20131027 h10 lecture5_matiyasevich

291 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
291
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
5
Actions
Shares
0
Downloads
2
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

20131027 h10 lecture5_matiyasevich

  1. 1. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  2. 2. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  3. 3. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Часть 2. Десятая проблема Гильберта Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  4. 4. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Часть 2. Десятая проблема Гильберта Пятая лекция Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  5. 5. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема) Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое перечислимое множество является диофантовым.
  6. 6. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема) Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое перечислимое множество является диофантовым.
  7. 7. Диофантова альтернатива D(x1 , . . . , xm ) = 0 либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  8. 8. Вещественные неизвестные D(χ1 , . . . , χm ) = 0
  9. 9. Вещественные неизвестные D(χ1 , . . . , χm ) = 0 sin(πχ1 ) = 0 . . . sin(πχm ) = 0
  10. 10. Вещественные неизвестные D(χ1 , . . . , χm ) = 0 sin(πχ1 ) = 0 . . . sin(πχm ) = 0 π = 3.14159...
  11. 11. Вещественные неизвестные D(χ1 , . . . , χm ) = 0 sin(πχ1 ) = 0 . . . sin(πχm ) = 0 π = 3.14159... D 2 (χ1 , . . . , χm )+ sin2 (πχ1 ) + · · · + sin2 (πχm ) = 0
  12. 12. Следствие DPRM-теоремы Пусть F0 обозначает класс функций многих вещественных переменных, которые могут быть заданы выражениями, построены из переменных, конкретных натуральных чисел и символа числа π при помощи композиции операций сложения, вычитания и умножения и функции sin в произвольном порядке. Не существует алгоритма, который по произвольной фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F0 распознавал, имеет ли уравнение Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0 решение в вещественных числах.
  13. 13. Только натуральные коэффициенты sin(ψ) = 0 2≤ψ≤4
  14. 14. Только натуральные коэффициенты sin(ψ) = 0 2≤ψ≤4 D 2 (χ1 , . . . , χm )+ sin2 (ψχ1 ) + · · · + sin2 (ψχm ) + sin2 (ψ) + (1 − (ψ − 3)2 − ζ 2 )2 = 0
  15. 15. Следствие DPRM-теоремы Пусть F1 обозначает класс функций многих вещественных переменных, которые могут быть заданы выражениями, построеными из переменных, конкретных натуральных чисел при помощи композиции операций сложения, вычитания и умножения и функции sin в произвольном порядке. Не существует алгоритма, который по произвольной фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F1 распознавал, имеет ли уравнение Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0 решение в вещественных числах.
  16. 16. Альтернативы ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0} ∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 0}
  17. 17. Альтернативы ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0} ∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 0}
  18. 18. Альтернативы ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∃x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) = 0} ∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0} ∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 0}
  19. 19. Альтернативы ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∃x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) = 0} ∀x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) > 1} ∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0} ∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 0}
  20. 20. Альтернативы ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∃x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) = 0} ∀x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) > 1} ∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0} ∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 0} ∃χ1 . . . χm {Ψ(χ1 , . . . , χm ) = 0}
  21. 21. Альтернативы ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∃x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) = 0} ∀x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) > 1} ∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0} ∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 0} ∃χ1 . . . χm {Ψ(χ1 , . . . , χm ) = 0} ∀χ1 . . . χm {Ψ(χ1 , . . . , χm ) > 1}
  22. 22. Альтернативы ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ∃x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) = 0} ∀x1 . . . xm {2D 2 (x1 , . . . , xm ) > 1} ∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0} ∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 0} ∃χ1 . . . χm {Ψ(χ1 , . . . , χm ) = 0} ∀χ1 . . . χm {Ψ(χ1 , . . . , χm ) > 1} Φ(χ1 , . . . , χm ) = B 2 (χ1 , . . . , χm ) + 1 D 2 (χ1 , . . . , χm )+ sin2 (πχ1 ) + · · · + sin2 (πχm )
  23. 23. Следствие DPRM-теоремы Пусть F0 по-прежнему обозначает класс функций многих вещественных переменных, которые могут быть заданы выражениями, построеными из переменных, конкретных натуральных чисел и символа числа π при помощи композиции операций сложения, вычитания и умножения и функции sin в произвольном порядке. Не существует алгоритма, который по произвольной фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F0 распознавал, имеет ли неравенство Φ(χ1 , . . . , χm ) < 1 решение в вещественных числах.
  24. 24. Случай одной переменной A(χ) = χ sin(χ) B(χ) = χ sin(χ3 ) Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любого положительного числа найдется вещественное число χ такое, что |A(χ) − α| < B(χ) − β = 0 Не ограничивая общности считаем, что <1
  25. 25. Случай одной переменной Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ] 2 2 число χ0 такое, что A(χ0 ) = α
  26. 26. Случай одной переменной Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ] 2 2 число χ0 такое, что A(χ0 ) = α Найдем положительное δ такое, что |χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| <
  27. 27. Случай одной переменной Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ] 2 2 число χ0 такое, что A(χ0 ) = α Найдем положительное δ такое, что |χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| < |A(χ) − α|
  28. 28. Случай одной переменной Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ] 2 2 число χ0 такое, что A(χ0 ) = α Найдем положительное δ такое, что |χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| < |A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )|
  29. 29. Случай одной переменной Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ] 2 2 число χ0 такое, что A(χ0 ) = α Найдем положительное δ такое, что |χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| < |A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )| = |A (χ∗ )(χ − χ0 )|
  30. 30. Случай одной переменной Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ] 2 2 число χ0 такое, что A(χ0 ) = α Найдем положительное δ такое, что |χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| < |A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )| = |A (χ∗ )(χ − χ0 )| где |χ∗ − χ0 | < δ
  31. 31. Случай одной переменной Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ] 2 2 число χ0 такое, что A(χ0 ) = α Найдем положительное δ такое, что |χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| < |A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )| = |A (χ∗ )(χ − χ0 )| где |χ∗ − χ0 | < δ = |(sin(χ∗ ) + χ∗ cos(χ∗ ))(χ − χ0 )|
  32. 32. Случай одной переменной Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ] 2 2 число χ0 такое, что A(χ0 ) = α Найдем положительное δ такое, что |χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| < |A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )| = |A (χ∗ )(χ − χ0 )| где |χ∗ − χ0 | < δ = |(sin(χ∗ ) + χ∗ cos(χ∗ ))(χ − χ0 )| < (1 + |χ0 | + δ)δ
  33. 33. Случай одной переменной Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ] 2 2 число χ0 такое, что A(χ0 ) = α Найдем положительное δ такое, что |χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| < |A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )| = |A (χ∗ )(χ − χ0 )| где |χ∗ − χ0 | < δ = |(sin(χ∗ ) + χ∗ cos(χ∗ ))(χ − χ0 )| < (1 + |χ0 | + δ)δ < (2K π + 3)δ
  34. 34. Случай одной переменной Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ] 2 2 число χ0 такое, что A(χ0 ) = α Найдем положительное δ такое, что |χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| < |A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )| = |A (χ∗ )(χ − χ0 )| где |χ∗ − χ0 | < δ = |(sin(χ∗ ) + χ∗ cos(χ∗ ))(χ − χ0 )| < (1 + |χ0 | + δ)δ < (2K π + 3)δ <
  35. 35. Случай одной переменной Доказательство. Найдем в интервале [2K π − π , 2K π + π ] 2 2 число χ0 такое, что A(χ0 ) = α Найдем положительное δ такое, что |χ − χ0 | < δ ⇒ |A(χ) − α| < |A(χ) − α| = |A(χ) − A(χ0 )| = |A (χ∗ )(χ − χ0 )| где |χ∗ − χ0 | < δ = |(sin(χ∗ ) + χ∗ cos(χ∗ ))(χ − χ0 )| < (1 + |χ0 | + δ)δ < (2K π + 3)δ < при δ = 2K π + 3
  36. 36. Случай одной переменной (χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3
  37. 37. Случай одной переменной (χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ2 δ + 2δ 3 0
  38. 38. Случай одной переменной (χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ2 δ + 2δ 3 0 6(2K π − π )2 2 > 2K π + 3
  39. 39. Случай одной переменной (χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ2 δ + 2δ 3 0 6(2K π − π )2 2 > 2K π + 3 > 2π при достаточно большом K
  40. 40. Случай одной переменной (χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ2 δ + 2δ 3 0 6(2K π − π )2 2 > 2K π + 3 > 2π при достаточно большом K B(χ) = β
  41. 41. Случай одной переменной (χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ2 δ + 2δ 3 0 6(2K π − π )2 2 > 2K π + 3 > 2π при достаточно большом K B(χ) = β |A(χ) − α| <
  42. 42. Случай одной переменной Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любого положительного числа найдется вещественное число χ такое, что |A(χ) − α| < , B(χ) = β.
