PPT barisan dan deret kelas 11

1. Sumber: www.shutterstock.com
Barisan dan Deret

2. •Menggeneralisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan aritmetika dan geometri.
•Menggunakan pola barisan aritmetika atau geometri untuk menyajikan dan menyelesaikan
masalah kontekstual (termasuk pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas).
Kompetensi Dasar
•Mengamati dan mengidentifikasi fakta pada barisan dan deret aritmetika maupun geometri
serta masalah yang terkait.
•Mengumpulkan dan mengolah informasi untuk membuat kesimpulan, serta menggunakan
prosedur untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret aritmetika
maupun geometri.
•Menyajikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret aritmetika
maupun geometri.
•Mengamati kuantitas-kuantitas dan hubungan dalam masalah kontekstual yang berkaitan
dengan barisan dan deret seperti pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas.
•Menggunakan ide-ide matematika untuk menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan
dengan barisan dan deret seperti pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas.
•Menafsirkan dan mengevaluasi penyelesaian berdasarkan konteks mula-mula.
•Mengomunikasikan proses dan hasil pemecahan masalah kontekstual yang berkaitan dengan
barisan dan deret seperti pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas.
•Menyelesaikan dan menyajikan penyelesaian masalah kontekstual yang berkaitan dengan
barisan dan deret seperti pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas.
Pengalaman Belajar

3. Karl Friedrich Gauss (1777–1855)
adalah seorang matematikawan
Jerman yang lahir pada tanggal 30
April.
Bakat matematika beliau sudah
diperlihatkan semasa muda.
Beliau dapat menghitung jumlah
bilangan 1 sampai 100 dengan cepat
di luar kepala dengan menggunakan
pola.

4. 5.1 BARISAN DAN DERET ARITMETIKA
5.1.1 Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Barisan Aritmetika

5. Beda untuk barisan contoh sebelumnya:

6. Rumus suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama a
dan beda b.
a
U 
1
b
a
U 

2
b
a
b
b
a
U 2
3 




b
a
b
b
b
a
U 3
4 





⋮ ⋮ ⋮
b
n
a
Un )
1
( 



7. Contoh
Jawab:

8. Contoh
Jawab:

9. 5.1.2 Sisipan
Jika di antara dua suku yang berurutan dalam suatu barisan aritmetika
dimasukkan satu atau lebih suku (bilangan) yang lain sehingga menjadi
barisan aritmetika yang baru, proses ini disebut menyisipkan atau
interpolasi.
Keterangan: b’ = beda (baru)
b = beda (lama)
k = banyak bilangan yang disisipkan
U1 = suku pertama
U2 = suku kedua

10. Contoh
Diketahui barisan aritmetika 1, 7, 13, 19. Jika di antara dua suku
berurutan disisipkan dua bilangan sehingga terjadi barisan
aritmetika baru, tentukan barisan aritmetika baru itu!
Jawab:

11. Contoh
Sisipkanlah sebelas bilangan di antara 23 dan 119 sehingga terjadi
sebuah barisan aritmetika. Tentukanlah barisan itu!
Jawab:

13. 5.1.3 Suku Tengah
Apabila banyak suku suatu barisan aritmetika ganjil, maka terdapat
sebuah suku tengah yang disebut Ut.
Setiap suku pada barisan aritmetika sama dengan setengah jumlah
suku sebelum dan suku sesudah suku tersebut, kecuali suku
pertama dan suku terakhir.

14. Kamu bisa menguji pemahaman
tentang BARISAN ARITMATIKA
dengan mengerjakan soal
Latihan 1 pada halaman 215

15. 5.1.4 Deret Aritmetika
Deret Aritmetika adalah suku -suku yang dijumlahkan
merupakan suku -suku dari barisan aritmetika.
Definisi

17. Contoh
Tentukan jumlah 100 suku pertama deret 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + . . . .
Jawab:

18. Contoh
Hitunglah jumlah deret aritmetika 3 + 6
1
2
+ 10 + . . . hingga:
a. 21 suku pertama, b. n suku pertama.
Jawab:

