1. เลขยกกําลัง แกไขวันที่ 23 กันยายน 2547
9
เลขยกกําลัง
ถา a เปนจํานวนใด ๆ และ n เปนจํานวนเต็ม บวก “ a กําลัง n”
หรือ “ a กําลัง n” เขียนแทนดวย an
มีความหมายดังนี้
an
= a × a × a ×… a (a คูณกัน n ตัว)
n ตัว
เรียก an
วาเลขยกกําลัง (power)
โดยมี a คือ ฐาน (base) และ n คือ เลขยกกําลัง (exponent)
ระบบจํานวนเต็ม
1. จํานวนเต็ม
- จํานวนเต็มลบ
- ศูนย
- จํานวนเต็มบวก
ขอสรุป
1) 1 เปนจํานวนนับ หรือ จํานวนเต็มบวกที่นอยที่สุด
2) ไมมีจํานวนนับ หรือ จํานวนเต็มบวกที่มากที่สุด
3) ไมมีจํานวนเต็มลบที่นอยที่สุด
4) -1 เปนจํานวนเต็มลบ ที่มากที่สุด
5) บนเสนจํานวน จํานวนที่แทนดวยจุดที่อยูทางซาย จะมีคานอยกวาจํานวนที่แทนดวย
จุดที่อยูทางขวาเสมอ
2. คาสัมบูรณของจํานวนเต็มและจํานวนตรงขามของจํานวนเต็ม
คาสัมบูรณของจํานวนเต็มใด ๆ หมายถึง ระยะหางระหวางจํานวนเต็มนั้นกับ 0 บนเสน
จํานวน ดังนั้น คาสัมบูรณของจํานวนเต็มจึงเปนบวกเสมอ เขียน แทนคาสัมบูรณ เชน z อานวา
คาสัมบูรณของ z
3. การบวกจํานวนเต็ม
- จํานวนเต็มบวก + จํานวนเต็มบวก = ผลบวกของคาสัมบูรณของจํานวนทั้งสอง
- จํานวนเต็มลบ + จํานวนเต็มลบ = จํานวนตรงขามของผลบวก ของคาสัมบูรณ
ของจํานวนทั้งสอง
- จํานวนเต็มบวก + จํานวนเต็มลบ = จํานวนตรงขามของผลลัพธที่เกิดจากคาสัมบูรณ
ของจํานวนเต็มลบ ลบดวยคาสัมบูรณของจํานวนเต็มบวก

2. เลขยกกําลัง แกไขวันที่ 23 กันยายน 2547
10
4. การลบจํานวนเต็ม
ตัวตั้ง − ตัวลบ = ตัวตั้ง + จํานวนตรงขามของตัวลบ
5. การคูณจํานวนเต็ม
- จํานวนเต็มบวกคูณจํานวนเต็มลบเทากับจํานวนตรงขามของผลคูณของคาสัมบูรณของ
จํานวนทั้งสองนั่นคือ ถา a, b เปนจํานวนเต็มบวกใด ๆ
a × (− b) = ( a x b− )
- จํานวนเต็มลบคูณจํานวนเต็มบวกเทากับจํานวนตรงขามของผลคูณของคาสัมบูรณของ
จํานวนทั้งสองนั่นคือ ถา a, b เปนจํานวนเต็มบวกใดๆ
(− a) × b = − ( a × b )
- จํานวนเต็มลบคูณจํานวนเต็มลบเทากับผลคูณของคาสัมบูรณของจํานวน ทั้งสอง
นั่นคือ ถา a, b เปนจํานวนเต็มบวกใดๆ
(− a) × (− b) = − ( a− × b− )
6. การหารจํานวนเต็ม
- การหารจํานวนเต็มเมื่อตัวตั้งเปนจํานวนเต็มบวกและตัวหารเปนจํานวนเต็มลบหรือตัวตั้ง
เปนจํานวนเต็มลบ และตัวหารเปนจํานนเต็มบวก ผลลัพธเทากับจํานวนตรงขามของคาสัมบูรณของตัวตั้ง
หารดวยคาสัมบูรณของตัวหาร
- การหารจํานวนเต็มเมื่อตัวตั้งและตัวหารเปนจํานวนเต็มลบทั้งคู ผลลัพธเทากับ คาสัมบูรณ
ของตัวตั้งหารดวยคาสัมบูรณของตัวหาร
7. สมบัติของ 1 และ 0
- ถา a เปนจํานวน ใด ๆ
- ถา a เปนจํานวนใด ๆ ซึ่งไมเทากับ 0
1 × a = a = a × 1
a
0
= 0
1
a
= a
1
a
= a
a + 0 = a = 0 + a
a × 0 = 0 = 0 × a

