makalah

1. 1
Elektrostatis
2.1 Medan Listrik
2.1.1 Pendahuluan
Masalah mendasar dari teori elektromagnetik berharap dapat dipecahkan
pada (Gambar 2.1.) ini. Kami memiliki beberapa muatan listrik, ql, q2, q3,.... (yang
disebut muatan sumber); Gaya apa yang mereka berikan pada muatan lain,
dimana Q (disebut muatan uji)? Posisi dari muatan sumber diberikan (sebagai
fungsi dari waktu); lintasan partikel uji harus dihitung. Secara umum, baik muatan
sumber dan muatan uji berada dalam gerakan.
Solusi untuk masalah ini difasilitasi oleh prinsip superposisi, yang
menyatakan bahwa interaksi antara dua muatan sama sekali tidak terpengaruh
oleh kehadiran lain. Ini berarti bahwa untuk menentukan gaya pada Q, pertama-
tama kita dapat menghitung gaya F1, karena untuk q1 saja (mengabaikan semua
yang lain); maka kita menghitung gaya F2, karena q2 saja; dan sebagainya.
Akhirnya, kita mengambil jumlah vektor dari semua gaya : F = F1 + F2 +
F3+……. . Dengan demikian, jika kita dapat menemukan gaya pada Q karena
muatan sumber q tunggal, pada prinsipnya dilakukan (sisanya hanya masalah
mengulangi operasi yang sama berulang-ulang, dan menambahkan semuanya). "
Nah, pada pandangan pertama ini terdengar sangat mudah: Mengapa saya
tidak hanya menuliskan rumus untuk gaya pada Q karena q, dan dilakukan dengan
hal itu? dalam Bab 10 Anda akan terkejut melihat itu pada tahap ini, karena tidak
hanya gaya pada Q tergantung pada pemisahan jarak antara muatan (Gambar.
2.2), hal ini juga tergantung pada kedua kecepatan dan percepatan q. Selain itu,
itu bukan hanya pada posisi, kecepatan, dan percepatan q sekarang bahwa materi:
elektromagnetik bergerak pada kecepatan cahaya, jadi Q adalah posisi, kecepatan,
dan percepatan q sebelumnya memiliki beberapa waktu.

2. 2
Gambar 2.1 Gambar 2.2
Oleh karena itu, terlepas dari fakta bahwa pertanyaan dasar ("Apakah gaya
pada Q karena pengaruh q'?. Sementara itu, teori yang kita kembangkan akan
memungkinkan solusi lebih pada masalah elektromagnetik yang tidak
menampilkan diri dalam format yang cukup sederhana ini. Untuk memulainya,
kita akan mempertimbangkan kasus khusus dari elektrostatika di mana semua
muatan sumber stasioner (meskipun muatan uji dapat bergerak).
2.1.2 Hukum Coulomb
Apakah gaya pada muatan uji Q karena satu titik muatan q yang sedang
berada pada jarak ? Jawaban (berdasarkan percobaan) diberikan oleh hukum
Coulomb:
Konstanta ∈0 disebut permitivitas ruang hampa. Dalam unit S1, di mana
gaya dalam Newton (N), jarak dalam meter (m), dan muatan dalam coulomb (C)
,
Gaya adalah sebanding dengan produk dari muatan dan berbanding
terbalikdengan kuadrat jarak pemisah. adalah vektor pemisahan dari r' (lokasi
q) untuk r (lokasi Q):
Muatan sumber
Muatan uji
(2.1)

3. 3
adalah besaran, dan adalah arahnya. Titik gaya sepanjang garis dari q ke
Q. jika q dan Q memiliki tanda yang sama maka tolak menolak , dan tarik menarik
jika tanda-tanda mereka berlawanan.
Hukum Coulomb dan prinsip superposisi merupakan masukan fisik
elektrostatika, kecuali untuk beberapa properti khusus dari materi, adalah
elaborasi matematika dari aturan-aturan dasar.
2.1.3 Medan Listrik
Jika kita memiliki beberapa muatan titik q1,q2,.......qn, pada jarak r1, r2, r3,
dari Q, gaya total pada Q adalah
atau 𝑭 = 𝑄𝑬 (2.3)
dimana
E disebut medan listrik dari muatan sumber. Perhatikan bahwa itu adalah
fungsi posisi (r), karena pemisahan vektor ri , tergantung pada lokasi titik medan P
(Gbr. 2.3). tapi itu tidak membuat referensi ke muatan uji Q. Medan listrik adalah
besaran vektor yang bervariasi dari titik ke titik dan ditentukan oleh konfigurasi
muatan sumber; secara fisik, E (r) adalah gaya per satuan muatan yang akan
diberikan pada muatan uji, jika Anda menempatkan satu di P.
Gambar 2.3
(2.2)
(2.4)

