1. Мысли вслух
Тригонометрические функции угла 15 0
(исследовательский проект)
Основная цель. Вычисление точных значений тригонометрических функций
угла 15 0 .
Примерные основные части плана реализации исследования.
1) Получение разными геометрическими методами точного значения sin 15 0 .
Выявление наиболее рационального способа вычисления sin 15 0 .
2) Демонстрация применения значения sin 15 0 для вычисления значений
тригонометрических функций углов 75 0 ,105 0. Составление таблицы
значений тригонометрических функций углов 15 0 ,75 0 ,105 0.
3) Вывод тригонометрические формул синуса суммы, разности, косинуса
суммы и разности двух углов, синуса и косинуса двойного угла .
4) Демонстрация применения полученных формул.
Основополагающие аспекты проекта
1) Получение разными геометрическими методами точного значения
sin 15 0 .
I способ
Решение основано на использовании метода дополнительных построений,
A метода использования вспомогательного
параметра. Применяется теорема синусов.
Решение
1) Рассмотрим прямоугольный
30º a 2 равнобедренный треугольник АВС (
a ∠C = 90 0 ). Введем вспомогательный
15º
параметр a . AC = BC = a , тогда AB = a 2.
45º На катете ВС возьмем такую точку К, что
∠CAK = 150.
B
C x K a-x Пусть CK = x , тогда KB = a − x . Заметим,
x
что 0〈 x 〈a и 〈1.
a
a −x a2 + x 2
2) Применим теорему синусов к треугольнику АВК: = ,
sin 30 0 sin 450
2a − 2x = 2a 2 + 2x 2 , 4a − 8ax + 4x = 2a + 2x ,
2 2 2 2
x  x 
2
x − 4ax + a = 0,   − 4  + 1 = 0. Откуда получаем два корня:
2 2
a  a 
1

2. x x x
= 2 − 3 или = 2 + 3. Условию 〈1 удовлетворяет только первое
a a a
x
число. Но = tg 15 0 , следовательно, tg 150 = 2 − 3 . Тогда
a
1
ctg 150 = = 2 + 3. Значения sin 150 и cos 15 0 найдем,
2− 3
1 1
воспользовавшись формулами 1 + tg α = и 1 + ctg α = .
2 2
cos 2 α sin 2 α
6− 2 6+ 2
Итак, sin 150 = , cos 150 = , tg 150 = 2 − 3,
4 4
ctg 15 = 2 + 3.
0
II способ
Решение основано на применении метода дополнительных построений,
метода использования вспомогательного A
параметра. Применяется теорема синусов.
Решение
1) Рассмотрим прямоугольный
равнобедренный треугольник АВС ( x 3
∠C = 90 ). Введем обозначения:
0 30º 15º
CK = x , тогда 2x
(
AC = x 3, AK = 2x , BK = x 3 − 1 . ) 45º
2) Применим теорему синусов к
AK BK C x K B
треугольнику АВК: = .
sin 45 0
sin 15 0
И далее получаем: sin 15 =
0
=
(
BK sin 450 x ⋅ 3 − 1 ⋅ 2 ) =
6− 2
.
AK 2x ⋅ 2 4
6− 2
Итак, sin 150 = .
4
III способ
Решение основано на использовании метода дополнительных построений,
метода использования вспомогательного параметра. Применяется теорема
Пифагора.
Решение a M
C
1) Рассмотрим прямоугольный
30º B
равнобедренный треугольник АВС ( x
∠C = 90 0 , ∠B = 30 0 ). На стороне а2
a H
ВС от точки С отложим отрезок
15
CM = AC = a , тогда
∠CAM = 450 , ∠MAB = 150. A
2