  43. 43. Случай одной переменной Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любого положительного числа найдется вещественное число χ такое, что |A(χ) − α| < , B(χ) = β. |A(C (α, β)) − α| < B(C (α, β)) = β
  44. 44. Случай одной переменной Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любого положительного числа найдется вещественное число χ такое, что |A(χ) − α| < , B(χ) = β. |A(C (α, β)) − α| < B(C (α, β)) = β Ak (χ) = A (B(. . . B (χ) . . . )) (k−1) раз
  45. 45. Случай одной переменной Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любого положительного числа найдется вещественное число χ такое, что |A(χ) − α| < , B(χ) = β. |A(C (α, β)) − α| < B(C (α, β)) = β Ak (χ) = A (B(. . . B (χ) . . . )) (k−1) раз Лемма. Для любых вещественных чисел α1 , . . . , αn и любого положительного числа |Ak (χ) − αk | < k = 1, . . . , n где χ = C (α1 , C (α2 , . . . , C (αk , 0) . . . ))
  46. 46. Случай одной переменной либо ∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0} либо ∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 1}
  47. 47. Случай одной переменной либо ∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0} либо ∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 1} Ψ(χ) = Φ(A1 (χ), A2 (χ), . . . , Am (χ))
  48. 48. Случай одной переменной либо ∃χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) = 0} либо ∀χ1 . . . χm {Φ(χ1 , . . . , χm ) > 1} Ψ(χ) = Φ(A1 (χ), A2 (χ), . . . , Am (χ)) либо ∀ > 0 ∃χ{Ψ(χ) < } либо ∀χ{Ψ(χ) ≥ 1}
  49. 49. Следствие DPRM-теоремы 1 Пусть F0 обозначает класс функций одной вещественной переменной, которые могут быть заданы выражениями, построеными из переменной, конкретных натуральных чисел и символа числа π при помощи композиции операций сложения, вычитания и умножения и функции sin в произвольном порядке. Не существует алгоритма, который по произвольной 1 фунции Φ(χ) из класса F0 распознавал, имеет ли неравенство Φ(χ) < 1 решение в вещественных числах.
  50. 50. Следствие DPRM-теоремы 1 Пусть F0 обозначает класс функций одной вещественной переменной, которые могут быть заданы выражениями, построеными из переменной, конкретных натуральных чисел и символа числа π при помощи композиции операций сложения, вычитания и умножения и функции sin в произвольном порядке. Не существует алгоритма, который по произвольной 1 фунции Φ(χ) из класса F0 распознавал, имеет ли уравнение 2Φ(χ) = 1 решение в вещественных числах.
  51. 51. Следствие DPRM-теоремы 1 Пусть F1 обозначает класс функций одной вещественной переменной, которые могут быть заданы выражениями, построеными из переменной, конкретных натуральных чисел при помощи композиции операций сложения, вычитания и умножения и функции sin в произвольном порядке. Не существует алгоритма, который по произвольной фунции Φ(χ) 1 из класса F1 распознавал, имеет ли уравнение 2Φ(χ) = 1 решение в вещественных числах.
  52. 52. Тождества либо ∀ > 0 ∃χ{Ψ(χ) < } либо ∀χ{Ψ(χ) ≥ 1}
  53. 53. Тождества либо ∀ > 0 ∃χ{Ψ(χ) < } либо ∀χ{Ψ(χ) ≥ 1} −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− либо ∃χ{1 − Ψ(χ) + |1 − Ψ(χ)| = 0} либо ∀χ{1 − Ψ(χ) + |1 − Ψ(χ)| = 0}
  54. 54. Следствие DPRM-теоремы 1 Пусть F2 обозначает класс функций одной вещественной переменной, которые могут быть заданы выражениями, построеными из переменной, конкретных натуральных чисел и символа числа π при помощи композиции операций сложения, вычитания и умножения и функций sin и | | (абсолютная величина) в произвольном порядке. Не существует алгоритма, 1 который по произвольной фунции Φ(χ1 , . . . , χm ) из класса F2 распознавал, справедливо ли равенство 2Φ(χ) = 1 при всех вещественных значениях χ.
  55. 55. Снова полиномиальные уравнения
  56. 56. Снова полиномиальные уравнения τ ∈ [0, 1]
  57. 57. Снова полиномиальные уравнения τ ∈ [0, 1] Υ (τ ) = 0
  58. 58. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0
  59. 59. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 sin Π(τ )τ cos Π(τ )τ
  60. 60. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 A sin Π(τ )τ cos Π(τ )τ
  61. 61. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 A sin Π(τ )τ B cos Π(τ )τ
  62. 62. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 A sin Π(τ )τ + B cos Π(τ )τ
  63. 63. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ + B cos Π(τ )τ
  64. 64. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ + B cos Π(τ )τ
  65. 65. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ + B cos Π(τ )τ Φ(0) = 0
  66. 66. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ Φ(0) = 0 ⇒ B = 0
  67. 67. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ Φ(0) = 0 ⇒ B = 0
  68. 68. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ Φ(0) = 0 ⇒ B = 0 Φ (0) = 1
  69. 69. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ Φ(0) = 0 ⇒ B = 0 Φ (0) = 1 ⇒ A = 0
  70. 70. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ Φ(0) = 0 ⇒ B = 0 Φ (0) = 1 ⇒ A = 0 Φ(1) = 0
  71. 71. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ Φ(0) = 0 ⇒ B = 0 Φ (0) = 1 ⇒ A = 0 Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ ) = nπ
  72. 72. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ Φ(0) = 0 ⇒ B = 0 Φ (0) = 1 ⇒ A = 0 Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ ) = nπ 3 ≤ Π(0) ≤ 4
  73. 73. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ Φ(0) = 0 ⇒ B = 0 Φ (0) = 1 ⇒ A = 0 Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ ) = nπ 3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ ) = π
  74. 74. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(τ ) = A sin Π(τ )τ Φ(0) = 0 ⇒ B = 0 Φ (0) = 1 ⇒ A = 0 Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ ) = nπ 3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ ) = π В любом решении этой системы дифференциальных уравнений функция Π(τ ) является константой – числом π, и существует решение, в котором эта фукция тождественно равна числу π.
