Formulasi LP Minimisasi

PENDAHULUAN
KODE MK / STEKPI / BAB 3

BAB 3
LINEAR PROGRAMMING : METODE SIMPLEKS
PERMASALAHAN MINIMISASI

PENDAHULUAN

ingga saat ini yang telah kita pelajari adalah penyelesaian permasalahan
linear programming dengan tanda pertidaksamaan ≤ yang biasanya kita jumpai dalam
permasalahan dengan fungsi tujuan maksimisasi. Prosedur dalam penyelesaian
permasalahan maksimisasi dapat juga kita gunakan untuk menyelesaikan permasalahan
minimisasi yang biasanya mempunyai tanda ≥ dan atau = pada fungsi kendalanya.
Pada bab 3 ini akan kita bahas penyelesaian permasalahan LP dengan fungsi
tujuan minimisasi. Pembahasan akan dimulai dengan memformulasikan permasalahan
sesuai dengan standard simpleks, kemudian dilanjutkan dengan melakukan iterasi atau
perbaikan tabel hingga optimal dan bagian terakhir pada bab ini akan dikemukakan
beberapa issue teknis yang sering kita jumpai dalam metode simpleks
Setelah mempelajari modul ini diharapkan anda dapat:
1. Memformulasikan permasalahan sesuai standard simpleks untuk fungsi kendala
dengan tanda ≥ dan atau = .
2. Menyelesaikan permasalahan linear programming dengan iterasi simpleks
untuk fungsi tujuan minimisasi.
3. Menginterpretasikan tabel optimal simpleks
4. Memahami adanya kasus khusus di dalam metode simpleks.

3.29 55


TOPIK 1

Formulasi Permasalahan LP sesuai dengan Standard
Simpleks :Kasus Minimisasi

A. FORMULASI PERMASALAHAN MENURUT METODE SIMPLEKS UNTUK
TANDA PERTIDAKSAMAAN ≥ DAN ═

Pada topik ini akan kita bahas mengenai penyelesaian permasalahan LP dengan
fungsi tujuan minimisasi. Pada permasalahan minimisasi, biasanya kita jumpai tanda ≥
pada fungsi kendala. Kendati demikian tidak menutup kemungkinan fungsi kendala
mempunyai tanda ═ .
Dalam menyelesaikan permasalahan LP dengan metode simpleks, langkah
pertama yang harus kita lakukan adalah menyesuaikan formulasi permasalahan dengan
standard simpleks. Dengan kata lain kita harus merubah tanda pertidaksamaan menjadi
persamaan.
Pada fungsi kendala dengan tanda ≤ kita harus menambahkan slack variabel yang
menyatakan kapasitas yang tidak digunakan atau yang tersisa pada departemen tersebut.
Hal ini karena ada kemungkinan kapasitas yang tersedia tidak semuanya digunakan
dalam proses produksi. Pada permasalahan minimisasi kita jumpai fungsi kendala
dengan tanda ≥ , artinya bahwa kita dapat menggunakan sumberdaya lebih dari yang
tersedia. Pertanyaan yang muncul adalah berapa besarnya kelebihan sumberdaya yang
telah kita gunakan dari yang tersedia ?. Untuk menyatakan kelebihan sumberdaya yang
digunakan dari yang tersedia ini, maka kita harus mengurangi kendala tersebut dengan
surplus variabel. Surplus variabel ini sering juga disebut sebagai slack variabel yang
negatif.
Karena nilai solusi pada permasalahan LP harus non-negatif maka untuk
mengatasi masalah ini kita harus menambahkan artificial variabel (A). Artificial

3.29 56


variabel ini secara phisik tidak mempunyai arti, dan hanya digunakan untuk kepentingan
perhitungan saja.
Untuk lebih memahami permasalahan ini marilah kita lihat permasalahan Galuh
Chemical Company. Galuh Chemical Company harus membuat 1000 unit campuran
phospate dan postassium. Biaya per unit phospate adalah $5, sedangkan biaya per unit
postassium $6. Jumlah phospate yang dapat digunakan tidak lebih dari 300 unit
sedangkan postassium harus digunakan minimal 150 unit. Berapa masing-masing
jumlah phospate dan postassium yang harus digunakan agar biaya total minimum ?
Permasalahan Galuh Chemical Company dapat kita formulasikan ke dalam
bentuk LP sebagai berikut :
Fungsi Tujuan :
Minimisasikan Cost Z = 5X1 + 6X2
Fungsi kendala :
X1 + X2 = 1000
X1 ≤ 300
X2 ≥ 150
X1, X2 ≥ 0
Dimana X1 = jumlah phospate dalam unit
X2 = jumlah postassium dalam unit
Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dengan metode simpleks kita harus
memformulasikan kembali permasalahan tersebut sesuai dengan standard simpleks.
Formulasi sesuai standard simpleks artinya kita harus merubah tanda pertidaksamaan (≤
maupun ≥ ) menjadi persamaan. Untuk kendala dengan tanda = kita hanya
menambahkan artificial variabel saja. Sehingga kendala yang pertama akan menjadi :
X1 + X2 + A1 = 1000
Kendala kedua, X1 ≤ 300 , kita tambahkan slack variabel sehingga menjadi :
X1 + S1 = 300
Sedangkan kendala ketiga, X2 ≥ 150, harus dikurangi dengan surplus variabel dan
ditambah dengan artificial variabel, sehingga menjadi :
X2 – S2 + A2 = 150
Terakhir kita harus menuliskan fungsi tujuan. Karena dalam fungsi kendala ada artificial
variabel, maka kita harus memberikan koefisien +M untuk artificial variable tersebut di

