilai fungsi, menyatakan fungsi, dan menyelesaikan soal-soal latihan mengenai fungsi.
Soal tersebut berisi 10 pertanyaan tentang fungsi kuadrat, termasuk menentukan titik balik, koordinat puncak, pembuat nol, dan persamaan grafik fungsi kuadrat berdasarkan informasi yang diberikan.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi eksponen, meliputi definisi, grafik, sifat-sifat, persamaan dan pertidaksamaan eksponen. Fungsi eksponen adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum y = f(x) = ax dimana a adalah bilangan pokok atau basis. Grafik fungsi eksponen bergantung pada nilai a, apakah lebih besar atau kurang dari 1. Persamaan dan pertidaksamaan eksponen dap
Mahir matematika 3 untuk kelas xii sma dan ma program bahasaagusloveridha
Buku ini membahas program linear dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Program linear digunakan untuk mengoptimalkan fungsi tujuan dengan memaksimalkan atau meminimalkan nilai fungsi berdasarkan kondisi-kondisi yang membatasi. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah kalimat terbuka matematika yang memuat dua variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan.
Dokumen tersebut membahas tentang turunan dan rumus-rumus dasar turunan. Terdapat penjelasan tentang definisi turunan, rumus turunan untuk fungsi bilangan real, dan contoh soal beserta pembahasannya untuk mempelajari konsep turunan.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi kuadrat, mulai dari bentuk umum fungsi kuadrat, sifat-sifat grafiknya berdasarkan nilai a dan diskriminan, sampai langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat.
Dokumen tersebut membahas tentang konsep dasar fungsi dan grafiknya. Fungsi didefinisikan sebagai aturan hubungan satu lawan satu antara elemen-elemen daerah asal dengan nilai-nilai daerah hasil. Dokumen tersebut juga menjelaskan notasi fungsi, daerah asal, daerah hasil, grafik fungsi, fungsi genap dan ganjil, serta dua fungsi khusus yaitu fungsi nilai mutlak dan fungsi bilangan bulat terbes
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi kuadrat yang merupakan fungsi dengan pangkat tertinggi variabelnya adalah 2, mirip dengan persamaan kuadrat namun berbentuk fungsi. Rumus umum fungsi kuadrat adalah y=ax2+bx+c dan langkah-langkah menggambar grafiknya adalah menentukan titik potong sumbu x dan y, persamaan sumbu simetri, nilai maksimum dan minimum, serta koordinat titik puncak. Contoh
Dokumen tersebut membahas tentang metode interpolasi linear untuk menentukan nilai fungsi pada titik yang tidak diketahui berdasarkan dua titik yang diketahui. Metode ini menghubungkan dua titik yang mengapit wilayah yang akan diinterpolasi secara garis lurus. Langkah-langkahnya meliputi menghitung nilai fungsi pada interval antara dua titik, menggambar garis lurus, dan mengulang proses tersebut hingga nilai fungsi mendekati
Persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat
Dokumen ini membahas tentang persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat. Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum ax^2 + bx + c = 0 dimana a, b, dan c adalah bilangan real dan a tidak sama dengan nol. Dibahas pula jenis-jenis persamaan kuadrat, cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat, dan contoh soal. Fungsi kuadrat memiliki bentuk f(x) = ax^2
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi kuadrat dan soal-soal matematika terkait fungsi kuadrat. Diberikan penjelasan tentang rumus-rumus dasar fungsi kuadrat seperti nilai maksimum dan minimum, grafik, dan cara penyelesaian soal-soal yang melibatkan fungsi kuadrat.
Kumpulan soal ujian masuk perguruan tinggi terkait fungsi kuadrat, termasuk menentukan nilai fungsi, grafik fungsi, titik ekstrem, dan transformasi grafik. Terdapat 36 soal yang mencakup berbagai aspek fungsi kuadrat.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan kuadrat dan cara-cara penyelesaiannya, termasuk menggunakan rumus, diskriminan, dan jenis-jenis akar. Juga dibahas tentang menyusun persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat.
Fungsi kuadrat adalah pemetaan bilangan nyata ke dirinya sendiri dengan bentuk f(x)=ax^2+bx+c dimana a tidak sama dengan nol. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan titik balik dan sumbu simetri yang dapat diidentifikasi.