  75. 75. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
  76. 76. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
  77. 77. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0
  78. 78. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 sin Π(τ )Υ(τ )τ
  79. 79. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 sin Π(τ )Υ(τ )τ cos Π(τ )Υ(τ )τ
  80. 80. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 A sin Π(τ )Υ(τ )τ cos Π(τ )Υ(τ )τ
  81. 81. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 A sin Π(τ )Υ(τ )τ B cos Π(τ )Υ(τ )τ
  82. 82. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 A sin Π(τ )Υ(τ )τ + B cos Π(τ )Υ(τ )τ
  83. 83. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ + B cos Π(τ )Υ(τ )τ
  84. 84. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ + B cos Π(τ )Υ(τ )τ Ψ(0) = 0
  85. 85. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ + B cos Π(τ )Υ(τ )τ Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0
  86. 86. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0
  87. 87. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0 Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ )
  88. 88. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0 Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) ⇒ Υ(τ ) = 0 или A = 0
  89. 89. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0 Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) ⇒ Υ(τ ) = 0 или A = 0 Ψ(1) = 0
  90. 90. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0 Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) ⇒ Υ(τ ) = 0 или A = 0 Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ )Υ(τ ) = nπ
  91. 91. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0 Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) ⇒ Υ(τ ) = 0 или A = 0 Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ )Υ(τ ) = nπ ⇒ Υ(τ ) = n
  92. 92. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) = 0 Ψ(τ ) = A sin Π(τ )Υ(τ )τ Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0 Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) ⇒ Υ(τ ) = 0 или A = 0 Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ )Υ(τ ) = nπ ⇒ Υ(τ ) = n
  93. 93. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Ψ(0) = 0 Φ(1) = 0 Ψ (τ ) + 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) =0 Ψ(1) = 0
  94. 94. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ (τ ) = 0 Ψ(0) = 0 Φ(1) = 0 Ψ (τ ) + 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ(τ ) Ψ (0) = Π(τ )Υ(τ ) =0 Ψ(1) = 0 В любом решении этой системы дифференциальных уравнений функция Υ(τ ) является константой – некоторым целым числом, и для любого целого числа n существует решение, в котором фукция Υ(τ ) тождественно равна этому числу n.
  95. 95. Снова полиномиальные уравнения Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4
  96. 96. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ1 (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ1 (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ1 (τ ) = 0 1
  97. 97. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ1 (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ1 (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ1 (τ ) = 0 1 ... Υm (τ ) = 0 Ψm (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψm (τ ) = 0 m ... Ψ1 (0) = 0 Ψ1 (0) = Π(τ )Υ1 (τ ) Ψm (1) = 0
  98. 98. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ1 (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ1 (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ1 (τ ) = 0 1 ... Υm (τ ) = 0 Ψm (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψm (τ ) = 0 m ... Ψ1 (0) = 0 Ψ1 (0) = Π(τ )Υ1 (τ ) Ψm (1) = 0 ... Ψm (0) = 0 Ψm (0) = Π(τ )Υm (τ ) Ψm (1) = 0
  99. 99. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ1 (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ1 (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ1 (τ ) = 0 1 ... Υm (τ ) = 0 Ψm (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψm (τ ) = 0 m ... Ψ1 (0) = 0 Ψ1 (0) = Π(τ )Υ1 (τ ) Ψm (1) = 0 ... Ψm (0) = 0 Ψm (0) = Π(τ )Υm (τ ) D Υ1 (τ ), . . . , Υm (τ ) = 0 Ψm (1) = 0
  100. 100. Снова полиномиальные уравнения Φ (τ ) + Π2 (τ )Φ(τ ) = 0 Π (τ ) = 0 Φ(0) = 0 Φ (0) = 1 Υ1 (τ ) = 0 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4 Ψ1 (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψ1 (τ ) = 0 1 ... Υm (τ ) = 0 Ψm (τ ) + Π2 (τ )Υ2 (τ )Ψm (τ ) = 0 m ... Ψ1 (0) = 0 Ψ1 (0) = Π(τ )Υ1 (τ ) Ψm (1) = 0 ... Ψm (0) = 0 Ψm (0) = Π(τ )Υm (τ ) D Υ1 (τ ), . . . , Υm (τ ) = 0 Ψm (1) = 0
  101. 101. Снова полиномиальные уравнения 3 ≤ Π(0) ≤ 4
  102. 102. Снова полиномиальные уравнения 3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇐⇒ 3 + ∆2 (0) = Π(0) & Π(0) + ∆2 (0) = 4 1 2
  103. 103. Снова полиномиальные уравнения 3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇐⇒ 3 + ∆2 (0) = Π(0) & Π(0) + ∆2 (0) = 4 1 2 ∆(α) = β
  104. 104. Снова полиномиальные уравнения 3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇐⇒ 3 + ∆2 (0) = Π(0) & Π(0) + ∆2 (0) = 4 1 2 ∆(α) = β ⇐⇒ ∆(τ ) − β = (τ − α)Ω(τ )
  105. 105. Следствие DPRM-теоремы Не существует алгоритма, который позволял бы по произвольной системе дифференциальных уравнений вида P1 τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φ1 (τ ) . . . =0 Pk τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φk (τ ) = 0, где P1 , . . . , Pk – многочлены с целыми коэффициентами, узнавать, имеет ли эта система решение на интервале [0, 1].
  106. 106. Следствие (трудное) DPRM-теоремы Не существует алгоритма, который позволял бы по дифференциальному уравнению вида P τ, Φ(τ ), Φ (τ ), . . . , Φ n (τ ) =0 где P – многочлен с целыми коэффициентами, узнавать, имеет ли это уравнение решение на интервале [0, 1].
  107. 107. Формальные степенные ряды ∞ ψk τ k Ψ(τ ) = k=0
  108. 108. Формальные степенные ряды ∞ ψk τ k Ψ(τ ) = k=0 Ψ (τ ) = 0, τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ )
  109. 109. Формальные степенные ряды ∞ ψk τ k Ψ(τ ) = k=0 Ψ (τ ) = 0, τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ ) ∞ ∞ k τ Φ (τ ) = ψ0 φk τ k kφk τ = k=0 k=0
  110. 110. Формальные степенные ряды ∞ ψk τ k Ψ(τ ) = k=0 Ψ (τ ) = 0, τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ ) ∞ ∞ k τ Φ (τ ) = ψ0 φk τ k kφk τ = k=0 kφk = ψ0 φk k=0 k = 0, 1, 2, . . .
