SlideShare a Scribd company logo
1 of 56
Oleh : Amo Sisdianto, S.Kom
Matematika SMK Kelas X
LOGIKA
MATEMATIKA
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
PENYUSUN
Amo Sisdianto, S.Kom
Guru SMK Bina Karya 2 Karawang
untuk mata pelajaran Matematika kelas X dan XI
asisdi4nto@yahoo.com
aantomatika.blogspot.co
m
@sisdianto
A Sisdianto Sumarna
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
SK/KD
STANDAR KOMPETENSI
Menerapkan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan
pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.
KOMPETENSI DASAR
1. Mendeskripsikan pernyataan dan bukan pernyataan (kalimat terbuka)
2. Mendeskripsikan ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi dan
ingkarannya
3. Mendeskripsikan Invers, Konvers dan Kontraposisi
4. Menerapkan modus panens, modus tollens dan prinsip silogisme dalam menarik
kesimpulan
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
BAHASAN LOGIKA MATEMATIKA
NEGASI PERNYATAAN
MAJEMUK
PERNYATAAN
MAJEMUK
OPERASI
LOGIKA
KONVERS, INVERS
& KONTRAPOSISI
PENARIKAN
KESIMPULAN
PERNYATAAN &
BUKAN PERNYATAAN
KALIMAT
BERKUANTOR
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
Logika adalah suatu metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti
ketepatan penalaran (pemikiran yang masuk akal).
Logika matematika adalah ilmu yang digunakan untuk menentukan nilai
kebenaran dari suatu pernyataan atau penarikan kesimpulan berdasarkan
aturan-aturan dasar yang berlaku.
PERNYATAAN DAN BUKAN PERNYATAAN
Dalam logika Matematika dikenal istilah:
• Kalimat pernyataan
• Kalimat bukan pernyataan
• Kalimat terbuka
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
PERNYATAAN DAN BUKAN PERNYATAAN
Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti :a, b, c , dll.
Contoh: a : 2 adalah bilangan genap
b : 4 habis dibagi 3
c : Nilai x yang memenuhi 3x + 1 = 7 adalah 2
d : Ibukota Indonesia adalah Jakarta
Pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran B (benar),
sedangkan pernyataan yang salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran S
(salah).
Kata nilai kebenaran dilambangkan dengan (tau).
Contoh:
a : 8 adalah bilangan genap, merupakan pernyataan yang benar, (a)=B
p : 5 lebih kecil dari 4, merupakan pernyataan yang salah, (p)=S
Pernyataan adalah kalimat yang hanya bernilai benar saja atau salah saja, tidak
bisa sekaligus benar dan salah
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
Berdasarkan pengertian tadi, pernyataan merupakan suatu kalimat. Akan tetapi,
suatu kalimat belum tentu pernyataan. Berikut ini merupakan contoh kalimat
yang bukan pernyataan karena tidak deklaratif (menerangkan sesuatu) :
a. Dilarang merokok!
b. Awas... ada maling
c. Berapa jumlah siswa SMK Bina Karya 2 ?
d. Jangan melecehkan sesama teman.
Berdasarkan contoh di atas, kalimat-kalimat yang digolongkan sebagai
pernyataan adalah kalimat yang menerangkan sesuatu (deklaratif). Namun tidak
semua kalimat deklaratif juga termasuk pernyataan. Berikut ini contohnya:
a. Gaun itu indah sekali
b. Siti gadis yang cantik
c. Suasana di pantai sangat sejuk sekali
d. Bronis kukus itu enak banget
PERNYATAAN DAN BUKAN PERNYATAAN
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
Variabel adalah simbol yang menunjukkan suatu anggota yang belum spesifik
dalam semesta pembicaraan. Konstanta adalah simbol yang menunjukkan
anggota tertentu dalam semesta pembicaraan.
Kalimat terbuka:
“Orang itu seorang petinju”
Kalimat tertutup
”Mike Tyson seorang petinju”
Yang bernilai benar.
Orang itu merupakan variabel,
sedangkan Mike Tyson merupakan
konstanta.
Kalimat terbuka :
“4x + 10 = 25”
Kalimat tertutup :
“4(5) + 10 = 25”
x merupakan variabel,
sedangkan 5 merupakan
konstanta.