3. เลขยกกําลัง แกไขวันที่ 23 กันยายน 2547
11
เลขยกกําลัง
การคูณและการหารเลขยกกําลัง
1. สมบัติการคูณเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวก
เมื่อ a เปนจํานวนใด ๆ และ m, n เปนจํานวนเต็มบวก
จงเขียนจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปอยางงาย
(1) 23
× 27
× 29
= 2 (3 + 7 + 9)
= 219
(2) 56
× 5 × 53
× 54
= 5 (6+1+3+4)
= 514
(3) (3 2n-1
) (3 2n+1
) = 3 2n-1+2n+1
= 34n
(4) 5 n+1
× 52n-2
= 5 n+1+2n-2
= 53n-1
2. สมบัติการหารเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวก
กรณีที่ 1 เมื่อ a เปนจํานวน จริงใด ๆ ที่ไมใชศูนย และ m, n เปนจํานวนเต็มบวกที่ m > n
am
÷ an
กรณีที่ 2 เมื่อ a เปนจํานวน จริงใด ๆ ที่ไมใชศูนย และ m, n เปนจํานวนเต็มบวกที่ m = n
am
÷ an
= am – n
= 1
นิยาม ถา a เปนจํานวนจริงใดๆ ที่ไมใชศูนย a0
= 1
am
× an
= m+n

4. เลขยกกําลัง แกไขวันที่ 23 กันยายน 2547
12
กรณีที่ 3 เมื่อ a เปนจํานวน จริงใด ๆ ที่ไมใชศูนย และ m, n เปนจํานวนเต็มบวกที่ m < n
n
m
a
a
= mn
a −
1
นิยาม ถา a เปนจํานวนจริงใดๆ ที่ไมใชศูนย และ n เปนจํานวนเต็มบวก แลว
a-n
= n
a
1
หรือ an
= n
a −
1
2. จงทําใหเปนผลสําเร็จ
1) 34
÷ 32
= 34-2
= 32
2)
3535
2
1
2
1
2
1
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
÷⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3) 28
÷ 29
= 2 98−
= 2 1−
= 2
1
=
2
2
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
4) baba
ab
ba 31214
24
8.8
7
56
== −−
5) xxxx
x
x nnnn
n
n
==== +−−−
−
11)1(
1
3. สมบัติการคูณและการหารเลขยกกําลัง เมื่อเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม
3.1 am
×an
= am+n
เมื่อ a≠ 0 และ m, n เปนจํานวนเต็ม
3.2 เมื่อ a≠ 0 และ m, n เปนจํานวนเต็ม
กรณีที่ 1 ถา m > n จะได nmnm
aaa −
=÷
กรณีที่ 2 ถา m = n จะได 10
==÷ aaa nm
กรณีที่ 3 ถา m < n จะได mn
nm
a
aa −
=÷
1
3.3 n
n
a
a
1
=−
หรือ n
n
a
a −
=
1
เมื่อ a≠ 0 และ n เปนจํานวนเต็ม

5. เลขยกกําลัง แกไขวันที่ 23 กันยายน 2547
13
จงทําใหเปนรูปอยางงายและใหเลขยกกําลังเปนบวก
1) 7 × 79
× 7-2
× 710
× 7-7
= 71 + 9 + 2 + 10 + 7
= 711
2) (95
× x3
× 76
) (9-5
× x-2
× 7-10
) = 95 – 5
× x3 – 2
× 76 – 10
= 90
× x × 7-4
= 4
7
1 x×
= 4
7
x
3)
279
97
465
524
×××
××
−−
−−−
x
x
=
27
9
5464
52
×× +−+
+−
x
=
27
9
10
3
×× x
4. นําสมบัติของการคูณและการหารเลขยกกําลังมาเขียนจํานวนที่มีคามาก ๆ และจํานวนนอย ๆ
ในรูปเลขทศนิยม โดยเขียนใหอยูในรูป A × 10n
เมื่อ 1 ≤ A < 10 และ n เปนจํานวนเต็ม
จงเขียนจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูป A × 10n
เมื่อ ≤ A < 10 และ n เปนจํานวนเต็ม
1) 128,000,000,000 = 1.28 × 1011
2) 0.000000951 = 9.51 × 10-7
3) 0.00084 × 10-5
= 8.4 × 10-4
× 10-5
= 8.4 × 10-9
5. สมบัติอื่นๆ ของเลขยกกําลัง
1. เลขยกกําลังที่มีฐานเปนเลขยกกําลัง
เมื่อ a ≥ 0 และ m, n เปนจํานวนเต็ม
2. เลขยกกําลังที่มีฐานอยูในรูปการคูณ หรือการหารของจํานวนหลาย ๆจํานวน
เมื่อ a ≠ 0 , b ≠ 0 และ n เปนจํานวนเต็ม
3. เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนเศษสวน
เมื่อ a > 0 และ n เปนจํานวนเต็มบวกที่มากกวา 1
เมื่อ a ≠ 0 และ m เปนจํานวนเต็มบวก ; n ≥ 2
( ) mnnm
aa =
( ) nnn
baab =
n
nn
b
a
b
a
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
nn aa =
1
n mn
m
aa =