  111. 111. Формальные степенные ряды ∞ ψk τ k Ψ(τ ) = k=0 Ψ (τ ) = 0, τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ ) ∞ ∞ k τ Φ (τ ) = ψ0 φk τ k kφk τ = k=0 kφk = ψ0 φk Вырожденное решение: ∀k k=0 k = 0, 1, 2, . . . φk = 0
  112. 112. Формальные степенные ряды ∞ ψk τ k Ψ(τ ) = k=0 Ψ (τ ) = 0, τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ ) ∞ ∞ k τ Φ (τ ) = k=0 k=0 k = 0, 1, 2, . . . kφk = ψ0 φk Вырожденное решение: ∀k Невырожденное решение: ∃k ψ0 φk τ k kφk τ = φk = 0 φk = 0
  113. 113. Формальные степенные ряды ∞ ψk τ k Ψ(τ ) = k=0 Ψ (τ ) = 0, τ Φ (τ ) = Ψ(τ )Φ(τ ) ∞ ∞ k τ Φ (τ ) = k=0 kφk = ψ0 φk Вырожденное решение: ∀k Невырожденное решение: ∃k ψ0 φk τ k kφk τ = k=0 k = 0, 1, 2, . . . φk = 0 φk = 0 ⇒ ψ0 = k
  114. 114. Формальные степенные ряды Ψ1 (τ ) = 0, τ Φ1 (τ ) = Ψ1 (τ )Φ1 (τ ),
  115. 115. Формальные степенные ряды Ψ1 (τ ) = 0, τ Φ1 (τ ) = Ψ1 (τ )Φ1 (τ ), . . .
  116. 116. Формальные степенные ряды Ψ1 (τ ) = 0, τ Φ1 (τ ) = Ψ1 (τ )Φ1 (τ ), . . . Ψm (τ ) = 0, τ Φm (τ ) = Ψm (τ )Φm (τ ),
  117. 117. Формальные степенные ряды Ψ1 (τ ) = 0, τ Φ1 (τ ) = Ψ1 (τ )Φ1 (τ ), . . . Ψm (τ ) = 0, τ Φm (τ ) = Ψm (τ )Φm (τ ), D(Ψ1 (τ ), . . . , Ψm (τ )) = 0
  118. 118. Формальные степенные ряды Ψ1 (τ ) = 0, τ Φ1 (τ ) = Ψ1 (τ )Φ1 (τ ), . . . Ψm (τ ) = 0, τ Φm (τ ) = Ψm (τ )Φm (τ ), D(Ψ1 (τ ), . . . , Ψm (τ )) = 0 Φ1 (τ ) . . . Φm (τ ) ≡ 0
  119. 119. Следствие DPRM-теоремы Не существует алгоритма, который позволял бы по произвольной системе дифференциальных уравнений вида P1 τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φ1 (τ ) . . . = 0, Pk τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φk (τ ) = 0, где Pm – многочлены с целыми коэффициентами узнавать, имеет ли эта система решение в виде формального степенного ряда, удовлетворяющего также условию Φ1 (τ ) ≡ 0.
  120. 120. Сходящиеся степенные ряды
  121. 121. Сходящиеся степенные ряды Ψ (τ ) = 0 τ 2Φ (τ ) − (Ψ(τ )τ + 1)Φ(τ ) + 1 = 0
  122. 122. Сходящиеся степенные ряды Ψ (τ ) = 0 τ 2Φ (τ ) − (Ψ(τ )τ + 1)Φ(τ ) + 1 = 0 −φ0 + 1 = 0
  123. 123. Сходящиеся степенные ряды Ψ (τ ) = 0 τ 2Φ (τ ) − (Ψ(τ )τ + 1)Φ(τ ) + 1 = 0 −φ0 + 1 = 0 −ψ0 φ0 − φ1 = 0
  124. 124. Сходящиеся степенные ряды Ψ (τ ) = 0 τ 2Φ (τ ) − (Ψ(τ )τ + 1)Φ(τ ) + 1 = 0 −φ0 + 1 = 0 −ψ0 φ0 − φ1 = 0 (k − 1)φk−1 − ψ0 φk−1 − φk = 0, k >1
  125. 125. Сходящиеся степенные ряды Ψ (τ ) = 0 τ 2Φ (τ ) − (Ψ(τ )τ + 1)Φ(τ ) + 1 = 0 −φ0 + 1 = 0 −ψ0 φ0 − φ1 = 0 (k − 1)φk−1 − ψ0 φk−1 − φk = 0, k >1 φ0 = 1 φk = −ψ0 (1 − ψ0 )(2 − ψ0 ) . . . (k − 1 − φ0 ).
  126. 126. Следствие DPRM-теоремы Не существует алгоритма, который позволял бы по произвольной системе дифференциальных уравнений вида P1 τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φ1 (τ ) . . . = 0, Pk τ, Φ1 (τ ), . . . , Φk (τ ), Φk (τ ) = 0, где Pm – многочлены с целыми коэффициентами узнавать, имеет ли эта система решение в виде сходящихся степенных рядов
  127. 127. Уравнения в частных производных
  128. 128. Уравнения в частных производных D(y1 , . . . , ym ) = 0
  129. 129. Уравнения в частных производных D(y1 , . . . , ym ) = 0 ∞ y y ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = y1 ,...,ym =0
  130. 130. Уравнения в частных производных D(y1 , . . . , ym ) = 0 ∞ y y ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = y1 ,...,ym =0 τk ∂ ∂τk y y τk k = yk τk k
  131. 131. Уравнения в частных производных D(y1 , . . . , ym ) = 0 ∞ y y ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = y1 ,...,ym =0 τk D τ1 ∂ ∂τk y y τk k = yk τk k ∂ ∂ , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = ∂τ1 ∂τm y y = ∞,...,ym =0 D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm y1
  132. 132. Уравнения в частных производных ∂ ∂ , . . . , τm D τ1 ∂τ1 ∂τm ∞ y y τ1 1 . . . τmm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = y1 ,...,ym =0 (∗)
  133. 133. Уравнения в частных производных ∂ ∂ , . . . , τm D τ1 ∂τ1 ∂τm D τ1 ∞ y y τ1 1 . . . τmm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = y1 ,...,ym =0 ∂ ∂ , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = ∂τ1 ∂τm y y = ∞,...,ym =0 D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm y1 (∗)
  134. 134. Уравнения в частных производных ∂ ∂ , . . . , τm D τ1 ∂τ1 ∂τm D τ1 ∞ y y τ1 1 . . . τmm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = y1 ,...,ym =0 ∂ ∂ , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = ∂τ1 ∂τm y y = ∞,...,ym =0 D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm y1 ψy1 ,...,ym = 1 D(y1 , . . . , ym ) (∗)
  135. 135. Уравнения в частных производных ∂ ∂ , . . . , τm D τ1 ∂τ1 ∂τm D τ1 ∞ y y τ1 1 . . . τmm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = y1 ,...,ym =0 ∂ ∂ , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = ∂τ1 ∂τm y y = ∞,...,ym =0 D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm y1 ψy1 ,...,ym = 1 D(y1 , . . . , ym ) Дифференциальное уравнение (*) имеет решение в том и только том случае, когда диофантово уравнение D(y1 , . . . , ym ) = 0 решений не имеет (∗)
  136. 136. Уравнения в частных производных ∂ ∂ , . . . , τm D τ1 ∂τ1 ∂τm ∞ y y τ1 1 . . . τmm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = y1 ,...,ym =0 (∗)
  137. 137. Уравнения в частных производных ∂ ∂ , . . . , τm D τ1 ∂τ1 ∂τm ∞ y y τ1 1 . . . τmm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = (1 − τ1 ) . . . (1 − τm )D τ1 (∗) y1 ,...,ym =0 ∂ ∂ , . . . , τm ∂τ1 ∂τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = 1 (∗∗)
  138. 138. Уравнения в частных производных ∂ ∂ , . . . , τm D τ1 ∂τ1 ∂τm ∞ y y τ1 1 . . . τmm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = (1 − τ1 ) . . . (1 − τm )D τ1 (∗) y1 ,...,ym =0 ∂ ∂ , . . . , τm ∂τ1 ∂τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = 1 Дифференциальные уравнения (*) и (**) имеют решения в том и только том случае, когда диофантово уравнение D(y1 , . . . , ym ) = 0 решений не имеет (∗∗)
  139. 139. Следствие DPRM-теоремы Не существует алгоритма, который позволял бы по произвольному многочлену Q с целыми коэффициентами узнавать, имеет ли дифференциальное уравнение в частных производных ∂ ∂ Q τ1 , . . . , τm , ∂τ1 , . . . , ∂τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = 1 решение в виде формального степенного ряда.