Perhatikan contoh berikut:
Kalimat terbuka yaitu kalimat yang mengandung variabel yang belum pasti benar
atau salah. Jika variabel tersebut diganti konstanta dengan semesta yang sesuai
kalimat itu akan menjadi kalimat yang bernilai benar saja atau salah saja yang
disebut Kalimat tertutup
KALIMAT TERBUKA
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
Berikut ini contoh lainnya untuk membedakan pernyataan dan bukan pernyataan
serta kalimat terbuka :
a. Siti gadis yang cantik dan pintar sekali
b. Netherland adalah ibukota Belanda
c. x adalah faktor dari 10
d. Cuaca hari ini sangat panas
e. 21 adalah bilangan prima
f. 24 habis dibagi 6
g. Kerjakan tugas-tugasmu dengan baik!
h. Pemuda berkemeja panjang itu
terjatuh dari motor
i. Taman bergantung adalah salah satu
keajaiban dunia yang dibangun
kerajaan Babylonia
(bukan pernyataan)
(pernyataan bernilai salah)
(bukan pernyataan/ kalimat terbuka)
(bukan pernyataan)
(pernyataan bernilai salah)
(pernyataan bernilai benar)
(bukan pernyataan)
(bukan pernyataan)
(pernyataan bernilai salah)
KALIMAT TERBUKA
TUGAS
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
TUGAS 1
Dari kalimat-kalimat berikut ini, manakah yang termasuk pernyataan dan
bukan pernyataan? Jika termasuk pernyataan, tentukan nilai kebenarannya!
a : 4 + 5 = 7
b : Semua bilangan prima adalah ganjil
c : Mudah-mudahan cuaca hari ini cerah
d : Kota Madiun ada di pulau Jawa
e : Kota Manokwari tidak jauh
f : 1.250 habis dibagi 7
g : Suku ke-4 dari barisan 2, 6, 10, ... adalah 16
h : Hapus papan tulis itu
i : Pantai Parangtritis indah sekali
j : x2 – 3x + 4 < 0
k : Ibukota Inggris adalah Luxemburg
l : Bigband berada di Amerika Serikat
m : 2x2 -1 = 1
n : Faktor dari 12 adalah 2, 6, 4 dan 8
o : 7 adalah bilangan prima
1.
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
TUGAS 1
p : Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil
q : 243 habis dibagi 9 dan 3
r : Mudah-mudahan kita sehat walafiat
s : Ikan paus bernafas dengan paru-paru
t : Jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 180o
u : Kerjakan tugas-tugasmu dengan baik !
v : 21 adalah bilangan prima
w : x adalah Faktor dari 10
x : Buktikan bahwa 3,14 adalah bilangan irasional
y : 3x + 5x = 35
z : Lawan dari bilangan prima disebut bilangan komposit
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
OPERASI LOGIKA & PERNYATAAN MAJEMUK
Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa
pernyataan tunggal yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung dalam
suatu operasi logika. Beberapa operasi logika tersebut adalah :
a. Negasi (ingkaran/ tidak)
b. Disjungsi (atau)
c. Konjungsi (dan)
d. Implikasi (jika... maka...)
e. Biimplikasi (... jika dan hanya jika ...)
NEGASI
BIIMPLIKASI
OPERASI
LOGIKA
DISJUNGSI
KONJUNGSI
IMPLIKASI
TUGAS
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
NEGASI
p ~p
B
S
S
B
Contoh:
p: 7 adalah bilangan prima , maka ~p: 7 bukan bilangan prima
q : 3+2 sama dengan 6 , maka ~q: 3+2 tidak sama dengan 6
Tabel kebenarannya :
Jika p merupakan sebuah pernyataan, maka ingkaran atau negasi dari p ditulis
dengan lambang ~p.
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
NEGASI
1. p : 2 + 5 = 7
~p : 2 + 5 ≠ 7
~p : Tidak benar bahwa 2 + 5 = 7
2. q : Semua pelajar berbaju putih
~q : Tidak semua pelajar berbaju putih
~q : Beberapa pelajar tidak berbaju putih
~q : Ada pelajar yang tidak berbaju putih
Contoh :
Tentukanlah negasi dari pernyataan berikut!
(benar)
(salah)
(salah)
(benar)
(salah)
(salah)
(salah)
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
DISJUNGSI
p q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
B
B
S
qp
Disjungsi adalah gabungan dari dua pernyataan yang dirangkai dengan
menggunakan kata hubung atau.
Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q, ditulis dengan lambang:
Disjungsi p ν q bernilai benar jika salah satu p atau q atau keduanya adalah
benar; disjungsi bernilai salah hanya jika p dan q bernilai salah. Tabel kebenaran
disjungsi sebagai berikut:
qp
dibaca p atau q
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
CONTOH DISJUNGSI
p : Saya rajin belajar
q : Saya lulus UN
pvq : Saya rajin belajar atau saya lulus UN
p : 2 adalah bilangan prima
q : 2 adalah bilangan genap
pvq : 2 adalah bilangan prima atau 2 adalah bilangan genap
p : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15
q : 15 adalah bilangan prima
pvq : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15 atau 15 adalah bilangan prima
p : 15 adalah bilangan prima
q : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15
pvq : 15 adalah bilangan prima atau faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15
p : 9 adalah bilangan prima
q : 9 adalah bilangan genap
pvq : 9 adalah bilangan prima atau 9 adalah bilangan genap
(benar)
(benar)
(benar)
(benar)
(salah)
(benar)
(salah)
(benar)
(benar)
(salah)
(salah)
(salah)
1.
2.
3.
4.
5.
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
p q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
KONJUNGSI
Konjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan yang dirangkai
dengan kata hubung dan.
Konjungsi pernyataan p dan pernyataan q, ditulis dengan lambang:
qp Dibaca p dan q
Konjungsi bernilai benar jika p dan q keduanya adalah benar; konjungsi bernilai
salah jika salah satu p atau q (atau keduanya) adalah salah. Tabel
kebenarannya adalah:
qp
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
CONTOH KONJUNGSI
p : Pagi ini udaranya segar
q : Matahari bersinar terang
p˄q : Pagi ini udaranya segar dan matahari bersinar terang
p : 2 adalah bilangan prima
q : 2 adalah bilangan genap
p˄q : 2 adalah bilangan prima dan 2 adalah bilangan genap
p : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15
q : 15 adalah bilangan prima
p˄q : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15 dan 15 adalah bilangan prima
p : 15 adalah bilangan prima
q : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15
p˄q : 15 adalah bilangan prima dan faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15
p : 9 adalah bilangan prima
q : 9 adalah bilangan genap
p˄q : 9 adalah bilangan prima dan 9 adalah bilangan genap
(benar)
(benar)
(benar)
(benar)
(salah)
(salah)
(salah)
(benar)
(salah)
(salah)
(salah)
(salah)
1.
2.
3.
4.
5.
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
IMPLIKASI
p q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
qp
Implikasi atau Kondisional adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua
pernyataan p dan pernyataan q dalam bentuk jika p maka q.
Implikasi jika p maka q ditulis dengan lambang:
qp
Dibaca jika p maka q atau
p hanya jika q
q jika p
p syarat cukup bagi q
q syarat perlu bagi p
Tabel kebenaran implikasi
adalah sebagai berikut:
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
CONTOH IMPLIKASI
p : Kamu lulus ujian
q : Kamu diberi hadiah
: Jika kamu lulus ujian maka kamu diberi hadiah
p : 2 adalah bilangan genap
q : 2 + 3 adalah 5
: Jika 2 adalah bilangan genap maka 2 + 3 adalah 5
p : 2 adalah bilangan genap
q : 2 + 3 adalah 7
: Jika 2 adalah bilangan genap maka 2 + 3 adalah 7
p : 2 + 3 adalah 7
q : 2 adalah bilangan genap
: Jika 2 + 3 adalah 7 maka 2 adalah bilangan genap
p : 2 + 3 adalah 7
q : 2 adalah bilangan ganjil
: Jika 2 + 3 adalah 7 maka 2 adalah bilangan ganjil
(benar)
(benar)
(benar)
(benar)
(salah)
(salah)
(salah)
(benar)
(benar)
(salah)
(salah)
(benar)
1.
2.
3.
4.
5.
qp
qp
qp
qp
qp
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
BIIMPLIKASI
p q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
B
qp
Biimplikasi atau disebut juga Bikondisional adalah hubungan pernyataan-
pernyataan p dan q yang dituliskan sebagai berikut:
qp
dibaca :
p jika dan hanya jika q
Jika p maka q dan jika q maka p
p syarat perlu dan cukup bagi q
q syarat perlu dan cukup bagi p
Tabel kebenaran
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
CONTOH BIIMPLIKASI
p : Kucing termasuk karnivora
q : Kucing pemakan daging
: Kucing termasuk karnivora jika dan hanya jika kucing pemakan daging
(benar)
(benar)
(benar)
(benar)
(salah)
(salah)
(salah)
(benar)
(salah)
(salah)
(salah)
(benar)
1.
2.
3.
4.