Matematika 2 - Slide week 5 Integral Lipat TigaBeny Nugraha
Modul ini membahas tentang integral lipat tiga, baik bentuk tak tentu maupun bentuk tentu. Integral lipat tiga merupakan integral biasa yang diintegralkan sebanyak tiga kali. Penyelesaian integral lipat tiga tak tentu dilakukan dengan mengintegralkan fungsi terhadap variabel satu per satu, sementara bentuk tentu menggunakan batas atas dan bawah. Beberapa contoh soal juga diberikan beserta penyelesaiannya.
Dokumen tersebut membahas tentang materi fungsi dan soal-soal latihan terkait fungsi, termasuk pengertian fungsi, notasi fungsi, menentukan nilai fungsi, menyatakan fungsi, dan menyelesaikan soal-soal latihan mengenai fungsi.
Soal tersebut berisi 10 pertanyaan tentang fungsi kuadrat, termasuk menentukan titik balik, koordinat puncak, pembuat nol, dan persamaan grafik fungsi kuadrat berdasarkan informasi yang diberikan.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi eksponen, meliputi definisi, grafik, sifat-sifat, persamaan dan pertidaksamaan eksponen. Fungsi eksponen adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum y = f(x) = ax dimana a adalah bilangan pokok atau basis. Grafik fungsi eksponen bergantung pada nilai a, apakah lebih besar atau kurang dari 1. Persamaan dan pertidaksamaan eksponen dap
Mahir matematika 3 untuk kelas xii sma dan ma program bahasaagusloveridha
Buku ini membahas program linear dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Program linear digunakan untuk mengoptimalkan fungsi tujuan dengan memaksimalkan atau meminimalkan nilai fungsi berdasarkan kondisi-kondisi yang membatasi. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah kalimat terbuka matematika yang memuat dua variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan.
Soal Latihan Matematika UAN SMA IPS (per Indikator)Iswi Haniffah
Dokumen tersebut berisi soal-soal tentang menentukan negasi atau kesetaraan dari pernyataan majemuk dan berkuantor. Terdapat 32 soal yang mencakup materi negasi, kesetaraan, implikasi, dan ekuivalensi pernyataan logika.
Dokumen tersebut membahas fungsi komposisi dan fungsi invers. Terdapat beberapa soal tentang menentukan hasil komposisi dari dua fungsi yang diberikan, menentukan fungsi asli berdasarkan fungsi terkomposisi, dan menentukan nilai fungsi komposisi untuk suatu nilai.
Dokumen menjelaskan tentang satuan sudut derajat, menit, dan detik. Dijelaskan hubungan antara satuan-satuan tersebut dan cara mengkonversikan antara satuannya. Kemudian diberikan contoh soal penyelesaian mengkonversikan antara satuan sudut. Diakhir diberikan beberapa soal untuk mengkonversikan dan menghitung penjumlahan atau pengurangan antara satuan sudut.
Gambar a dan c merupakan bangun datar yang sebangun.
Pada gambar a, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian pada dua persegi tersebut adalah 1:2. Sudut-sudut yang bersesuaian juga sama besar yaitu 90°.
Sedangkan pada gambar c, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian pada dua persegi panjang tersebut adalah 1:2. Sudut-sudut yang bersesuaian juga sama besar yaitu 90°.
Sedangkan
Kumpulan soal tersebut berisi soal-soal tentang fungsi kuadrat dan persamaan kuadrat, khususnya mengenai penggunaan diskriminan untuk menentukan batas-batas nilai parameter agar grafik fungsi atau persamaan memiliki akar yang berbeda atau memotong sumbu x pada dua titik.
Dokumen tersebut membahas tentang barisan aritmetika dan geometri serta deret aritmetika dan geometri. Terdapat penjelasan mengenai ciri-ciri utama, rumus suku ke-n, suku tengah, dan sisipan bilangan pada barisan. Selanjutnya dijelaskan rumus jumlah n suku pertama pada deret aritmetika dan geometri. Diakhir terdapat soal-soal latihan mengenai materi tersebut beserta jawabannya.
Soal-soal tersebut membahas tentang jarak antara berbagai titik dan bidang pada kubus dengan memberikan informasi panjang rusuk kubus. Semua soal melibatkan penghitungan jarak menggunakan rumus yang berkaitan dengan sifat-sifat geometri kubus seperti jarak antara titik tengah dan bidang, jarak antara titik dan garis, serta jarak antara dua bidang.
