Vlera Kufitare - Limiti

VULLNET BIBA, BURIM ELEZI & TONIT BIBA
VLERA KUFITARE (LIMITI)
FERIZAJ, MARS 2015

VLERA KUFITARE - LIMITI
1
Përmbajtja
Vlera kufitare (limiti)
1. Limitet e funksioneve racionale……………………………………………..3
2. Limitet e funksioneve iracionale…………………………………………...41
3. Limitet e funksioneve eksponenciale……………………………………129
4. Limitet e funksioneve trigonometrike…………………………………..173
5. Limitet e vargjeve………………………………………………………………..222

2
VLERA KUFITARE (LIMITI)
Përkufizim: Numri K quhet vlerë kufitare ose limit I funksionit në pikën , në qoftëse
është pike grumbulli i domenit dhe në qoftë se numrit të çfardoshëm pozitiv i përgjigjet
numri pozitiv i tillë që |
Simbolikisht shkruajmë:
lim .
Përkufizim 2.: Për funksionin themi se në pikën ka vlerën kufitare të pafundme
në qoftë se:
1. është pike grumbullimi e domenit ;
2. Për qdo numër të dhënë sado qoftë i madh, egziston rrethina e pikes e tillë
që për vlenë
Le të jenë të njohur limitet e funksioneve , dhe një konstantë, atëherë:
1. lim lim
2. lim lim lim ;
3. lim lim lim
4. lim lim

VLERA KUFITARE- LIMITI
LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
3
KAPITULLI 1
Përkufizimi 1. Shprehja
1
1 1 0( ) ... ,n n
n np x a x a x a x a
    
ku 0 1, ,..., na a a janë numra realë, x numër realë, quhet polinom (realë).
Përkufizimi 2. Nëse 0,na  numri n – quhet shkallë e polinomit ( ).p x Simbolikisht
shënohet
deg ( ) .p x n
Në këtë rast themi se polinomi p është i shkallës së n – të sipas x – it.
Përkufizimi 3. Le të jenë dhënë polinomet
1
1 1 0( ) ...n n
n np x a x a x a x a
    
1
1 1 0( ) ... .n n
n nq x b x b x b x b
    
Polinomet ( )p x dhe ( )q x janë identikisht të barabartë atëherë dhe vetëm atëherë
kur :
1 1 1 1 0 0, ,..., , .n n n na b a b a b a b    

4
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.

5
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 38.

6
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47. 48.
49. 50.
51. 52.
53. 54.
55. 56.
57. 58.

7
59. 60.
61. 62.
63. 64.
65. 66.
67. 68.
69. 70.
71. 72.
73. 74.
75. 76.

8
77. 78.
79. 80.
81. 82.
83. 84.
85. 86.
87. 88.
89. 90.
91. 92.
93. 94.
95. 96.

9
97. 98.
99.
100. 101.
102. 103.
104. 105.
106. 107.
108. 109.
110. 111.
112. 113.
114. 115.

10
116. 117.
118. 119.
120.

11
ZGJIDHJA E DETYRAVE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

12
9.
10.
11.
12.
13.

13
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.

14
21.
22.
23.
24.
25.
26.

15
27.
28.
29.

16
30.
31.
32.

17
33.
34.
35.
36.

18
37.
38.
39.
40.

19
41.
42.
43.
44.

20
45.
46.
47.

21
48.
49.
50.
51.

22
52.
53.
54.

23
55.
56.
57.
58.
59.

24
60.
61.
62.
63.
64.
65.

25
66.
67.
68.
69.

26
70.
71.
72.
73.
74.

27
75.
76.
77.
78.
;
0
0

28
79.
80.
81.
82.
83.

29
84.
85.
0
0
0
0
0
0

30
86.
87.
88.
0 0

31
89.
90.
91.

32
92.
93.
94.
+6
0
0 6
0

33
95.
96.
97.
98.
0
0
0
0

34
0
99.
0 0

35
100.
101.
102.
103.
0
0 0

36
104.
105.
106.
107.
108.

37
109.
110.
0
0 0
0 0

38
111.
112.
113.
114.

39
115.
116.
117.
118.
119.

40
120.

LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
41
KAPITULLI 2
FORMULA TË RËNDËSISHME
Le të jenë dhënë a dhe b numra real pozitiv, ndërsa n,m dhe p numra natyrorë. Atëherë,
rrënja ka këto veti:
1.
2.
3.
4.
5. .

42
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.

43
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.

44
33. 34.
35. 36.
37. 38.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47. 48.

45
49. 50.
51. 52.
53. 54.
55. 56.
57. 58.
59. 60.
61. 62.
63. 64.
65. 66.

46
67. 68.
69. 70.
71. 72.
73. 74.
75. 76.
77. 78.
79. 80.
81. 82.

47
83. 84.
85. 86.
87. 88.
89. 90.
91. 92.
93. 94.
95. 96.
97. 98.

48
99. 100.
101. 102.
103. 104.
105. 106.
107. 108.
109. 110.
111. 112.
113. 114.

