Materi Relasi dan Fungsi Kelas 8

1. Media Pembelajaran
MATEMATIKA
Untuk SMP/MTs Kelas VIII

2. RELASI DAN FUNGSI
Sumber: www.shutterstock.com

3. Relasi
dan
Fungsi Relasi
Kegiatan sehari-hari yang menunjukkan relasi
Relasi yang terjadi di antara dua himpunan
Fungsi
Macam-macam fungsi
Banyak fungsi dari dua himpunan
Nilai fungsi
Menyelesaikan masalah tentang fungsi
PETA KONSEP

4. Observasi
Jarak rumah Rudi dan Rani ke
sekolah sama, yaitu 15 km dengan
arah yang berbeda. Rumah Rani
berada di sebelah utara sekolah,
sedangkan Rudi berada di sebelah
timur sekolah. Biasanya, Rani dan Rudi
naik angkutan umum (angkot) ke
sekolah. Akan tetapi, karena sedang
ada aksi mogok angkot, mereka
terpaksa naik taksi. Ada hal yang
menjadi pertimbangan Rudi dan Rani
tentang tarif taksi yang harus mereka
bayarkan.

5. 3.1 RELASI, FUNGSI, DAN REPRESENTASINYA
A. Peristilahan
Jika dugaanmu seperti itu,
ternyata tidak semuanya benar dan
tidak semuanya salah. Dugaan yang
salah terletak pada istilah ”fungsi”.
Makna fungsi dalam matematika
bukanlah manfaat atau kegunaan
seperti dalam kehidupan sehari-
hari. Apa arti ”fungsi” sesungguhnya
dalam matematika?
Pelajari Relasi
dan Fungsi
Relasi = hubungan?
Fungsi = manfaat?
Sumber: www.freepik.com

6. B. Masalah Berkenaan dengan Relasi dan Fungsi
Ciri-ciri Fungsi
Dalam bentuk diagram panah, relasi dari himpunan A
ke himpunan B yang dilambangkan dengan ”R: A → B”
merupakan fungsi jika memiliki ciri-ciri:
(1) Semua anggota A memiliki kawan di B
(2) Kurva pemasangan dari A ke B tidak ada yang
bercabang.
Berdasarkan ciri-ciri fungsi tersebut, cermati
bahwa dari keempat contoh relasi yang digambarkan
pada Gambar 3.1 dan Gambar 3.2, relasi R yang
memenuhi syarat sebagai fungsi (dari himpunan A ke
himpunan B) adalah relasi yang ditunjukkan pada
Gambar 3.2(a) atau R3.

7. ContohSoal
Manakah di antara relasi-relasi R berikut yang merupakan fungsi?
a. R1 = {(–1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}.
b. R2 = {(1, 4), (1, 9), (1, 10), (2, 4), (2, 10), (3, 9), (3, 10)}.
Jawab:
Kita gambar diagram pemasangannya.
Berdasarkan ciri-ciri fungsi, maka:
a. R1 merupakan fungsi dari A ke B.
Ditulis R1 = f: A → B.
a. R2 bukan merupakan fungsi dari A ke B.
Ditulis R1 ≠ f: A → B.

8. C. Daerah Asal, Daerah Kawan, dan Daerah Hasil Suatu Fungsi
Jika suatu relasi dari himpunan A ke B merupakan fungsi, maka gambaran
berkenaan dengan domain (daerah asal), kodomain (daerah kawan), dan range
(daerah hasil) dapat dipahami selengkapnya melalui contoh berikut.
ContohSoal
Misalkan A = {–1 , 0, 1, 2, 3} dan B = {0, 1, 4, 6, 9}. Relasi R yang memasangkan
elemen-elemen x∈A dan y∈B adalah “dikuadratkan menjadi”. Gambarkan dalam
bentuk diagram panah (diagram pemasangan) relasi R tersebut. Apakah relasi R
merupakan fungsi? Jika ya, tentukan domain, kodomain, dan range dari fungsi yang
dimaksud.

9. ContohSoal
Jawab:
a. Dalam bentuk diagram panah, relasi ”R: dikuadratkan menjadi” digambarkan
seperti gambar berikut.
Karena R memenuhi ciri-ciri fungsi, maka R merupakan fungsi dari A ke B, ditulis
R = f: A→B. Relasi R = f: A→B yang dimaksud dalam bentuk himpunan pasangan
berurutan adalah R = f = {(–1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}.