4. 4
2.1.4 Distribusi Muatan Kontinu
Definisi kita tentang medan listrik pada (Persamaan. 2.4), mengasumsikan
bahwa sumber medan adalah kumpulan diskrit titik muatan qi. Jika, sebaliknya,
muatan didistribusikan terus-menerus pada beberapa wilayah, penjumlahan
menjadi bentuk integral (Gambar 2.5a.):
Gambar 2.4
Gambar 2.5
Jika muatan itu tersebar di sepanjang garis (Gambar. 2.5b), dengan
muatan-per-unit-panjang 𝜆, maka 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑 𝑙′
(dimana 𝑑𝑙;
merupakan elemen
panjang sepanjang garis); jika muatan itu diolesi keluar melalui permukaan
(Gambar. 2.5c), dengan muatan -per-unit-daerah 𝜎, maka 𝑑𝑞 = 𝜎𝑑𝑎′
(di mana
𝑑𝑎′
adalah elemen daerah di permukaan); dan jika muatan itu mengisi volume
(Gambar. 2.5d), dengan muatan -per-unit volume 𝜌, maka d𝜌 = 𝜌d𝜏' (di mana 𝑑𝜏′
merupakan elemen volume):
𝑑𝑞 ⟶ 𝜆𝑑𝑙′
∼ 𝜎𝑑𝑎′
∼ 𝜌𝑑𝜏′
Dengan demikian medan listrik dari muatan garis adalah
(2.5)
(2.6)

5. 5
Untuk muatan permukaan
Dan untuk muatan volum,
Persamaan 2.8 sendiri sering disebut sebagai "hukum Coulomb," karena
itu adalah langkah yang singkat dari aslinya (2.1), dan karena muatan volume
dalam arti yang paling umum dan kasus realistis. Harap dicatat dengan seksama
makna dari rdi formula ini. Awalnya, di Persamaan. 2.4, ri berdiri untuk vektor
dari muatan sumber qi ke titik medan r. dengan demikian, di pers. 2.5-2.8, r
adalah vektor dari dq (oleh karena itu dari d𝑙', d𝑎′
, atau 𝑑𝜏;
) ke titik medan 𝒓2
.
2.2 Divergence dan Curl Medan elektrostatik
2.2.1 Garis Medan, Flux, dan Gauss Hukum
Pada prinsipnya, kita sudah selesai dengan subjek elektrostatik. Persamaan
2.8 memberitahu kita bagaimana menghitung medan distribusi muatan, dan
persamaan. 2.3 memberitahu kita apa yang berlaku pada muatan Q
ditempatkan di bidang. Sebagian besar sisa elektrostatika dikhususkan untuk alat
dan trik untuk menghindari integral tersebut. Semuanya dimulai dengan
divergensi dan curl dari E.
Saya akan menghitung divergensi E langsung dari Persamaan. 2.8, di Sect.
2.2.2, tapi pertama-tama saya ingin menunjukkan Anda pendekatan yang lebih
kualitatif, dan mungkin lebih mencerahkan, dan intuitif. Mari kita mulai dengan
kasus yang sederhana: muatan titik q, terletak di daerah asal :
(2.7)
(2.8)
(2.10)

6. 6
Untuk mendapatkan medan ini, saya mungkin membuat sketsa beberapa
vektor, seperti pada Gambar. 2.12a. Karena medan jatuh seperti l/r2, vektor
mendapatkan lebih pendek saat Anda pergi lebih jauh dari
asal ; mereka selalu menunjuk ke luar secara radial. Tapi ada cara yang lebih baik
untuk mewakili medan ini, dan itu dihubungkan oleh panah, untuk membentuk
garis-garis medan (Gambar. 2.12b). Anda mungkin berpikir bahwa saya telah
membuang informasi tentang kekuatan medan, yang terkandung dalam panah
yang panjang.
Besarnya medan ditunjukkan dengan kerapatan garis-garis medan:
kekuatannya dekat pada pusat di mana garis-garis medan dekat
bersama-sama, dan lemah jika jauh, di mana mereka relatif berjauhan.
Sebenarnya, diagram garis medan adalah khayalan , ketika saya menggambar
pada permukaan dua dimensi, untuk kerapatan garis melewati lingkaran dengan
jari-jari r adalah jumlah dibagi dengan (𝑛/2𝜋𝑟), seperti (l / r), tidak (l /r2). Tapi
jika Anda membayangkan model tiga dimensi (dengan jarum mencuat ke segala
arah), maka kerapatan garis adalah jumlah total dibagi dengan luas lingkup
(𝑛/4𝜋𝑟2
), yang seperti (l/r2).
Gambar.2.12