  140. 140. Уравнения в частных производных a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0}
  141. 141. Уравнения в частных производных a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0} ∂ ∂ ∂ (1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 ∂τ1 , τ2 ∂τ2 , . . . , τm ∂τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = = Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm )
  142. 142. Уравнения в частных производных a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0} ∂ ∂ ∂ (1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 ∂τ1 , τ2 ∂τ2 , . . . , τm ∂τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = = Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) ∂ ∂ Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = · · · = Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 0 ∂τ2 ∂τm
  143. 143. Уравнения в частных производных a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0} ∂ ∂ ∂ (1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 ∂τ1 , τ2 ∂τ2 , . . . , τm ∂τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = = Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) ∂ ∂ Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = · · · = Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 0 ∂τ2 ∂τm ∞ k φk τ1 Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = k=0
  144. 144. Уравнения в частных производных a ∈ M ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {D(a, x2 , . . . , xm ) = 0} ∂ ∂ ∂ (1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 ∂τ1 , τ2 ∂τ2 , . . . , τm ∂τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = = Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) ∂ ∂ Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = · · · = Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 0 ∂τ2 ∂τm ∞ k φk τ1 Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = k=0 D τ1 ∂ ∂ , . . . , τm ∂τ1 ∂τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) (1 − τ2 ) . . . (1 − τm )
  145. 145. Уравнения в частных производных ∂ ∂ , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = ∂τ1 ∂τm Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = (1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1
  146. 146. Уравнения в частных производных ∂ ∂ , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = ∂τ1 ∂τm Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = (1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 ∞ y y τ2 1 . . . τmm k φk τ1 = k=0 y2 ,...,ym
  147. 147. Уравнения в частных производных ∂ ∂ , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = ∂τ1 ∂τm Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = (1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 ∞ y y τ2 1 . . . τmm k φk τ1 = y2 ,...,ym k=0 ∞ y y D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm = y1 ,...,ym =0
  148. 148. Уравнения в частных производных ∂ ∂ , . . . , τm Ψ(τ1 , . . . , τm ) = ∂τ1 ∂τm Φ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = (1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) D τ1 ∞ y y τ2 1 . . . τmm k φk τ1 = y2 ,...,ym k=0 ∞ y y D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym τ1 1 . . . τmm = y1 ,...,ym =0 D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym = φy1
  149. 149. Уравнения в частных производных D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym = φy1
  150. 150. Уравнения в частных производных D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym = φy1 y1 ∈ M =⇒ φy1 = 0
  151. 151. Уравнения в частных производных D(y1 , . . . , ym )ψy1 ,...,ym = φy1 y1 ∈ M =⇒ φy1 = 0 D(y1 , . . . , ym ) = 0 ⇒ ψy1 ,...,ym = φy1 D(y1 , . . . , ym )
  152. 152. Уравнения в частных производных n = 1, 2 a ∈ Mn ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {Dn (a, x2 , . . . , xm ) = 0}
  153. 153. Уравнения в частных производных n = 1, 2 a ∈ Mn ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {Dn (a, x2 , . . . , xm ) = 0} ∂ ∂ ∂ (1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) Dn τ1 ∂τ1 , τ2 ∂τ2 , . . . , τm ∂τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = = Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm ), ∂ ∂τ2 Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = ··· = ∂ ∂τm Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm ) =0
  154. 154. Уравнения в частных производных n = 1, 2 a ∈ Mn ⇐⇒ ∃x2 . . . xm {Dn (a, x2 , . . . , xm ) = 0} ∂ ∂ ∂ (1 − τ2 ) . . . (1 − τm ) Dn τ1 ∂τ1 , τ2 ∂τ2 , . . . , τm ∂τm Ψ(τ1 , τ2 , . . . , τm ) = = Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm ), ∂ ∂τ2 Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = ··· = ∂ ∂τm Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm ) =0 ∞ φn,k τ k Φn (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = k=0 a ∈ Mn =⇒ φn,a = 0
  155. 155. Уравнения в частных производных ∞ φ1,k τ k a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0 φ2,k τ k Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0 k=0 ∞ Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = k=0
  156. 156. Уравнения в частных производных ∞ φ1,k τ k a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0 φ2,k τ k Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0 k=0 ∞ Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = k=0 (1 − τ1 ) Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) + Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 1
  157. 157. Уравнения в частных производных ∞ φ1,k τ k a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0 φ2,k τ k Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0 k=0 ∞ Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = k=0 (1 − τ1 ) Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) + Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 1 φ1,a + φ2,a = 1, a = 0, 1, . . .
  158. 158. Уравнения в частных производных ∞ φ1,k τ k a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0 φ2,k τ k Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0 k=0 ∞ Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = k=0 (1 − τ1 ) Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) + Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 1 φ1,a + φ2,a = 1, a = 0, 1, . . . M = {a | φ1,a = 0}
  159. 159. Уравнения в частных производных ∞ φ1,k τ k a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0 φ2,k τ k Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0 k=0 ∞ Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = k=0 (1 − τ1 ) Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) + Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 1 φ1,a + φ2,a = 1, a = 0, 1, . . . M = {a | φ1,a = 0} a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0 =⇒ a ∈ M
  160. 160. Уравнения в частных производных ∞ φ1,k τ k a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0 φ2,k τ k Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0 k=0 ∞ Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = k=0 (1 − τ1 ) Φ1 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) + Φ2 (τ1 , τ2 , . . . , τm ) = 1 φ1,a + φ2,a = 1, a = 0, 1, . . . M = {a | φ1,a = 0} a ∈ M1 =⇒ φ1,a = 0 =⇒ a ∈ M a ∈ M2 =⇒ φ2,a = 0 =⇒ φ1,a = 1 =⇒ a ∈ M
  161. 161. Диофантовы игры Правила
  162. 162. Диофантовы игры Правила James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957], ввел диофантовы игры.