6. เลขยกกําลัง แกไขวันที่ 23 กันยายน 2547
14
ตัวอยาง
จงเขียนใหอยูในรูปอยางงาย และเลขชี้กําลังเปนบวก
1) ( ) 84242
333 == ×
2) ( ) 15
155353
2
1
222 === −×−−
3) 666
6
32
32
3
2
2
1
nmn
m
n
m
n
m
===
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
×
×−−
4)
4
2
3
3
4
3
7
−
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
÷
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
xy
x
เมื่อ ≠x 0 และ 0≠y
241212
89
12
8
12
9
8
12
12
9
7777
7
7
xxxx
x
x
==×=÷= +
−−
−
ตัวอยาง เชน
1) 5
7
5
3
5
4
355 4
2222 ==×
+
2) ( ) 2
1
2
1
1
2
1
6
3
6 6
6 3
6 23
6
6 2
22
2
2
2
2
2
2
8
8
=====
−

7. เลขยกกําลัง แกไขวันที่ 23 กันยายน 2547
15
ระบบจํานวนเต็ม
คาสัมบูรณของจํานวนเต็ม และจํานวนตรงขามของจํานวนเต็ม
ตัวอยาง
(1) 4− = 4
(2) 6−− = −6
(3) 0 = 0
(4) − (−8) = 8
การบวกจํานวนเต็ม
ตัวอยาง
(1) 4 + 8 = 4 + 8
= 4 + 8
= 12
(2) (−9) + (−11) = −( 9− + 12− )
= −(9 +12)
= −21
(3) 21 + (−7) = 21 − 7
= 21 − 7
= 14
(4) 5 + (−15) = −( 15− − 5 )
= −(15 − 5)
= −10

8. เลขยกกําลัง แกไขวันที่ 23 กันยายน 2547
16
การลบจํานวนเต็ม
ตัวอยาง
(1) 9 −15 = 9 + จํานวนตรงขามของ 15
= 9 + (−15)
= −( 15− 9 )
= − (15 − 9)
= −6
(2) (−4) − (−8) = (−4) + จํานวนตรงขามของ (+8)
= (−4) + 8
= 8 − 4
= 8 − 4
= 4
การคูณจํานวนเต็ม
ตัวอยาง
(1) 5 × (−7) = − ( 5 × 7− )
= − (5×7)
= − 35
(2) (−12) × 9 = − ( 12− × 9 )
= − (12×9)
= − 108

9. เลขยกกําลัง แกไขวันที่ 23 กันยายน 2547
17
(3) (−11) × (−2) = ( 11− × 2− )
= 11 × 2
= 22
การหารจํานวนเต็ม
ตัวอยาง
(1) 7
35−
= −
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −
7
35
= − ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
7
35
= − 5
(2) 10
80
−
−
= 10
80
−
−
= 10
80
= 8