49
115. 116.
117. 118.
119. 120.
121. 122.
123. 124.
125. 126.
127. 128.
129. 130.

50
131. 132.
133. 134.
135. 136.
137. 138.
139. 140.
141. 142.
143. 144.
145. 146.

51
147.
148. 149.
150. 151.
152.
153. 154.
155. 156.
157 158.
159. 160.

52
ZGJIDHJA E DETYRAVE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

53
8.
9.
10.

54
11.
12.
13.

55
14.
15.

56
16.
17.
18.

57
19.
20.
| ,

58
21.
22.
23.

59
24.
25.
26.

60
27.
28.

61
29.
30.
31.

62
32.
33.

63
34.
35.
36.

64
37.
38.
39.

65
40.
41.
42.

66
43.
44.
45.

67
46.
47.

68
48.
49.
50.

69
51.
52.
53.

70
54.
55.
56.

71
57.
58.
59.

72
60.
61.
62.

73
63.
64.
65.

74
66.
67.
68.

75
69.
70.

76
71.
72.
73.

77
74.
75.

78
76.
77.
78.

79
79.
80.

80
81.
82.

81
83.
84.
85.

82
86.
87.
88.

83
89.
90.

84
91.
92.

85
93.

86
94.
95.

87
96.
97.
98.

88
99.

89
100.
101.
102.

90
103.
104.
105.

91
106.
107.
108.

92
109.
110.

93
111.
112.

94
113.
114.

95
115.
116.
117.

96
118.
119.

97
120.
121.

98
122.
123.
124.

99
125.

100
126.
127.

101
128.
129.

102
130.

103
131.
132.

104
133.
134.

105
135.
136.

106
137.
138.
139.

107

108
140.

109
141.

110
142.
143.

111
144.

112
145.

113

114
146.

115
147.

116

117
148.

118

119
149.

120
150.

121
151.

122
152.

123
153.

124

125
154.
155.

126
156.

127
157.
158.
159.

128
160.

LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
129
KAPITULLI 3
Vetitë themelore të fuqive janë këto:
1. ;
2. ;
3.
4. ;
5. .

130
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.

131
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 38.

132
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47. 48.
49. 50.
51. 52.
53. 54.
55. 56.

133
57. 58.
59. 60.
61. 62.
63. 64.
65. 66.
67. 68.
69. 70.
71. 72.
73. 74.
75. 76.

134
77. 78.
79. 80.
81. 82.
83. 84.
85. 86.
87. 88.
89. 90.
91. 92.
93. 94.
95. 96.

135
97. 98.
99. 100.

136
ZGJIDHJA E DETYRAVE
1.
2.
3.
4.

137
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.

138
12.
13.
14.
15.
16.

139
17.
Detyra mund të zgjidhet në 2 mënyra:

140
18.
19.

141
20.
21.
22.

142
23.
24.

143
25.
26.

144
27.
28.
29.

145
30.
31.
32.

146
33.
34.
35.

147
36.
37.
38.

148
39.
40.
41.

149
42.
43.

150
44.
45.

151
46.
47.

152
48.
49.
50.

153
51.
52.
53.

154
54.
55.
56.
57.
58.
59.

155
60.
61.
62.

156
63.
64.
65.

157
66.
67.
68.

158
69.
70.

159
71.
72.

160
73.
74.

161
75.
76.

162
77.
78.
79.

163
80.
81.

164
82.
83.
84.

165
85.
86.

166
87.

167
88.
89.

168
90.
91.
92.

169
93.
94.

170
95.
Pra:
96.

171
97.
98.
99.

172
100.

VLERA KUFITARE-LIMITI
LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
173
KAPITULLI 4
Transformimi i funksioneve trigonometrike
Funksionet trigonometrike të këndeve komplementare:
1.
2.
3.
4.
Identitetet themelore trigonometrike:
3. 4.

174
5.
Funksionet trigonometrike të shumës dhe ndryshimit të 2 këndeve:
1.
2.
3.
4.
Funksionet trigonometrike të këndit të dyfishtë:
3. 4.
Funksionet trigonometrike të gjysmëkëndit:
2.
3. 4.
Transforimimi I prodhimit të funksioneve trigonometrike në shumë dhe
ndryshim:
1.
2.

175
3.
Transformimi shumës dhe ndryshimit të funksioneve trigonometrike në prodhim:
1.
2.
3.
4.

176
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.

177
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.

178
37. 38.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47. 48.
49. 50.
51. 52.
53. 54.

179
55. 56.
57. 58.
59. 60.
61. 62.
63. 64.
65. 66.
67. 68.
69. 70.
71. 72.

180
73. 74.
75. 76.
77. 78.
79. 80.

181
ZGJIDHJA E DETYRAVE
1.
2.
3.
4.
5.
6.

182
7.
8.
9.

183
10.
11.
12.
13.

184
14.
15.
16.

185
17.
18.
19.
20.

186
21.
22.
23.

