2. PENGERTIAN
Relasi rekursif sering juga disebut relasi berulang. Relasi berulang
merupakan sebuah barisan dengan memberikan nilai ke-n yang dikaitkan
dengan suku-suku sebelumnya. Untuk mendefinisikan sebuah barisan,
relasi ulang memerlukan nilai awal yang sudah ditentukan.
Secara formal relasi berulang ini didefinisikan sebagai berikut.
Sebuah relasi berulang untuk barisan 𝑎0, 𝑎1, . . . merupakan sebuah
persamaan yang mengaitkan an dengan 𝑎0, 𝑎1, . . . , 𝑎𝑛−1. Syarat awal
untuk barisan 𝑎0, 𝑎1, ... adalah nilai-nilai yang diberikan secara eksplisit
pada beberapa suku dari barisan tersebut.
3. Suatu relasi berulang dari barisan 𝑎𝑛 adalah suatu persamaan
yang menyatakan𝑎𝑛 dalam suku-suku dari satu atau lebih suku
sebelumnya dari barisan tersebut, sebutlah 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛−1, untuk
semua bilangan bulat 𝑛0, dengan 𝑛0 adalah bilangan bulat non
negatif. Suatu barisan dikatakan penyelesaian dari suatu relasi
berulang jika suku-sukunya memenuhi relasi berulang tersebut
(relasi berulang tersebut secara rekursif mendefinisikan barisan)
4. Contoh 1:
Misal 𝑎𝑛 adalah barisan yang memenuhi relasi berulang𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 3
untuk 𝑛 = 1,2,3, … dan misal𝑎0 = 2 . Tentukan 𝑎1, 𝑎2𝑑𝑎𝑛 𝑎3
Syarat awal barisan yang didefinisikan secara rekursif menentukan suku-suku
yang mendahului suku pertama di mana relasi berulang mulai berlaku.
Misalnya pada contoh syarat awalnya adalah 𝑎0 = 2
6. Penyelesaian Relasi Berulang
Menyelesaikan relasi berulang yang melibatkan
barisan 𝑎0, 𝑎1, . . . sama halnya dengan mencari sebuah rumus
eksplisit untuk bentuk umum an. Pada bagian ini kita hanya akan
membahas penyelesaian relasi berulang dengan menggunakan
metode iterasi. Untuk menyelesaikan relasi berulang dengan
metode iterasi,
1. menuliskan bentuk ke-n, yaitu an dalam bentuk-bentuk suku
sebelumnya, yaitu 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛−2, . . . , 𝑎0.
2. Gunakan relasi berulang untuk menempatkan setiap 𝑎𝑛−1,
... dengan ketentuan pendahulunya.
3. Kita lakukan terus sampai sebuah rumus eksplisit diperoleh.
7. contoh berikut menunjukkan bagaimana menentukan penyelesaian relasi berulang dengan
menggunakan metode iterasi
Contoh 5:
Selesaikan relasi berulang 𝑎𝑛= 𝑎𝑛−1 + 4, 𝑛 = 1 dengan syarat awal 𝑎0 = 3!
Penyelesaian :
Dengan mengganti n dengan n − 1 pada rumus diatas, kita peroleh
𝑎𝑛−1 = 𝑎𝑛−2 + 4 𝑆𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 4
= (𝑎𝑛−2 + 4) + 4
= ((𝑎𝑛−3 + 4) + 4) + 4
. . .
= 𝑎0 + 𝑛 × 4
Karena 𝑎0 = 3, maka kita peroleh
𝑎𝑛 = 3 + 4𝑛
8. Pemodelan Relasi berulang
Contoh 6 :
Kelinci dan bilangan Fibonacci Masalah ini dikemukakan oleh
Leonardo Pisano, yang juga dikenal sebagai Fibbonacci, pada 13
abad yang lalu dalam bukunya Liber abac
Sepasang bayi kelinci ( satu dari setiap jenis kelamin ) diletakkan pada
suatu pulau. Pasangan kelinci ini tidak akan bereproduksi sampai
mereka berusia 2 bulan. Setelah berusia dua bulan, setiap bulannya
pasangan kelinci akan melahirkan pasangan bayi kelinci . Cari relasi
berulang untuk banyaknya pasangan kelinci pada pulau tersebut
setelah n bulan, dengan asumsi tidak ada kelinci yang mati
9.
10. KESIMPULAN
Suatu relasi berulang dari barisan 𝑎𝑛 adalah suatu persamaan yang
menyatakan 𝑎𝑛 dalam suku-suku dari satu atau lebih suku sebelumnya
dari barisan tersebut, sebutlah 𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛−1, untuk semua bilangan
bulat 𝑛0, dengan 𝑛0adalah bilangan bulat non negatif. Suatu barisan
dikatakan penyelesaian dari suatu relasi berulang jika suku-sukunya
memenuhi relasi berulang tersebut (relasi berulang tersebut secara
rekursif mendefinisikan barisan).
Banyak metode yang bisa digunakan untuk menyelesaikan relasi
berulang. Pada perkuliahan ini, kita hanya akan membahas dua cara
yakni metode iterasi dan metode akar persamaan karakteristik .