19. Kamu bisa menguji pemahaman
tentang DERET ARITMETIKA
dengan mengerjakan soal
Latihan 2 pada halaman 221

20. 5.2 BARISAN DAN DERET GEOMETRI
5.2.1 Barisan Geometri
Barisan Geometri

22. 2.4.2 Menyelesaikan Masalah Optimasi dengan Titik Pojok.
Contoh
Jawab:

23. Contoh
Jawab:

24. 5.2.2 Sisipan

27. Kamu bisa menguji pemahaman
tentang BARISAN GEOMETRI
dengan mengerjakan soal
Latihan 3 pada halaman 227

28. Deret Geometri adalah penjumlahan berurut dari suku – suku
barisan geometri. Secara umum dapat dinyatakan bahwa:
5.2.3 Deret Geometri
Definisi

29. Jika Sn merupakan jumlah n suku pertama dari deret geometri, rumus
untuk Sn dapat ditentukan dengan langkah-langkah berikut.

31. Contoh
Jawab:

32. Contoh
Diberikan deret geometri 32 + 16 + 8 + .... Hitunglah jumlah suku
keenam sampai suku kedelapan.
Jawab:

33. Kamu bisa menguji pemahaman
tentang DERET GEOMETRI
dengan mengerjakan soal
Latihan 4 pada halaman 231

34. 5.2.4 Deret Geometri Tak Hingga
Archimedes menemukan jumlah deret geometri tak hingga dengan
melakukan eksperimen menggunting selembar kertas yang berbentuk
persegi. Diasumsikan bahwa luas kertas tersebut adalah satu satuan luas.

38. Contoh
Jawab:

39. Contoh
Jawab:

40. Kamu bisa menguji pemahaman
tentang DERET GEOMETRI TAK
HINGGA
dengan mengerjakan soal
Latihan 5 pada halaman 236

41. 5.3 MASALAH YANG MELIBATKAN BARISAN DAN
DERET
5.3.1 Pertumbuhan dan Peluruhan
A. Pertumbuhan
Pertumbuhan adalah perubahan secara kuantitas sebuah objek
pada rentang waktu tertentu dengan perubahan naik, artinya
kuantitas objek tersebut bertambah.

42. Contoh
Penduduk sebuah kota mengalami peningkatan sebesar 2% tiap
tahun dari tahun sebelumnya. Berdasarkan sensu penduduk tahun
2010, jumlah penduduk di kota tersebut 900.000 jiwa. Tentukan
jumlah penduduk di kota tersebut pada tahun 2017.
Jawab:
Persoalan tersebut merupaka masalah pertumbuhan yang dapat
diselesaikan dengan deret geometri.
Jadi, jumlah penduduk di kota
tersebut tahun 2017 adalah
1.033.817 jiwa.

43. B. Peluruhan
Peluruhan adalah perubahan secara kuantitas sebuah objek pada
rentang waktu tertentu dengan perubahan turun, artinya kuantitas
objek tersebut berkurang.
Dengan kata lain, peluruhan adalah kebalikan dari pertumbuhan.

44. Contoh
Sebuah pabrik membeli mesin produksi pada tahun 2013 seharga
Rp500.000.000,00. Mesin tersebut mengalami penurunan harga
sebesar 5% setiap tahun dari tahun sebelumnya. Tentukan harga
mesin pada tahun 2018.
Jawab:
Persoalan tersebut merupakan masalah peluruhan yang dapat
diselesaikan dengan deret geometri.
Jadi, harga mesin pada tahun 2018
adalah Rp368.890.468,75.

45. Kamu bisa menguji pemahaman
tentang MASALAH YANG
MELIBATKAN BARISAN DAN DERET
dengan mengerjakan soal
Latihan 6 pada halaman 240

46. Bunga adalah uang yang dibayar oleh perorangan atau organisasi
atas penyesuaian sejumlah uang yang disebut uang pokok (modal).
5.3.2 Bunga Majemuk
Bunga biasanya dibayar pada akhir jangka waktu tertentu yang
telah dispesifikasikan, misalnya tahunan, setengah tahunan,
kuartalan, atau bulanan. Total dari uang pokok dan bunganya
disebut jumlah uang.