10. เลขยกกําลัง แกไขวันที่ 23 กันยายน 2547
18
แบบฝกทักษะ
1. เลขสามจํานวน คือ 3524, 4005 และ 4597 หารดวยเลขจํานวนหนึ่ง เหลือเศษเทากันหมด
จงหาผลบวกของตัวหารนั้นกับเศษวาเทากับเทาไร
2. ถา 2
1
=+
a
a และ 4
1
=+++
abb
a
a
b
ab แลวคาของ 12
+a คือจํานวนใด
3. ( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
0
210
3
34
44444
4
44
4. ให x = −2 จงหาคาของ 1678
... −
++++ xxxx
5. 68 + 69 + ...+ 997 + 998 มีคาเทาไร
6. 119951994
199519931994
−×
×+
+
119961995
199619941995
−×
×+
+
119971996
199719951996
−×
×+
7. จงหาวาจะตองใชจํานวนเต็มบวกที่เรียงตอเนื่องกันมากที่สุดกี่จํานวน นํามาบวกกันและ
ไดผลลัพธเทากับ 720,600 พอดี
8. P และ Q เปนจํานวนสองจํานวนที่แตกตางกันอยูระหวาง 1 − 1,000 จงหาวา
คาที่มากที่สุดของ QP
QP
−
+ 22
มีคาเทาไร
9. A และ B เปนจํานวนที่มีคาตางกันและ 13
A
− 7
B
= 91
10
จงหาวา (A × B) มากกวา (A + B) อยูเทาไร
10.พอมีเงินเดือน 27,810 บาท ในการคิดภาษีเงินพึงประเมินคือเงินเดือนที่ไดรับใน 1 ป
แมไมมีเงินได และพอมีลูก 3 คน หักคาลดหยอนภาษีของพอและแมคนละ 60,000 บาท
หักคาลดหยอนภาษีลูกคนละ 17,000 บาท เงินรายไดหลังจากหักคาลดหยอนภาษีพอตอง
เสียภาษีใหกับรัฐบาล 5% หนวยงานตนสังกัดของพอหักภาษีไวเดือนละ 500 บาท
พอสิ้นปพอตองเสียภาษีเพิ่มหรือไดรับภาษีคืนเปนจํานวนเทาไร

11. เลขยกกําลัง แกไขวันที่ 23 กันยายน 2547
19
แนวคิดแบบฝกทักษะ
1. เลขสามจํานวน คือ 3524, 4005 และ 4597 หารดวยเลขจํานวนหนึ่ง เหลือเศษเทากันหมด
จงหาผลบวกของตัวหารนั้นกับเศษวาเทากับเทาไร
แนวคิด
4597 − 4005 = 592
4597 − 3524 = 1073
4005 − 3524 = 481
37 592, 1073, 481
16, 29, 13,
∴ เลขจํานวนนั้นคือ 37
3524 ÷ 37 = 95 เศษ 9
4005 ÷ 37 = 108 เศษ 9
4597 ÷ 37 = 124 เศษ 9
∴ เศษที่ไดจากการหาร คือ 9
ดังนั้น ผลบวกของตัวหาร กับเศษเทากับ 37 + 9 = 46
ตอบ 46
2. ถา 2
1
=+
a
a และ 4
1
=+++
abb
a
a
b
ab แลวคาของ 12
+a คือจํานวนใด
แนวคิด
จาก abb
a
a
b
ab
1
+++ = 4
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
aba
b
b
a
ab
1
= 4
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
b
b
ab
ba
111
= 4
ตอบ 4

12. เลขยกกําลัง แกไขวันที่ 23 กันยายน 2547
20
3. ( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
0
210
3
34
44444
4
44
แนวคิด
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
0
210
3
34
44444
4
44
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
14
164414
64
8
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ××
×=
3
1694
8
1
3
1694
8
1 ××
×=
24=
ตอบ 24
4. ให x = −2 จงหาคาของ 1678
... −
++++ xxxx
แนวคิด
ให x = −2
∴ 102345678 −
+++++++++ xxxxxxxxxx
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )102345678
2222222222 −+−+−+−+−+−+−+−+−+−=
21248163264125256 −+−+−+−+−=
172=
ตอบ 172

13. เลขยกกําลัง แกไขวันที่ 23 กันยายน 2547
21
5. 68 + 69 + ...+ 997 + 998 มีคาเทาไร
แนวคิด
จับคูจํานวนที่รวมกันได 1,065 จาก 67 ถึง 998
67 + 68 + 69 + ... + 996 + 997 + 998
ซึ่งมี 466 คู ผลรวมจึงมีคาเทากับ 1,065 × 466 = 496,290
ดังนั้น 68 + 69 + ...+ 997 + 998 = 496,290 − 67
= 496,223
ตอบ 496,223
6. 119951994
199519931994
−×
×+
+
119961995
199619941995
−×
×+
+
119971996
199719951996
−×
×+
แนวคิด
119951994
199519931994
−×
×+
= 119951994
)19951993(11995
−×
×+−
= ( )
119951994
1199519931995
−×
−×+
= ( )[ ]
119951994
1199311995
−×
−+×
= 1
119951994
119941995
=
−×
−×
ทํานองเดียวกัน 119961995
199619941995
−×
×+
= 1
และ 119971996
199719951996
−×
×+
= 1
ดังนั้น 119951994
199519931994
−×
×+
+ 119961995
199619941995
−×
×+
+ 119971996
199719951996
−×
×+
= 1 + 1 + 1 = 3
ตอบ 3

