Rangkuman dokumen tersebut dalam 3 kalimat: Dokumen tersebut membahas tentang rangkaian listrik RL, RLC, dan contoh soalnya. Termasuk persamaan diferensial dan cara penyelesaiannya untuk menentukan arus listrik sebagai fungsi waktu, serta perilaku arus listrik ketika waktu mendekati tak terhingga.

1. MATEMATIKA III
Oleh:
Dr. Parulian Silalahi, M.Pd
http://polmansem3.esy.es/

2. Rangkaian R - L
Untuk rangkaian RL seperti
gambar disamping kita
dapatkan dari hukum
Kirchoff.
L dI/dt + R I = E (t)
dimana:
L = induktansi
R = resistansi
I = arus
E (t) = tegangan

3. Contoh 1:
Sebuah rangkaian dengan induktansi L = 4 Henry,
resistansi R = 12 ohm dan suatu baterai yang
memberikan suatu tegangan konstan sebesar 16 volt.
Jika I = 0, pada saat t = 0 ( saat saklar s ditutup).
Tentukan I pada saat t.
Jawab:
Diketahui :
L = 4 Henry ; R = 12 ohm ; E(t) = 16 volt
Untuk rangkaian diatas persamaan diferensialnya
dapat ditulis sebagai berikut:
L dI/dt + R I = E (t)

4. 4 dI/dt + 12 I = 16
: 4
dI/dt + 3 I = 4
P (t) = 3
Q( t) = 4






+=








+
∫∫
=








+
∫∫
=
∫
∫
∫
−
−
−
cdtee
cdtee
cdttQeeI
tt
dtdt
dtPdtP
4
4
)(
33
33

5. ttt
ecceeI 3
3
43
3
43
.)( −−
+=+=
Untuk I = 0 pada saat t = 0 maka
diperoleh
0 = 4/3 + c c = - 4/3
Maka I pada saat t adalah
I = 4/3 – 4/3 e-3t

6. Dengan menggunakan
gambar disamping,
tentukanlah:
a.I sebagai suatu fungsi t
dengan anggapan saklar
ditutup dan I = 0 pada saat
t = 0
b.Arus dalam keadaan
mantap sebagai suatu
fungsi waktu (anggap t
mendekati tak terhingga

7. Persamaan diferensial untuk rangkaian diatas
adalah:
L dI/dt + R I = E (t)
5 dI /dt + 40 I = 100 sin 20t
dI/dt + 8 I = 20 sin 20t
P(t) = 8 ; Q(t) = 20 sin 20t








+
∫∫
= ∫
−
cdttQeeI
dtPdtP
)(

8. t
t
t
tt
dtdt
cett
ctt
e
e
cdttee
cdtteeI
8
22
8
8
88
88
)20cos2020sin8(
464
20
)20cos2020sin8(
208
.20
20sin20
20sin20
−
−
−
−
+−=






+−
+
=






+=








+
∫∫
=
∫
∫

9. Untuk I = 0 dan saat t = 0 maka persamaan
diatas menjadi
0 = 20/464 (8. sin 0 – 20 cos 0) + c e0
diperoleh c = 25/29
a.I = 20/464 (8 sin 20t – 20 cos 20t) + 25/29 e-8t
b.Untuk t menuju tak terhingga ( t besar) maka
e-8t
dapat diabaikan sehingga:
I = 20/464 ( 8 sin 20t – 20 cos 20t)

10. Suatu rangkaian listrik dengan sebuah
tahanan (R, ohm), sebuah induktor (L, Henry)
dan sebuah Kapasitor (C, farad) terangkai seri
dengan sumber tegangan E(t) volt seperti
gambar berikut:
Rangkaian - RLC

11. Menurut hukum Kirchoff menyatakan bahwa
muatan Q pada kapasitor, yang diukur dalam
Coulomb, memenuhi:
L d2
Q/dt2
+ R dQ/dt + 1/c Q = E(t) …… (1)
Arus I = dQ/dt, diukur dalam ampere
Dengan mendiferensialkan persamaan (1)
terhadap t diperoleh:
L d2
I/dt2
+ R dI/dt + 1/c I = E’(t) atau
L I” + RI’ + 1/C I = E’ (t)

12. Contoh 1:
Tentukan muatan Q dan arus I sebagai
fungsi waktu t dalam sebuah rangkaian RLC.
Jika R = 40 ohm; L = 10 Henry, C= 0,02 farad
dan E = 300 volt, dengan syarat awal; I = 0;
Q = 0 di t = 0 pada saat saklar ditutup.
Jawab:
Diketahui : R = 40 ohm; L = 10 Henry; C= 0,02
farad dan E = 300 volt
Hukum Kirchoff:
LQ” + R Q’ + 1/C Q = E (t)