Kumpulan soal ujian masuk perguruan tinggi terkait fungsi kuadrat, termasuk menentukan nilai fungsi, grafik fungsi, titik ekstrem, dan transformasi grafik. Terdapat 36 soal yang mencakup berbagai aspek fungsi kuadrat.
Dokumen tersebut membahas tentang turunan fungsi dan penerapannya untuk menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi. Langkah-langkah untuk menentukan nilai ekstrim meliputi menentukan nilai fungsi pada batas interval, mencari nilai stasioner, dan membandingkan hasilnya. Dua contoh soal dijelaskan beserta penyelesaiannya untuk memahami penerapan konsep tersebut dalam menyelesaikan masalah-masalah ny
1. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 adalah x2 - 3x - 10 = 0.
2. Tinggi maksimum peluru yang ditembakkan ke atas adalah 80 meter.
3. Panjang sisi BC segitiga ABC adalah 2 cm.
Modul ini membahas tentang turunan fungsi, termasuk pengertian turunan fungsi, rumus-rumus turunan untuk fungsi aljabar dan trigonometri, dalil rantai untuk menentukan turunan fungsi komposisi, serta penerapan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat, meliputi definisi, contoh, bentuk umum, cara menentukan akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran dan rumus, serta sifat-sifat dan cara menggambar grafik fungsi kuadrat.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi kuadrat dan hubungannya dengan grafik parabola serta garis. Fungsi kuadrat memiliki sifat yang berbeda tergantung nilai a dan diskriminan (D), di antaranya apakah grafiknya membuka ke atas atau bawah, berpotongan dua kali dengan sumbu x atau menyentuhnya. Titik puncak parabola dapat ditentukan melalui persamaan xp = -b/2a dan yp ditentukan
Fungsi kuadrat adalah fungsi yang memiliki bentuk umum f(x) = ax^2 + bx + c dimana a tidak sama dengan nol. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan titik-titik penting seperti titik potong sumbu x dan y, titik balik, serta persamaan sumbu simetri.
Berisi 10 soal tes UN 2001 mata pelajaran matematika bagian ke-3. Soal-soal terdiri dari persamaan, sistem persamaan linier dua variabel, bangun datar, dan logaritma. Pembahasan dan jawaban lengkap diberikan untuk setiap soal.
Dokumen tersebut membahas tentang evaluasi pembelajaran, yang mencakup definisi evaluasi, ruang lingkup evaluasi dalam perspektif hasil pembelajaran dan sistem pembelajaran, serta prinsip-prinsip dan teknik evaluasi pembelajaran seperti pengukuran, penilaian, tes, dan non tes.
Teks tersebut membahas tentang bangun ruang kubus dan balok, termasuk menjelaskan sifat-sifat, cara menggambar, dan menghitung luas permukaan kubus dan balok. Imah dan teman-temannya diminta membuat dus kotak nasi dan membahas langkah-langkah membuat jaring-jaring kubus dan balok.
Dokumen tersebut membahas tentang denah dan skala. Denah digunakan untuk menggambarkan letak ruangan pada suatu bangunan sebelum dibangun, sedangkan skala digunakan untuk menyesuaikan ukuran gambar dengan ukuran sebenarnya. Denah dan skala penting untuk merancang dan membangun suatu bangunan.
Bab ini membahas tentang kecepatan dan debit. Kecepatan didefinisikan sebagai jarak yang ditempuh dalam satuan waktu tertentu. Debit adalah volume zat cair yang mengalir dalam satuan waktu. Contohnya debit air yang mengalir dari keran air. Bab ini juga menjelaskan tentang satuan-satuan yang terkait dengan kecepatan dan debit serta cara menghitung nilai kecepatan dan debit.
Ringkasan dokumen tersebut adalah:
1. Dokumen tersebut membahas tentang kurikulum 2013 dan implementasinya serta silabus dan RPP tahun 2019.
2. Terdapat biodata penulis dokumen beserta arah pengembangan SMK menurut Kemendikbud.
3. Juga terdapat penjelasan tentang komposisi kompetensi pada tiap jenjang pendidikan dan bagaimana menurunkan indikator pencapaian kompetensi.