3.29 57


fungsi tujuan. Koefisien +M ini menunjukkan angka yang sangat besar nilainya,
sehingga dalam kasus ini dapat diinterpretasikan biaya yang sangat tinggi. Fungsi tujuan
dalam permasalahan Galuh Chemical Company akan menjadi :
Minimisasikan biaya Z = 5X1 + 6X2 + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2
Formulasi sesuai standard simpleks dari permasalahan Galuh Chemical Company secara
lengkap adalah :
Fungsi Tujuan :
Minimisasikan biaya Z = 5X1 + 6X2 + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2
Fungsi kendala :
X1 + X2 + A1 = 1000
X1 + S1 = 300
X2 – S2 + A2 = 150
X1, X2, S1, S2, A1, A2 ≥ 0
Apabila pada fungsi kendala terdapat artificial variabel, sedangkan fungsi
tujuannya maksimisasi, maka koefisien artificial variabel pada fungsi tujuan adalah –M.

B. MEMBUAT TABEL AWAL SIMPLEKS
Seperti halnya yang telah kita pelajari pada bab 2 , langkah selanjutnya untuk
menyelsesaikan permasalahan LP dengan metode simpleks adalah membuat tabel awal.
Pada dasarnya untuk membuat tabel awal pada permasalahan minimisasi sama dengan
permasalahan maksimisasi yang telah kita bahas pada bab 2. Hanya saja karena pada
permasalahan Galuh Chemical Company kita mengenal variabel lain selain slack
variabel yaitu surplus variabel dan artificial variabel, maka variabel yang boleh masuk
ke kolom product mix pada tabel awal ini hanyalah slack variabel dan artificial variabel.
Tabel awal permasalahan Galuh Chemical Company dapat dilihat pada Tabel 3.1.

3.29 58


Tabel 3.1. Tabel Awal kasus Galuh Chemical Company

Cj 5 6 0 0 +M +M
Product Mix X1 X2 S1 S2 A1 A2 Q
A1 +M 1 1 0 0 1 0 1000
S1 0 1 0 1 0 0 0 300
A2 +M 0 1 0 -1 0 1 150
Zj +M 2M 0 -M +M +M 1050M
Cj-Zj 5-M 6-2M 0 M 0 0

Angka pada baris Cj (5, 6, 0, 0, +M, +M) tersebut adalah koefisien pada fungsi
tujuan. Sedangkan angka (1, 1, 0, 0, 1, 0) pada baris A1 serta angka (1, 0, 1, 0 0, 0)
pada baris S1 dan angka (0, 1, 0, -1, 0, 1) pada baris A2 adalah koefisien pada kendala
1, 2 dan 3. Angka pada baris Zj (+M, 2M, 0, -M , +M, +M ) diperoleh dari
penjumlahan hasil kali kolom Cj dengan kolom yang bersesuaian. Sebagai contoh kita
akan menentukan nilai Zj kolom X1 = (M x 1) + (0 x 1) + (M x 0) = M. Dengan cara
yang sama kita peroleh nilai Zj pada kolom yang lain. Angka pada baris Cj – Zj
diperoleh dari angka pada baris Cj dikurangi dengan angka pada baris Zj. Sebagai
contoh kita akan menghitung nilai Cj – Zj pada kolom X1 = 5 (yaitu angka pada baris
Cj) – M (angka pada baris Zj) = 5 - M . Demikian juga untuk menghitung nilai Cj – Zj
untuk kolom-kolom yang lain digunakan cara yang sama.

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, silakan anda
mengerjakan latihan berikut ini !
1. Apakah yang dimaksud dengan surplus variabel ?
2. Bagimanakah formulasi yang sesuai dengan standard simpleks untuk fungsi
kendala dengan tanda ≥.
3. Variabel apa sajakah yang boleh masuk ke dalam kolom product mix pada
tabel awal simpleks?
4. Jika pada fun gsi kendala terdapat artificial variable, bagaimanakah
dampaknya pada fungsi tujuan minimisasi?

3.29 59


RANGKUMAN

Dalam formulasi permasalahan LP sesuai standard simpleks untuk
fungsi kendala dengan tanda ≥ harus dikurangi dengan surplus variable dan
ditambah dengan artificial variable. Sedangkan untuk fungsi kendala dengan
tanda = hanya ditambah ariticial variable.
Karena pada fungsi kendala terdapat artificial variable, maka pada
fungsi tujuan harus ditambahkan koefisien -M untuk permasalahan
maksimisasi serta koefisien +M untuk permasalahan minimisasi.

TES FORMATIF 1

Pilih salah satu jawaban yang paling tepat dari beberapa alternatif jawaban yang
disediakan!