5.
p : 2 adalah bilangan genap
q : 2 x 3 = 6
: 2 adalah bilangan genap jika dan hanya jika 2 x 3 = 6
p : 2 adalah bilangan genap
q : 2 x 3 = 5
: 2 adalah bilangan genap jika dan hanya jika 2 x 3 = 5
p : 2 adalah bilangan ganjil
q : 2 x 3 = 6
: 2 adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika 2 x 3 = 6
p : 2 adalah bilangan ganjil
q : 2 x 3 = 5
: 2 adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika 2 x 3 = 5
(benar)
(benar)
(benar)qp
qp
qp
qp
qp
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
TUGAS 2
Hubungkan dua pernyataan berikut sebagai bentuk disjungsi, konjungsi,
implikasi dan biimplikasi !
1.
a. p: 4 bukan bilangan ganjil
q: 4 habis dibagi 2
b. p: Jam Gadang berada di Sumatera Selatan
q: Gedung tertinggi di dunia adalah Burj Khalifa
c. p: dua garis sejajar tidak mempunyai titik potong
q: dua garis sejajar mempunyai gradient yang sama
d. p: Iwan memakai topi
q: Iwan memakai dasi
e. p: Hari ini mendung
q: Hari ini akan hujan
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
TUGAS 2
Jika pernyataan p: “ia kaya” dan pernyataan q: “ia bahagia”, maka
terjemahkan lambang-lambang berikut !
a. p ∧ q b. ~p ∨ ~q c. p → q
d. p ∨ q e. ~p ∧ q f. q ↔ ~p
g. p ↔ q h. p ∨ ~q i. ~q → p
j. ~p → q k. ~p → ~q l. ~(p → ~q)
2.
Jika pernyataan p: “hari ini cuaca cerah” dan pernyataan q: “matahari
bersinar”, maka tulislah lambang-lambang dari penyataan-pernyataan
berikut !
a. Hari ini cuaca cerah dan matahari bersinar
b. Hari ini cuaca cerah atau matahari bersinar
c. Jika hari ini cuaca cerah, maka matahari tidak bersinar
d. Hari ini cuaca tidak cerah atau matahari bersinar
e. Hari ini cuaca tidak cerah jika dan hanya jika matahari bersinar
f. Jika matahari tidak bersinar, maka hari ini cuaca cerah
g. Matahari tidak bersinar jika dan hanya jika hari ini cuaca cerah
3.
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
PERNYATAAN MAJEMUK
Pernyataan majemuk dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal (componen)
yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung logika. Contohnya:
qp~
pqp )~(2.
1.
Contoh:
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut:
pqp )~(
Untuk menentukan nilai kebenarannya, digunakan tabel kebenaran
Jadi nilai kebenaran dari pqp )~( adalah B,B,B,S
Atau ditulis: ])~[( pqp B B B S
B
S
B
S
B
B
S
S
qp pqp )~(q~ )~( qp
S
B
S
B
B
B
S
B
B
B
B
S
1.
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
PERNYATAAN MAJEMUK
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut:
rqp )(~
Untuk menentukan nilai kebenarannya, digunakan tabel kebenaran sebagai
berikut:
2.
p q r ~p (~p ˄q)
B B B S S B
B B S S S B
B S B S S B
B S S S S B
S B B B B B
S B S B B S
S S B B S B
S S S B S B
rqp )(~
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN
qp
Dua buah penyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan
majemuk itu memiliki nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai
kebenaran pernyataan komponen-komponennya
Lambang dari dua buah pernyataan majemuk yang equivalen adalah
)~(~)(~ qpqp
)~(~)(~ qpqp
)~()(~ qpqp
)~()~()(~ pqqpqp
)(~)( qpqp
Contoh :
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN
p q ~p ~q (p v q) ~(p v
q)
(~p ˄ ~q)
B B S S B S S
B S S B B S S
S B B S B S S
S S B B S B B
p q ~p
B B S B B
B S S S S
S B B B B
S S B B B
)( qp )(~ qp
)~(~)(~ qpqp
bahwaterbukti
)(~)( qpqp
bahwaterbukti
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
)~(~)(~ qpqp
p : Mama mengantar adik , q : Saya belajar
(p V q) : Mama mengantar adik atau saya belajar
~(p V q) : (~p ~q) =Mama tidak mengantar adik dan saya tidak belajar
)~()(~ qpqp
p : Saya naik kelas , q : Saya dapat hadiah
p q : Jika Saya naik kelas maka Saya dapat hadiah
~(p q) =(p ~q) : Saya naik kelas dan Saya tidak dapat hadiah
Saya naik kelas tetapi Saya tidak dapat hadiah
PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN
pqqp
pqqp
Sifat Komutatif
)()( rqprqp
)()( rqprqp
Sifat Asosiatif
Distributif konjungsi terhadap disjungsi
Sifat Distributif
)()()( rpqprqp
Distibutif konjungsi terhadap disjungsi
)()()( rpqprqp
Dari ekuivalensi pernyataan-pernyataan majemuk didapat sifat-sifat yang
berlaku pada operasi logika yaitu:
TUGAS
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
TUGAS 3
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut:1.