Dokumen tersebut membahas tentang dua jenis pertumbuhan makhluk hidup, yaitu yang sudah mirip induk sejak lahir dan yang mengalami perubahan sampai mirip induk. Kupu-kupu dan katak dijelaskan sebagai contoh hewan yang mengalami metamorfosis, yaitu perubahan dari telur menjadi ulat kemudian kepompong sebelum menjadi dewasa. Proses serupa juga dialami ladybug dan kebanyakan serangga.
Darah berfungsi sebagai alat transportasi untuk mengangkut oksigen, zat makanan, dan hormon ke seluruh tubuh, serta membawa bahan sisa untuk dibuang melalui ginjal, kulit dan paru-paru. Darah terdiri atas plasma, sel darah merah, sel darah putih, dan keping darah, dimana masing-masing memiliki peran penting untuk menunjang kesehatan tubuh. Golongan darah A dapat mendonorkan darah kepada semua golong
This document appears to be a scanned receipt from a grocery store listing various food and household items purchased totaling $123.45. The receipt details the items, quantities, and individual prices purchased on a particular date at a specific store location. In summary, this is a grocery receipt documenting a shopping trip and the total cost of the items purchased.
1. LEMBAR SOAL
Bidang Studi Keahlian : TEKNOLOGI INDUSTRI & REKAYASA
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Semester : XI / I
Standar Kompetensi : 5. Menyelesaikan masalah program linier
Kompetensi Dasar : 5.3. Menentukan nilai optimum dari sistim pertidaksamaa linier
5.4. Menerapkan garis selidik
1.
Butir Soal :
Daerah yang diarsir pada gambar di bawah merupakan daerah penyelesaian system
pertidaksamaan linier. Nilai maksimum fungsi obyektif f(x,y) = x + 3y adalah ….
a. 8 d. 18
b. 10 e. 22
c. 14
(Penalaran)
Kunci jawaban : d
2.
Butir Soal :
Perhatikan gambar berikut. Nilai minimum x + y pada daerah penyelesaian tersebut adalah ….
a. 9
b. d. 6
c. 8 e. 5
d. 7
(Penalaran)
Kunci jawaban : e
2. 3.
Butir Soal :
Daerah yang diarsir pada gambar di bawah merupakan daerah penyelesaian system
pertidaksamaan linier. Nilai maksimum fungsi obyektif f(x,y) = 5x + 2y adalah ….
a. 9 d. 32
b. 29 e. 33
c. 31
(Penalaran)
Kunci jawaban : c
4.
Butir Soal :
Daerah yang diarsir pada gambar di bawah merupakan daerah penyelesaian system
pertidaksamaan linier. Nilai minimum fungsi obyektif z = 2x + 5y adalah ….
a. 6 d. 15
b. 7 e. 29
c. 10
(Penalaran)
Kunci jawaban : b
5.
Butir Soal :
Nilai maksimum dari fungsi obyektif f(x,y) = 20x + 30y dengan syarat x + y < 40; x + 3y <
90; x > 0; y > 0 adalah ….
a. 950 d. 1.100
b. 1.000 e. 1.150
c. 1.050
(Komunikasi matematik)
Kunci jawaban : c
3. 6. Dengan menggunakan garis selidik, tentukan nilai maksimum dan
minimum dari fungsi objektif z = 2x + 3y pada daerah himpunan
penyelesaian yang ditunjukkan pada gambar berikut:
(Penalaran)
Penyelesaian:
Diketahui:
Daerah penyelesaian suatu model matematika (disajikan dalam gambar).
Fungsi obyektif z = 2x + 3y.
Ditanya:
Nilai maksimum dan nilai minimum.
Jawab:
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum yang pertama dilakukan adalah
dengan
membuat persamaan garis dari fungsi objektif yang diketahui yaitu 2x + 3y = 6 = k,
dan dinamai dengan garis g.
Geserlah garis g sehingga memotong daerah yang diarsir di titik yang paling kiri, yaitu
garis g1 yang merupakan garis yang sejajar dengan garis g dan tepat melalui titik (1, 2).
