Dokumen ini membahas logika matematika, termasuk proposisi, kalimat pernyataan, kalimat bukan pernyataan, kalimat terbuka, ingkaran pernyataan, serta kuantor universal dan eksistensial. Contoh-contoh diberikan untuk menjelaskan setiap konsep, dan juga mencakup latihan serta pekerjaan rumah terkait materi tersebut. Materi ini bertujuan untuk membantu pemahaman konsep-konsep dasar logika dalam matematika.

1. LOGIKA MATEMATIKA Pertemuan I Apaan tuh?

2. Bu AP berkata : Jika nilai matematikamu 9, maka saya akan traktir kamu Bagaimana jika ternyata : Nilai matematikamu 9, dan Bu AP mentraktir kamu? Nilai matematikamu 9, tetapi Bu AP tidak mentraktir kamu? Nilai matematikamu tidak 9, tetapi Bu AP mentraktir kamu?

3. Yang akan dipelajari hari ini: Kalimat Pernyataan ( Proposisi ) Kalimat Bukan pernyataan Kalimat terbuka Himpunan penyelesaian kalimat terbuka Ingkaran Pernyataan Ingkaran Kalimat terbuka

4. Pernyataan (Proposisi) Definisi: Kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar saja atau salah saja, tetapi tidak keduanya Biasa dilambangkan dengan huruf kecil Nilai Benar dilambangkan dengan B / T / 1 Nilai Salah dilambangkan dengan S / F / 0

5. Contoh pernyataan: p : 2 adalah bilangan prima terkecil q : Surabaya terletak di pulau Jawa r : 3+7=9 s : Jakarta adalah ibu kota Jawa Barat t : Jumlah sudut segitiga adalah 180 o Nilai kebenarannya: p bernilai B/  ( p) =B s bernilai S/  ( s )=S q bernilai B/  ( q) =B t bernilai B/  ( t )=B r bernilai S/  ( r ) =S

6. Kalimat Bukan Pernyataan Contoh kalimat bukan pernyataan: Selamat ulang tahun Mari kita pergi Di mana rumahmu? Umumnya Kalimat-kalimat yang subjektif tidak tergolong pernyataan alias bukan pernyataan Contoh : Kue ini enak Adikku cantik

7. Latihan Manakah yang merupakan pernyataan? p : Bogor mendapat julukan kota hujan Pernyataan,  ( p ) = B q : = -5 Pernyataan,  ( q ) = S Siapa namamu? Bukan pernyataan 3+4 > 9 Pernyataan yang bernilai salah 4 x 5 Bukan pernyataan

8. Kalimat Terbuka & Himpunan Penyelesaiannya Kalimat yang nilai kebenarannya tidak dapat ditentukan apakah benar atau salah, karena masih mengandung variabel. Contoh: q (Y): Y adalah seorang presiden. p (x): x + 4 = -9 Supaya kalimat terbuka di atas menjadi pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran, maka variabel harus digati dengan himpunan penyelesaiannya: Y={SBY, George W Bush, dan semua presiden lainnya} x={-13}

9. Ingkaran Pernyataan (Negasi) Negasi biasa dilambangkan ~ Berfungsi untuk membuat nilai suatu pernyataan menjadi kebalikannya Contoh: p : 7 adalah faktor dari 16 Maka ~ p : Tidak benar bahwa 7 adalah faktor dari 16 ~ p : 7 bukan faktor dari 16

10. Contoh lain: q : Bajuku berwarna hitam Maka ~ q : Tidak benar bahwa bajuku berwarna hitam. ~ q : Bajuku tidak berwarna hitam. B S S B ~p p

11. Ingkaran Kalimat Terbuka p (x) : 3x +1 = 7 ~ p (x) : 3x + 1  7 p(x) dan ~p(x) belum mempunyai nilai kebenaran Agar p(x) menjadi pernyataan yang benar, HP p (x) = {2} HP ~ p (x) = {x  x  2, x  R}

12. Homework Latihan 1 hal 153 no. 1, 2, 4 Latihan 2 hal 155 no. 1. a, b, c, d, e

13. Bahan selanjutnya… Pernyataan berkuantor kuantor universal (umum) Kuantor eksistensial (khusus) Ingkaran pernyataan berkuantor

14. Pernyataan Berkuantor Kuantor Universal (  ) baca : untuk setiap/semua Kuantor Eksistensial (  ) baca : ada/beberapa Contoh: Semua siswa SMAK1 pernah belajar di perpustakaan Ada bilangan genap yang juga bilangan prima Beberapa siswa memakai kacamata Contoh lain??

