Conjunto de los Numeros Reales

3. Existen cuatro formas de
enunciar a los conjuntos:
•1) Por extensión o
enumeración: los elementos
son encerrados entre llaves
y separados por comas. Es
decir, el conjunto se
describe listando todos sus
elementos entre llaves.
•2) Por comprensión: los
elementos se determinan a
través de una condición que se
establece entre llaves. En este
caso se emplea el símbolo que
significa “tal que". En forma
simbólica es:
A = { x | P(x) }= {x1, x2, x3, ⋅⋅⋅ xn}
•3) Diagramas de Venn: son
regiones cerradas que sirven
para visualizar el contenido
de un conjunto o las
relaciones entre conjuntos.
•4) Por descripción verbal: Es un
enunciado que describe la
característica que es común para
los elementos.

4. EJERCICIO: Dada la descripción verbal “el conjunto de las letras vocales”,
expresarlo por extensión, comprensión y por diagrama de Venn.
Solución:
Por extensión: V= {a, e, i, o, u }
Por comprensión: V = { x | x es una vocal}
Por diagrama de Venn:
• a
• e
• i
• o
• u V

5. (símbolo ∪)
La unión de dos conjuntos A y B, que se
representa como A ∪ B, es el conjunto de
todos los elementos que pertenecen al menos
a uno de los conjuntos A y B. Se denota:
A∪ B = { x | x ∈ A o x ∈ B }
Ejercicio:
A = {1, 2, 3, 4, 5 ,6}
B = {7, 8, 9, 0}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}
(símbolo ∩)
La intersección de dos conjuntos A y B es
el conjunto A ∩ B de los elementos
comunes a A y B. Se denota:
A ∩ B = { x | x ∈ A y x ∈ B }
Ejercicio:
A = {a, b, c}
B = {a}
C = {d, e, f}
A ∩ B = { a }
A ∩ C = φ
Dos conjuntos son ajenos o disjuntos
cuando su intersección es el conjunto vacío
φ, es decir, que no tienen nada en común.

6. (símbolo ∁ )
El complemento de un conjunto A es el
conjunto A∁ que contiene todos los
elementos que no pertenecen a A,
respecto a un conjunto U que lo
contiene. Se denota:
A∁ = { x ∈U | x ∉ A}
Ejercicio:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 5, 6}
A∁ = {4, 7, 8, 9 ,10}
(símbolo − )
La diferencia del conjunto A con B es el
conjunto A − B que será el conjunto
formado por los elementos que pertenecen
al conjunto A, pero no al conjunto B. Se
denota:
A − B = { x | x ∈ A y x ∉ B }
Ejercicio:
A = {a, b, 2, 3}
B = {a , b, 4, 5}
A − B = {2, 3}
B − A = {4, 5}
Se puede advertir como A − B ≠ B − A .

7.  El conjunto de los números naturales (N), conformado por los números empleados en la
operación de contar:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ……….}
 El conjunto de los números enteros (Z):
Z ={……… ,-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 3, 5,……….}
 El conjunto de los números racionales (Q):
Q = {x | x =
𝑎
𝑏
, (a,b) ∈ Z, b ≠ 0 }
 El conjunto de los números irracionales (I):
I = {x | x ∉ Q }
I = {… -π, - 5, 2, 3, e, π, ... }
 El conjunto de los números reales (R):
R = {x | x ∈ Q o x ∈ I}
R = {… -
7
2
, -π, 2,
5
2
, π,
27
3
…}
 El conjunto de los números complejos (C):
C = {a + b (i) | a ∈ R, b ∈ R, i = −1 }
 El conjunto de los números imaginarios, raíces indicadas de índice par de números
negativos:
−9, −16,
4
−16
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

8.  El conjunto de los números reales, denotado por R, esta
formado por la unión del conjunto de los números
racionales Q y el conjunto de los números irracionales I.
En símbolos se tiene que R= Q ∪ I
 En el conjunto R tenemos dos operaciones
fundamentales: La adición y la multiplicación. Las otras
dos operaciones básicas, la sustracción y la división, se
definen en términos de las dos primeras.

9. Ley Distributiva:
a(b +c) = ab + ac
∀ a, b, c ∈ R
División de números
reales
Si b≠0. entonces
𝒂
𝒃
= a. 𝒃−𝟏
Resta de
números reales
a - b=a+(- b)
Elementos Neutros:
∃ 0 ∈ R y ∃ 1 ∈ R,
siendo 0 ≠1, y son
tales que:
a + 0= a y 1. a = a,
∀ a ∈ R
Leyes Asociativa:
a + (b +c) = (a + b) +c
a (bc) = (ab)c
∀ a, b, c ∈ R
Leyes conmutativa:
a + b = b + a
ab = ba
∀ a, b ∈ R
Inverso Aditivo:
∀ a ∈ R, ∃ -a ∈ R tal
que a + (-a) = 0
Inverso
Multiplicativo:
∀ a ∈ R tal que a≠ 0,
∃ 𝒂−𝟏
∈ R tal que
a . 𝒂−𝟏 = 1

10. Dado dos números reales a y b, siempre se cumple uno y solo uno de los
siguientes casos:
a > b
a< b
a = b

11. A. Tricotomía:
• Se cumple una y sólo
una de las tres relaciones
siguientes: a = b, a < b ó
a > b ∀ a, b ∈ R
B. Transitividad:
• a < b y b < c ⇒ a < c
C. Aditiva:
• a< b ⇒ a + c < b + c, ∀ c
∈ R
D. Multiplicativa:
• a < b ⇔ ac < bc, ∀ c > 0
• a < b ⇔ ac > bc, ∀ c < 0
E. Reflexiva:
• a ≤ a ∀ a ∈ R