7. 7
Gambar 2.13
Diagram tersebut mewakili medan yang lebih rumit. Jika muatan q
mendapat 8 garis, maka 2q mendapat 16. Garis-garis medan mulai
pada muatan positif dan berakhir pada yang negatif; Garis-garis medan tidak bisa
begitu saja dihentikan, meskipun Garis-garis medan dapat memperpanjang ke tak
terbatas. Selain itu, garis-garis medan tidak bisa memotong di persimpangan,
Medan akan memiliki dua arah yang berbeda sekaligus. Mulailah dengan
menggambar garis di lingkungan muatan masing-masing, dan kemudian
menghubungkan mereka atau memperpanjang mereka hingga tak terbatas
(Gambar. 2.13 dan 2.14).
Gambar.2.14

8. 8
Gambar 2.15
Model ini fluks E melewati permukaan S.
Φ 𝐸 = ∫ 𝑬. 𝑑𝒂𝑆
(2.11)
adalah ukuran dari "jumlah garis medan" melewati S. Saya menempatkan ini
dalam tanda kutip karena Tentu saja kita hanya bisa menggambar sampel yang
representatif dari jumlah garis medan akan tak terbatas.
Tapi untuk tingkat sampling yang diberikan fluks sebanding dengan
jumlah baris yang ditarik, karena kekuatan medan, sebanding dengan kepadatan
garis medan (jumlah per satuan luas), dan karenanya E.da sebanding dengan
jumlah garis lewat melalui daerah da sangat kecil. (Dot product memilih
komponen da bersama arah E, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 2.15.
Hanya daerahdalam bidang tegak lurus E yang kita miliki dalam pikiran ketika
kita mengatakan bahwa kepadatan garis medan adalah jumlah per unit luas area.)
Hal ini menunjukkan bahwa fluks melalui permukaan tertutup adalah
ukuran dari total muatan sebelah dalam. Untuk garis-garis medan yang berasal
dari muatan positif harus melalui permukaan atau berakhir di dalam muatan
negatif pada (Gambar. 2.16a). Di sisi lain, muatan keluar permukaan akan
memberikan kontribusi untuk total fluks, karena garis-garis medan melalui satu
sisi dan keluar dari sisi yang lain (Gambar. 2.1 6b). Ini adalah esensi dari hukum
Gauss. Sekarang mari kita membuatnya kuantitatif.

9. 9
Gambar 2.16
Dalam kasus muatan titik q pada titik asal, fluks E melalui bola dengan jari-jari r
adalah.
∮ 𝑬 . 𝑑𝒂 = ∫
1
4𝜋𝜖0
(
𝑞
𝑟2
𝒓̂). ( 𝒓 𝟐
sin 𝜃𝑑𝜃𝑑𝜙𝒓̂) =
1
𝜖0
𝑞
Perhatikan bahwa jari-jari bola dibatalkan, untuk sementara luas
permukaan naik sebagai r2, medan turun sebagai 1/ r2, sehingga produk konstan.
Dalam hal gambar garis medan , ini masuk akal, karena jumlah garis-garis medan
yang sama melewati bidang apapun berpusat pada titik asal, terlepas dari
ukurannya. Bahkan, hal itu tidak harus menjadi bola-permukaan tertutup, apapun
bentuknya, akan terperangkap dalam jumlah yang sama pada garis-garis medan.
Terbukti tbahwa flux melalui setiap permukaan melampirkan muatan adalah 𝑞/𝜖0
Sekarang anggaplah bahwa muatan –muatan tunggal di titik asal, banyak
muatan berserakan. Menurut prinsip superposisi, total medan adalah (vektor)
jumlah semua medan masing-masing:
𝑬 = ∑ 𝐸𝑖
𝑛
𝑖=1
Fluks melalui permukaan yang melingkungi mereka semua adalah
∮ 𝑬. 𝑑𝒂 = ∑ (∮ 𝑬 𝑖. 𝑑𝒂)
𝑛
𝑖=1
= ∑(
1
𝜖0
𝑞𝑖)
𝒏
𝒊=𝟏
Untuk permukaan tertutup maka
∮ 𝑬. 𝑑𝒂 =
1
𝜖0
𝑄𝑒𝑛𝑐
𝑆
di mana Qenc adalah total muatan tertutup dalam permukaan. Ini adalah
pernyataan kuantitatif hukum Gauss. Meskipun tidak mengandung informasi yang
belum hadir di Hukum Coulomb dan prinsip superposisi.