3. 2) В треугольнике АМВ проведем высоту МН. Пусть MH = x . Ясно, что
AM = a 2, BM = 2x , BH = x 3, а AH = 2a − x 2 (воспользовались
2
последовательно треугольниками АМС, МВН, АМН).
3) По теореме Пифагора имеем: AC + BC = AB , то есть
2 2 2
( )
a 2 + ( a + 2x ) 2 = 2a 2 − x 2 + x 3 . Далее получаем:
2
a + a + 4ax + 4x = 2a − x + 3x + 2x 6a 2 − 3x 2 ,
2 2 2 2 2 2
2x 2 + 4ax = 2x 6a 2 − 3x 2 , x + 2a = 6a 2 − 3x 2 , x 2 + 4ax + 4a 2 = 6a 2 − 3x 2 ,
x  x 
2
2x + 2ax − a = 0, 2 ⋅   + 2  − 1 = 0. Корнями последнего
2 2
a  a 
x −1− 3 x −1+ 3
уравнения являются значения = или = .
a 2 a 2
3 −1
Условиям x 〉 0 и a 〉 0 удовлетворяет только число .
2
MH x 3 −1
В треугольнике АМН sin 15 = , то есть sin 150 = = =
0
a 2 a 2 2 2
=
( 3 −1 2) =
6− 2
. Следовательно, sin 150 =
6− 2
.
4 4 4
IVспособ
Решение основано на использовании метода дополнительных построений,
метода использования вспомогательного параметра. Применяется теорема
косинусов.
Решение
B 1) Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС(
AB = BC = a , ∠B = 30 0 ).
Проведем в нем высоту ВН. Пусть AH = HC = x .
x
Тогда sin 15 = .
0
a
3) Из данного треугольника получаем равенство:
a a AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 ⋅ AB ⋅ BC ⋅ cos ∠B ,
15º15º
( 2x ) 2 = a 2 + a 2 − 2a 2 cos 30 0 ,
 x  1 − cos 30
2 0
откуда   = (заметим, получена
a  2
интересная связь между sin 150 и cos 30 0 , то есть
связь между половинным и целым углами
α 1 − cos α ).
A x H x C sin 2 = .
2 2
x 〉 0 и a 〉 0 , получим: x = 1 − cos 30 , x = 2 − 3 ,
0
Учитывая, что
a 2 a 4
3

4. x 4 2 − 3) x
( 8−4 3 x = 1 ⋅ ( 6− 2 ,) 2 x 6− 2
= , = , = .
a 42 a 42 a 4 a 4
6− 2
Таким образом, sin 150 = .
4
Vспособ
Решение основано на использовании метода дополнительных построений,
метода использования вспомогательного параметра, метода площадей.
x ⋅y
Применяется формула площади треугольника S = ⋅ sin ϕ, где x и
2
y - стороны треугольника, а ϕ - угол
между ними. A
Решение
1) Рассмотрим прямоугольный
треугольник АВС( ∠C = 90 0 , ∠A = 450 ).
На катете ВС выберем такую точку К, 30º что
∠BAK = 15 . Пусть
0 c 15º h
AB = c , AK = b , AC = h . b
2) Воспользуемся методом площадей.
S ABK = S ABC − S AKC , то есть
1 1 1 B K C
bc sin150 = ch sin 450 − bh sin 30 0.
2 2 2
1
Разделив обе части равенства на bc , получим:
2
h h
sin 150 = sin 45 0 ⋅ − ⋅ sin 30 0 ,
b c
sin 15 = sin 45 ⋅ cos 30 0 − cos 45 0 ⋅ sin 30 0 (1). Проведя необходимые
0 0
6− 2
вычисления убедимся в том, что sin 150 = .
4
Вывод из решения задачи V способом. Последний способ решения
поставленной задачи наводит на мысль о том, что если ввести
обозначения 450 = α , 30 0 = β , 150 = α − β , то равенство (1) будет
выглядеть так: sin( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β .
Это равенство называется формулой синуса разности двух углов.
2) Применение значения sin 15 0 для вычисления значений
тригонометрических функций углов 75 0 ,105 0.
Для вычисления значений тригонометрических функций углов 750 ,1050
воспользуемся известными формулами приведения.
6+ 2
sin 75 0 = sin( 90 0 − 15 0 ) = cos 15 0 = ,
4
4