  163. 163. Диофантовы игры Правила James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957], ввел диофантовы игры. P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0
  164. 164. Диофантовы игры Правила James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957], ввел диофантовы игры. P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0 Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am
  165. 165. Диофантовы игры Правила James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957], ввел диофантовы игры. P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0 Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm
  166. 166. Диофантовы игры Правила James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957], ввел диофантовы игры. P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0 Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm Петр выбирает a1
  167. 167. Диофантовы игры Правила James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957], ввел диофантовы игры. P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0 Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm Петр выбирает a1 Николай выбирает x1
  168. 168. Диофантовы игры Правила James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957], ввел диофантовы игры. P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0 Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm Петр выбирает a1 Николай выбирает x1 Петр выбирает a2
  169. 169. Диофантовы игры Правила James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957], ввел диофантовы игры. P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0 Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm Петр выбирает a1 Николай выбирает x1 Петр выбирает a2 Николай выбирает x2
  170. 170. Диофантовы игры Правила James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957], ввел диофантовы игры. P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0 Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm Петр выбирает a1 Николай выбирает x1 Петр выбирает a2 Николай выбирает x2 ...............................................
  171. 171. Диофантовы игры Правила James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957], ввел диофантовы игры. P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0 Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm Петр выбирает a1 Николай выбирает x1 Петр выбирает a2 Николай выбирает x2 ............................................... Петр выбирает am
  172. 172. Диофантовы игры Правила James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957], ввел диофантовы игры. P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0 Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm Петр выбирает a1 Николай выбирает x1 Петр выбирает a2 Николай выбирает x2 ............................................... Петр выбирает am Николай выбирает xm
  173. 173. Диофантовы игры Правила James Jones [1974], основываясь на идеях M. Rabin’a [1957], ввел диофантовы игры. P(a1 , . . . , am , x1 , . . . , xm ) = 0 Петр выбирает значения параметров a1 , . . . , am Николай выбирает значения неизвестных x1 , . . . , xm Петр выбирает a1 Николай выбирает x1 Петр выбирает a2 Николай выбирает x2 ............................................... Петр выбирает am Николай выбирает xm Николай объявляется победителем в том и только том случае, когда значение многочлена оказывается равным нулю.
  174. 174. Диофантовы игры Трудные ответы на простые вопросы Упражнение. Кто имеет выигрышную стратегию в игре, задаваемой уравнением (x1 + a2 )2 + 1 − (x2 + 2)(x3 + 3) = 0?
  175. 175. Диофантовы игры Трудные ответы на простые вопросы Упражнение. Кто имеет выигрышную стратегию в игре, задаваемой уравнением (x1 + a2 )2 + 1 − (x2 + 2)(x3 + 3) = 0? Подсказка. Победа гарантирована Петру в том и только том случае, когда количество простых чисел вида n2 + 1 бесконечно.
  176. 176. Теорема (Jones[1982]) Николай имеет выигрышную стратегию, но не имеет вычислимой выигрышной стратегии в игре {a1 + a6 + 1 − x4 }2 · + (a6 + a7 )2 + 3a7 + a6 − 2x4 2 (x9 − a7 )2 + (x10 − a9 )2 (x9 − a6 )2 + (x10 − a8 )2 ((x4 − a1 )2 + (x10 − a9 − x1 )2 ) (x9 − 3x4 )2 + (x10 − a8 − a9 )2 (x9 − 3x4 − 1)2 + (x10 − a8 a9 )2 − a12 − 1 + [x5 + a13 − x9 a4 ]2 + 3x6 + x5 − 2a5 2 + 2 + [x10 + a12 + a12 x9 a4 − a3 ]2 − x13 − 1 {a1 + x5 + 1 − a5 } (x5 − x6 )2 (a10 − x6 )2 + (a11 − x8 )2 (a10 − x5 )2 + (a11 − x7 )2 ((a5 − a1 )2 + (a11 − x8 − a2 )2 ) (a10 − 3a5 )2 + (a11 − x7 − x8 )2 (a10 − 3a5 − 1)2 + (a11 − x7 x8 )2 − x11 − 1 + [a11 + x11 + x11 a10 x3 − x2 ]2 + [a11 + x12 − a10 x3 ]2 = 0. 2
  177. 177. Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений
  178. 178. Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net)
  179. 179. Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia:
  180. 180. Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri
  181. 181. Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939
  182. 182. Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939 – at the age of 13
  183. 183. Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939 – at the age of 13 – for the purpose of describing chemical processes
  184. 184. Формализмы для описания параллельных/распределенных вычислений Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net) Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August 1939 – at the age of 13 – for the purpose of describing chemical processes Системы векторного сложения (systems of vector addition)
  185. 185. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n
  186. 186. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n δj,k ∈ Z
  187. 187. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N δj,k ∈ Z
  188. 188. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , α n δj,k ∈ Z
  189. 189. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j
  190. 190. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N
  191. 191. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N A → A + ∆ j1
  192. 192. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N A → A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2
  193. 193. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N A → A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3
  194. 194. Системы векторного сложения ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N A = α1 , . . . , αn → α1 + δj,1 , . . . , αn + δj,n = A + ∆j α1 + δj,1 ∈ N, . . . , αn + δj,n ∈ N A → A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3 → . . .
  195. 195. Проблема достижимости
  196. 196. Проблема достижимости ВХОД: Cистема векторного сложения {∆1 , . . . , ∆k } и два вектора A и B
  197. 197. Проблема достижимости ВХОД: Cистема векторного сложения {∆1 , . . . , ∆k } и два вектора A и B ВОПРОС: Верно ли, что вектор B достижим из вектора A в этой системе?
  198. 198. Проблема включения
  199. 199. Проблема включения ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A
  200. 200. Проблема включения ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A во второй системе, достижим из вектора A также и в первой системе?
  201. 201. Проблема включения ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A во второй системе, достижим из вектора A также и в первой системе? Теорема (Michael Rabin, не опубликовано). Проблема включения для систем векторного сложения неразрешима.
  202. 202. Проблема включения ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A во второй системе, достижим из вектора A также и в первой системе? Теорема (Michael Rabin, не опубликовано). Проблема включения для систем векторного сложения неразрешима.
  203. 203. Проблема эквивалентности ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A в одной из этих систем, достижим из вектора A также и в другой системе?
  204. 204. Проблема эквивалентности ВХОД: Две системы векторного сложения {Γ1 , . . . , Γk } и {∆1 , . . . , ∆k } и вектор A ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый из вектора A в одной из этих систем, достижим из вектора A также и в другой системе? Теорема (M. Hack; T. Araki и T. Kasami). Проблема эквивалентности для систем векторного сложения неразрешима.