10. 10
Perhatikan bahwa semua itu bergantung pada l/ r2 karakter hukum Coulomb;
tanpa pembatalan penting dari 𝑟′
dalam Pers. 2.12 tidak akan terjadi, dan total
fluks E akan tergantung pada permukaan yang dipilih, bukan hanya pada total
muatan tertutup. Yang Lainnya gaya l/ r2 (Saya berpikir khususnya hukum
gravitasi Newton universal) akan mematuhi "Hukum Gauss" dari mereka sendiri,
dan aplikasi yang kami keembangkan di sini terbawa langsung.
Seperti berdiri, hukum Gauss pada persamaan integral, tapi kita bisa
dengan mudah mengubahnya menjadi differensial satu, dengan menerapkan
teorema divergensi:
∮ 𝑬. 𝑑𝒂 = ∫( 𝛁. 𝑬) 𝑑𝜏
𝑣𝑆
Menulis ulang Q enc, pada kerapatan muatan 𝜌, kita memiliki
𝑄𝑒𝑛𝑐 = ∫ 𝜌𝑑𝜏
𝑣
Jadi hukum Gauss menjadi
∫( 𝛁. 𝑬) 𝑑𝜏 = ∫ (
𝜌
𝜖0
) 𝑑𝜏
𝑣𝑣
Dan karena ini berlaku untuk setiap volume, integran harus sama
𝛁. 𝑬 =
1
𝜖0
𝜌 (2.14)
Persamaan 2.14 membawa pesan yang sama seperti Persamaan. 2.13; itu
adalah diferensial dari hukum Gauss. Perbedaan Versi adalah lebih rapi, tapi
bentuk integral memiliki keuntungan di dalamnya yang mengakomodasi titik,
garis, dan muatan permukaan yang lebih alami.
2.2.2 Divergence E
Mari kita kembali, sekarang, dan menghitung divergensi E langsung dari
Persamaan. 2.8:
(2.15)

11. 11
(secara original integrasi lebih dari volume yang ditempati oleh muatan, tapi
mungkin juga memperpanjang ke semua ruang, karena 𝜌= 0 di wilayah eksterior
pula). Memperhatikan bahwa r- bergantung dalam
Kita peroleh
Inilah divergensi kita hitung dalam Pers. 1.100
Demikian
Yang merupakan hukum Gauss dalam bentuk diferensial (2.14). Untuk
memulihkan bentuk integral (2.13), kita menjalankan argumen sebelumnya secara
terbalik-mengintegrasikan lebih dari volume dan menerapkan teorema divergensi:
2.2.3 Aplikasi Hukum Gauss
Aku harus mengganggu perkembangan teoritis pada titik ini untuk
menunjukkan kepada Anda kekuatan hukum Gauss yang luar biasa, dalam bentuk
yang tidak terpisahkan.
Contoh 2.2
Cari medan di luar lingkup muatan solid yang dibebankan seragam dari radius R
dan total muatan q.
Solusi. : Gambarlah sebuah permukaan bola di jari-jari r > R (. Gambar 2.18); ini
disebut "permukaan Gaussian". hukum Gauss mengatakan bahwa untuk
permukaan ini (seperti untuk yang lain).
(2.16)

12. 12
∮ 𝑬. 𝑑𝒂 =
1
∈0
𝑄𝑒𝑛𝑐
𝑆
Dan 𝑄𝑒𝑛𝑐 = 𝑞. Sepintas ini tampaknya tidak mendapatkan kita sangat jauh, karena
kuantitas yang kami ingin (E) adalah didalam permukaan integral., simetri
memungkinkan kita untuk mengambil E dari bawah tanda integral: E tentu titik
radial, sehingga kita bisa menggunakan dot produk.
∫ 𝑬. 𝑑𝒂
𝑆
= ∫| 𝑬| 𝑑𝑎
𝑆
Gambar 2.18
Besaran E konstan melalui permukaan Gauss, sehingga bentuk integral luarnya
menjadi
∫ 𝑬. 𝑑𝒂
𝑆
= | 𝑬| ∫ 𝑑𝑎
𝑆
= | 𝑬|4𝜋𝑟2
Maka | 𝑬|4𝜋𝑟2
=
1
∈0
𝑞
Atau 𝑬 =
1
4𝜋∈0
𝑞
𝑟2 𝒓̂
Hukum Gauss selalu benar, tetapi tidak selalu berguna. Jika 𝜌 belum
seragam (atau, Bagaimanapun, tidak berbentuk bulat simetris), atau jika saya telah
memilih beberapa bentuk lain untuk permukaan Gaussian, itu akan tetap menjadi
benar bahwa fluks E adalah (1/∈0)𝑞, aku tidak akan telah yakin bahwa E berada
diarah yang sama dengan da dan konstan dalam besaran atas permukaan, dan
tidak bisa menarik | 𝑬| dari keluar integral.