12. La expresión { x ∈ R | a< x < b} representa el conjunto de
todos los números reales que están entre dos reales dados. Este
tipo de conjunto de números reales se denomina intervalos.
Se definen los siguientes subconjuntos de números reales,
conocidos como intervalos reales:
Los números reales (- ∞, ∞) = R

13. Ejercicio: Determine el conjunto de números reales definido por (-2, 16] ∩ [12, 20) y
por (-2, 16] ∪ [12, 20).
Solución:
Los intervalos son conjuntos, de manera que al utilizar operaciones de conjuntos, se
tiene:
(-2, 16] ∩ [12, 20) = { x | -2 < x ≤ 16} ∩
Ejercicio: Determine el conjunto de números reales definido por (-2, 16] ∩ [12, 20)
y por (-2, 16] ∪ [12, 20).
Solución:
Los intervalos son conjuntos, de manera que al utilizar operaciones de conjuntos, se
tiene:
(-2, 16] ∩ [12, 20) = { x | -2 < x ≤ 16} ∩ { x | 12 ≤ x < 16}= { x | 12 ≤ x ≤ 20}= [12, 16]
(-2, 16] ∪ [12, 20) = { x | -2 < x ≤ 16} ∪ { x | 12 ≤ x < 16}= { x | -2 < x < 20}= (-2, 20)
12 16
( )
20
-2

14. Una desigualdad es una relación de orden que se da
entre dos valores cuando estos son distintos.
Por resolver una desigualdad se entiende determinar
el intervalo o combinación de intervalos
(de números reales) cuyos elementos satisfacen la
desigualdad. Para resolver una desigualdad se utilizan
las propiedades de los números reales.
Ejercicio: Resuelva la desigualdad 2x + 4 < 6x + 1
Solución:
2x + 4 < 6x + 1 Por propiedad aditiva
2x + 4 - 1 < 6x + 1 - 1 Simplificar
2x + 3 < 6x Por propiedad aditiva
2x - 2x + 3 < 6x - 2x Simplificar
3 < 4x Por propiedad multiplicativa
(
𝟏
𝟒
)3 < (
𝟏
𝟒
)4x Simplificar
𝟑
𝟒
< x De manera equivalente
x ∈ (
3
4
, ∞) Intervalo abierto

15. Ejercicio: Resuelva la desigualdad -6x + 3 ≤ -8x -7
Solución:
-6x + 3 ≤ -8x -7 Por propiedad aditiva
-6x + 3 +7 ≤ -8x -7 + 7 Simplificar
-6x + 10 ≤ -8x Por propiedad aditiva
-6x + 6x + 10 ≤ -8x +6x Simplificar
10 ≤ -2x Por propiedad multiplicativa
(-
𝟏
2
)10 ≥ -2(-
𝟏
2
)x Simplificar
-5 ≥ x De manera equivalente
x ∈ (-∞, -5] Intervalo infinito
-5
- ∞

16. Si x es un número real, se define el valor absoluto de x
como:
| x | =
x si x ≥ 0
-x si x < 0
Ejercicios:
| x |+ x = =
| x - 2 | + x = =
x + x si x ≥ 0
-x + x si x < 0
2x si x ≥ 0
0 si x < 0
x -2 + x si x -2 ≥ 0
-(x -2) + x si x -2 < 0
2x -2 si x ≥ 2
2 si x < 2

17. PROPIEDADES DEL VALOR
ABSOLUTO:
1.- | x | ≥ 0
2.- | x | = 0 si y solo si x=0
3.- | x | = | - x |
4.- | xy | = | x | | y |
5.- |
𝑥
𝑦
| =
| x |
| y |
; | y | ≠ 0
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
APLICADAS A DESIGUALDADES:
1.- | x | < a si y solo si -a< x < a
2.- | x | > a si y solo si x < -a o x > a
3.- | x + y | ≤ | x | + | y | desigualdad del triangulo
4.- x ≤ | x | y -x ≤ | x |
5.- si y ≥ 0, entonces | x | = y si y solo si
x = y si x ≥ 0
-x = y si x < 0

18. Ejercicios:
1.- Resuelva la desigualdad | x -4 | < 30
Solución:
| x -4 | < 30 Por definición de valor absoluto
- 30 < x – 4 < 30 Por propiedad aditiva
- 30 +4 < x – 4 + 4 < 30 + 4 Simplificar
- 26< x < 34 En forma de intervalo
x ∈ (-26, 34) Intervalo abierto
2.- Resuelva la desigualdad | 4x + 7 | ≥ x + 4
Solución:
| 4x + 7 | ≥ x + 4 Por propiedades de valor absoluto
4x + 7 ≥ x + 4, 4x +7 ≤ - (x + 4) Resolver las desigualdades simultáneamente
3x ≥ -3, 5x ≤ -11
x ≥ -1, x ≤ -
11
5
En forma de intervalo
x ∈ (-∞, -
11
5
] ∪ (- 1, ∞)

19. Baldor, A. (2008). Aritmética de Baldor. Grupo Editorial Patria. México
Baldor, A. (2008). Algebra de Baldor. Grupo Editorial Patria. México
Saenz J. (2005). Calculo Diferencial para Ciencias e Ingeniería. [Libro en línea].
Disponible; https://es.scribd.com/doc/235231892/Calculo-Diferencial-Jorge-Saenz-
Segunda-Edicion-Completo. [Consulta: 2021, Enero 10]
Zill, D., Wright, W. (2010). Matemática 1. Calculo Diferencial. McGraw-Hill
Interamericana Editores, S. A. de C. V. México.