2. А
Секущая
плоскость
N
M
α
K
D
В
С
Секущей плоскостью называют любую плоскость, по обе стороны
от которой имеются точки данной фигуры
3. Определение сечения.
• Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам.
Многоугольник, сторонами которого являются эти
отрезки, называется сечением многогранника.
• Построить сечение многогранника плоскостью – это значит
указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами
многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими
граням многогранника.
8. Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками.
D
Построение:
1. Отрезок NQ
2. Отрезок NP P
Прямая NP пересекает АС в точке Е
3. Прямая EQ
EQ пересекает BC в точке R
NQRP – искомое сечение
N
С
А
E R
Q
В
9. Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками.
D
Построение:
1. MN; отрезок МК
2. MN пересекает АВ в точке Х
3. ХР; отрезок SL
M MKLS – искомое сечение
N
S
А P
C
K
L
B
X
10. Постройте сечение пирамиды плоскостью,
проходящей через три точки M,N,P.
F
M
P
А D Y
N
S
C
B
XY – след секущей плоскости
на плоскости основания
Z
X
11. Постройте сечение призмы, проходящее через точки O,F,G
Шаг 1: разрезаем грани KLBA и LMCB
• Проводим через точки F и O L
прямую FO. M
F
• Отрезок FO есть разрез K N
грани KLBA секущей
плоскостью.
• Аналогичным образом G
отрезок FG есть разрез грани
LMCB. B
C
O
A D
Почему мы уверены, что сделали разрезы на гранях?
Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они
пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).
Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая
принадлежит этой плоскости.
12. Шаг 2: ищем след секущей плоскости на плоскости основания
• Проводим прямую АВ до пересечения с
L
прямой FO. M
F
• Получим точку H, которая принадлежит
и секущей плоскости, и плоскости K N
основания.
• Аналогичным образом получим точку
R.
G
• Через точки H и R проводим прямую
HR – след секущей плоскости B
C
O R
A D
H
Почему мы уверены, прямая HR – след секущей плоскости на плоскости основания?
Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по
прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).
Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит
этой плоскости.
13. Шаг 3: делаем разрезы на других гранях
• Так как прямая HR пересекает
L
нижнюю грань многогранника, то M
получаем точку E на входе и точку S на F
выходе.
• Таким образом отрезок ES есть разрез K N
грани ABCD.
• Проводим отрезки ОЕ (разрез грани
KNDA) и GS (разрез грани MNDC). G
B
C
Почему мы уверены, что все O R
делаем правильно? A S
H E D
Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по
прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).
Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит
этой плоскости.
14. Шаг 4: выделяем сечение многогранника
L
M
F
K N
Все разрезы образовали
пятиугольник OFGSE, который
и является сечением призмы G
плоскостью, проходящей через B
точки O, F, G. C
O
S
A E D
