More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to Matriks
Similar to Matriks (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
Matriks
- 1. MATRIKS Standar Kompetensi : Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar : • Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menentukan invers matriks persegi. • Menggunakan determinan dan invers matriks persegi dalam penyelesaian sistem persamaan linear.
- 2. BAB I. PENDAHULUAN A. Deskripsi Dalam modul ini anda akan mempelajari unsur-unsur matriks, ordo dan jenis matriks, kesamaan matriks, operasi penjumlahan dan pengurangan matriks, determinan dan invers matriks, dan penerapan matriks dalam sistem persamaan linear. B. Prasyarat Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah menguasai dasar- dasar aljabar.
- 3. C. Petunjuk Penggunaan Modul Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai berikut: 1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya. 2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan. D. Tujuan Akhir Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat: 1. Melakukan operasi aljabar atas dua matriks
- 4. 2. Menentukan determinan matriks 2x2 3. Menentukan invers dari matriks 2x2 4. Menentukan persamaan matriks dari persamaan linear 5. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan invers matriks.
- 5. BAB II. PEMBELAJARAN A. PENGERTIAN MATRIKS Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk baris dan kolom. Bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom disebut elemen matriks. Nama matriks ditulis dengan menggunakan huruf kapital. Banyaknya baris dan kolom matriks disebut ordo matriks. Bentuk umum : A =                 nmmmm n n n aaaa aaaa aaaa aaaa .3.2.1. .33.32.31.3 .23.22.21.2 .13.12.11.1 ... :...::: ... ... ... =1.1a elemen matriks pada baris 1, kolom 1 =2.1a elemen matriks pada baris 1, kolom 2
- 6. =3.1a elemen matriks pada baris 1, kolom 3 . . . =nma . elemen matriks pada baris m, kolom n Contoh : B =       − − 761 452 Ordo matriks B adalah B2 x 3 =3.1a - 4 =2.2a 6 B. JENIS-JENIS MATRIKS 1. Matriks baris adalah matriks yang hanya memiliki satu baris Contoh : A = [ 2 3 0 7 ] 2. Matriks kolom adalah matriks yang hanya memiliki satu kolom Contoh : C =             − 7 0 1 2
- 7. 3. Matriks persegi adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama. Contoh : A =             −− 10537 6095 4681 3502 Diagonal samping Diagonal utama 4. Matriks Identitas adalah matriks persegi yang elemen-elemen pada diagonal utamanya 1, sedangkan semua elemen yang lainnya nol. Contoh : A =       10 01 B =           100 010 001 5. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen dibawah diagonal utamanya nol. Contoh : A =           − 500 410 132 6. Matriks segitga bawah
- 8. adalah matriks persegi yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya nol. Contoh : B =           523 019 002 7. Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol. Contoh : C =       000 000 C. TRANSPOSE MATRIKS adalah perubahan bentuk matriks dimana elemen pada baris menjadi elemen pada kolom atau sebaliknya. Contoh : A =       − 053 142 A t = A T = A =           − 01 54 32
- 9. D. KESAMAAN MATRIKS Dua matriks dikatakan sama jika, keduanya mempunyai ordo yang sama dan elemen-elemen yang seletak juga sama. Contoh : A = B       − 45 32 =         − 45 3 9 3 6 Contoh : Tentukan nilai a dan b dari kesamaan matriks berikut a.       − −− =      − − 59 412 52 43 b a 3a = -12 a = -12/3 a = -4 2b = 9 b = 9/2 b = 4,5 b       +− =      + −− 32 231 354 161 a b a a 4a + 5 = 2a 4a – 2a = -5 2a = -5
