Построение сечений многогранников

1. Построение сечений
параллелепипеда
Геометрия, 10 класс

2. Цель
 Для решения многих геометрических задач,
связанных с прямоугольным параллелепипедом,
полезно уметь строить сечения различными
плоскостями.
 Вспомните основные определения
 параллелепипед
 прямоугольный параллелепипед
сечение

3. Задача
Дан параллелепипед
ABCDA1B1C1D1. Построить его
сечение плоскостью MNP.
Решение:
Параллелепипед имеет 6 граней.
Его сечениями могут быть:
треугольники
четырёхугольники
пятиугольники
шестиугольники.
Рассмотрим каждый случай,
выбрав его путём нажатия на
соответствующий значок с
типом фигуры.

4. Треугольное сечение
 Треугольное сечение получается, если точки M, N и P лежат на
выходящих из одной вершины рёбрах. Чтобы построить
плоскость MNP, достаточно соединить указанные точки
отрезками.
A
B C
D1
D
C1
A1
B1
M
N
P

5. Четырёхугольное сечение
 Треугольное сечение получается, если точки M, N и P лежат на
параллельных рёбрах. Чтобы построить плоскость MNP,
необходимо соединить отрезками точки, принадлежащие одной
грани.
 Затем провести параллельные отрезки на противоположных
гранях
B1
A
B C
D1
D
C1
A1
M
N
P

6. Пятиугольное сечение
 Точки M и N лежат в одной плоскости, строим прямую.
 Находим точки пересечения прямых MN и C1D1, MN и A1D1 лежащих в
плоскости A1C1B1.
 Проводим прямую через точку Р, являющуюся «следом» сечения в плоскости
DAA1.
 Проводим прямую через точку Р, являющуюся «следом» сечения в плоскости
DCC1.
 Строим сечение.
A
B C
D1
D
C1
A1
B1
M
N
A
B C
D1
D
C1
A1
B1
M
N
P
A
B C
D1
D
C1
A1
B1
M
N

7. Шестиугольное сечение
 Рассмотрим следующее расположение точек M, N и P.
 M, N расположены в одной плоскости, соединяем их отрезком.
 Проводим прямую МN – «след» сечения в плоскости АDD1. Проводим прямую A1D1 и
находим точку пересечения МN и A1D1.
 Затем находим точку пересечения прямых DD1 и MN, проводим прямую через данную точку
и точку Р.
 Находим точку пересечения построенной прямой – «следа» сечения в плоскости DD1C c
прямой D1C1.
 Проводим прямую через точки X и Z, находим точки пересечения с рёбрами и строим
сечение.
A D
B1
B
C
D1
C1
A1
M
N
P

8. Определение секущей плоскости
Секущей плоскостью параллелепипеда
называется любая плоскость, по обе стороны от которой
имеются точки данного параллелепипеда.
C1
A D
CB
A1
D1
B1

9. Определение параллелепипеда
Параллелепипед – поверхность, составленная из
двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 (оснований) и
четырёх параллелограммов (боковых граней)
B1
A
B C
D1
D
C1
A1
A

10. Определение прямоугольного
параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед –
параллелепипед, все грани которого являются
прямоугольниками.
C1
A D
C
B
A1
D1
B1

11. Литература
 Геометрия 10 – 11 кл.
Атанасян Л.С.
«Просвещение», 2003
 http://www.ssu.samara.ru
/~nauka/MATH/math.htm
 http://college.ru/mathema
tics/courses/stereometry/
design/index.htm
 http://mail.spb.fio.ru/a
rchive/group14/c4wu5
/page_3b.html