  205. 205. Обобщенные кони на многомерной шахматной доске ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . ∆k = δk,1 , . . . , δk,n δj,k ∈ Z
  206. 206. Обобщенные кони на многомерной шахматной доске ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn
  207. 207. Обобщенные кони на многомерной шахматной доске ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
  208. 208. Обобщенные кони на многомерной шахматной доске ∆1 = δ1,1 , . . . , δ1,n . . . δj,k ∈ Z ∆k = δk,1 , . . . , δk,n Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A)
  209. 209. Сравнение проблем Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn
  210. 210. Сравнение проблем Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A)
  211. 211. Сравнение проблем Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A)
  212. 212. Сравнение проблем Обозначение. K(α1 , . . . , αn ) – это множество всех полей, на которых может побывать конь, начав свой путь с поля α1 , . . . , αn Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A) K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A)&K (A) ⊇ K (A)
  213. 213. Специальные кони δ1 , . . . , δ n δm ∈ {−1, 0, 1}
  214. 214. Специальные кони δ1 , . . . , δ n δi1 = · · · = δia = −1 δm ∈ {−1, 0, 1}
  215. 215. Специальные кони δ1 , . . . , δ n δi1 = · · · = δia = −1 δj1 = · · · = δjb = 1 δm ∈ {−1, 0, 1}
  216. 216. Специальные кони δ1 , . . . , δ n δm ∈ {−1, 0, 1} δi1 = · · · = δia = −1 δj1 = · · · = δjb = 1 δm = 0, если m ∈ {i1 , . . . , ia , j1 , . . . , jb }
  217. 217. Специальные кони δ1 , . . . , δ n δm ∈ {−1, 0, 1} δi1 = · · · = δia = −1 δj1 = · · · = δjb = 1 δm = 0, если m ∈ {i1 , . . . , ia , j1 , . . . , jb } i1 , . . . , ia j1 , . . . , jb
  218. 218. Специальные кони δ1 , . . . , δ n δm ∈ {−1, 0, 1} δi1 = · · · = δia = −1 δj1 = · · · = δjb = 1 δm = 0, если m ∈ {i1 , . . . , ia , j1 , . . . , jb } i1 , . . . , ia j1 , . . . , jb Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb
  219. 219. Шахматная машина
  220. 220. Шахматная машина Шахматная машина имеет конечное количество регистров R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число.
  221. 221. Шахматная машина Шахматная машина имеет конечное количество регистров R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина может находиться в одном из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ;
  222. 222. Шахматная машина Шахматная машина имеет конечное количество регистров R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина может находиться в одном из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ; инструкции машины имеют вид Si0 Ri1 . . . Ria Sj0 Rj1 . . . Rjb где все числа i0 , i1 , . . . , ia , j0 , j1 , . . . , jb попарно различны.
  223. 223. Шахматная машина Шахматная машина имеет конечное количество регистров R1 , . . . , Rn , каждый из которых может содержать произвольно большое натуральное число. Машина может находиться в одном из конечного числа состояний S1 , . . . , Sm ; инструкции машины имеют вид Si0 Ri1 . . . Ria Sj0 Rj1 . . . Rjb где все числа i0 , i1 , . . . , ia , j0 , j1 , . . . , jb попарно различны. Шахматная машина является недетерминированной!
  224. 224. Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb
  225. 225. Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se
  226. 226. Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj .
  227. 227. Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. (∗)
  228. 228. Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия.
  229. 229. Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия. 1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то rj ≤ F (x1 , . . . , xk )
  230. 230. Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия. 1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то rj ≤ F (x1 , . . . , xk ) 2. Для любого y такого, что y ≤ F (x1 , . . . , xk ), существует поле r1 , . . . , rn , достижимое с поля (∗) и такое, что rj = y , re = 1.
  231. 231. Вычисления на шахматной машине Определение. Пусть в некоторой шахматной машине выделено начальное состояние Sb , заключительное состояние Se , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj . Поместим коня на поле r1 , . . . , rn (∗) где rb = 1, ri1 = x1 ,. . . , rik = xk , а все остальные регистры пусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляет функцию F (x1 , . . . , xk ), если выполены следующие три условия. 1. Если поле r1 , . . . , rn достижимо с поля (∗), то rj ≤ F (x1 , . . . , xk ) 2. Для любого y такого, что y ≤ F (x1 , . . . , xk ), существует поле r1 , . . . , rn , достижимое с поля (∗) и такое, что rj = y , re = 1. 3. Состояние Se не встречается в левых частях инструкций машины.
  232. 232. Сложение чисел S1 I4 S2 O6 S1 I5 S2 O6 S1 S3 S2 S1
  233. 233. Умножение чисел S1 I6 S2 S2 I7 S3 R8 O9 S3 S2 S3 S4 S4 R8 S1 I7 S1 S4 S1 S5
  234. 234. Сложение функций Лемма. Имея две шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы можем построить машину K, вычисляющую функцию F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) + F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ).
  235. 235. Сложение функций Лемма. Имея две шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы можем построить машину K, вычисляющую функцию F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) + F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ). S1 I4 S2 O6 S1 I5 S2 O6 S1 S3 S2 S1
  236. 236. Умножение функций Лемма. Имея две шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы можем построить машину K, вычисляющую функцию F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) × F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ).
  237. 237. Умножение функций Лемма. Имея две шахматные машины K1 и K2 , вычисляющие функции F1 (x1 , . . . , xm1 ) и F2 (y1 , . . . , ym2 ) соответственно, мы можем построить машину K, вычисляющую функцию F (z1 , . . . , zm1 +m2 ) = F1 (z1 , . . . , zm1 ) × F2 (zm1 +1 , . . . , zm1 +m2 ). S1 I6 S2 S2 I7 S3 R8 O9 S3 S2 S3 S4 S4 R8 S1 I7 S1 S4 S1 S5
  238. 238. Альтернативы D(x1 , . . . , xm ) = 0
  239. 239. Альтернативы D(x1 , . . . , xm ) = 0 либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  240. 240. Альтернативы D(x1 , . . . , xm ) = 0 либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm )
  241. 241. Альтернативы D(x1 , . . . , xm ) = 0 либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm ) A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm )
  242. 242. Альтернативы D(x1 , . . . , xm ) = 0 либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm ) A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) либо ∃x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) = B(x1 , . . . , xm )} либо ∀x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) + 1}
  243. 243. Альтернативы D(x1 , . . . , xm ) = 0 либо ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} либо ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} D 2 (x1 , . . . , xm ) = A(x1 , . . . , xm ) − B(x1 , . . . , xm ) A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) либо ∃x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) = B(x1 , . . . , xm )} либо ∀x1 . . . xm {A(x1 , . . . , xm ) ≥ B(x1 , . . . , xm ) + 1}
  244. 244. Машина K A A(x1 , . . . , xm )
  245. 245. Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times
  246. 246. Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A .
  247. 247. Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры
  248. 248. Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр
  249. 249. Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние
  250. 250. Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и состояний превосходят m + 9.
  251. 251. Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции: Sm+2 Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1 ... ... Sm+2 Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm Sm+3 Sm+2 Sm+3 Sb , Обозначим полученную машину через K A
  252. 252. Машина K A A(x1 , . . . , xm ) = A (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ), w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую A . Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции: Sm+2 Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1 ... ... Sm+2 Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm Sm+3 Sm+2 Sm+3 Sb , Обозначим полученную машину через K A , её начальным состоянием объявим Sm+2 .
  253. 253. Машина K B B(x1 , . . . , xm ) + 1 = B (x1 , . . . , x1 , . . . , xm , . . . , xm ). w times w times Построим шахматную машину, вычисляющую B , Пусть Ri1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходной регистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальных регистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующие инструкции: Sm+2 Sm+3 Ri1,1 . . . Ri1,w X1 ... ... Sm+2 Sm+3 Rim,1 . . . Rim,w Xm Sm+3 Sm+2 Sm+3 Sb , Обозначим полученную машину через K состоянием объявим Sm+2 . B, её начальным
  254. 254. Машина K Добавим к машине KA следующие инструкции
  255. 255. Машина K Добавим к машине KA следующие инструкции 1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss Ri St
  256. 256. Машина K Добавим к машине KA следующие инструкции 1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss Ri St 2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss St Rj
  257. 257. Машина K Добавим к машине KA следующие инструкции 1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss Ri St 2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss St Rj 3. для каждого состояния Sk машины KB : Ss Sk
  258. 258. Машина K Добавим к машине KA следующие инструкции 1. для каждого регистра Ri машины KA кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss Ri St 2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1 , . . . , Xm+1 : Ss St Rj 3. для каждого состояния Sk машины KB : Ss Sk St Ss 4.