10. ContohSoal
b. Bayangan (peta) fungsi f dari x∈A adalah y∈B dilambangkan dengan y = f(x).
Dengan kata lain, himpunan bayangan dari x ∈ A adalah f(x) ∈ B. Himpunan
bayangan fungsi f selengkapnya adalah himpunan daerah hasil H seperti yang
digambarkan berikut. Himpunan daerah hasil H selanjutnya disebut range fungsi
f: A → B.
- Daerah asal (domain) dari fungsi f adalah A = {–1 , 0, 1, 2, 3}.
- Daerah kawan (kodomain) fungsi f adalah B = {0, 1, 4, 6, 9}.
- Daerah hasil (range) fungsi f adalah H = {0, 1, 4, 9}.

11. D. Banyak Fungsi dari Dua Himpunan
Misalkan diketahui himpunan A = {a, b, c} dan B = {1, 2}.
Diagram panah semua fungsi yang mungkin dari himpunan A
ke himpunan B dapat digambarkan sebagai berikut.
Berdasarkan gambar diagram panah tersebut, tampak
bahwa himpunan A memiliki 3 anggota atau n(A) = 3 dan
himpunan B dengan 2 anggota atau n(B) = 2. Jadi, banyaknya
fungsi dari himpunan A ke himpunan B sebanyak 23 = 8.

12. ContohSoal
Diketahui A = {a, b, c} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}. Tentukan banyak pemetaan yang
mungkin dari A ke B.
Jawab:
A = {a, b, c} ⇒ n(A) = 3 dan
B = {1, 2, 3, 4, 5} ⇒ n(B) = 5
Jadi, banyaknya fungsi dari himpunan A ke himpunan B = n(B)n(A) = 53 = 125.
Kerjakan Latihan 1 halaman 66 – 68

13. 3.2 TINJAUAN FORMAL (MATEMATIS) RELASI DAN FUNGSI
Relasi R dari himpunan A ke himpunan B adalah korespondensi (perkawanan)
antara elemen-elemen x ∈ A dengan elemen-elemen y ∈ B, ditulis dengan
lambang “xRy” dengan syarat x ∈ A dan y ∈ B. Dalam bentuk himpunan pasangan
berurutan, relasi R yang dimaksud adalah
R = {(x, y) | x ∈ A dan y ∈ B}
Definisi Relasi

14. 1. Relasi R dari himpunan A ke himpunan B (ditulis dengan lambang R: A → B) disebut
fungsi dari himpunan A ke himpunan B (ditulis dengan lambang f: A → B) jika:
2. Pada bidang koordinat Cartesius, himpunan semua pasangan berurutan (x, y) atau (x,
f(x)) akan berupa kumpulan titik-titik yang disebut grafik fungsi y = f(x).
3. Himpunan H yang merupakan himpunan semua nilai y = f(x) pada grafik itu disebut
daerah hasil fungsi f ditulis dengan lambang
H = {y ∈ B | y = f(x)}
Definisi Fungsi

15. ContohSoal
Misalkan himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {1, 3, 5, 6, 7}. Misalkan R adalah relasi
yang memasangkan elemen-elemen x ∈ A dengan y ∈ B adalah ”membagi habis”.
Gambarkan diagram panah relasi R dan nyatakan himpunan semua relasi R tersebut
dalam bentuk pasangan berurutan. Selidiki apakah relasi R itu merupakan fungsi atau
bukan.
Jawab:
a.
b. R = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 6), (3, 3), (3, 6)}.
c. Relasi R: A → B bukan fungsi, karena x ∈ A yang muncul lebih dari 1 kali.

16. 3.3 IDENTIFIKASI SEBUAH KURVA MERUPAKAN GRAFIK FUNGSI
ATAU BUKAN
Masalah
Diketahui gambar suatu kurva pada bidang
koordinat Cartesius adalah seperti berikut.
(a) Manakah di antara kedua kurva
tersebut yang merupakan fungsi dari X
ke Y?
(b) Jika kurva itu merupakan grafik fungsi
(x), yakni f: X → Y dengan x, y ∈
himpunan bilangan real R, tentukan
domain (daerah asal), kodomain
(daerah kawan), dan tentang (daerah
hasil) atau “range“ fungsi f tersebut.

