dfsdf

1. СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ
ЦЕНТР
ПРИ МГТУ им. Н. Э. БАУМАНА
ГОУ Лицей №1581 (при МГТУ имени Н. Э. Баумана)
Хащинина С. В.
Решение стереометрических
задач из олимпиады МГТУ
Москва 2011

2. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н. Э. БАУМАНА
Специализированный учебно-научный центр
ГБОУ лицей №1581 (при МГТУ имени Н. Э. Баумана)
Решение стереометрических задач из
олимпиады МГТУ
Москва 2011

3. Построение сечений с заданными свойствами
1.1. Построение сечений плоскостью, проходящей через заданную
прямую параллельно другой заданной прямой.
При построении данного сечения используется признак параллельности прямой
и плоскости:
Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой,
лежащей в этой плоскости, то эти прямая и плоскость параллельны.
Пусть требуется построить сечение многогранника плоскостью а, проходящей
через прямую a параллельно прямой b.
Общий план построения заданного сечения:
1) Выделить прямую, параллельно которой надо построить сечение (прямую b).
2) Через прямую b построить плоскость β так, чтобы она пересекала прямую a.
3) Найти точку пересечения прямой a и плоскости β.
4) Провести через точку пересечения прямую b', параллельную прямой b в
плоскости β.
5) Пересекающиеся прямые a и b' задают искомую плоскость α.
Рассмотрим построение сечения на примере.
Построить сечение правильной четырехугольной пирамиды TABCD плоскостью,
проходящей через медиану BN боковой грани ТВС и параллельной апофеме ТМ
боковой грани TAB.
Построение
1. (ТМС), TC ∩ (TMC ) = N .
2. NN 1 || TM в плоскости (ТМС)
3. BN 1 ∩ CD = K
4. (BNK) – искомое сечение
Доказательство
NN 1 ⊂ ( BNK ) и NN 1 || TM (по
построению) ⇒ TM || (BNK) (по
признаку параллельности прямой и
плоскости).
Замечание. Иногда для построения сечения приходится дополнительно
воспользоваться методом следа.

4. Построить сечение правильной треугольной пирамиды ТАВС плоскостью,
проходящей через середину бокового ребра ТА и середину стороны основания ВС
параллельно высоте основания BD.
Построение:
1. K ∈ ( ABC ) .
2. KN || BD в плоскости (АВС).
3. MN.
4. NK – след секущей .плоскости.
5. AB ∩ NK = X .
6. MX ∩ TB = P .
7. (KPMN) - искомое сечение.

5. 1.2. Построение сечений, проходящих через заданную точку
параллельно двум скрещивающимся прямым.
При построении данного сечения используется признак параллельности двух
плоскостей: (вспомните его).
Общий план построения сечения:
1) Через одну из скрещивающихся прямых провести плоскость, параллельную
другой прямой (см. пункт 1.1.).
2) Через данную точку провести плоскость, параллельную плоскости
вспомогательного сечения, используя признак параллельности двух плоскостей.
Рассмотрим построение данного сечения на примере. Построить сечение правильной
четырехугольной пирамиды TABCD плоскостью, проходящей через центр ее
основания параллельно апофеме TF боковой грани TAB и медиане DM боковой
грани TDC.
Построение:
1. ( FTF1 ) ∩ DM = E
2. EE1 || TF в плоскости ( FTF1 )
3. DE1 ∩ BC = K 1
4. ( DMK 1 )
5. KP || DK1 , O ∈ KP в (АВС)
6. KR || K 1 M в (ВТС)
7. RQ || DM в (ВЕС)
8. (KRQP) – искомое сечение
Доказательство:
1. KP || K 1 D , KR || K 1 M (по построению)
⇒ ( KRQ) || ( DMK1 ) .
Так как MD ⊂ ( DMK 1 ) , то MD || (KRQ).
2. EE1 || TF (по построению),
EE1 ⊂ ( DMK1 ) ⇒ TF || ( DMK 1 )
⇒ TF || ( KRQ )
3. Так как O ∈ (KRQ ) , то (KRQ) –
искомое сечение

