Решение уравнений с применением оригинальных приемов

1. I. Решение иррациональных уравнений
1.1. Метод подстановки.
1. Решите уравнение
Решение. Заметим, что знаки x под радикалом различные. Введем обозначения:
Тогда 9 – x = a3
, 7 + x = b3
. Почленно сложим обе части уравнения: 16 = a3
+ b3
.
Имеем систему уравнений
Так как a + b = 4, то (a + b)2
= 16, a2
+ b2
= 16 – 2ab,
Значит,
следовательно, x = 1.
Ответ: x = 1.
2. Решите уравнение
Решение. Введем обозначения:
Значит, 17 + x = a4
, 17 – x = b4
.
Сложив почленно левую и правую части уравнений, имеем: a4
+ b4
= 34.
Получаем систему уравнений
a + b = 2, a2
+ 2ab + b2
= 4, a2
+ b2
= 4 – 2ab,
a4
+ 2a2
b2
+ b4
= 16 – 16ab + 4a2
b2
;
a4
+ b4
= 16 – 16ab + 2a2
b2
.
Вернемся к системе уравнений

2. – 16ab + 2a2
b2
= 18, a2
b2
– 8ab – 9 = 0.
Решив уравнение относительно ab, имеем ab = 9, ab = – 1 ( – 1 – посторонний корень, так как a0, b0).
Данная система не имеет решений, значит, исходное уравнение также не имеет решения.
Ответ: решений нет.
3. Решите уравнение
Решение. Введем обозначение Тогда
Рассмотрим три случая:
1) 0  a < 1, – a + 1 – a + 2 = 1, решения нет;
2) 1  a < 2, a – 1 – a + 2 = 1, [1; 2);
3) a  2, a – 1 + a – 2 = 1, a = 2. Решение: [1; 2].
Если
Ответ: 2 x5.
1.2. Метод оценки левой и правой частей (метод мажорант).
Метод мажорант – метод нахождения ограниченности функции. Мажорирование – нахождение точек ограничения
функции, M – мажоранта.
Если имеем f(x) = g(x) и известно ОДЗ, и если f(x) M,
1. Решите уравнение
Решение. ОДЗ: 2 x  4.
Рассмотрим правую часть уравнения.
Введем функцию y = x2
– 6x + 11. Графиком функции является парабола с вершиной A(3; 2). Наименьшее
значение функции y(3) = 2, т. е. y = x2
– 6x + 11  2.

3. Рассмотрим левую часть уравнения.
Введем функцию С помощью производной нетрудно найти максимум функции,
которая дифференцируема на x(2; 4);
g(3) = 2. Имеем
В результате
Составим систему уравнений, исходя из указанных выше условий:
Решив первое уравнение системы, имеем x = 3. Подставляя это значение во второе уравнение, убеждаемся, что
x = 3 – решение системы.
Ответ: x = 3.
1.3. Применение монотонности функции.
1. Решите уравнение
Решение. ОДЗ: x  0, так как
Известно, что сумма возрастающей функции есть функция возрастающая. Левая часть уравнения
представляет собой возрастающую функцию. Правая часть – линейная функция (k = 0). Графическая
интерпретация подсказывает, что корень единственный. Найдем его подбором, имеем x=1.

4. Доказательство. Предположим, имеется корень x1, больший 1, тогда так как
Делаем вывод, что корней, больших единицы, нет.
Аналогично можно доказать, что нет корней, меньших единицы. Значит, x=1 – единственный корень.
Ответ: x = 1.
2. Решите уравнение
Решение. , так как
Преобразуем уравнение
Левая часть уравнения представляет собой возрастающую функцию (произведение возрастающих функций),
правая часть – линейная функция (k=0). Геометрическая интерпретация показывает, что исходное уравнение
должно иметь единственный корень, который можно найти подбором, x=7.
Проверка:
Можно доказать, что других корней нет.
Ответ: x = 7.
II. Использование геометрического смысла определенного интеграла
1. Вычислите
Решение. Выполним замену
Имеем:
7 + 6x – x2
= y2
,
y2
+ x2
– 6x – 7 = 0,

5. y2
+ (x2
– 6x + 9) – 9 – 7 = 0,
y2
+ (x – 3)2
= 16.
Используем геометрический смысл определенного интеграла. Криволинейной трапецией, площадь которой
равна является полукруг радиуса 4 с центром в точке (3; 0), ограниченный осью
абсцисс и графиком функции. Его площадь равна
Ответ:
Самостоятельная работа
Вычислите интегралы:
III. Логарифмические уравнения
3.1. Метод оценки левой и правой частей.
Решите уравнение log2 (2x – x2
+ 15) = x2
– 2x + 5.
Решение. Оценим левую часть уравнения:
2x – x2
+ 15 = – (x2
– 2x – 15) = – ((x2
– 2x + 1) – 1 – 15) = (– (x – 1)2
+ 16  16.
Тогда log2 (2x – x2
+ 15)  4.
Оценим правую часть уравнения: x2
– 2x + 5 = (x2
– 2x + 1) – 1 + 5 = (x – 1)2
+ 4  4;
Исходное уравнение может иметь решение только в случае, когда правые части уравнений равны

