Ustnoe reshenie kvadratnogo_uravneniya

1. Приёмы устного решенияПриёмы устного решения
квадратного уравненияквадратного уравнения
Муниципальное общеобразовательное
учреждение
«Гимназия №53»
Бойко Т.А.
учитель математики

2. Цель:
устные
приёмы эффективного
решения квадратных уравнений.

3. 19881
)54)(219()45( 2
=
−−=−
D
xxx
;02sin1997sin1999 2
=−− xx
016sin46sin3 2
=+− xx
01
2
4
2
3 2
=+−
x
tg
x
tg
016691988319 2
=++ xx
xxx
42103255 ⋅=⋅−⋅



=+−−
=+−
0)8(log)5,13(log5,0
0)132(log
42
9,0
xxy
xy

4. Извлечения квадратного корня
Из натурального числа
969216 = 18324 =
92 *16 =96
81
1116
1116
3*24 = 18
1
224
224
186
6
28
8
у
с
т
н
о
14119881 =

5. Приём «Коэффициентов»:
1) Если а+в+с=0, то .,1 21
a
c
xx ==
2) Если в = а + с, то .,1 21
a
c
xx
−
=−=
02
=++ cbxax
3) Если 0≠+ cba 
Используя приёмы 1) -3) можно придумывать
уравнения с рациональными корнями.
, то приём «Переброски»

6. 5)5)





−=
−=
⇔=+⋅++
a
x
ax
axaax 10)1(
2
1
22
,06376 2
=++ xx
6
1
6
2
1
−=
−=
x
x
4)
Например:





=
=
⇔=+⋅+−
a
x
ax
axaax 10)1(
2
1
22





=
=
⇔=+⋅−
15
1
15
01522615
2
1
2
x
x
xx
Например:

7. • 7)7)





=
−=
⇔=−⋅−+
a
x
ax
axaax 10)1(
2
1
22 ,01728817 2
=−+ xx





=
−=
⇔
17
1
17
2
1
x
x6)





−=
=
⇔=−⋅−−
a
x
ax
axaax 10)1(
2
1
22





−=
=
⇔=−⋅−
10
1
10
0109910
2
1
2
x
x
xx
Например:
Например:

8. МОУ «Гимназия №53»МОУ «Гимназия №53»
Учитель Бойко Т.А.Учитель Бойко Т.А.

10. • Квадратные уравнения – это фундамент, на которомКвадратные уравнения – это фундамент, на котором
покоится величественное здание алгебры. Квадратныепокоится величественное здание алгебры. Квадратные
уравнения находят широкое применение при решенииуравнения находят широкое применение при решении
тригонометрических,тригонометрических,
• показательных , иррациональных уравнений ипоказательных , иррациональных уравнений и
неравенств.неравенств.
• В школьном курсе математики изучаются формулыВ школьном курсе математики изучаются формулы
корней квадратных уравнений, с помощью которыхкорней квадратных уравнений, с помощью которых
можно решать любые квадратные уравнения.можно решать любые квадратные уравнения.
• Однако имеются и другие приёмы решения квадратныхОднако имеются и другие приёмы решения квадратных
уравнений, которые позволяют очень быстро иуравнений, которые позволяют очень быстро и
рационально решать квадратные уравнения.рационально решать квадратные уравнения.

11. Приёмы устного решенияПриёмы устного решения
квадратного уравненияквадратного уравнения
1) 2 ) приём «коэффициентов»1) 2 ) приём «коэффициентов»
3) приём «переброски»3) приём «переброски»

12. • Обобщить и систематизировать изученный материал по теме:
«Квадратные уравнения».
• Научить учащихся приёмам устного решения квадратных
уравнений.
• Развивать внимание и логическое мышление.
• Воспитывать культуру поведения .

13. 02
=++ cbxax 0≠a
b=ob=o
c=0c=0
b=0b=0
c≠0c≠0
b≠0b≠0
c=0c=0
02
=ax
1 корень:
x = 0
02
=+ cax 02
=+ bxax
a
b
x
x
baxx
−
=
=
=+
2
1 0
,0)(
2корня,
если:
а и с имеют разные знаки
Нет корней, если:
а и с имеют одинаковые
знаки
2корня2корня

14. D >0
D =0
D<0
2корня
0,0 ≠≠ cb
02
=++ gpxx
Формулы корней:
;
42
2
,1 2
g
pp
x −±
−
=
1корень
Нет корней
1=a
;
2
42
2,1
a
acbb
x
−±−
=
при b=2k;
a
ackk
x
−±−
=
2
2,1
21
3

15. ТеоремыТеоремы
ВиетаВиета
--------------------------------------------------------
ДаноДано
ОбратнаяОбратная
--------------------------------------------------------
ДаноДано
Для чиселДля чисел
0
,
2
21
=++
−
gpxx
уравнения
корниxx
gxx
pxx
имеем
gpxx
=⋅
−=+
21
21
2,1
:
,,
gxx
pxx
Доказать
=⋅
−=+
21
21
0
,
2
21
=++
−
gpxx
уравнения
корниxx
Доказать