6. 1.3 Построение двух параллельных плоскостей,
проходящих через две скрещивающиеся прямые.
Пусть даны скрещивающиеся прямые a и b.
Общий план построения сечения:
1) Построить плоскость α , проходящую через одну из скрещивающихся
прямых (а), параллельно другой скрещивающейся прямой (b).
2) Используя признак параллельности плоскостей, построить плоскость β,
проходящую через другую прямую (b) параллельно плоскости α .
Рассмотрим построение данного сечения на примере.
Построить две параллельные плоскости, одна из которых проходит через вершину
пирамиды Т и середину стороны основания АВ, а другая – через вершину
основания D и середину бокового ребра ТС. TABCD – правильная
четырёхугольная пирамида.
Построение:
1. (TMM 1 ) ∩ DN = E
2. EE1 || TM в плоскости ( TMM 1 )
3. DE1 ∩ BC = K
4. (DNK)
5. ML || DK в плоскости (АВС)
6. (TML)
Доказательство:
1. EE1 || TM , DK || ML (по построению)
⇒ (TML) || (DNK) (по признаку
параллельности двух плоскостей).
2. Так как DN ⊂ (DNK ) , TM ⊂ (TML) , то
(DNK) и (TML) – искомые сечения.

7. Система упражнений
Построить сечение правильной четырёхугольной пирамиды ТАВС плоскостью,
проходящей через медиану АМ боковой грани ТАВ параллельно апофеме ТК боковой
грани ТВС.
Построение
В треугольной пирамиде ТАВС высота совпадает с боковым ребром ТС. Построить
сечение пирамиды плоскостью, проходящей через медиану ВN боковой грани ТВС и
параллельно медиане АМ боковой грани NFD.
Построение

8. В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник АВС.
Середина В гипотенузы АВ является основанием высоты пирамиды SD. Построить
сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину высоты SD параллельно
рёбрам AC и BS.
Построение
В основании пирамиды SABCS лежит прямоугольник ABCD. Точки E и F лежат на рёбрах
АВ и AD соответственно так, что AE : EB = AF : FD = 2. Построить сечение пирамиды
плоскостью, проходящей через точки E и F параллельно ребру AB.
Построение

9. Построить сечение правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью,
параллельной диагонали A1C боковой грани AA1C1C и проходящей через середину ВС
основания АВС и точку М, лежащую на стороне АВ, если АМ = 2 МВ.
Построение
Построить сечение правильной треугольной пирамиды SABC плоскостью, проходящей
через вершину основания A и середину бокового ребра SB параллельно высоте ST
боковой грани ASC.
Построение

10. Построить сечение правильной четырёхугольной пирамиды TABC плоскостью,
проходящей через центр её основания и параллельной медиане боковой грани ТАВ и
медиане BN боковой грани ТАВС.
Построение
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка К – середина ребра АВ, точка L –
середина ребра В1С1, точка М – середина ребра АВ, точка N – середина ребра АС.
Построить сечения призмы параллельными плоскостями, проходящими через прямые KL
и МN.
Построение

11. В пирамиде ТАВС высота проходит через середину стороны основания АВ. Построить
сечение пирамиды плоскостью, проходящей через боковое ребро ТА, если известно, что
прямая проходящая через середину стороны основания ВС, параллельна боковой
плоскости.
Построение
Построить сечение правильной четырёхугольной пирамиды ТАВС плоскостью,
проходящей через вершину основания В параллельно апофеме TF боковой грани ТАВ и
медиане DM боковой грани TDC.
Построение

12. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ.
1. Построить сечение правильной пирамиды ТАВС плоскостью, проходящей через
вершину основания В параллельно апофеме TF боковой грани ТАВ и медиане DM
боковой грани TDC.
2. В правильной четырёхугольной пирамиде ТАВСD провести две параллельные
между собой плоскости, одна из которых проходит через вершину пирамиды Т и
середину стороны основания АВ, а другая – через вершину основания D и середину
бокового ребра ТС.
3. Построить сечение правильной пирамиды ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей
через вершину С и середину стороны B1C1 основания A1B1C1 и параллельной
диагонали AC1 боковой грани AA1C1C.
4. Построить сечение правильной четырёхугольной пирамиды ТАВСD плоскостью,
проходящей через центр её основания параллельно апофеме TK боковой грани
ТАВ и медиане ВМ боковой грани ТВС.
5. Построить сечение правильной треугольной пирамиды SABC плоскостью,
проходящей через медиану АМ боковой грани ASB и параллельной апофеме ST
боковой грани ASC.
6. Построить сечение правильной пирамиды ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей
через точку М, лежащую на стороне В1С1 так, что МС1 = 3В1М и середину стороны
АВ основания АВС и параллельной диагонали АС1 боковой грани АА1С1С.
7. В треугольной пирамиде высота совпадает с боковым ребром ТА, а основание
лежит равносторонний треугольник АВС. Построить сечение пирамиды
плоскостью, проходящей через медиану АМ боковой грани ТАВ и параллельной
медиане BN боковой грани ТВС.
8. Построить сечение правильной четырёхугольной пирамиды ТАВСD плоскостью,
проходящей через медиану АМ боковой грани ТАВ параллельно апофеме TL
боковой грани ТВС.
9. В треугольной пирамиде высота совпадает с боковым ребром ТА, а в основании
лежит равносторонний треугольник АВС. Построить сечение пирамиды
плоскостью, проходящей через медиану СМ боковой грани ТВС и параллельной
медиане AN боковой грани ТАС.
10. В прямоугольном треугольнике ABCDA1B1C1D1 построить сечение плоскостью,
параллельной диагонали параллелепипеда АС1, диагонали основания BD и
проходящей через точку S, где точка О – центр основания ABCD, О1 – центр
основания A1B1C1D1, S – точка, делящая отрезок ОО1 в отношении 1 : 3.

13. Решение задачи тремя различными способами
Задача
Найдите площадь сечения правильной четырёхугольной пирамиды ТАВСD
плоскостью, проходящей через апофему TL боковой грани ТВС параллельно
медиане АМ боковой грани ТАВ, если расстояние от центра основания пирамиды
до секущей плоскости равно 2/5, а сторона основания пирамиды равна 4.
Дано:
TABCD – правильная
четырёхугольная пирамида, α -
плоскость сечения, TL ⊂ α , AM || α ,
2
АВ=4, ρ(0; α) =
5
Построение сечения:
1. ( AMC ) ∩ TL = E
2. EE1 || AM в (АМС), E1 ∈ AC
3. LE1 ∩ AD = K в (АВС)
4. (TLK) – искомое сечение
Доказательство:
Т.к. EE1 ⊂ (TLK ) по построению и AM || EE1 , то АМ || (TLK) ( по признаку
параллельности прямой и плоскости).
Построение расстояния:
1. OF ⊥ KL в (АВС)
2. По ТТП TF ⊥ KL в (ЕДЛ)
3. Так как TF ⊥ KL и OF ⊥ KL , то KL ⊥ (TOF ) (по признаку перпендикулярности
прямой и плоскости). KL ⊂ (TLK ) ⇒ (TLK ) ⊥ (TOF ) (по признаку
перпендикулярности двух плоскостей) и (TLK ) ∩ (TOF ) = TF
4. OH ⊥ TF в (TOF), OH ⊥ (TLK ) и OH = ρ(0; (TLK ))