6. Ответ: x = 1.
Самостоятельная работа
Решите уравнения:
1. log4 (6x – x2
+ 7) = x2
– 6x + 11,
2. log5 (8x – x2
+ 9) = x2
– 8x + 18.
3. log4 (2x – x2
+ 3) = x2
– 2x + 2.
4. log2 (6x – x2
– 5) = x2
– 6x + 11.
Ответы: 1. x = 3. 2. x = 6. 3. x = 1. 4. x = 3.
3.2. Использование монотонности функций, подбор корней.
Решите уравнение log2 (2x – x2
+ 15) = x2
– 2x + 5.
Решение. Выполним замену
2x–x2
+15=t, t>0. Тогда x2
–2x+5=20–t, значит, log2 t=20–t. Функция y=log2 t – возрастающая, а функция
y=20–t – убывающая. Геометрическая интерпретация дает понять, что исходное уравнение имеет единственный
корень, который нетрудно найти подбором, t=16. Решив уравнение 2x–x2
+15=16, находим, что x=1. Проверкой
убеждаемся в верности подобранного значения.
Ответ: x=1.
3.3. Некоторые «интересные» логарифмические уравнения.
Решите уравнение
Решение. ОДЗ: (x – 15) cos x > 0. Перейдем к уравнению
Перейдем к равносильному уравнению
(x – 15)(cos2
x – 1) = 0.
x – 15 = 0, x = 15;
или cos2
x = 1, cos x = 1, x = 2k, kZ

7. или cos x = – 1, x =  + 2l, lZ.
Проверим найденные значения, подставив их в ОДЗ:
1) если x=15, то (15 – 15)cos15>0, 0>0 – неверно; x=15 не является корнем уравнения;
2) если x=2k, kZ, то (2k – 15)1 > 0, 2k > 15. Заметим, что 155.
Имеем k>2,5, kZ, k = 3, 4, 5...;
3) если x= +2 l, l Э Z, то ( +2 l – 15)(– 1) > 0,  + 2 l<15, 2 l < 15 – . Заметим, что 155.
Имеем: l < 2, l = 1, 0, – 1, – 2...
Ответ: x = 2k (k = 3, 4, 5, 6...), x =  + 2 l (l = 1, 0, – 1, – 2, ...).
IV. Тригонометрические уравнения
4.1. Метод оценки левой и правой частей уравнения.
Решите уравнение cos 3x cos 2x = – 1.
Решение. Способ I.
0,5(cos x + cos 5x) = – 1, cos x + cos 5x = – 2.
Поскольку cos x l – 1, cos 5x l – 1, заключаем, что cos x + cos 5x > – 2, откуда следует система уравнений
Решив уравнение cos x = – 1, получим x =  + 2k, где kZ. Эти значения x являются также решениями
уравнения cos 5x = – 1, так как
cos 5x = cos 5( + 2k) = cos ( + 4 + 10k) = – 1.
Таким образом, x =  + 2k, где kZ – это все решения системы, а значит, и исходного уравнения.
Ответ: x = (2k + 1), kZ.
Способ II. Можно показать, что из исходного уравнения следует совокупность систем Решив
исходную систему уравнений, найдем объединение корней.
Ответ: x = (2k + 1), kZ.
Самостоятельная работа
Решите уравнения:

8. Ответы: 1. Нет решений. 2. Нет решений. 3. x = 2k, kZ.
6. Поскольку данное уравнение равносильно системе
x = 4m, mZ.
7. x = 8k, kZ.
9. x =  + 4k, kZ.
4.2. Уравнения, связанные с тригонометрическими уравнениями.
Решите уравнение | x + 5 | sin x = x + 5.
Решение. Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:
Решением этой системы является x = – 5, а также корни уравнения sin x = 1, удовлетворяющие условию x –
5,

9. Решением этой системы являются корни уравнения sin x = – 1, удовлетворяющие условию
Ответ: – 5; + 2k (k = – 1, 0, 1...); – + 2m (m = – 1, – 2, – 3...).
Самостоятельная работа
Решите уравнения:
1. | x + 3 | sin x = x + 3.
2. 2| x – 6 | cos x = x – 6.
3.
Ответы:
1.
2.
3. ОДЗ: Возведем обе части уравнения в
квадрат:
Решим данное уравнение (cos x0, см. ОДЗ).
cos2
x(x + 18)–(x + 18)=0, (cos2
x–1)(x + 18)=0, cos x=1, x=2k, kZ;
cos x= – 1, x =  + 2m, m  Z или x = – 18.
Произведем отбор корней в соответствии с ОДЗ.
1) x = – 18, (– 18 + 18) cos 180 (заметим, что угол, выраженный в радианах, принадлежит IV четверти,
185,7). cos 18  0 – верно.

10. 2) x = 2k, (2k + 18) cos 2k0, так как cos 2k=1, то 2k –18, 2k– 5,7, k– 2,85, k = – 2,
– 1, 0, 1...
3) x= +2m, (+2m + 18)cos ( + 2m)0, так как cos( +2m)= – 1, то +2m+18 0,  +
2m – 18, 2m – 5,7 – , m – 3,35, m = – 4, – 5, – 6...
Ответ: – 18; 2k, k = – 2, – 1, 0, 1...;  + 2m, m = – 4, – 5, – 6, – 7...