15. Kalimat terbuka dapat diubah menjadi pernyataan dengan : mengganti variabel dengan HP-nya menggunakan kuantor Misal p(x) adalah kalimat terbuka yang didefinisikan dalam semesta S, maka: “ Untuk setiap x di dalam S, kalimat p(x) adalah benar” dinotasikan dengan :  x  S, p(x) “ Ada x di dalam S, sedemikian sehingga p(x) benar” dinotasikan dengan:  x  S, p(x)

16. Contoh p(x): 2x=7 Jika A adalah himpunan bilangan asli, maka :  x  A, 2x=7, merupakan pernyataan yang salah  x  A, 2x=7 merupakan pernyataan yang salah Jika R adalah himpunan bilangan real, maka:  x  R, 2x=7, merupakan pernyataan yang benar  x  R, 2x=7 merupakan pernyataan yang salah

17. Semua kuda berlari cepat ekuivalen degan: Jika x kuda, maka x berlari cepat. Tetapi tidak ekuivalen dengan: Jika x berlari cepat maka x kuda. Ada kuda berlari cepat ekuivalen dengan: Sekurang-kurangnya ada satu kuda yang berlari cepat

18. Ingkaran pernyataan Berkuantor Universal Ingkaran dari “  x  S, p(x) benar” adalah: Tidak semua x  S, p(x) benar; atau Ada x  S, p(x) tidak benar Notasi : ~[  x  S,p(x)]   x  S,~p(x) Contoh: Ingkaran dari : Semua siswa SMAK1 pernah belajar di perpustakaan adalah: “ Tidak semua siswa SMAK1 pernah belajar di perpustakaan” atau: “ Ada siswa SMAK1 yang tidak pernah belajar di perpustakaan”

19. Ingkaran pernyataan Berkuantor Ekistensial Ingkaran dari “  x  S, p(x) benar” adalah: Tidak ada x  S, p(x) benar; atau Untuk semua x  S, p(x) tidak benar Notasi : ~[  x  S,p(x)]   x  S,~p(x) Contoh: Ingkaran dari : Ada siswa SMAK1 berkaca mata adalah: “ Tidak ada siswa SMAK1 yang berkacamata” atau: “ Semua siswa SMAK1 tidak berkacamata”

20. Contoh Tentukan ingkarannya! Semua tamu boleh menyalami pengantin Beberapa orang kaya tidak hidup bahagia Ada tamu yang tidak boleh menyalami pengantin Tidak semua tamu boleh menyalami pengantin Semua orang kaya hidup bahagia Tidak ada orang kaya tidak hidup bahagia

21. Homework Latihan 11, 12, hal 183, 186 no: 1. a,b,c,d 2. a,b,c,d 3. a,b,c,d 4. a,b,c,d Lat 13 hal 190 no : 1. a, b, c, d 3. a, b, c, d 4. a, b, c, d, g, h, i, j

22. Jawaban PR Lat 11 hal 183 Lat 12 hal. 183 Lat 13 hal 190 a. ekuivalen 1. a. ekuivalen 1. a. B b. tidak b. tidak b. S c. ekuivalen c. ekuivalen c. S d. tidak d. tidak d. B 2. a. S 2. a. B 3. a. Semua org kaya hidup bahagia b. B b. S b. Semua fs kwdrt memtg sb x c. S c. S c. Untuk semua bil real x, maka d. B d. B x 2 +10 ≠ 0 3. a. S 3. a. B d. Untuk semua bil real x, maka b. S b. B x 2 +10 ≠ 8 c. S c. S 4. a.  x, x 2 ≥ 0 d. B d. S b.  x, x 2 -1 ≠ (x+1)(x-1) a. S 4. a. B c.  x, x 2 -2x+3 ≤ 0 b. S b. B d.  x, x 2 -4x+4 < 0 c. B c. S d. S d. B