a. ~p ∧ ~q
b. ~ (p ↔ q)
c. p → ~q
d. ~p → q
e. (p ∨ q) ↔ ~p
f. p → (p ∨ q)
g. p → (~p ∨ q)
h. ~p → ~q
i. (p ∧ ~q) → (`~p ∨ q)
j. p → (~q ↔ p)
k. (p ∧ q) ↔ p
l. (p → ~q) ∨ ~p
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
TUGAS 3
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut:
rqpe
rqpd
rqpc
rqpb
rqpa
)(.
)~(~.
~)~(.
)~(~.
)(~~.
2.
Selidiki dengan tabel kebenaran apakah pernyataan berikut ekuivalen:
)()(~.
)()()(.
pqqpqpb
rpqprqpa
3.
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
NEGASI PERNYATAAN MAJEMUK
OPERASI LAMBANG NEGASI
DISJUNGSI p v q ~p ˄ ~q
KONJUNGSI p ˄ q ~p v ~q
Bandung adalah kota kembang atau ibukota Jawa Barat
Contoh disjungsi :
Bandung bukan kota kembang dan bukan ibukota Jawa Barat
Bentuk negasinya:
Soal ulangan Matematika jumlahnya sedikit dan sulit
Contoh konjungsi :
Soal ulangan Matematika jumlahnya banyak atau mudah
Bentuk negasinya:
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
NEGASI PERNYATAAN MAJEMUK
Contoh implikasi :
Jika 5 adalah faktor dari 25, maka 5 adalah bilangan prima
5 adalah faktor dari 25 dan 5 bukan bilangan prima
Bentuk negasinya:
Contoh biimplikasi :
2log 8 = 3 jika dan hanya jika 23 = 8
2log 8 = 3 jika dan hanya jika 23 ≠ 8
Bentuk negasinya:
2log 8 ≠ 3 jika dan hanya jika 23 = 8atau:
OPERASI LAMBANG NEGASI
IMPLIKASI
BIIMPLIKASI
qp
qp
qp ~
qpatauqp ~~
TUGAS
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
TUGAS 4
Tentukan negasi dari pernyataan majemuk berikut !1.
a. 123 adalah bilangan ganjil dan habis dibagi 3.
b. Ibu sedang memasak sayur atau pergi ke pasar.
c. Jika x bilangan real, maka x2 ≥ 0.
d. Budi lulus SMPTN jika dan hanya jika ia rajin belajar.
e. Heru ujian nasional dan Budi lulus SMPTN.
f. Tujuh adalah bilangan ganjil atau besi adalah benda cair.
g. Jika hari ini tidak turun hujan, maka ia pergi ke pasar.
h. Jika pak Amir seorang profesor, maka ia seorang dosen.
i. Aku dan kau suka membaca buku cerita
j. Hari ini hujan atau anginnya kencang
k. Emas tenggelam dalam air raksa atau air tawar
l. Segitiga ABC siku-siku dan sama kaki
m. Katak bernafas dengan insang atau paru-paru
n. Harga barang-barang murah dan jumlah barang tidak berkurang
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
KONVERS, INVERS & KONTRAPOSISI
p q ~p ~q p q ~q ~p q p ~p ~q
pq qp
qp ~~ qp
pq ~~ qp
, disebut konvers dari implikasi
, disebut invers dari implikasi
, disebut kontraposisi dari implikasi
qp
maka kita bisa membuat beberapa buah implikasi yang lain, yaitu
Jika kita mempunyai sebuah implikasi
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
B
S
B
B
B
B
S
B
B
B
S
B
B
S
B
B
S
B
S
B
qp pq ~~≡ Implikasi ekuivalen dengan kontraposisi
pq qp ~~≡ Konvers ekuivalen dengan invers
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
Jika x = 90o maka x adalah sudut dalam persegiKonvers :
Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari tiap implikasi berikut:
)(~. rqpb
a. Jika x adalah sudut dalam persegi maka x = 90o.