17. Pemecahan Masalah
a. Gambaran tentang posisi relatif titik-titik D sendiri dan titik-titik lainnya terhadap titik D dapat
dilihat pada gambar di samping.
Cermati bahwa garis-garis yang sejajar sumbu-Y maksimal memotong grafik di satu titik dipenuhi
oleh kurva pada Gambar 3.4(a). Sementara itu, untuk kurva pada Gambar 3.4(b) tidak memenuhi
syarat sebab ada garis yang sejajar sumbu-Y yang memotong kurva di lebih dari satu titik. Oleh
karena itu, kurva yang merupakan grafik fungsi dalam variabel x adalah kurva 3.4(a).

18. b. Secara teknis, untuk menentukan daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil dari sebuah fungsi
yang kurva grafiknya diketahui, cukup dengan menunjukkan adanya daerah persegi panjang yang
tepat melingkupi kurva yang dimaksud. Perhatikan Gambar 3.5 berikut.
Kurva (a):
- Daerah asal fungsi f → {x | –1 ≤ x ≤ 6, x ∈ R}
- Daerah hasil fungsi f → {y | –1 ≤ y ≤ 5, y ∈ R} dengan R = himpunan bilangan real.
Kurva (b) tidak perlu disebutkan mana daerah asal dan mana daerah hasil, karena kurva (b) bukan
merupakan fungsi.

19. Secara singkat, kita dapat memilih titik-titik yang berkoordinat nilai bulat yang mewakili kurva
tersebut. Titik-titik yang dimaksud adalah titik A, B, C, D, dan E pada Gambar 3.5(a) dan P, Q, R, S, T,
dan U yang mewakili kurva pada gambar 3.5(b). Setiap kumpulan titik mewakili relasi R1 dan R2
dengan R1 dan R2 berupa himpunan titik-titik pada bidang koordinat, yakni R1 = {A, B, C, D, E} dan R2 =
{P, Q, R, S, T, U}. Bentuk himpunan pasangan berurutan relasi R1 dan R2 selengkapnya sebagai berikut.
R1 = {A, B, C, D, E} = {(–1, 2), (1, 1), (3, 2), (5, 4), (6, 5)}
R2 = {P, Q, R, S, T, U} = {(0, 6), (–1, 4), (0, 2), (1, 1), (2, 0), (3, –1)}

20. Bentuk diagram panah untuk masing-masing kurva pada diagram Cartesius adalah sebagai
berikut.
Berdasarkan ciri-ciri fungsi, maka R1 pada Gambar 3.7(a) merupakan fungsi dari himpunan A ke
himpunan B, atau R1 = f: A → B. Relasi R2 pada Gambar 3.7(b) terdapat anggota himpunan A yang
memiliki cabang, yakni 0 ∈ A dengan bentuk pengawanan 0 → 2 dan 0 → 6 yang berarti relasi R2
bukan fungsi dari A ke B, atau R2 ≠ f: A → B.

21. 3.4 FUNGSI LINEAR DAN GRAFIKNYA
Fungsi linear dalam x adalah fungsi dengan variabel (peubah) x yang
berderajat satu, yakni fungsi yang memiliki bentuk umum f(x) = mx + c dengan m
dan c ∈ R, R himpunan bilangan real.
Definisi Fungsi Linear

22. ContohSoal
Diketahui sebuah fungsi dalam x berbentuk f(x) = x + 1. Gambarkan grafik fungsi
tersebut.
2
3
Jawab:
a. Cara 1: Dengan penalaran lengkap.
Pertama, buat tabel nilai-nilai fungsi.
Kemudian, gambarkan di kertas berpetak
nilai-nilai fungsi yang terdapat pada tabel,
lalu hubungkan titik-titik anggotanya
dengan sebuah kurva mulus. Hasilnya
seperti gambar di samping.
Secara Umum

23. ContohSoal
b. Cara 2: Dengan cara singkat
Oleh karena bentuk fungsinya f(x) =
23x + 1 memenuhi bentuk umum fungsi
linear f(x) = mx + c dengan m = 23 dan c
= 1, maka grafiknya akan berupa garis
lurus. Grafiknya, dipastikan berupa garis
lurus sehingga untuk menggambarkan
grafiknya kita cukup menentukan 2 titik
anggotanya (khususnya 2 titik yang
berkoordinat bulat) dengan sebuah
kurva mulus. Misalkan yang kita pilih
adalah x = 0 dan x = 6, maka dihasilkan
grafik f(x) berupa garis lurus yang melalui
titik (0, 1) dan (6, 5).