  259. 259. Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA .
  260. 260. Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  261. 261. Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  262. 262. Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  263. 263. Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  264. 264. Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  265. 265. Машина K Машина K имеет те же инструкции, что и машина KB , но к ней добавлены все регистры машины KA . K (A) ⊇ K (A) ¬∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A) ⇐⇒ ¬∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∃x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0} K (A) ⊇ K (A) ⇐ ∀x1 . . . xm {D(x1 , . . . , xm ) = 0}
  266. 266. Включение и эквивалентность Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A)
  267. 267. Включение и эквивалентность Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A) K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A)&K (A) ⊇ K (A)
  268. 268. Включение и эквивалентность Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A) K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A)&K (A) ⊇ K (A) K (r1 , . . . , rn ) ⊇ K (r1 , . . . , rn ) ⇐⇒ ⇐⇒ K (r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn )
  269. 269. Включение и эквивалентность Проблема включения ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) ⊇ K (A) Проблема эквивалентности ВХОД: Два обобщеных коня K и K и поле A ВОПРОС: Верно ли, K (A) = K (A) K (A) = K (A) ⇐⇒ K (A) ⊇ K (A)&K (A) ⊇ K (A) K (r1 , . . . , rn ) ⊇ K (r1 , . . . , rn ) ⇐⇒ ⇐⇒ K (r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn ) K (r1 , . . . , rn ) = K (r1 , . . . , rn ) ∪ K (r1 , . . . , rn )
  270. 270. Включение и эквивалентность K K
  271. 271. Включение и эквивалентность K K Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb
  272. 272. Включение и эквивалентность K K Ri1 . . . Ria Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+4 Rj1 . . . Rjb
  273. 273. Включение и эквивалентность K K Ri1 . . . Ria Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+4 Rj1 . . . Rjb Ri1 . . . Ria Tm+6 Ri1 . . . Ria Tm+7 Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+7 Rj1 . . . Rjb Tm+6 Rj1 . . . Rjb
  274. 274. Включение и эквивалентность K K Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+5 Ri1 . . . Ria Tm+4 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+4 Sm+2 Sm+8 Tm+5 Sm+2 Ri1 . . . Ria Tm+6 Ri1 . . . Ria Tm+7 Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+7 Rj1 . . . Rjb Tm+6 Rj1 . . . Rjb
  275. 275. Включение и эквивалентность K K Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+5 Ri1 . . . Ria Tm+4 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+4 Sm+2 Sm+8 Tm+5 Sm+2 Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+6 Ri1 . . . Ria Tm+7 Rj1 . . . Rjb Tm+7 Ri1 . . . Ria Tm+6 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+6 Sm+2 Sm+8 Tm+7 Sm+2
  276. 276. Включение и эквивалентность K K Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+5 Ri1 . . . Ria Tm+4 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+4 Sm+2 Sm+8 Tm+5 Sm+2 Tm+4 Tm+5 Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+6 Ri1 . . . Ria Tm+7 Rj1 . . . Rjb Tm+7 Ri1 . . . Ria Tm+6 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+6 Sm+2 Sm+8 Tm+7 Sm+2
  277. 277. Включение и эквивалентность K K Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+5 Ri1 . . . Ria Tm+4 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+4 Sm+2 Sm+8 Tm+5 Sm+2 Tm+4 Tm+5 Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+6 Ri1 . . . Ria Tm+7 Rj1 . . . Rjb Tm+7 Ri1 . . . Ria Tm+6 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+6 Sm+2 Sm+8 Tm+7 Sm+2 Tm+4 Tm+5 Tm+6 Tm+7
  278. 278. Включение и эквивалентность K K Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+5 Ri1 . . . Ria Tm+4 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+4 Sm+2 Sm+8 Tm+5 Sm+2 Tm+4 Tm+5 Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+6 Ri1 . . . Ria Tm+7 Rj1 . . . Rjb Tm+7 Ri1 . . . Ria Tm+6 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+6 Sm+2 Sm+8 Tm+7 Sm+2 Tm+4 Tm+5 Tm+6 Tm+7 K
  279. 279. Включение и эквивалентность K K Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+5 Ri1 . . . Ria Tm+4 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+4 Sm+2 Sm+8 Tm+5 Sm+2 Tm+4 Tm+5 Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+6 Ri1 . . . Ria Tm+7 Rj1 . . . Rjb Tm+7 Ri1 . . . Ria Tm+6 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+6 Sm+2 Sm+8 Tm+7 Sm+2 Tm+4 Tm+5 Tm+6 Tm+7 K K
  280. 280. Включение и эквивалентность K K Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+4 Ri1 . . . Ria Tm+5 Rj1 . . . Rjb Tm+5 Ri1 . . . Ria Tm+4 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+4 Sm+2 Sm+8 Tm+5 Sm+2 Tm+4 Tm+5 Ri1 . . . Ria Rj1 . . . Rjb Tm+6 Ri1 . . . Ria Tm+7 Rj1 . . . Rjb Tm+7 Ri1 . . . Ria Tm+6 Rj1 . . . Rjb Sm+8 Tm+6 Sm+2 Sm+8 Tm+7 Sm+2 Tm+4 Tm+5 Tm+6 Tm+7 K K K ⊇K ⇐⇒ K = K
  281. 281. Унификация (невсеобщее равенство) E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm )
  282. 282. Унификация (невсеобщее равенство) E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm ) Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого порядка разрешима.
  283. 283. Унификация (невсеобщее равенство) E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm ) Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого порядка разрешима. Проблема унификации для исчисления предикатов третьего порядка неразрешима.
  284. 284. Унификация (невсеобщее равенство) E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm ) Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого порядка разрешима. Проблема унификации для исчисления предикатов третьего порядка неразрешима. L. D. Baxter [1978] дал новое доказательство этого факта с использованием неразрешимости диофантовых уравнений.
  285. 285. Унификация (невсеобщее равенство) E1 (x1 , . . . , xm ) = E2 (x1 , . . . , xm ) Проблема унификации для чистого исчисления предикатов первого порядка разрешима. Проблема унификации для исчисления предикатов третьего порядка неразрешима. L. D. Baxter [1978] дал новое доказательство этого факта с использованием неразрешимости диофантовых уравнений. W. D. Golfarb [1981] установил неразрешимость проблема унификации для исчисления предикатов второго порядка, исходя из неразрешимости 10-й проблемы Гильберта.
  286. 286. Как перемножать термы? Tn = F (F (. . . F (x) . . . )); n times
  287. 287. Как перемножать термы? Tn = F (F (. . . F (x) . . . )); n times Сложение n + m: подстановка Tm вместо x в Tn
  288. 288. Как перемножать термы? Tn = F (F (. . . F (x) . . . )); n times Сложение n + m: подстановка Tm вместо x в Tn Умножение n × m: ?
  289. 289. Одна история
  290. 290. Одна история Разрешима ли проблема так называемой одновременной жесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)?

×