1. Misal diketahui kendala suatu masalah program linier adalah :
4x + 2y ≥ 10
2x + y = 12
Maka bila kendala itu diubah menjadi bentuk simplex yaitu
A. 4x + 2y – SL = 10 , 2x + y = 12
B. 4x + 2y + A1 = 10, 2x + y – A2 = 12
C. 4x + 2y + SP = 10, 2x + y + SL = 12
D. 4x + 2y – SL + A1 = 10, 2x + y + A2 = 12 *

Keterangan :SL = slack variabel
SP = surplus variabel
A1 = artificial variabel untuk kendala 1
A2 = artificial variabel untuk kendala 2

3.29 60


2). Dalam table awal simpleks dengan fungsi tujuan minimisasi, variable yang masuk ke
dalam kolom product mix adalah:
A. hanya slack variable saja
B. slack dan surplus variable
C. surplus dan artificial variable
D. slack dan / atau artificial variable *

3) Untuk masalah minimisasi, koefisien dari fungsi tujuan untuk artificial variable
adalah:
A. nol
B. +M *
C. –M
D. 1

Suatu permasalahan linear programming yang sudah diformulasikan adalah
sebagai berikut :
Fungsi Tujuan Min Z = 3x + 2y
Fungsi Kendala x + y ≥ 600
3x + y = 1500
x + 3y ≤ 1500
x,y ≥ 0

Siapkan table awal simpleks kemudian jawablah pertanyaan berikut ini.

4) Apabila permasalahan tersebut di atas diselesaikan dengan metode simplex maka
jumlah artificial variablenya adalah :
A. 0
B. 1
C. 2 *
D. 3

3.29 61


5) Jumlah slack variable nya adalah :
A. 0
B. 1 *
C. 2
D. 3

6) Jumlah surplus variable nya adalah :
A. 0
B. 1 *
C. 2
D. 3

7) Variable yang masuk dalam kolom kolom product mix adalah :
A. 1 artificial variable dan 2 surplus variable
B. 1 artificial variable dan 2 slack variable
C. 2 artifial variable dan 1 slack variable *
D 3 slack variable

8) Nilai Zj pada kolom x adalah :
A. 0
B. M
C. 3M
D. 4M *

9) Nilai Cj – Zj kolom y adalah :
A. 2
B. 2 – M
C. 2 – 2M *
D. 2 – 4M

10) Nilai Zj pada kolom kuantitas adalah :
A. 0
B. 600M
C. 1500 M
D. 2100 M *

3.29 62


Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat
di bagian akhir modul ini, dan hitunglah jumlah jawaban Anda yang benar. Kemudian
gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda dalam materi
Kegiatan Belajar 1.

Rumus

jumlah jawaban Anda yang benar
Tingkat penguasaan = x 100%
10

Arti tingkat penguasaan yang Anda capai:
90 % - 100 % = baik sekali
80 % - 89 % = baik
70 % - 79 % = sedang
< 70 % = baik sekali

Kalau Anda mencapai tingkat penguasaan 80 % ke atas, anda dapat meneruskan
dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Tetapi kalau nilai Anda di bawah 80 %, Anda harus
mengulangi Kegiatan Belajar 1, terutama yang belum Anda kuasai.

3.29 63


TOPIK 2

Penyelesaian Permasalahan LP dengan Metode
Simpleks: Kasus Minimisasi

A. MENENTUKAN PIVOT COLUMN DAN PIVOT ROW

Untuk melakukan perbaikan tabel kita harus menentukan pivot column dan pivot
row seperti yang telah kita bahas pada kasus maksimisasi. Hanya saja penentuan pivot
column pada kasus minimisasi berbeda dengan kasus maksimisasi. Pada kasus
minimisasi, pivot column ditentukan dengan cara memilih angka pada baris CJ – Zj
yang mempunyai tanda negatif serta angkanya paling besar.
Langkah-langkah yang harus dilakukan dalam perbaikan tabel adalah sebagai-
berikut :
1. Menentukan pivot column (variabel yang akan masuk ke dalam kolom
Product Mix), yaitu dengan memilih variable yang mempunyai nilai Cj –
Zj negatif serta angkanya paling besar. Pivot column ini disebut juga
optimal column atau kolom kunci.
2. menentukan pivot row (variable yang akan keluar dari kolom Product
Mix), yaitu dengan membagi kolom quantitas dengan optimal column atau
pivot column kemudian pilih hasil bagi non-negatif terkecil.

Untuk lebih memahami bagaimana kita menentukan pivot column dan pivot
row, marilah kita lihat kembali tabel awal Galuh Chemical Company.