16. К какому типу относится
уравнение
032 2
=−+ xx
Решите его
Ответ:
2
3
;1 −
У Р А В Н Е Н И Е

17. ЗАДАЧАЗАДАЧА
0619841978 2
=+− xx
Найти наиболее рациональным способом
корни уравнения
1978
6
;1
2
1
=
=
x
x

18. • Пусть дано квадратноеПусть дано квадратное уравнениеуравнение
0≠a,02
=++ cbxax где
1.Если a + b + c=0 (т.е сумма коэффициентов равна нулю), то
.,1 21
a
c
xx ==
Доказательство. Разделим обе части уравнения на получим
приведённое квадратное уравнение
0≠a
.02
=++
a
c
x
a
b
x
По теореме Виета






=⋅
−=+
.21
21
a
c
xx
a
b
xx
По условию a + b +c =0, откуда b= - a – c. Значит,






⋅=⋅
+=
−−
−=+
.1
1
21
21
a
c
xx
a
c
a
ca
xx
Получаем ,,1 21
a
c
xx == что и требовалось доказать.

19. Приёмы устного решения решения
квадратных
уравнений
02
=++ cbxax
0=++ cba , то
a
c
xx == 21 ,1
09134 2
=+− xx
Например:
4
9
,1 21 == xx
Если
Приём №1

20. • 02
=++ cbxax
0120001999 2
=++ xx
Если b = a + c, то
a
c
xx
−
=−= 21 ,1
Приём №2
Например:
07114 2
=++ xx
4
7
,1 21
−
=−= xx

21. Решить уравнениеРешить уравнение
016691988319 2
=++ xx
.
319
1669
;1
2
1
−=
−=
x
x

22. 013326313 2
=++ xx
0208137345 2
=−− xx
0391448839 2
=−− xx
039978939 2
=++ xx
1.
2.
3.
4.
313
13
;1
−
−
839
391
;1 −
345
208
;1 −
939
39
;1
−
−

23. 0≠+ cba 
05112 2
=+− xx
010112
=+− xxРешаем устно
Его корни 10 и 1, и делим на 2.
Ответ: 5;
2
1
Приём №3

24. 01870376 22
=−−⇒=−− xxxx
6
2
,
6
9
21 −== xx
3
1
;
2
3
−
Корни 9 и (-2).
Делим числа 9 и ( -2) на 6:
Ответ:

25. Используя приёмы решения 1) – 3),вы можете
придумывать уравнения с рациональными корнями.
Например, возьмём уравнение 0652
=+− xx
(Корни 2 и 3), 6 делится на 1,2,3,6
6=1*6
6=6*1
6=2*3
6=3*2 Отсюда уравнения:
________________ 0156 2
=+− xx
0352 2
=+− xx
0253 2
=+− xx
0652
=++ xx
0156 2
=++ xx
0352 2
=++ xx
0253 2
=++ xx
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
2
1
;
3
1
)1
2
3
;1)2
3
2
;1)3
3;2)4 −−
2
3
;1)6
−
−
3
2
;1)7
−
−
2
1
;
3
1
)5
−−Одно уравнение дало ещё
7 уравнений с рациональными
корнями.
-------------------------------------------------

26. Когда уравненьеКогда уравненье
решаешь дружок,решаешь дружок,
Ты должен найти уТы должен найти у
него корешок.него корешок.
Значение буквыЗначение буквы
проверить несложно.проверить несложно.
Поставь в уравненьеПоставь в уравненье
его осторожно.его осторожно.
Коль верное равенствоКоль верное равенство
выйдет у вас,выйдет у вас,
То корнем значеньеТо корнем значенье
зовите тотчас.зовите тотчас.
02
=++ cbxax
По праву достойна в
стихах быть воспета
свойствах корней
теорема Виета.
Что лучше, скажи,
постоянства такого:
Умножишь ты корни – и
дробь уж готова?
В числителе с , в
знаменателе а.
А сумма корней тоже
дроби равна.
Хоть с минусом дробь,
что за беда.
В числителе в, в
знаменателе а.
a
b
xx
a
c
xx
−=+
=⋅
21
21

27. Найти №№ 505 – 573
--------------------------------
квадратные уравнения, которые
можно решить устно, используя
изученные приёмы.

28. Выводы:
• данные приёмы решения заслуживают внимания,
поскольку они не отражены в школьных учебниках
математики;
• овладение данными приёмами поможет учащимся
экономить время и эффективно решать уравнения;
• потребность в быстром решении обусловлена
применением тестовой системы вступительных
экзаменов;
• владение алгоритмом извлечения квадратного
корня из натурального числа.