47. A. Menentukan nilai akhir
Jika modal sebesar M diperbungakan dengan bunga majemuk
i = p% per tahun dan besar modal setelah n tahun dinyatakan
dengan Mn , rumus nilai akhirnya adalah

48. Contoh
Sebuah modal sebesar Rp1.200.000,00 diperbungakan dengan
bunga majemuk 4% per tahun. Tentukan besar modal itu setelah:
a. 5 tahun b. 8 tahun
Jawab:

49. b. Besar modal setelah 8 tahun adalah
M8 = 1.200.000(1,04)8
= 1.200.000 × 1,3686
= Rp1.642.320,00

50. B. Menentukan persen bunga
Rumus nilai akhir Mn = (1 + i)n dapat juga digunakan untuk
menghitung besar persen bunga dari suatu modal yang
diperbungakan dengan bunga majemuk.
Contoh
Sebuah modal sebesar Rp3.500.000,00 diperbungakan dengan
bunga majemuk. Setelah 7 tahun, modal tersebut menjadi
Rp4.100.000,00. Tentukan persen bunganya dalam setahun.

51. Jawab:

52. C. Menentukan nilai tunai

53. Contoh
Tentukan besar nilai tunai dari Rp1.000.000,00 yang harus dibayar
5 tahun kemudian, dengan bunga majemuk 3% per tahun.
Jawab:

55. Kamu bisa menguji pemahaman
tentang MASALAH YANG
MELIBATKAN BARISAN DAN DERET
dengan mengerjakan soal
Latihan 7 pada halaman 249

56. 5.3.3 Anuitas

57. Contoh
Pak Ali meminjam uang di suatu bank sebesar Rpl.000.00,00 dengan
bunga 5% per tahun. Pinjaman itu akan dilunasi dalam 6 tahun
dengan anuitas. Anuitas pertama dibayar setelah satu tahun.
Tentukan besar anuitas tersebut

58. Jawab:

59. A. Rencana Angsuran
Contoh
Utang sebesar Rp800.000,00 dilunasi dalam 4 tahun dengan anuitas
pertama dibayar setelah satu tahun dengan bunga 6% per tahun.
a. Tentukan besarnya anuitas, b. Buatlah rencana angsurannya.

60. Jawab:

63. B. Hubungan antara anuitas dan angsuran
Perhatikan tabel angsuran pada Contoh 22, bahwa
angsuran pada tiap akhir tahun bertambah. Hal ini
disebabkan oleh utang dan bunga yang berkurang.
Andaikan a1, a2, dan seterusnya mewakili angsuran
tiap akhir tahun pertama, kedua, dan seterusnya, b1, b2,
dan seterusnya mewakili bunga akhir tahun pertama,
kedua, dan seterusnya, dan H menyatakan banyaknya
utang, maka:
A = a1 + b1 = a2 + b2 = a3 + b3 = . . . ... (1)

66. Contoh
Pak Afiat berutang sebesar Rp1.000.000,00 dibayar dengan
8 anuitas. Pembayaran pertama dilakukan setelah satu tahun.
Bunga 3,5%. Hitunglah:
a. besar anuitas,
b. angsuran pada akhir tahun pertama,
c. angsuran pada akhir tahun keempat,
d. angsuran pada akhir tahun keenam.
Jawab:

68. C. Hubungan antara utang, angsuran, dan sisa utang
Apabila sebuah utang dilunasi dengan n anuitas, berarti
besar utang tersebut sama dengan jumlah semua
angsuran, maka:

70. Contoh
Suatu pinjaman akan dilunasi dengan 7 anuitas. Anuitas pertama
dibayar setelah satu tahun. Suku bunga 6% per tahun. Angsuran
pada akhir tahun pertama adalah Rp2.382.843,53. Hitunglah:
a. besar pinjaman (utang H),
b. sisa utang pada akhir tahun ke-4.
Jawab:

72. Kamu bisa menguji pemahaman
tentang MASALAH YANG
MELIBATKAN BARISAN DAN DERET
dengan mengerjakan soal
Latihan 8 pada halaman 256