14. เลขยกกําลัง แกไขวันที่ 23 กันยายน 2547
22
7. จงหาวาจะตองใชจํานวนเต็มบวกที่เรียงตอเนื่องกันมากที่สุดกี่จํานวน นํามาบวกกันและ
ไดผลลัพธเทากับ 720,600 พอดี
แนวคิด
1 + 2 + 3 + 4 ...+ n = 720,600
( )
2
1
n
n + = 720,600
nn +2
= 1,441,200
200,441,12
−+ nn = 0
(n + 1,201)(n − 1,200) = 0
(n + 1,201) = 0
n = −1,200
(n − 1,200) = 0
n = 1,200
∴ n = −1,200 และ 1,200
ใชจํานวนเต็มบวก 1,200 จํานวน
ตอบ 1,200 จํานวน
8. P และ Q เปนจํานวนสองจํานวนที่แตกตางกันอยูระหวาง 1 − 1,000 จงหาวา
คาที่มากที่สุดของ QP
QP
−
+ 22
มีคาเทาไร
แนวคิด
QP
QP
−
+ 22
จะมีคามากที่สุดเมื่อ P – Q มีคานอยที่สุด
∴ จะได P = 1,000, Q = 999
ดังนั้น QP
QP
−
+ 22
= ( ) ( )
9991000
9991000 22
−
+
= ( )2
1000 + ( )2
999
= 1,000,000 + 998,001
= 1,998,001
ตอบ 1,998,001

15. เลขยกกําลัง แกไขวันที่ 23 กันยายน 2547
23
9. A และ B เปนจํานวนที่มีคาตางกันและ 13
A
− 7
B
= 91
10
จงหาวา (A × B) มากกวา (A + B) อยูเทาไร
แนวคิด
7
13
13
−
A
= 91
10
91
137 BA −
= 91
10
7A – 13B = 10
1) พิจารณาผลตางของผลคูณของ A กับ 7 และ B กับ 13 มีผลลัพธตางกันอยู 10 พิจารณาตาม
ตารางดังนี้
ตัวคูณ
ผลคูณ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A x 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
B x 13 13 26 39 42 65 78 91 104 117 130
2) จากตารางพบวา เมื่อนํา A คูณ 7 ลบดวย B คูณ 13 แลว มีผลตางเทากับ 10 จะได A เทากับ 7
และ B เทากับ 3
∴ (A × B) − (A + B) = (7 × 3) − (7 + 3)
= 21 − 10 = 11
ตอบ 11

16. เลขยกกําลัง แกไขวันที่ 23 กันยายน 2547
24
10. พอมีเงินเดือน 27,810 บาท ในการคิดภาษีเงินไดพึงประเมินคือเงินเดือนที่ไดรับใน 1 ป
แมไมมีเงินได และพอมีลูก 3 คน หักคาลดหยอนภาษีของพอและแมคนละ 60,000 บาท
หักคาลดหยอนภาษีลูกคนละ 17,000 บาท เงินรายไดหลังจากหักคาลดหยอนภาษีพอตอง
เสียภาษีใหกับรัฐบาล 5 % หนวยงานตนสังกัดของพอหักภาษีไวเดือนละ 500 บาท
พอสิ้นปพอตองเสียภาษีเพิ่มหรือไดรับภาษีคืนเปนจํานวนเทาไร
แนวคิด
เงินไดพึงประเมินคือ เงินเดือนที่ไดรับใน 1 ป
ดังนั้น พอมีเงินพึงประเมิน 27,810 × 12 = 333,720 บาท
คาหักลดหยอนภาษี 60,000 + 60,000 + 17,000 − 17,000 −17,000 = 171,000 บาท
เงินไดหลังหักคาลดหยอนภาษี คือ 333,720 − 171,000 = 162,720 บาท
เสียภาษี 5% คิดเปนเงิน 100
5
× 162720 = 8,136 บาท
หนวยงานตนสังกัดหักภาษีไว 500 × 12 = 6,000 บาท
ดังนั้น พอตองจายภาษีเพิ่มอีก 8,136 − 6,000 = 2,136 บาท
ตอบ 2,136 บาท