5. 6+ 2
sin 1050 = sin( 90 0 + 150 ) = cos 150 = или
4
6+ 2
sin 1050 = sin(180 0 − 750 ) = sin 750 = .
4
6− 2
cos 750 = cos( 90 0 − 150 ) = sin 150 = .
4
6− 2
cos 1050 = cos( 90 0 + 150 ) = − sin 150 = − или
4
6− 2
cos 1050 = cos(180 0 − 750 ) = − cos 750 = − .
4
tg 75 =
0 sin 750
=
6+ 2
:
6− 2
=
6+ 2
=
( 6+ 2 ) 2
=
8+4 3
= 2 + 3.
cos 75 0
4 4 6− 2 4 4
1 1 2− 3
ctg 750 = = = = 2− 3.
tg 750 2 + 3 1
Аналогично найдем значения tg 1050 и ctg 1050.
tg 1050 = −2 − 3, а ctg 1050 = 3 − 2.
3) Вывод тригонометрических B
формул синуса суммы, косинуса
суммы и разности двух углов,
синуса и косинуса двойного угла . c α β a
а) В треугольнике АВС (см. рисунок)
ВН – высота, проведенная к
основанию АС. Причем,
∠ABH = α , ∠HBC = β и
A H C
∠ABC = α + β , AB = c , BC = a , BH = h .
Воспользовавшись методом площадей, запишем: S ABC = S ABH + S BHC , то
ac hc ah
есть sin( α + β ) = sin α + sin β . Разделив обе части равенства на
2 2 2
ac
,
2
h h
получим равенство sin( α + β ) = sin α ⋅ + ⋅ sin β и далее – формулу
a c
синуса суммы двух углов: sin( α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β (ӿ).
б) Теперь учтем, что sin( 90 0 − ϕ ) = cos ϕ , и запишем:
cos( α + β ) = sin( 90 0 − ( α + β ) ) = sin( ( 90 0 − α ) − β ) =
= sin( 90 0 − α ) ⋅ cos β − cos( 90 0 − α ) ⋅ sin β = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β .
Итак, cos( α + β ) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β (ӿӿ).
5

6. Аналогично
cos( α − β ) = sin( 90 0 − ( α − β ) ) = sin( ( 90 0 − α ) + β ) =
= sin( 90 0 − α ) ⋅ cos β + cos( 90 0 − α ) ⋅ sin β = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β .
И cos( α − β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β .
Положив в формулах (ӿ) и (ӿӿ) β = α , получим еще две важные формулы:
sin 2α = 2 sin α cos α (формула синуса двойного аргумента);
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α (формула косинуса двойного угла). Причем косинус
двойного угла можно выразить и иначе: cos 2α = 2 cos 2 α − 1 или
cos 2α = 1 − 2 sin 2 α .
4) Примеры применения полученных формул.
а) Очевидный пример. Вычислить значение sin 750.
Решение.
2 3 2 1
sin 750 = sin( 450 + 30 0 ) = sin 450 cos 30 0 + cos 450 sin 30 0 = ⋅ + ⋅ =
2 2 2 2
6+ 2
= .
4
б) Доказать справедливость равенства sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α (это
равенство называется формулой синуса тройного угла).
Решение.
sin 3α = sin( 2α + α ) = sin 2α ⋅ cos α + cos 2α ⋅ sin α = 2 sin α ⋅ cos 2 α +
+ (1 − 2 sin 2 α ) ⋅ sin α = 2 sin α ⋅ (1 − sin 2 α ) + sin α − 2 sin3 α = 3 sin α − 4 sin3 α .
в) Вывести формулу косинуса тройного угла.
Решение.
cos 3α = cos( 2α + α ) = cos 2α ⋅ cos α − sin 2α ⋅ sin α = ( 2 cos 2 α − 1) ⋅ cos α −
− 2 sin 2 α ⋅ cos α = 2 cos 3 α − cos α − 2(1 − cos 2 α ) ⋅ cos α = 4 cos 3 α − 3 cos α .
Итак, cos 3α = 4 cos 3 α − 3 cos α .
6