3.29 64


Tabel 3.2. Menentukan Pivot Column dan Pivot Row Kasus Galuh
Chemical Company

Cj 5 6 0 0 +M +M
A1 +M 1 1 0 0 1 0 1000
S1 0 1 0 1 0 0 0 300
A2 +M 0 1 0 -1 0 1 150 Pivot row
Zj +M 2M 0 -M +M +M 1050M
Cj-Zj 5-M 6-2M 0 M 0 0
Pivot
column

Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa variable yang mempunyai nilai Cj – Zj
negatif dan angkanya paling besar adalah variabel X2, karena M menyatakan bilangan
yang sangat besar nilainya. Dengan demikian variabel X2 disebut sebagai Pivot
Column. Untuk menentukan pivot row, kita akan membagi angka pada kolom kuantitas
dengan pivot column (kolom X2), kemudian kita pilih hasil bagi non-negatif terkecil.
Pada kasus Galuh Chemical Company, variabel yang merupakan pivot row (baris kunci)
adalah variabel A2. Oleh karena itu pada tabel berikutnya (Tabel 2), variabel A2 akan
keluar dan digantikan oleh variabel X2.

B. MELAKUKAN ITERASI (PERBAIKAN TABEL)

Dalam baris Cj – Zj tabel 3.1, dapat kita lihat terdapat 2 variabel yang
mempunyai nilai negatif yaitu X1 dan X2. Dalam aturan permasalahan minimisasi,
apabila pada baris Cj-Zj masih terdapat nilai negtif maka tabel tersebut belum optimal,
oleh karena itu kita perlu melakukan iterasi.
Dalam melakukan iterasi langkah yang kita lakukan sama seperti pada
permasalahan maksimisasi, yaitu menentukan pivot column dan pivot row terlebih
dahulu. Penentuan pivot column dan pivot row ini sudah kita lakukan pada bagian A
topik ini. Yang merupakan pivot column adalah variabel X2 sedangkan pivot row
adalah variabel A2. Setelah pivot column dan pivot row ditentukan maka kita akan

3.29 65


menghitung baris X2 untuk tabel 2 ini yaitu dengan cara baris A2 tabel awal dibagi
pivot number (angka kunci), yaitu 1.
Perhitungan nilai pada baris X2 adalah sebagai berikut :
X1 0 ÷ 1 = 0
X2 1 ÷ 1 = 1
S1 0 ÷ 1 = 0
S2 -1 ÷ 1 = -1
A1 0 ÷ 1 = 0
A2 1 ÷ 1 = 1
KUANTITAS 150 ÷ 1 = 150

Angka-angka pada baris X2 secara lengkap dapat dilihat pada tabel berikut:
PRODUCT MIX Cj X1 X2 S1 S2 A1 A2 Q
X2 6 0 1 0 -1 0 1 150

Langkah selanjutnya adalah mengisi baris yang lain yang bukan merupakan
pivot row, yaitu angka pada baris lama tabel sebelumnya dikurangi dengan hasil
perkalian antara angka pada pivot column baris bersangkutan, dengan angka pada baris
baris yang menggantikan. Dalam kasus Galuh Chemical Company ada 2 variabel yang
akan dihitung nilai pada baris yang baru yaitu baris A1 dan S1.

Perhitungan angka pada baris A1 tabel 2 adalah sebagai berikut :
Angka Baris ═ Angka Baris A1 ─ Angka pada Pivot × Angka yang bersesuaian
pada Baris X2
A1 yang yang Lama Column baris A1
Baru
1 ═ 1 ─ 1 × 0
0 ═ 1 ─ 1 × 1
0 ═ 0 ─ 1 × 0
1 ═ 0 ─ 1 × -1
1 ═ 1 ─ 1 × 0
-1 ═ 0 ─ 1 × 1
850 ═ 1000 ─ 1 × 150

3.29 66


Baris S2 yang baru pada tabel 2 akan terlihat sebagai berikut :
A1 +M 1 0 0 1 1 -1 850

Perhitungan angka pada baris S1 tabel 2 adalah sebagai berikut :

Angka Baris ═ Angka Baris S1 ─ Angka pada Pivot × Angka yang bersesuaian
pada Baris S2
S1 yang Baru yang Lama Column baris S1
1 ═ 1 ─ 0 × 0
0 ═ 0 ─ 0 × 1
1 ═ 1 ─ 0 × 0
0 ═ 0 ─ 0 × -1
0 ═ 0 ─ 0 × 0
0 ═ 0 ─ 0 × 1
300 ═ 300 ─ 0 × 150

Baris S1yang baru pada tabel 2 akan terlihat sebagai berikut :
S1 0 1 0 1 0 0 0 300

Tabel 2 dari kasus Galuh Chemical Company secara lengkap adalah sebagai
berikut :
Tabel 3.3. Tabel 2 Kasus Galuh Chemical Company
Cj 5 6 0 0 +M +M
A1 +M 1 0 0 1 1 -1 850
S1 0 1 0 1 0 0 0 300
X2 6 0 1 0 -1 0 1 150
Zj +M 6 0 M-6 +M 6-M 900+850M
Cj-Zj 5-M 0 0 6-M 0 -
6+2M

Perbaikan tabel ini akan kita lakukan hingga kita memperoleh tabel optimal,
yaitu apabila baris Cj – Zj sudah positif atau nol. Karena pada tabel 2 ini masih kita
jumpai angka yang bertanda negatif pada baris Cj-Zj yaitu angka pada kolom X1 (5-M)