14. Первый способ решения задачи (геометрический)
CE TE 2
1. CM и TL – медианы треугольника ТСВ и CM ∩ TL = E ⇒ = = (по
EM EL 1
свойству медиан)
CE 2 CE1 2 2
2. EE1 || AM и = ⇒ по теореме Фалеса = ⇒ CE1 = AC
EM 1 E1 A 1 3
3. ∆ 1 K ~ ∆ 1 L (
AE CE
CE1 LC 2 1 1 1
∠DAC = ∠LCE1 , ∠AE1 K = ∠CE1 L) ⇒ = = ⇒ AK = LC = × × BC ,
E1 A AK 1 2 2 2
1
AK = AB
4
4. Сделаем выносной чертёж основания.
5. Так как TO ⊥ ( ABC ) , то О – проекция точки Т на (АВС) ⇒ треугольник KOL
– проекция треугольника TLK на (АВС)
S ∆KOL
S ∆TLK = , где ϕ= ∠((TLK ), ( ABC )) = ∠TFO , так как TF ⊥ LK и
cos ϕ
OF ⊥ LK
6. Найдём S ∆ : KOL
LO ∩ AB = α , так как ВО=OD и СД= α , то OL || CD ( по свойству средней линии) ⇒
1
LL1 || CD и LL1 ⊥ AD . KL1 = AL1 − AK = AB
4
1 1 1 1
S ∆KOL = S ∆KLL1 − S ∆KOL1 =
KL1 × LL1 − KL1 × OL1 = KL1 × ( LL1 − L1O) = KL1 × LO ,
2 2 2 2
1 1 1 1 1
S ∆KOL = × BA × BA = AB 2 , S ∆KOL = ×16 = 1 .
2 4 2 16 16
7. ∆KLL1 : по теореме Пифагора KL = LL1 + KL1 , KL = 16 +1 = 17
2 2
1 2S 2
8. S ∆KOL = KL × OF ⇒ OF = ∆KOL , OF = .
2 KL 17

15. 9. Треугольник OFM – прямоугольный
OH 2 × 17 17 17 2 2
sin ϕ = , sin ϕ = = , cos ϕ = 1 − = .
OF 5 ×2 5 25 5
1 ×5 5 2
10. S ∆TLK = = .
2 2 4
5 2
Ответ: .
4
Второй способ решения задачи (векторный)
CE TE 2
1. CM и TL – медианы треугольника ТСВ и CM ∩ TL = E ⇒ = = (по
EM EL 1
свойству медиан)
CE 2 CE1 2 2
2. EE1 || AM и = ⇒ по теореме Фалеса = ⇒ CE1 = AC
EM 1 E1 A 1 3
3. ∆ 1 K ~ ∆ 1 L (
AE CE
CE1 LC 2 1 1 1
∠DAC = ∠LCE1 , ∠AE1 K = ∠CE1 L) ⇒ = = ⇒ AK = LC = × × BC ,
E1 A AK 1 2 2 2
1
AK = AB
4
4. Сделаем выносной чертёж основания.
1 →  1 → 
   →

5. выберем ДПСК xAyz таким образом, что i = DC ; j = DA; k ↑↑ OT и
4 4
 3 a
| k |=1 . Пусть АВ=а, ТО=h. В этой ДПСК K (0; ; a; o) , L ( a; ;0) ,
4 2
a a a a
T ( ; ; h) , O( ; ;0)
2 2 2 2
→
 a → a
 a
6. KL (a;− ;0) , KT ( ;− ; h)
4 2 4
     
i jk i j k
  →  → a 1 1 1   2 a   
n = KL× KT = a − 0 = × × 4a − a 0 = (− 4ahi − 16ahj − 2a k ) = (− 2hi − 8hj − ak )  
n ↑ n1 ,
↑
4 44 16 8
a a 2a − a 4h
− h

2 4
где n1 ( − h;− h;−a ) . Значит, уравнение плоскости (TLK) имеет вид:
2 8
-2hx-8hy-az+D=0