24. Kerjakan Latihan 2 halaman 78

25. 3.5 PERHITUNGAN NILAI FUNGSI DENGAN PEMBULATAN /
PENAKSIRAN (PENGAYAAN)
Jika selisih antara jumlah sesungguhnya dengan
jumlah perkiraan (taksiran) secara ekonomis dianggap
tidak signifikan terhadap produk/hasil kerja
sebenarnya yang akan dicapai.
Bagaimana jika antara hasil
perhitungan sesungguhnya dengan
hasil perhitungan secara pembulatan
ternyata memiliki selisih yang
signifikan?
Sejauh mana tingkat pembulatan
dapat diterima dalam kehidupan
sehari-hari?
Satuan utuhnya harus diperkecil sehingga secara
ekonomi selisih perhitungannya dianggap menjadi
tidak signifikan..

26. Besaran yang lebih dari 12 atau 0,5 dibulatkan ke 1,
sementara besaran yang kurang dari 12 ditiadakan
(dianggap kosong/tak ada isinya), yakni 0 (nol). Aturan
ini berlaku umum sehingga dalam bentuk desimal
pecahan yang lebih dari 0,5 dibulatkan ke atas menjadi 1
satuan (utuh), dan pecahan yang kurang dari 0,5
ditiadakan/dianggap sama dengan 0 (nol).
Aturan Pembulatan

27. 3.6 MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI DAN MEMBUAT NILAI
TAKSIRAN
Perhatikan Gambar 3.9. Jika y = f(x), maka
y adalah fungsi dari x. Artinya, besar nilai y
Tergantung pada nilai x yang diberikan. Batas
nilai x yang diberikan selanjutnya disebut
sebagai rentang (interval) daerah asal yang
diketahui. Gambar 3.9 disebut grafik dari fungsi
f: A → B. Dalam hal ini adalah grafik fungsi f
dalam x dengan f(x) = x, untuk 0 ≤ x ≤ 6,3.
Cermati bahwa berdasarkan grafik f(x) = x, nilai-nilai fungsi f untuk x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5,
dan, x = 6 berturut-turut adalah f(1) = 1 = 1; f(2) = 2 = 1,4; f(3) = 3 = 1,7; f(5) = 5 = 2,2; f(6) = 6 = 2,4;
dan seterusnya.
Kerjakan Latihan 3 halaman 81-82

28. 3.7 FUNGSI TAK SEDERHANA
Fungsi dalam variabel x dapat ditulis dengan lambang f(x). Fungsi f(x) dikenal sebagai fungsi
dalam x yang bersifat sederhana. Fungsi dalam x yang variabelnya diganti menjadi x + 2, x – 3, 2x + 5,
x2, xy2, xy , dan sebagainya sehingga fungsi yang dimaksud bentuknya menjadi f(x + 2), f(2x – 3), f(x2),
f(xy2), f( ), dan sebagainya. Fungsi-fungsi seperti itulah selanjutnya dikenal sebagai fungsi-fungsi f
yang tidak sederhana.
x
y
Y
ContohSoal
Diketahui: f(x) = 2x + 5. Tentukan:
a. f (3) b. f(2x – 3)
Jawab:
a. f(3) = 2(3) + 5 = 11
b. f(2x – 3) = 2(2x – 3) +5 = 4x – 1

29. Y
ContohSoal
Diketahui fungsi f(x) = 2x + 3. Jika f(k) = 9, tentukan nilai k.
Jawab:
f(x) = 2x + 3
f(k) = 2(k) + 3 = 9
2k = 9 – 3  2k = 6  k = 3
Kerjakan Latihan Ulangan Bab 3
halaman 86–88
Kerjakan Latihan 4 halaman 84