3.29 67


dan kolom S2 (6-M), maka kita akan melakukan perbaikan tabel dengan membuat tabel
3 dan seterusnya hingga memperoleh tabel optimal. Langkah-langkah yang harus
dilakukan untuk membuat tabel perbaikkan sama dengan langkah-langkah yang telah
kita lakukan pada saat membuat tabel 2 yaitu: tentukan pivot column, pivot row, pivot
number, kemudian hitung angka pada baris yang menggantikan serta angka pada baris
yang lainnya.
Pivot column pada tabel 2 di atas adalah kolom X1 (karena mempunyai angka
negatif terbesar yaitu 5-M), dan pivot row adalah baris S1 (karena merupakan hasil bagi
non-negatif terkecil). Untuk lebih jelasnya perhatikan perhitungan untuk menentukan
pivot row berikut ini :
Untuk baris A1 : 850/1 = 850
Untuk baris S1 : 300/1 = 300 rasio non-negatif terkecil pivot row
Untuk baris X2: 150/0 abaikan rasio seperti ini
Seperti halnya pada saat kita membuat tabel 2, untuk membuat tabel 3 ini setelah
kita menentukan pivot column dan pivot row maka kita akan menentukan pivot number
dan kemudian akan mengisi angka pada baris yang menggantikan yaitu baris X1. Pivot
number pada tabel 2 adalah 1, yaitu angka pada perpotongan kolom X1 dan baris S1.
Angka-angka pivot column, pivot row serta pivot number pada tabel 2 dapat dilihat
pada tabel berikut ini:
Untuk mengisi angka-angka pada baris X1 tabel 3 kita akan membagi angka-
angka pada baris S1 tabel 2 dengan pivot number. Perhitungan selengkapnya adalah
sebagai berikut :
Kolom X1 1 ÷ 1=1
Kolom X2 0 ÷ 1= 0
Kolom S1 1 ÷ 1= 1
Kolom S2 0 ÷ 1= 0
Kolom A1 0 ÷1 = 0
Kolom A2 0÷ 1 = 0
Kolom Kuantitas 300 ÷ 1 = 300

3.29 68


Sehingga baris X1 pada tabel 3 akan terlihat seperti berikut ini
Product Mix Cj X1 X2 S1 S1 A1 A2 Q
X1 5 1 0 1 0 0 0 300

Setelah mengisi angka-angka pada baris X1 maka untuk melengkapi tabel 3 kita
harus mengisi angka-angka pada baris A1 dan X2. Cara untuk mengisi angka-angka
pada baris A1 dan X2 sama dengan cara untuk mengisi baris lainnya pada tabel 2 di
atas. Perhitungan secara lengkap dapat dilihat pada tabel berikut ini :
Mengisi angka pada baris A1
Angka Baris ═ Angka Baris A1 ─ Angka pada Pivot × Angka yang bersesuaian
pada Baris S1
A1yang Baru yang Lama Column baris A1
0 ═ 1 ─ 1 × 1
0 ═ 1 ─ 1 × 0
-1 ═ 0 ─ 1 × 1
1 ═ 1 ─ 1 × 0
1 ═ 1 ─ 1 × 0
-1 ═ -1 ─ 1 × 0
550 ═ 850 ─ 1 × 300

Baris A1 yang baru pada tabel 3 akan terlihat sebagai berikut :
A1 M 0 0 -1 1 1 -1 550

3.29 69


Menghitung angka pada baris X2 tabel 3.
Angka Baris ═ Angka Baris X2 ─ Angka pada Pivot × Angka yang bersesuaian
pada Baris S1
X2 yang yang Lama Column baris X2
Baru
0 ═ 0 ─ 0 × 1
1 ═ 1 ─ 0 × 0
0 ═ 0 ─ 0 × 1
-1 ═ -1 ─ 0 × 0
0 ═ 0 ─ 0 × 0
1 ═ 1 ─ 0 × 0
150 ═ 150 ─ 0 × 300

Sehingga angka Baris A1 pada tabel 3 akan terlihat sebagai berikut :
X2 6 0 1 0 -1 0 1 150

Tabel 3 secara lengkap dapat dilihat seperti tabel di bawah ini :
Tabel 3.4 Tabel 3 Galuh Chemical Company
Cj 5 6 0 0 +M +M

Product X1 X2 S1 S2 A1 A2 Q
Mix
A1 +M 0 0 -1 1 1 -1 550
X1 5 1 0 1 0 0 0 300
X2 6 0 1 0 -1 0 1 150 Pivot
row
Zj 5 6 5-M -6+M +M -6- 2400+550M
5M
Cj-Zj 0 0 5+M 6-M 0 6M-6
Pivot
column

Dari tabel 3.4 ternyata belum optimal karena pada baris Cj-Zj masih kita jumpai
angka negatif yaitu pada kolom S2. Oleh karena itu kita akan membuat tabel yang ke 4.
pivot column pada tabel 3 adalah kolom S2 sedangkan pivot row adalah baris A1.
Perhatikan hasil perhitungan berikut ini.
Baris A1: 550/1 = 550 pivot row

3.29 70


Baris X1 = 300/0 = 0 abaikan
Baris X2 = 150/ -1 = -150 abaikan

Dari informasi di atas berarti variabel yang akan masuk ke tabel 4 adalah
variabel S2 sedangkan variabel yang akan keluar adalah variabel A1. untuk membuat
tabel 4 kita akan mengisi angka pada baris S2 terlebih dahulu baru kemudian angka
pada baris X1 dan X2.

