Downloaded 15 times
More Related Content
Rumus ABC
- 1. PEMBUKTIAN RUMUS ABC Secaraumum persamaan kuadrat berbentuk 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dengan 𝑎 ≠ 0. Persamaan kuadarat seperti ini memiliki tiga bentuk akar-akar persamaan, yaitu memiliki dua akar riil dan berbeda (jika 𝐷 > 0), memiliki dua akar riil dan sama (jika 𝐷 < 0) dan tidak memiliki akar riil atau biasa dikenal dengan tidak memiliki solusi (jika 𝐷 < 0). Apa D? D adalah singkatan dari Diskriminan yaitu memiliki rumus 𝐷 = √𝑏2 − 4𝑎𝑐. Dalam mencari akar-akar persamaan kuadrat biasa dengan menggunakan rumus abc atau lebih dikenal dengan Rumus Kecap. Penurunan Rumus Kecap ini menggunakan bantuan mencari akar persamaan kuadrat dengan Melengkapi Kuadrat 𝑥1,2 = −𝑏 ± √ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 Bagaimana bisa terjadi rumus kecap tersebut? Tentu semuanya ada asal usulnya. Sekarang saya mencoba menurunkan rumus tersebut. Perhatikan langkah demi langkah berikut ini. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (kali kedua ruas dengan 1 𝑎 ) x2 + 𝑏 𝑎 𝑥 + 𝑐 𝑎 = 0 (kurangkan kedua ruas dengan 𝑐 𝑎 ) 𝑥2 + 𝑏 𝑎 𝑥 = − 𝑐 𝑎 sekarang kita melengkapi kuadrat ruas kiri yaitu menjumlahkan kedua ruas dengan ( 𝑏 2𝑎 ) 2
- 2. 𝑥2 + 𝑏 𝑎 𝑥 + ( 𝑏 2𝑎 ) 2 =− 𝑐 𝑎 + ( 𝑏 2𝑎 ) 2 (𝑥 + 𝑏 2 𝑎 ) 2 = − 2𝑎𝑐 2𝑎2 + ( 𝑏 2𝑎 ) 2 = − 4𝑎.𝑐 4𝑎.𝑎 + 𝑏2 4𝑎2 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 4𝑎2 𝑥 + 𝑏 2𝑎 = ± √𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 = − 𝑏 2𝑎 ± √𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 = −𝑏 ± √𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥1 = 𝑏 + √𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎 atau 𝑥2 = −𝑏 − √𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎 (rahim, 2012). rahim, a. (2012, Agustus 29). pembuktian rumus kecap abc mencari akarpersamaankuadrat.Retrieved oktober 1, 2015, fromaimprof08.wordpress.com:https://aimprof08.wordpress.com/2012/08/29/pembuk tian Seingat saya, sejak kelas 3 SMP (sekitar tahun 1997) saya sudah mulai belajar tentang persamaan kuadrat yang mempunyai bentuk umum seperti berikut ini. 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dengan 𝑎 ≠ 0 Waktu itu, kata guru matematika saya, ada tiga cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut. Apa saja?
- 3. Ya, cara pertamayaitu dengan pemfaktoran, cara kedua dengan melengkapkan kuadrat, dan cara yang ketiga yaitu menggunakan rumus “abc” (baca: rumus aaa, beee, ceee). Seperti apa rumus “abc” itu? Sebetulnya ketiga cara tersebut sudah standar dan biasa terdapat di buku-buku pelajaran matematika, lengkap dengan contoh-contoh soal dan penyelesaiannya. Di dunia maya pun kita bisa dengan mudah mencarinya. Cukup dengan mengetikkan kata/frase “quadratic equation” di mesin pencari (misal google), maka cara-cara penyelesaian itu akan muncul dengan cepatnya. Di sini kita akan mendiskusikan cara yang ketiga, yakni menggunakan rumus “abc”. Rumus “abc” dari persamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 adalah seperti berikut ini. 𝑥 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 Contoh penggunaannya begini. Misalkan kita ingin menyelesaikan persamaan kuadrat 2𝑥2 + 3𝑥 + 1 = 0. Dari persamaan ini didapat 𝑎 = 2, 𝑏 = 3, dan 𝑐 = 1. Sehingga dengan memasukkan (mensubstitusikan) nilai-nilai ini ke rumus tadi, maka diperoleh penyelesaian berikut ini. 𝑥 = −3±√32 −4.2.1 2.2 𝑥 = −3±√9−8 4 = −3±1 4 Jadi penyelesaiannya yaitu 𝑥 = −1atau 𝑥 = − 1 2
- 4. Lalu, timbul pertanyaan,dari mana datangnya rumus “abc” tersebut? Apakah datang dari “langit” begitu saja? Jawabnya, tentu TIDAK! Semua orang juga setuju akan hal ini. Ternyata, rumus tersebut tidak datang dari mana-mana, tapi dari persamaan kuadrat itu sendiri. Nah, ini dia buktinya! 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, karena 𝑎 ≠ 0, maka 𝑥2 + 𝑏 𝑎 𝑥 + 𝑐 𝑎 = 0 → 𝑥2 + 𝑏 𝑎 𝑥 + ( 𝑏 2𝑎 ) 2 = − 𝑐 𝑎 + ( 𝑏 2𝑎 ) 2 → (𝑥 + 𝑏 2𝑎 ) 2 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 4𝑎2 → (𝑥 + 𝑏 2𝑎 ) = ±√ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 4𝑎2 → 𝑥 = − 𝑏 2𝑎 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 → 𝑥 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 Nah, baris yang terakhir itulah yang disebut dengan rumus “abc”. SEBETUL-nya, penggunaan istilah rumus “abc” tidaklah tepat! Namun sudah telanjur populer di negeri kita. Bahkan populer juga di negeri Belanda. Mungkin, istilah ini merupakan salah satu warisan dari mantan penjajah negeri kita itu. Makanya ada kesamaan penyebutan rumus tersebut baik di negeri kita maupun di negeri Belanda.