187
24.
25.
26.

188
27.

189
28.
29.
30.

190
31.
32.

191
33.
34.

192
35.
36.

193
37.
38.
Meqenëse,
Duke u bazuar në këtë do të marrim:
39.

194
40.
41.

195
42.

196
43.

197
44.

198
45.
46.

199
47.
48.

200
49.
50.

201
51.

202
52.
53.

203
54.

204

205
55.

206
56.

207
57.

208
58.

209
59.
60.

210
61.

211
62.

212

213
63.

214
64.
65.

215
66.

216
67.
68.
69.
70.

217
71.
72.

218
73.
74.
75.

219
76.
77.

220
78.
79.
80.

221

LIMITET E VARGJEVE
222
KAPITULLI 5
LIMITET E VARGJEVE
Progresioni (vargu) aritmetik
Varg aritmetik quhet vargu tek i cili diferenca e çdo dy kufizave të njëpasnjëshme është konstante.
Term i përgjitshëm i vargut aritmetik është:
Shuma e n-termave të para të vargut aritmetik është:
Progresioni (vargu) gjeometrik
Vargu i numrave në të cilin heresi i çdo dy kufizave të njëpasnjëshme është konstant quhet
progresion gjeometrik:
Termi i përgjithshëm është:
Shuma e n- termave të para të vargut gjeometrik është:

LIMITET E VARGJEVE
223
LIMITET E VARGJEVE
1. Të gjendet vlera kufitare e vargut nëse
është dhënë anëtari i përgjithshëm:
2. Të gjendet vlera kufitare vargut nëse
3. Të gjendet vlera kufitare e vargut nëse
4. Të gjendet vlera kufitare nëse është
dhënë anëtari i përgjithshëm:
5. Të gjendet vlera kufitare(limiti) nëse
është dhënë anëtari i përgjithshëm:࡙
6.
7. 8.

LIMITET E VARGJEVE
224
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.

LIMITET E VARGJEVE
225
21. 22.
(2n rrënjë)
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31.

LIMITET E VARGJEVE
226
32. 33.
34.
35.
36. 37.

LIMITET E VARGJEVE
227
38.
39.
40.

LIMITET E VARGJEVE
228
41.

LIMITET E VARGJEVE
229
ZGJIDHJA E DETYRAVE
1. Të gjendet vlera kufitare e vargut nëse është dhënë anëtari i përgjithshëm:
2 Të gjendet vlera kufitare vargut nëse është dhënë anëtari i përgjithshëm:
3 Të gjendet vlera kufitare e vargut nëse është dhënë anëtari i përgjithshëm:
4 Të gjendet vlera kufitare nëse është dhënë anëtari i përgjithshëm:

LIMITET E VARGJEVE
230
5 Të gjendet vlera kufitare(limiti) nëse është dhënë anëtari i përgjithshëm:࡙
6

LIMITET E VARGJEVE
231
7
8
9

LIMITET E VARGJEVE
232
10
11
;
12

LIMITET E VARGJEVE
233
13
14

LIMITET E VARGJEVE
234
15
16
17

LIMITET E VARGJEVE
235
18
19

LIMITET E VARGJEVE
236
20
21

LIMITET E VARGJEVE
237
22
23

LIMITET E VARGJEVE
238
24

LIMITET E VARGJEVE
239
25
;

LIMITET E VARGJEVE
240
26
27

LIMITET E VARGJEVE
241
28.
29

LIMITET E VARGJEVE
242
30
31.

LIMITET E VARGJEVE
243

LIMITET E VARGJEVE
244
32

LIMITET E VARGJEVE
245
33

LIMITET E VARGJEVE
246
34

LIMITET E VARGJEVE
247

LIMITET E VARGJEVE
248
35.

LIMITET E VARGJEVE
249
36.

LIMITET E VARGJEVE
250
37.
38.

LIMITET E VARGJEVE
251

LIMITET E VARGJEVE
252

LIMITET E VARGJEVE
253
39.

LIMITET E VARGJEVE
254

LIMITET E VARGJEVE
255
40.

LIMITET E VARGJEVE
256

LIMITET E VARGJEVE
257

LIMITET E VARGJEVE
258
41.

LIMITET E VARGJEVE
259

260
LITERATURA
1. Përmbledhje detyrash të zgjidhura nga matematika II, Zenun Loshaj, Prishtinë 1996;
2. Matematika për test të matures, Naim Braha dhe Armend Shabani, botimi i tretë,
Prishtinë 2012;
3. Përmbledhje detyrash nga matematika, Faton Berisha dhe Mustafë Kadriu, Prishtinë
1999;
4. Zbirka Resenih Radataka iz Matematike 4, Vene Bogoslavov, Beograd 2000;
5. Zbirka zadataka iz više matematike I , Momčilo P. Ušćumlić, Pavle M. Miličić;
6. Teste Matematike, Naser Tahiri 2005.

Vlera Kufitare - Limiti

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (18)

Vlera Kufitare - Limiti