X1 0 : 1 = 0
X2 0 : 1 = 0
S1 -1 : 1 = -1
S2 1 : 1 = 1
A1 1 : 1 = 1

A2 -1 : 1 = -1
Q 550 : 1 = 550

Angka pada baris S2 secara lengkap sebagai berikut
Product Cj X1 X2 S1 S2 A1 A2 Q
Mix
S2 0 0 0 -1 1 1 -1 550

Perhitungan angka baris X1
Angka ═ Angka ─ Angka pada × Angka yang
Baris X1 Baris X1 Pivot Column bersesuaian
pada Baris X2
yang Baru yang Lama baris X1

1 ═ 1 ─ 0 × 0

0 ═ 0 ─ 0 × 1
1 ═ 1 ─ 0 × 0
0 ═ 0 ─ 0 × -1
0 ═ 0 ─ 0 × 0
0 ═ 0 ─ 0 × 1
300 ═ 300 ─ 0 × 150

3.29 71


Angka pada baris X1 secara lengkap adalah sebagai berikut:
Mix
X1 5 1 0 1 0 0 0 300

Perhitungan angka pada baris X2 tabael 4
Angka ═ Angka Baris ─ Angka pada × Angka yang
Baris A1 A1 yang Pivot Column bersesuaian
pada Baris X2
yang Baru Lama baris A1
0 ═ 0 ─ -1 × 0

1 ═ 1 ─ -1 × 0
-1 ═ 0 ─ -1 × -1
0 ═ -1 ─ -1 × 1
1 ═ 0 ─ -1 × 1
0 ═ 1 ─ -1 × -1
700 ═ 150 ─ -1 × 550

Angka pada baris X2 secara lengkap adalah sebagai berikut
Mix
X2 6 0 1 -1 0 1 0 700

Tabel 4 secara lengkap dapat dilihat pada tabel 3.5.
Tabel 3.5. Tabel Optimal Kasus Galuh Chemical Company
Cj 5 6 0 0 +M +M
Product X1 X2 S1 S2 A1 A2 Q
Mix
S2 0 0 0 -1 1 1 -1 550
X1 5 1 0 1 0 0 0 300
X2 6 0 1 -1 0 1 0 700
Zj 5 6 -1 0 6 0 5700
Cj-Zj 0 0 1 0 M-6 M

Karena pada baris Cj – Zj pada tabel 4 tersebut sudah positif dan nol maka tabel 4
merupakan tabel optimal. Dari tabel 4 dapat kita simpulkan bahwa jumlah X1 yang
diproduksi 300 unit, X2 700 unit dengan biaya total $ 5.700. S2 sebesar 550

3.29 72


menunjukkan bahwa jumlah postassium yang dipakai lebih dari yang tersedia. Besarnya
kelebihan tersebut adalah 550.

C. ISU TEKNIS PADA METODE SIMPLEKS
Pada bab 1 sudah dijelaskan isu teknis permasalahan LP jika penyelesaian
dilakukan secara grafik. Pada bab ini akan dijelaskan kembali isu teknis dalam LP tetapi
dalam kaitannya dengan penyelesaian secara simpleks. Isu teknis yang akan dibahas
adalah infeasibility, unboundedness solution, degeneracy, serta alternative optima.
Infeasibility adalah suatu situasi dimana tidak ada solusi yang memenuhi
semua kendala. Jika kita menyelesaikan secara simpleks, infeasibility ini akan terlihat
jika semua angka pada baris Cj –Zj sudah menunjukkan solusi yang optimal, namun
artificial variable masih berada pada kolom product mix.
FT Mks Z = 3 X1 + 2 X 2
FK 2X1 + X 2 ≤ 2
3 X1 + 4 X 2 ≥ 12
X1 , X 2 ≥ 0

Cj 3 2 0 0 -M
Product X1 X2 S1 S2 A2 Q
Mix
S1 0 2 1 1 0 0 2
A2 -M 3 4 0 -1 1 12
Zj -3M -4M 0 +M -M -12 M
Cj-Zj 3+3M 2+4M 0 -M 0
Pivot
column

Cj 3 2 0 0 -M
Product X1 X2 S1 S2 A2 Q
Mix
S1 2 2 1 1 0 0 2
A2 -M -5 0 -4 -1 1 4
Zj 4+5M -4M 0 +M -M 4-4 M
Cj-Zj -1-5M 0 -2-4M -M 0

3.29 73


Solusi optimal tetapi artificial variable tetap menjadi variable keputusan.