- 5. Lalu yang tepatitu disebut rumus apa? Yang tepat istilahnya adalah rumus quadrat. Kenapa penggunaan istilah rumus”abc” tidak tepat? Sederhana saja jawabnya. Bila kita punya persamaan kuadrat ditulis dalam bentuk 𝑝𝑥2 + 𝑞𝑥 + 𝑟 = 0, maka penyelesaiannya adalah 𝑥 = −𝑞 ± √𝑞2 − 4𝑝𝑟 2𝑝 Apakah masih tepat menyebut rumus ini dengan rumus “abc”? Tentu tidak, bukan? Namun demikian, terserah saja menyebutnya. Mau rumus “abc” kek, rumus “pqr” kek, rumus kuadrat kek, atau rumus “kecap”. Yang penting adalah kita mengerti dan dapat menggunakannya. Betul? Oh, iya. Kenapa juga ada yang menyebut rumus quadrat itu dengan rumus “kecap” (paling tidak saya yang menyebut begitu). Ya, gara-garanya ada produk kecap bermerek sama dengan panggilan populer rumus quadrat tersebut (jupri, 2007). 1 1 jupri,a.(2007, 11 21). asal usulrumuskecap.Retrieved101, 2015, from mathematicse.wordpress.com:https://mathematicse.wordpress.com/2007/11/21/asal- usul-rumus-kecap/ rahim,a. (2012, Agustus29). pembuktian rumuskecap abcmencari akarpersamaankuadrat.Retrievedoktober1,2015, fromaimprof08.wordpress.com:https://aimprof08.wordpress.com/2012/08/29/pembuktian -rumus-kecap-abc-mencari-akar-persamaan-kuadrat/
- 6. Banyak cara yangdigunakan untuk mencari akar persamaan kuadrat, diantaranya adalah dengan cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna dan dengan menggunakan rumus kuadrat. Kali ini kita akan mencari tahu dari mana asal rumus ABC tersebut sehingga bisa kita gunakan dengan mudah untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat. Oleh karenanya, simak uraian berikut ini : Akan dibuktikan : 𝑥 = −𝑏 ± √ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 Penyelesaian : Misalkan terdapat persamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 kemudian kedua ruas dibagi dengan a 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑎 = 0 𝑎 𝑎𝑥2 𝑎 + 𝑏𝑥 𝑎 + 𝑐 𝑎 = 0 𝑎 𝑥2 + 𝑏𝑥 𝑎 + 𝑐 𝑎 = 0
- 7. Kedua ruas dikurangidengan 𝑐 𝑎 𝑥2 + 𝑏𝑥 𝑎 + 𝑐 𝑎 − 𝑐 𝑎 = 0 − 𝑐 𝑎 𝑥2 + 𝑏𝑥 𝑎 = − 𝑐 𝑎 Lengkapkan kuadrat sempurna dengan cara menambahkan kuadrat dari setengah kali koefisien x, agar nantinya kita dapat memfaktorkan ruas sebelah, 𝑥2 + 𝑏 𝑎 𝑥 + ( 𝑏 2𝑎 ) 2 = − 𝑐 𝑎 + ( 𝑏 2𝑎 ) 2 (𝑥 + 𝑏 2𝑎 ) 2 = − 𝑐 𝑎 + ( 𝑏 2𝑎 ) 2 (𝑥 + 𝑏 2𝑎 ) 2 = − 𝑐 𝑎 + 𝑏2 4𝑎2 (𝑥 + 𝑏 2𝑎 ) 2 = − 4𝑎2 𝑐 + 𝑎𝑏2 4𝑎3 (𝑥 + 𝑏 2𝑎 ) 2 = − 4𝑎𝑐 + 𝑏2 4𝑎2 Akarkan kedua ruas √(𝑥 + 𝑏 2𝑎 ) 2 = √− 4𝑎𝑐 + 𝑏2 4𝑎2
- 8. 𝑥 + 𝑏 2𝑎 = ±√ −4𝑎𝑐+ 𝑏2 4𝑎2 𝑥 + 𝑏 2𝑎 = ± 1 2𝑎 √−4𝑎𝑐 + 𝑏2 𝑥 + 𝑏 2𝑎 = ± 1 2𝑎 √ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 Kurangkan kedua ruas dengan 𝑏 2𝑎 𝑥 + 𝑏 2𝑎 − 𝑏 2𝑎 = ± 1 2𝑎 √ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 − 𝑏 2𝑎 𝑥 = − 𝑏 2𝑎 ± 1 2𝑎 √ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 𝑥 = − 𝑏 2𝑎 ± √ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 = − −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 (rifandi, 2014)2 rifandi,m. (2014, 10 04). pembuktian rumus kuadrat rumus abc. Retrieved 10 1, 2015, from rifandy23.blogspot.co.id: http://rifandy23.blogspot.co.id/2014/10/pembuktian-rumus- kuadrat-rumus-abc.html