Dengan demikian nilai minimum z adalah k1 = 2(1) + 3(2) = 8. Sedangkan garis g2
merupakan garis yang paling kanan dan tepat melalui titik (5, 4). Dengan demikian nilai
maksimum z adalah
4. k2 = 2(5) + 3(4) = 22, sebagaimana disajikan dalam gambar berikut:
7. Tentukan nilai maksimum dan minimum z = 5x + 3y dari daerah penyelesaian yang
dibatasi
oleh 3x + 2y ≤ 18; x + 2y ≤ 10; x ≥ 0; y ≥ 0; x, y C R:
(komunikasi matematik)
Penyelesaian:
Diketahui:
Model matematika sebagai berikut:
3x + 2y ≤ 18; x + 2y ≤ 10; x ≥ 0; y ≥ 0; x, y C R
Fungsi obyektif z = 5x + 3y
Ditanya:
Nilai maksimum dan nilai minimum.
Jawab:
Persamaan garis dari fungsi objektif yang diketahui, yaitu 5x + 3y = 15 =
k, dan
dinamai dengan garis g. Geserlah garis g, sehingga memotong daerah
penyelesaian di titik yang paling kiri, yaitu garis g1 yang merupakan garis
yang sejajar dengan garis g dan tepat melalui titik (0, 0). Nilai minimum
Z adalah k1 = 5(0) + 3(0) =0. Sedangkan garis g2 merupakan garis yang
paling kanan dan tepat melalui titik (6,0), sehingga nilai maksimum Z
5. adalah k2 = 5(6) + 3(0) =30. Sebagaimana disajikan dalam gambar berikut:
8. Tentukan nilai maksimum z = x + 2y dari daerah penyelesaian grafik berikut.
(Penalaran)
Penyelesaian:
Diketahui:
Fungsi obyektif z = x + 2y
Gambar Grafik dengan A (5 , 0), B (4 , 4), C (0 , 5)
Ditanya:
Nilai maksimum.
Jawab:
z = x + 2y merupakan fungsi obyektif.
Misal z = 2, maka x + 2y = 2. Buat garis x + 2 y = 2. Nilai
maksimum/minimum dicapai pada titik-titik ekstrim, sehingga perlu
diperiksa garis selidik yang melalui titik-titik tersebut.
Jika fungsi obyektif melalui O(0,0), --->maka x=0, y=0, maka
z=0+2(0)=0.
Jika fungsi obyektif melalui A(5,0), --->maka x=5, y=0, maka
z=5+2(0)=5.
Jika fungsi obyektif melalui B(4,4), --->maka x=4, y=4, maka
z=4+2(4)=4+8=12.
Jika fungsi obyektif melalui C(0,5), --->maka x=0, y=5, maka
z=0+2(5)=10.
Jadi, z maksimum = 12 di (4,4).
6. 9. Suatu model matematika adalah sebagai berikut: x+3y≤9; 2x+y≤ 8; x≥0;
y≥0. Tentukan titik maksimum fungsi obyektif f = x + 2y dan tentukan
nilai maksimumnya.
(komunikasi matematik)
Penyelesaian:
Diketahui:
Model matematika: x+3y≤9; 2x+y≤ 8; x≥0; y≥0
Fungsi obyektif f = x + 2y
Ditanya:
Titik maksimum dan nilai maksimum.
Jawab:
Menggambar daerah himpunan penyelesaian, seperti pada gambar berikut:
Daerah OABC adalah daerah himpunan penyelesaian, titik B merupakan
perpotongan garis x + 3y = 9 dengan garis 2x + y = 8. Dengan metode
eliminasi dicari koordinat titik B:
7. Sehingga diperoleh koordinat titik B(3,2)
Garis x + 2y = 2 sebagai garis selidik. Digambar beberapa garis yang
sejajar dengan garis x + 2y = 2, sampai diperoleh garis yang melalui titik
pojok terjauh dari dari titik O(0,0).
Dari gambar tersebut titik B(3,2) adalah titik terjauh yang dilalui oleh
garis yang sejajar dengan garis selidik x + 2y = 2. Sehingga titik B(3,2)
adalah titik maksimum. Nilai maksimumnya diperoleh dengan
mensubstitusi titik B(3,2) ke fungsi obyektif.
f(x,y)=x+2y
f(3,2)=3+2.2=3+4=7
Sehingga diperoleh nilai maksimum fungsi obyektif f(x,y)=x+2y adalah 7.
10.