Unboundedness solution adalah situasi yang menggambarkan bahwa
permasalahan LP tidak mempunyai batasan solusi. Hal ini terjadi pada kasus
maksimisasi. Dalam metode simpleks, situasi unboundedness akan terlihat apabila saat
kita akan menentukan pivot row, tidak ada angka yang memenuhi syarat, yaitu: tidak
ada hasil bagi yang non-negatif.
Fungsi tujuan: Maks Z = 15 X1 + 10 X2
Subject to 5 X2 ≤ 25
2X1 + X2 ≥ 4
Tabel
Cj 15 10 -M 0 0
Product X1 X2 A1 S1 S2 Q
Mix
S1 0 0 5 0 1 0 25 25/0
A2 -M 2 1 1 0 -1 4 4/2 =2
Zj -2M -M -M 0 +M -4 M
Cj-Zj 15+2M 10+M 0 0 -M
Pivot
column

Cj 15 10 -M 0 0
Product X1 X2 A1 S1 S2 Q
Mix
S1 0 0 5 0 1 0 25
X1 15 1 0.5 0.5 0 -0.5 2
Zj 15 15/2 15/2 0 -15/2 30
Cj-Zj 0 5/2 -M-15/2 0 15/2
unbounded
ness

Degeneracy adalah situasi dimana ada satu variabel solusi (product mix)
bernilai nol. Hal ini diindikasikan adanya hasil bagi yang mempunyai nilai terkecil
sama, saat kita menentukan pivot row.
Kasus

Max 5X1 + 8 X2

3.29 74


Subject to

4X1 + 6X2 < 24

2X1 + X2 < 18

3X1 + 9X2 < 36

X1, X2 >= 0

Cj 5 8 0 0 0
Product Q X1 X2 S1 S2 S3
mix
0 S1 24 4 6 1 0 0 4 Minimal Row
0 S2 18 2 1 0 1 0 18
0 S3 36 3 9 0 0 1 4 Minimal Row
Zj 0 0 0 0 0 0
Cj-Zj 5 8 0 0 0
*
Optimal column

Pada table berikut Q pada S1 bernilai 0, kendati menjadi salah satu variabel pada
solusi. Kalau terjadi bahwa variabel pada solusi bernilai 0, variabel dan solusi tersebut
disebut degenerasi.

Cj 5 8 0 0 0
Product mix Q X1 X2 S1 S2 S3
0 S1 0 2 0 1 0 -0.7 #DIV/0! Degenerasi
0 S2 14 1.67 0 0 1 -0.1 0.12
8 X2 4 0.33 1 0 0 0.11 0.08
Zj 32 2.67 8 0 0 0.89
Cj-Zj 2.33 0 0 0 -0.89
*
Optimal Solution

Alternative optima adalah situasi dimana terdapat lebih dari satu solusi
optimal. Hal ini terjadi jika nilai pada baris Cj – Zj sama dengan nol untuk variabel
yang tidak berada pada kolom Product Mix.
FT Mks Z = 2 X1 + 4 X2
FK X1 + 2 X2 ≤ 5
X1 + X2 ≤ 4

3.29 75


X1 , X2 ≥ 0

Cj 2 4 0 0
Product X1 X2 S1 S2 Q
Mix
S1 0 1 2 1 0 5 5/2
S2 0 1 1 0 1 4 4/1
Zj 0 0 0 0 0
Cj-Zj 2 4 0 0
Pivot
column

Cj 2 4 0 0
Product X1 X2 S1 S2 Q
Mix
X2 4 1/2 1 1/2 0 5/2
S2 0 1/2 0 -1/2 1 3/2
Zj 2 4 2 0 10
Cj-Zj 0 0 -2 0
non basic
variable
=0

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, silakan anda
mengerjakan latihan berikut ini !
1. Bagaimana cara menentukan pivot column untuk fungsi tujuan minimisasi?
2. Bagaimana cara menentukan pivot row untuk fungsi tujuan minimisasi?
3. Apa syarat tabel simpleks untuk fungsi tujuan minimisasi ini optimal ?
4. Sebutkan langkah-langkah dalam penyelesaian permasalahan LP dengan
fungsi tujuan minimum dengan menggunakan metode simpleks.
5. Jelaskan suatu situasi dimana terjadi infeasibility dalam simpleks.
6. Jelaskan suatu situasi dimana terjadi unboundedness dalam simpleks.

3.29 76


7. Jelaskan suatu situasi dimana terjadi degeneracy dalam simpleks.
8. Jelaskan suatu situasi dimana terjadi alternative optima dalam simpleks.

RANGKUMAN

Penyelesaian permasalahan simpleks untuk kasus minimisasi pada
dasarnya sama dengan penyelesaian permasalahan maksimisasi. Perbedaannya
hanyalah pada saat menentukan pivot column yaitu kita pilih angka pada baris
Cj – Zj yang merupakan tanda negatif dan angkanya paling besar. Tabel
disebut optimal jika angka pada baris Cj – Zj sudah positif atau nol.
Pada metode simpleks seringkali dijumpai beberapa kasus yaitu
infeasibility, unboundedness solution, degeneracy, serta alternative optima.

TES FORMATIF 2

Pilih salah satu jawaban yang paling tepat dari beberapa alternatif jawaban yang
disediakan !