- 10. a = -5/2 6a – 1 = 3b + 2 6(-5/2) – 1 = 3b + 2 -15 – 1 = 3b + 2 -16 = 3b + 2 3b = 18 b = 6 LATIHAN 1 1. Diketahui matriks A =             − − −− − 51510411 412651 36472 20161263 a. Tentukan ordo matriks A (4x5) b. Sebutkan elemen-elemen pada baris ke-2 (-2,7,4,6,-3) c. Sebutkan elemen-elemen pada kolom ke-3 (-12,4,-6,10) d. Sebutkan elemen a2.3 (4) e. Sebutkan elemen a3.5 (4) 2. Tentukan nilai a dan b dari kesamaan matriks berikut : a.       + − =      − + ba a a ba 76 54 152 b.       − =      + − 144 107 1432 57 a ba
- 11. 2a + 3 = -4 2a = -4 -3 a = -7/2 = -3,5 5a – b = 10 5(3,5) – b = 10 -b = 10 – 17,5 b = 7,5 c.       ++ + =      + + baa b b aa 1 1210 83 22 2a = 10 a = 5 b+3 = a+1 b+3 = 5+1 b = 6-3 = 3 3. Tentukan nilai x, y, dan z dari kesamaan matriks berikut : a.       − − =      − 2 14 1 3 z x zy x b.       − =      − zy xx zy 129 2 2 c.       + − =      − − 9 112 3 5 y x y x 4. Diketahui P =       ++ − yxyx xyx 2 32 dan Q =       −− − 12 47 y
- 12. Jika P = Q T , maka tentuka x – y E. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS 1. PENJUMLAHAN MATRIKS Dua matriks dapat dijumlahkan, jika keduanya berordo sama, dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang seletak. Contoh :       =      − +      − 112 03 65 41 53 42 2. PENGURANGAN MATRIKS Dua matriks dapat dikurangkan, jika keduanya beorodo sama, dengan cara mengurangkan elemen-elemen yang seletak. Contoh :       −− − =      − − −      −−− 2105 143 742 531 563 472 LATIHAN 2 1. Selesaikan operasi matriks berikut : a.       − +      b a b a 3 72 b.       − −      4 1 3 2 n m
- 13. c.       − +      − ba ba ba ba 4 2 3 2 d.       − − −      − yx yx yx yx 22 32 2. Diketahui P =       −−− 42 35 , Q =       − − 33 72 , dan R =       − 96 28 Tentukan : a. P + Q b. Q - R c. (P + Q) - R d. P + (Q - R) 3. Tentukan matriks X nya, jika X berordo 2x2 a. X +       =      12 20 10 010 b. X -       − =      − 35 74 12 53 c.       − − =−      − 13 42 72 43 X 4. Tentukan x, y, w, dan z jika diketahui :       + + +      − =      3 4 26 1 33 33 wz yx w x wz yx F. PERKALIAN MATRIKS 1. PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL
- 14. Suatu matriks dikalikan dengan bilangan real k, maka setiap elemen matriks tersebut dikalikan dengan k. Contoh : 2      − =     − 128 106 64 53 2. PERKALIAN DUA MATRIKS Dua matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks sebelah kiri sama dengan banyaknya matriks sebelah kanan. Am x n . Bp x q = Cm x q n = p Contoh : 1.       ++− −+−+− =      ++− −+−+− =     −       − 2004)3( )15(0)3(2 5.40.31.4)1.(3 5).3(0.21).3()1.(2 51 01 . 43 32 =       −− 201 155 2.       =      + + =      + + =            8 17 08 152 3.02.4 3.52.1 3 2 . 04 51 3.       − − =      +−−+ +−−+ =      − −       541 13113 323110 949230 331 210 . 11 32 4. [ ]           =           126 84 42 42. 3 2 1
- 15. LATIHAN 3 1. Jika X adalah matriks berordo 2x2, tentukan matriks X dari : a. 2       − =+      − 45 20 3 73 11 X b.       − =−      − 68 125 3 34 17 X 2. Diketahui A =       cb a 32 4 dan B =       + +− 7 1232 ba aba Jika A = 2B T , tentukan nilai a + b + c 3. Jika 3       + + +      − =      3 4 21 2 sr qp s qp sr p Tentukan nilai p, q, r, dan s. 4. Hitung perkalian matriks berikut : a.             − 65 04 . 11 23 b.           −           6 1 3 . 512 103 312 c.           −           − − 52 13 40 . 040 324 212 5. Diketahui matriks-matriks sebagai berikut : A =      − 34 23 , B =       23 42 , C =       12 32 Tentukan :