16. 2hx+8hy+az-D=0.
Так как точка K ∈(TLK ) , то 6ah-D=0 ⇔ D=6ah
2hx+8hy+az-6ah=0 – уравнение плоскости (TLK)
7. Так как OH = ρ(0; (TLK )) , то по формуле расстояния от точки до плоскости
| Ax0 + By 0 + Cz 0 + D |
имеем: ρ (0; α ) = , где O( x 0 ; y 0 ; z 0 ) ; α : Ax + By + Cz + D = 0
A2 + B 2 + C 2
a a
| 2h ⋅ + 8h ⋅ − 6ah | 2 4h
2 2 ah , = ⇔ 4(68h 2 + 16) = 16h 2 ⋅ 25
OH = = 5 68h + 16
2
4h 2 + 64h 2 + a 2 68h 2 + a 2
68h 2 + 16 = 100h 2 , 32h 2 = 16
1 1
h2 = , h = .
2 2
8. По определению векторного произведения
1  →  → a 1 1 17 25 5 2
S ∆TLK = | KL × KT |= 68h 2 + a 2 ; S ∆TLK = ⋅ 68 ⋅ + 16 = +4 = = .
2 16 4 2 2 2 2 4
5 2
Ответ: .
4
Третий способ решения задачи (комбинированный).
CE TE 2
1. CM и TL – медианы треугольника ТСВ и CM ∩ TL = E ⇒ = = (по
EM EL 1
свойству медиан)
CE 2 CE1 2 2
2. EE1 || AM и = ⇒ по теореме Фалеса = ⇒ CE1 = AC
EM 1 E1 A 1 3
3. ∆ 1 K ~ ∆ 1 L (
AE CE
CE1 LC 2 1 1 1
∠DAC = ∠LCE1 , ∠AE1 K = ∠CE1 L) ⇒ = = ⇒ AK = LC = × × BC ,
E1 A AK 1 2 2 2
1
AK = AB
4
4. Сделаем выносной чертёж основания.
1 →  1 → 
  →

5. выберем ДПСК xAyz таким образом, что i = DC ; j = DA; k ↑↑ OT и
4 4
 3 a
| k |=1 . Пусть АВ=а, ТО=h. В этой ДПСК K (0; ; a; o) , L ( a; ;0) ,
4 2
a a a a
T ( ; ; h) , O( ; ;0)
2 2 2 2
6. Составим уравнение прямой KL.
3a a
Ax + By + C = 0 , K ∈ ( KL) ⇒ B +C = 0; L ∈ ( KL) ⇒ Aa + B +C = 0
4 2
Получим систему:

17.  3B + C = 0  C = − 3B

  B
 4 A + 2B + C = 0  A = 4
B x
x + By − 3B = 0 , + y − 3 = 0 - уравнение прямой (KL)
4 4
| Ax0 + By 0 + C |
7. По формуле расстояния от точки до прямой ρ (O; l ) = , где
A2 + B 2
O( x0 ; y 0 ); l : Ax + By + C = 0
1
⋅2+ 2−3|
|
1⋅ 4 2
OF = ρ (O; ( KL)) = 4 = = .
1 2 17 17
+1
16
8. ∆HOF
OH 2 17 17 2 2
sin ϕ = , sin ϕ = = ; cos ϕ = .
OF 5⋅2 5 5
9. ∆TOF
OF 2⋅5 5
TF = ; TF = = .
cos ϕ 17 ⋅ 2 2 17 ⋅ 2
10. ∆KLL1 : по теореме Пифагора KL = LL1 + KL1 ,
2 2
KL = 16 +1 = 17 .
1 5 ⋅ 17 5 2
11. S ∆TLK = TF ⋅ KL , S ∆TLK = = .
2 2 ⋅ 17 ⋅ 2 4
5 2
Ответ: .
4
Замечание 1.
Читатель может выбрать любой удобный для себя способ решения.
Хочется заметить, что способ 1 требует индивидуального подхода в каждой
задаче, так как не всегда вычисление площади проекции является «лёгким
делом», тогда как способ 2 и способ 3 – алгоритмичные и требуют лишь хороших
вычислительных умений и навыков и знания нескольких формул аналитической
геометрии.
Замечание 2.
Хочется заметить, что нахождение отношений, в которых вершины сечения
делят рёбра многогранника, часто вызывают затруднение у школьников.
Универсальный метод – тоже векторный, но использование школьных теорем
Фалеса, признаков подобия и теоремы Менелая существенно сокращают

18. решение. Некоторые общие рекомендации к отысканию отношений вы можете
найти в следующем параграфе.