1) Manakah dari hal berikut ini yang mengindikasikan bahwa table simpleks dengan
fungsi tujuan minimisasi sudah optimal ?
A. Semua nilai baris Cj-Zj sudah positif atau nol *
B. Semua nilai baris Cj-Zj sudah negative atau nol
C. Tidak ada slack variable yang berada pada kolom product mix
D. Semua angka yang berada pada pivot colum bernilai nol atau negative

2) Dalam menentukan pivot column untuk permasalahan LP dengan fungsi tujuan
minimisasi adalah dengan memilih angka pada :
A. baris Zj positif terbesar
B. baris Zj negative terbesar
C. baris Cj – Zj positif terbesar
D. baris Cj – Zj negative terbesar *

3.29 77


3). Dalam menentukan pivot row untuk fungsi tujuan minimisasi adalah dengan
memilih hasil bagi kolom kuantitas dengan pivot column :
A. positif terbesar
B. negative terbesar
C. negative terkecil
D. non-negatif terkecil *

4) Isue teknis infeasibility diindikasikan oleh :
A. Pada table optimal nilai Cj-Zj = nol untuk non-basic variable
B. Pada saat menentukan pivot row terdapat lebih dari satu hasil bagi terkecil
C. Pada saat menentukan pivot row tidak ada hasil bagi yang non-negatif
D. Artificial variable berada pada kolom product mix meskipun table sudah
optimal*

5) Isue teknis unboundedness diindikasikan oleh :
C. Pada saat menentukan pivot row tidak ada hasil bagi yang non-negatif *
D. Artificial variable berada pada kolom product mix meskipun table sudah optimal

6) Isue teknis degeneracy diindikasikan oleh :
B. Pada saat menentukan pivot row terdapat lebih dari satu hasil bagi terkecil *

7) Isue teknis alternative optima diindikasikan oleh :
A. Pada table optimal nilai Cj-Zj = nol untuk non-basic variable *

Berikut adalah table simpleks yang tidak lengkap dengan fungsi tujuan
maksimisasi :
Product Cj 3 2 0 0 -M
Mix X Y SL SP A Kuantitas
Y 2 2 1 1 0 0 2
A -M -5 0 -4 -1 1 4
Zj
Cj-Zj

3.29 78


Keterangan :
X = produk X
Y = produk Y
SL = slack variable
SP = surplus variable
A = artificial variable

Selesauikan table di atas kemudian jawablah pertanyaan berikut ini

8) Nilai Zj kolom kuantitas adalah :
A. 4
B. 6
C. – 6M
D. 4 – 4M *

9) Yang merupakan pivot kolom adalah :
A. kolom X
B. kolom Y
C. kolom SL
D. tidak ada karena table sudah optimal *

10). Jika table di atas diselesaikan sampai dengan optimal maka kita jumpai adanya
issue teknis yaitu :
A. infeasibility *
B. unboundedness
C. alternative optima
D. degeneracy

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat
di bagian akhir modul ini, dan hitunglah jumlah jawaban Anda yang benar. Kemudian
gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda dalam materi
Kegiatan Belajar 2.

3.29 79


Rumus

jumlah jawaban Anda yang benar
Tingkat penguasaan = x 100%
10

Arti tingkat penguasaan yang Anda capai:
90 % - 100 % = baik sekali
80 % - 89 % = baik
70 % - 79 % = sedang
< 70 % = baik sekali

Kalau Anda mencapai tingkat penguasaan 80 % ke atas, anda dapat meneruskan
dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Tetapi kalau nilai Anda di bawah 80 %, Anda harus
mengulangi Kegiatan Belajar 2, terutama yang belum Anda kuasai.

3.29 80


KUNCI JAWABAN TES FORMATIF

Kunci Jawaban Tes Formatif

Tes Formatif 1

1) D
2) D
3) B
4) C
5) B
6) B
7) C
8) D
9) C
10) D

Tes Formatif 2

1) A
2) D
3) D
4) D
5) C
6) B
7) A
8) D
9) D
10) A

3.29 81


INDEX

INDEX

A M
alternative optima, 17 metode simpleks, 2, 3
angka negatif, 11 minimisasi, 1, 9
artificial variable, 3, 4
N
D
non-negatif terkecil, 11
degeneracy, 16
P
F
pivot column, 8, 9, 10
fungsi tujuan, 4 pivot row, 8, 9, 10

I U
infeasibility, 15 unboundedness, 15

3.29 82

DAFTAR KEPUSTAKAAN

Daftar Kepustakaan

Levin, Richard I., David S. Rubin, Joel P. Stinson, dan Everette S. Gardner, Jr. (1992).
Quantitative Approaches to Management, eighth edition, New York, McGraw-
Hill.
Render, Barry dan Jay Heizer. (1997). Principles of Operations Management, second
edition, Upper Saddle River, New Jersey, Prentice Hall, Inc.
Render, Barry, Ralph M. Stair Jr., dan Michael E. Hanna. (2003). Quantitative Analysis
for Management, eighth edition, Upper Saddle River, New Jersey, Prentice
Hall, Inc.
Taha, Hamdy A. (1997). Operations Research, an Introduction, sixth edition, Upper
Saddle River, New Jersey, Prentice Hall, Inc.

3.29 2

Formulasi LP Minimisasi

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (16)

Similar to Formulasi LP Minimisasi

Similar to Formulasi LP Minimisasi (20)

Formulasi LP Minimisasi