13. 13
Simetri sangat penting untuk penerapan hukum Gauss ini . Sebagai yang
saya tahu, hanya ada tiga jenis simetri:
1. simetri Bulat. Membuat permukaan Gaussian bola konsentris.
2. simetri silinder. Membuat permukaan Gaussian silinder koaksial
(Gbr. 2.19).
3. Pesawat simetri. Gunakan Gaussian "kotak obat," yang melintasi
permukaan (Gbr. 2.20).
Meskipun (2) dan (3) secara teknis memerlukan silinder panjang tak
terhingga, dan bidang memanjang sampai tak terbatas ke segala arah, kita akan
sering menggunakan mereka untuk mendapatkan jawaban perkiraan untuk
"panjang" silinder atau "besar" permukaan bidang, pada titik-titik yang jauh dari
tepi.
Gambar 2.19 Gambar 2.20
2.2.4 Curl E
Saya akan menghitung curl dari E, seperti pada divergensi di Sect. 2.2.1,
dengan mempelajari terlebih dahulu konfigurasi yang sederhana. muatan titik
pada titik asal. Dalam hal ini
𝑬 =
1
4𝜋 ∈0
𝑞
𝑟2
𝒓̂
Sekarang, lihat Gambar. 2.12 kita harus meyakinkan bahwa curl dari
medan ini harus nol, tapi Saya kira kita harus datang dengan sesuatu yang sedikit
lebih ketat dari itu. Bagaimana jika kita menghitung integral garis medan ini dari
beberapa titik a untuk beberapa titik lain b (Gambar 2.29.):
∫ 𝑬. 𝑑𝒍
𝑏
𝑎

14. 14
Dalam koordinat bola, 𝑑𝒍 = 𝑑𝑟 𝒓̂ + 𝑟 𝑑𝜃 𝜽̂ + 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜙 𝝓̂ , sehingga
𝑬. 𝑑𝒍 =
1
4𝜋 ∈0
𝑞
𝑟2
𝑑𝑟
Sehubungan Dengan Itu,
∫ 𝑬. 𝑑𝒍 =
1
4𝜋∈0
∫
𝑞
𝑟2 𝑑𝑟
𝑏
𝑎
=
−1
4𝜋∈0
𝑏
𝑎
𝑞
𝑟
|
𝑟 𝑎
𝑟 𝑏
=
1
4𝜋 ∈0
(
𝑞
𝑟 𝑎
−
𝑞
𝑟 𝑏
) (2.18)
dimana 𝑟𝑎 adalah jarak dari titik asal ke titik a dan rb adalah jarak ke b. itu
integral tertutup jelas nol (untuk itu 𝑟𝑎 = 𝑟 𝑏).
∮ 𝑬. 𝑑𝒍 = 0 (2.19)
Gambar 2.29
dan karenanya, menerapkan Teorema Stoke
𝛁 𝒙 𝑬 = 0 (2.20)
Sekarang, saya membuktikan pers. 2.19 dan 2.20 hanya untuk medan pada
muatan titik pada titik asal tersebut, tetapi hasil ini tidak membuat referensi untuk
semua pilihan koordinat; mereka juga tidak mementingkan dimana muatan
berada. Selain itu, jika kita memiliki banyak muatan, prinsip superposisi
menyatakan bahwa medan total adalah penjumlahan vektor dari masing-masing
medan:
𝑬 = 𝑬 𝟏 + 𝑬 𝟐 + ⋯.
Maka
𝛁 𝑥𝑬 = 𝛁 𝐱 ( 𝑬 𝟏 + 𝑬 𝟐 + ⋯. ) = ( 𝛁 x 𝑬 𝟏)+ ( 𝛁 x 𝑬 𝟐)+ ⋯ = 𝟎
Dengan demikian, pers. 2.19 dan 2.20 untuk distribusi muatan statis .

15. 15
DAFTAR PUSTAKA
Griffiths,David J & Reed College.1999. Introduction to Electrodynamics. Prentice
Hall Upper Saddle River, New Jersey.