Софизмы

1. Подготовила учитель
математики школы № 41
Андрейченко Т.Н.

2. Чем больше учишься, тем больше знаешь.
Чем больше знаешь, тем больше забываешь...
Чем больше забываешь, тем меньше знаешь...
Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.
Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.
Так для чего учиться?

4. арифметические
геометрические
алгебраические

6. “В любой окружности хорда, не проходящая через её центр, равна её диаметру”
В произвольной окружности проводим диаметр АВ и
хорду АС.
Через середину D этой хорды и точку В проводим
хорду ВЕ.
Соединив точки С и Е, получаем ∆ ABD и ∆ CDE.
‫ﮮ‬ ВАС = ‫ﮮ‬ СЕВ как углы, опирающиеся на
одну и ту же дугу;
‫ﮮ‬ ADB = ‫ﮮ‬ CDE как вертикальные;
AD = CD по построению.
Следовательно, ∆ ABD = ∆ CDE (по стороне и двум
углам).
Но стороны равных треугольников, лежащие против
равных углов, сами равны, а потому АВ = СЕ
т.е. диаметр круга оказывается равным некоторой
(непроходящей через центр окружности) хорде.
A B
O
D
CE

7. Разбор софизма
В софизме доказывается, что два треугольника
ABD и CDE равны, ссылаясь при этом на признак
равенства треугольников по стороне и двум углам.
Однако такого признака нет.
Правильно сформулированный признак равенства
треугольников гласит:
если сторона и прилежащие к ней углы одного
треугольника равны соответственно стороне и
прилежащим к ней углам другого треугольника,
то такие треугольники равны.
A B
O
D
CE

8. “Окружность имеет два центра”
Построим произвольный ‫ﮮ‬АВС.
На его сторонах возьмём т.D и т.E.
Построим EF BC, DF BA.
т. F - точка пересечения перпендикуляров.
Через точки D, E, F проводим окружность (это
можно сделать, так как точки не лежат на
одной прямой).
Окружность пересечёт стороны угла в т.H и т.G.
‫ﮮ‬GDF и ‫ﮮ‬ HEF – вписаны в данную
окружность.
‫ﮮ‬GDF= ‫ﮮ‬ HEF=90
Эти углы опираются на хорды GF и HF
соответственно.
Но в окружности угол ,равный 90 ,опирается
на диаметр.
Следовательно, GF и HF – диаметры. Диаметр
всегда проходит через центр,значит, данная
окружност имеет два центра – т. О и т. О1
C
A
B
H
G
E
F
D
О1
.
.
О

9. Разбор софизма.
Ошибка здесь кроется в неправильно построенном
чертежа. На самом деле окружность, проведенная
через точки Е, F и D, обязательно пройдет через
вершину В угла ABC, т. е. точки В, Е, F и D
обязательно должны лежать на одной
окружности.
Тогда, конечно, никакого софизма не возникает.
Действительно, восстановив перпендикуляры в
точках Е и D к прямым ВС и ВА соответственно и
продолжив их до взаимного пересечения в точке
F, получаем четырехугольник BEFD.У этого
четырехугольника сумма двух его противополож-
ных углов BEF и BDF равна 180°.
Но согласно известному в геометрии утверждению
вокруг четырехугольника можно описать
окружность тогда и только тогда, когда сумма
двух его противоположных углов равна180°.
Отсюда следует,что все вершины четырехугольника
BEFD должны принадлежать одной окружности.
Поэтому точки G и Н совпадут с точкой В и у
окружности окажется, как и должно быть, один
центр.
C
A
B
E
F
D
О

10. “Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра”
Построим ∆ АВС.
На его сторонах АВ и ВС этого
треугольника,как на диаметрах ,
построим полуокружности.
Пусть эти полуокружности пересекаются
со стороной АС в точках Е и D.
Соединим т.Е и т.D прямыми с точкой В.
‫ﮮ‬АЕВ прямой как вписаный ,
опирающийся на диаметр; ‫ﮮ‬ВDC также
прямой.
Следовательно,ВЕ АС и BD AC.
Значит через точку В проходят два
перпендикуляра к прямой АС.
B
A CE D

11. Разбор софизма
Рассуждения, о том, что из точки на
прямой можно опустить два перпендикуляра,
опирались на ошибочный чертеж.
В действительности полуокружности
пересекаются со стороной АС в одной точке,
т.е. ВЕ совпадает с ВD.
Значит, из одной точки на прямой нельзя
опустить два перпендикуляра.
B
A CE D

12. “Отрезки параллельных прямых, заключённые между сторонами угла, равны”
Е
С D
A B
Построим произвольный угол с вершиной
в точке Е и пересечём их стороны двумя
параллельными прямыми , отрезки
которых АВ и СD заключены между
сторонами этого угла.
Как известно пареллельные прямые отсекают
от сторон угла пропорциональные отрезки,
следовательно, ЕС ED
AE EB
откуда
АЕ · DE=BE · CE
Умножив обе части последнего равенства
На отличную от нуля разность (AB – CD), запишем
AE ·DE ·AB – AE ·DE ·CD = ВE ·СE ·АВ – BE · CE· CD,
AE ·DE ·AB – BE ·CE ·AB = AE ·DE ·CD – BE ·CE ·CD,
AB(AE · DE – BE · CE) = CD(AE · DE – BE · CE)
Рзделив обе части последнего равенства на
(AE · DE – BE · CE), получим равенство
АВ = СD

13. Разбор софизма
Т.к. AE • DE = BE • CE,
то AE • DE – BE • CE = 0,
то ошибка в делении на 0.
Делить на 0 нельзя!
Е
С D
A B

14. “Все треуольники равнобедренные”
Построим произвольный ∆ АВС.
Проведём в нём биссектрису ‫ﮮ‬В и серединный
перпендикуляр к стороне АС.
Точку их пересечения обозначим через О.
Из точки О проведём OD АВ и ОЕ ВС.
Очевидно, что ОА = ОС и OD = OE.
Но тогда Δ АОD = Δ СОЕ по катету и гипотенузе,
поэтому ‫ﮮ‬DAO= ‫ﮮ‬ECO.
В то же время ‫ﮮ‬ОАС= ‫ﮮ‬ОСА, так как ∆ АОС –
равнобедренный.
Получаем: ‫ﮮ‬ВАС = ‫ﮮ‬DAO + ‫ﮮ‬OAC = ‫ﮮ‬ECO + ‫ﮮ‬OCA=
= ‫ﮮ‬ BCA.
Итак, ‫ﮮ‬ВАС = ‫ﮮ‬ВСА, следовательно, ∆ АВС –
равнобедренный, значит, АВ = ВС
A
B
C
E
D
O

15. Разбор софизма
Здесь ошибка в чертеже.
Серединный перпендикуляр к стороне
и биссектриса противоположного ей угла
для неравнобедренного треугольника
пересекаются вне этого треугольника.
Точка О находится вне плоскости
треугольника АВС.
В
A C
О

16. запрещенные действия
пренебрежение условиями
теорем, формул, правил
ошибочный чертёж
опора на ошибочные
умозаключения

18. Андрейченко
Татьяна Николаевна,
учитель математики
КОШ І-ІІІ ступеней № 41
Нгуен Тху Ван
ученица 7-Б класса
КОШ І-ІІІ ступеней № 41

19. Источники информации
http://ru.wikipedia.org/wiki/Софизм
http://www.slidefinder.net/р/рамках_недели_математики_гоу_сош/3388855
http://festival.1september.ru/articles/313456/
http://sofizmy.narod.ru/