Документ описывает геометрическое тело – параллелепипед, его свойства и элементы, такие как грани, вершины и ребра. Включает правила построения сечений параллелепипеда и рассматривает его основные свойства, например, параллельность и равенство противоположных граней. Также приводятся примеры построения сечений с использованием аксиом стереометрии.

1. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД И ЕГО СВОЙСТВА геометрия 10 класс Блощинская В.О., МОУ СОШ №33, 2004 год.

2. Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда – нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира. Н. И. Лобачевский

3. Параллелепипед. В процессе нашей работы вы освоите новое понятие – параллелепипед , познакомитесь с его свойствами, рассмотрите основные правила построения сечений параллелепипеда.

4. Рассмотрим поверхность, состоящую из двух равных параллелограммов АВС D и А 1 В 1 С 1 D 1 , расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 будут параллельны, и четырехугольников ВВ 1 С 1 С, СС 1 D 1 D, DD 1 А 1 А , АА 1 В 1 В, каждый из которых тоже является параллелограммом D А C B D 1 С 1 В 1 А 1

5. Поверхность, составленная рассмотренным ранее способом называется ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДОМ . На рисунке изображён параллелепипед АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 . D А C B D 1 С 1 В 1 А 1

6. Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед – ГРАНИ . Для примера выделена грань АА 1 D 1 D . Вершины параллелограммов, точки А,В,С, D ,А 1 ,В 1 ,С 1 , D 1 - ВЕРШИНЫ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА. А B C D А 1 В 1 С 1 D 1

7. На рисунке выделены противоположные грани АВС D и А 1 В 1 C 1 D 1 АА 1 В 1 В и DD 1 С 1 С АА 1 D 1 D и ВВ 1 С 1 С. Часто выделяют какие-нибудь противоположные грани и называют их основаниями . Выберем грани АВС D и А 1 В 1 C 1 D 1. Две грани параллелепипеда, не имеющие общих ребер называются противоположными. А C D 1 С 1 В 1 А 1 B D

8. На рисунке выделены смежные грани АВС D и ВВ 1 С 1 С с общим ребром ВС АВС D и АА 1 В 1 В с общим ребром АВ . Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро называются смежными . А C D 1 С 1 В 1 А 1 B D

9. Параллелепипед имеет 12 ребер. Стороны параллелограммов, из которых составлен параллелепипед- РЕБРА ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА. Ребра АА 1 СС 1 ВВ 1 DD 1 БОКОВЫЕ РЕБРА. Ребра АВ, ВС, CD , А D (смотри рисунок) и А 1 В 1 , В 1 С 1 , С 1 D 1 , А 1 D 1 (смотри рисунок) РЕБРА ОСНОВАНИЙ. А B C D А 1 В 1 С 1 D 1

10. Две вершины , не принадлежащие одной грани, называются противоположными. На рисунке показаны противоположные вершины А 1 и С В 1 и D В и D 1 А и С 1. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Например: АС 1 или В 1 D -диагонали параллелепипеда. А C D 1 С 1 В 1 А 1 B D

11. Рассмотрим СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА . Свойство 1 . Противоположные грани параллелепипеда (на рисунке АВС D и А 1 В 1 С 1 D 1 АА 1 D 1 D и ВВ 1 С 1 С, а также АА 1 В 1 В и DD 1 С 1 С ) параллельны и равны . А C D 1 С 1 В 1 А 1 B D

12. Диагонали параллелепипеда (на рисунке В 1 D А 1 С АС 1 В D 1 ) пересекаются в одной точке (точка О) и делятся этой точкой пополам. Свойство 2. О А C D 1 С 1 В 1 А 1 B D

13. Секущая плоскость пересекает грани параллелепипеда по отрезкам ( согласно аксиомам стереометрии ). В данном случае это отрезки КМ , МР , РТ и КТ . Сечения параллелепипеда. Секущей плоскостью параллелепипеда называют любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда. Например: плоскость МКТ на рисунке. К Т М Р

14. Напомнить аксиомы стереометрии? Аксиома 1 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. щелкни «мышкой» Аксиома 2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости. щелкни «мышкой» Аксиома 3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

15. При построении сечений параллелепипеда следует учитывать тот факт, что если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны . При построении сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку К на ребре СС 1 и параллельно плоскости основания АВС D , получается параллелограмм, который равен параллелограмму АВС D , при построении используем признак параллельности плоскостей К А C D 1 С 1 В 1 А 1 B D

16. Напомнить признак параллельности плоскостей? Если две пересекающиеся прямые одной плоскости ( n и m в плоскости β ) соответственно параллельны двум прямым другой плоскости ( n 1 и m 1 в плоскости γ , m ║ m 1 , n ║ n 1 ) то эти плоскости параллельны ( β ║ γ ) . n m m 1 n 1

17. При построении сечений параллелепипеда следует учитывать тот факт, что если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны . В сечении параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки А, D , В 1 получается параллелограмм, так как параллельны отрезки АВ 1 и D С 1 , а также отрезки А D и В 1 С 1 . А C D 1 С 1 В 1 А 1 B D

18. Построим сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через три точки. 1случай: эти точки лежат на ребрах, выходящих из одной вершины. Например, такими точками будут М, Т и Р на ребрах DD 1 , А 1 D 1 и D 1 C 1 соответственно. Т М Р А C D 1 С 1 В 1 А 1 B D

19. Построим сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через три точки. 1случай: эти точки лежат на ребрах, выходящих из одной вершины. Построение: 1) секущая плоскость пересекает грань АА 1 D 1 D по отрезку ТМ, 2) секущая плоскость пересекает грань А 1 В 1 С 1 D 1 по отрезку ТР, 3) а грань DD 1 С 1 С по отрезку РМ. В сечении –треугольник ТМР. Т М Р А C D 1 С 1 В 1 А 1 B D

20. Построим сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через три точки. 2 случай: эти точки лежат на боковых ребрах. Например, такими точками будут К, S и L на ребрах АА 1 , ВВ 1 и С C 1 соответственно. А C B D S K L Н D 1 С 1 В 1 А 1

21. Построение: 1) секущая плоскость пересекает грань А 1 В 1 С 1 D 1 по отрезку KL , 2) грань ВВ 1 С 1 С по отрезку LS , 3) строим точку М-точка пересечения прямых К L и А 1 D 1, которая принадлежит грани АА 1 D 1 D . Через М проведём прямую параллельную LS . Её пересечение с ребром А D обозначим Е, а с ребром АА 1 – F. 4) грань АА 1 В 1 В пересекается по отрезку К F , 5) c екущая плоскость пересекает грань АВС D по отрезку ЕН, построенному параллельно К L , 6) грань DD 1 С 1 С пересекается по отрезку Н S . В сечении -шестиугольник К LSHEF . А S K L Е Н F M C D 1 С 1 В 1 А 1 B D

22. Подведем итоги: Вы познакомились с геометрическим телом – параллелепипед. А также, с его элементами: гранями, вершинами, ребрами. Рассмотрели два свойства параллелепипеда. И примеры построения различных сечений. Вспомнили и применили изученный ранее теоретический материал.

23. Спасибо за работу! До новых встреч!