- 16. a. A.B b. B.A c. B.C d. (A.B).C e. A.(B.C) f. Buatlah kesimpulan untuk a dan b, serta d dan e 6. Jika P =       + cb ba1 , Q =       − − dc a 01 , dan R =       10 01 Tentukan nilai d jika P + Q T = R 2 7. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan :       −      − =      −− −       − 11 30 . 42 13 .2 611 86 . 23 24 x 8. Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut :      − =            − − 18 8 . 43 21 y x
- 17. G. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS ORDO 2X2 Jika matriks A =       dc ba , determinan dari matriks A dinotasikan det A atau A = ad - bc Invers matriks A dinyatakan dengan notasi A -1 =       − − − ac bd bcad 1 • Jika ad – bc = 0, maka matriks tidak mempunyai invers disebut matriks singular. • Jika ad – bc ≠0, maka matriks mempunyai invers disebut matriks non singular. Contoh : Diketahui A =       31 52 , Tentukan determinan dan invers matriks A. Det A = ad – bc = 2.3 – 5.1 = 6 – 5 = 1 A -1 =       − − − ac bd bcad 1 A -1 =       − − 21 53 1 1 =       − − 21 53
- 18. LATIHAN 4 1. Diketahui matriks A =       +39 52 x x , dan B =       x313 45 Tentukan nilai x, jika Det A = Det B 2. Tentukan nilai x nya : a. 5 13 =      −x xx b. 18 33 55 =      +xx x 3. Diketahui matriks A =       53 21 , dan B =       21 64 Tentukan : a. A -1 b. B -1 c. A.B d. B.A e. A -1 .B -1 f. B -1 .A -1 g. (AB) -1 h. (BA) -1 i. Buatlah kesimpulan dari hasil tersebut 4. Diketahui B =       24 49 , Tentukan : a. A -1 b. A -1 .A c. A.A -1 d. Buatlah kesimpulan H. PERSAMAAN MATRIKS 1. A.X = B A -1 .A.X = A -1 .B
- 19. I.X = A -1 .B X = A -1 .B Jadi jika A.X = B, maka X = A -1 .B 2. X.A = B X.A.A -1 = B.A -1 X.I = B.A -1 X = B.A -1 Jadi jika X.A = B, maka X = B.A -1 Contoh : Tentukan matriks X nya 1.       − =      100 155 . 21 13 X       −       = − 100 155 . 21 13 1 X       −       − − − = 100 155 . 31 12 16 1       − − = 455 4010 5 1       − − = 91 82 2.       − − =      42 46 41 21 .X 1 41 21 . 42 46 −             − − =X       − − −      − − = 11 24 24 1 . 42 46 X
- 20.       − −       − − = 11 24 . 42 46 . 2 1 X       − − = 812 1628 . 2 1 X       − − = 46 814 X I. PEMAKAIAN INVERS MATRIKS Invers matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Contoh : Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan matriks x + 7y = 13 2x + 5y = 8 jawab :       =            8 13 . 52 71 y x             =      − 8 13 . 52 71 1 y x             − − − =      8 13 . 12 75 145 1 y x       −− =      18 9 9 1 y x      − =      2 1 y x jadi x = -1, dan y = 2
- 21. LATIHAN 5 1. Tentukan matriks X nya : a.       =      − 31 24 . 31 21 X b.       =      − − 41 03 14 13 .X 2. Tentukan matriks B nya :       − =      − −       − 21 12 . 12 01 . 12 11 B 3. Tentukan matriks X nya :       =      −      − 10 01 01 13 .. 11 22 X 4. Tentukan nilai x + y, jika diketahui :       =            − 4 3 . 23 32 y x 5. Dengan menggunakan matriks selesaikan sistem persamaan linear berikut : a. 2x – 3y = -1 x + 2y = 11 b. 3x + y = 7 x – 3y = -1 BAB III PENUTUP
- 22. Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.
- 23. DAFTAR PUSTAKA Pemerintah Kota Semarang, 2006. Matematika Program Ilmu Pengetahuan Sosial, Semarang : H. Sunardi, Slamet Waluyo, Sutrisno, H. Subagya, 2005. Matematika IPS, Penerbit Bumi Aksara, Jakarta. Wilson Simangunsong, 2005. Matematika Dasar, Penerbit Erlangga, Jakarta.