13. 10 Q” + 40 Q’ + 1/0.02 Q = 300
Q” + 4 Q’ + 5 Q = 30
PDL Homogen : Q” + 4 Q’ + 5 Q = 0
Persamaan bantu :
r2
+ 4r + 5 = 0
ir ±−=
−±−
=
−±−
= 2
2
44
2
20164
2,1
Penyelesaian umum homogen
Qh = C1 e-2t
cos t+ C2 e-2t
sin t

14. Fungsi percobaan:
Q = At2
+ Bt + C
Q’ = 2 At + B
Q” = 2 A
Dengan mensubsitusi ke persamaan (1)
diperoleh:
2A + 4(2At + B) + 5(At2
+ Bt + C) = 30
5At2
+ (8A + 5B) t + 2A + 4B + 5C = 30
5A = 0 A =0
8A + 5B = 0 B = 0
2A + 4B + 5C=30 C = 30/5 = 6
Jadi Qp = 6

15. Penyelesaian umum
Q = Qh + Qp
Q = C1 e-2t
cos t + C2 e-2t
sin t + 6
= e-2t
(C1 cos t + C2 sin t) + 6
Untuk menentukan C1 dan C2 kita gunakan
syarat awal Q(0 )= 0 dan I(0) = 0
Q(0) = 0 0 = C1 e0
cos 0 + C2 e0
sin 0 + 6
C1 = - 6
I = dQ/dt = -2e-2t
(C1 cos t+ C2 sin t) +e-2t
(-C1
sin t + C2 cos t)
I(0)= 0 0 = -2e0
(C1 cos 0+ C2 sin 0) +e0
(-
C1 sin 0 + C2 cos 0)
C2 = - 12

16. Jadi Q = e-2t
( -6 cost – 12 sin t) + 6
dan
I = dQ/dt
= -2e-2t
(-6cost-12sint) + e-2t
(6sin t –12 cos t)
I = 12e-2t
cost+ 24e-2t
sint + 6e-2t
sin t – 12 e-2t
cos t
I = 30 e-2t
sin t

17. Contoh 2:
= 20 ohm
= 50 sin t volt
= 0.05 farad
=10 Henry
Carilah arus I (t) dalam rangkaian RLC
seperti gambar diatas.
Bagaimana perilakunya saat t besar ?

18. Jawab:
Diketahui : R = 20 ohm ; L = 10 Henry ;
C = 0,05 farad; E = 50 sin t volt
Hukum Kirchoff:
LQ” + R Q’ + 1/C Q = E (t)
10 Q” + 20 Q’ + 1/0.05 Q = 50 sin t
Q” + 2 Q’ + 2 Q = 5 sin t
PDL Homogen : Q” + 2 Q’ + 2 Q = 0
Persamaan bantu :
r2
+ 2r + 2 = 0
ir ±−=
−±−
=
−±−
= 1
2
42
2
2.422 2
2,1
Penyelesaian umum homogen
Qh = C1 e-t
cos t+ C2 e-t
sin t

19. Fungsi percobaan:
Q = A cos t + B sin t
Q’ = -A sin t + B cos t
Q” = -A cos t - B sin t
Dengan mensubsitusi ke persamaan (1)
diperoleh:
- Acos t – B sin t + 2(-A sint + B cos t) + 2 ( A
cos t + B sin t) = 5 sin t
(A + 2 B ) cos t + -2A + B) sin t =5 sin t
A + 2 B = 0 2 A + 4 B = 0
-2A + B = 5 - 2A + B = 5
5 B = 5 B= 1 ; A = -2

20. Penyelesaiaan khusus
Qp = - 2 cos t + sin t
Peneyelesaian umum
Q = Qh + Qp
Q = C1 e-t
cos t + C2 e-t
sin t - 2 cos t + sin t
= e-t
(C1 cos t + C2 sin t) - 2 cos t + sin t
Untuk menentukan C1 dan C2 kita gunakan
syarat awal Q(0 )= 0 dan I(0) = 0
Q(0) = 0 0 = C1 -2 C1 = 2
I = dQ/dt = -e-t
(C1 cos t+ C2 sin t) +e-t
(-C1 sin t
+ C2 cos t) + 2 sin t + cos t
I(0)= 0 0 = -C1 + C2 + 1
C2 = 1

21. Jadi
Q = e-t
(2 cos t + sin t) - 2 cos t + sin t
Dan kuat arus adalah
I = dQ/dt
= -e-t
(2cost+ sin t) + e-t
(-2sin t +cos t)+ 2sint + cost
I = -e-t
cost- 3e-t
sin t +2sint + cost
Untuk t besar ( t ∞)
maka nilai -e-t
cost- 3e-t
sin t = 0
Sehingga arus I = 2sint + cost ( t besar)

22. TERIMA KASIH
Selamat Belajar