Kontraposisi :
Invers : Jika x bukan sudut dalam persegi maka x ≠ 90o.
Jika x ≠ 90o maka x bukan sudut dalam persegi
a.
b. Konvers :
Kontraposisi :
Invers :
prq ~)(
prq )~(~
)~(~ rqp
KONVERS, INVERS & KONTRAPOSISI
Penyeleseian :
TUGAS
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
TUGAS 5
Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari tiap implikasi berikut:
)(~.
)(.
rqpb
rqpa
1.
Buatlah pernyataan konvers, invers, dan kontrapositif dalam bentuk kalimat!
a. Jika engkau rajin belajar, maka engkau dapat naik kelas
b. Jika ABCD persegi panjang, maka AC=BD
c. Jika x bilangan genap, maka x2habis dibagi 4
d. Jika x2 bilangan ganjil, maka x bilangan ganjil
e. Jika 3 + 3 = 7 maka 4 + 4 = 8
f. Jika guru tidak datang, maka semua murid senang
g. Jika hari hujan, maka matahari tidak bersinar
2.
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
KALIMAT BERKUANTOR
CONTOH:
SEMUA SISWA KELAS X SMK 2 BINABAKTI PANDAI.
KATA SEMUA ATAU SETIAP MERUPAKAN KUANTOR UNIVERSAL (UMUM)
LAMBANG DARI KUATOR UNIVERSAL ADALAH:
KUANTOR UMUM (KUANTOR UNIVERSAL)
dibaca, untuk semua x anggota S berlakulah p(x))(, xpSx
)(, xpx dibaca, untuk semua x berlakulah p(x) atau
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
KALIMAT BERKUANTOR
BxAxx dan,
Beberapa siswa kelas X SMA Satu pandai.
Kata beberapa atau ada merupakan kuantor eksistensial (khusus)
Misalkan:
U=himpunan semua siswa SMA di Jakarta
A=himpunan semua siswa SMA Satu
B=himpunan semua siswa kelas X SMA satu yang pandai
Pernyataan “Beberapa siswa kelas X SMA Satu pandai”, dapat ditulis dengan
lambang berikut:
dibaca: Beberapa siswa SMA Satu pandai, atau
Sekurang-kurangnya ada seorang ada seorang siswa kelas X SMA
Satu yang pandai.
KUANTOR KHUSUS (KUANTOR EKSISTENSIAL)
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR
)(~,)](,[~ xpxxpx
)(~,)](,[~ xpxxpx
p : Semua siswa Satu rajin belajar
~p : Ada siswa Satu yang tidak rajin belajar
q : Ada siswa Satu yang rumahnya di Kelapa Gading
~q : Semua siswa Satu rumahnya tidak di Kelapa Gading
r : Jika semua siswa kelas satu naik kelas maka Saya senang
~r : Semua siswa kelas satu naik kelas dan Saya tidak senang
~r : Semua siswa kelas satu naik kelas tetapi Saya tidak senang
Contoh:
KALIMAT BERKUANTOR
TUGAS
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
TUGAS 6
1. Tulislah ingkaran dari kalimat-kalimat dibawah ini !
a. Semua burung bersayap.
b. Semua orang Indonesia makanan pokoknya nasi.
c. Beberapa guru susah jika ada beberapa murid yang tidak lulus ujian.
d. Di semua sekolah ada murid yang menganggap matematika mudah.
e. Tidak ada seorang pun yang boleh melihat.
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
Pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya disebut premis
Kemudian dengan menggunakan prinsip logika dapat diturunkan pernyataan baru
(kesimpulan/ konklusi). Penarikan kesimpulan tersebut sering juga disebut
argumentasi.
Suatu argumentasi dikatakan sah jika premis-premisnya benar, maka konklusinya
juga benar
Contoh:
Jika hari ini hujan, maka jalanan basah premis 1
Jika jalanan basah, maka saya tidak berangkat sekolah premis 2
Jika hari ini hujan, maka saya tidak berangkat sekolah
rp kesimpulan/konklusi
qp
rq
premis 1
premis 2
1. Sillogisme
konklusi
PENARIKAN KESIMPULAN
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
2. Modus ponen
qp
p
q
premis 1
premis 2
kesimpulan/konklusi
Contoh:
premis 1 Jika saya punya uang banyak, maka saya akan membeli rumah
premis 2 Saya punya uang banyak
konklusi Saya akan membeli rumah
PENARIKAN KESIMPULAN
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
3. Modus tollens
qp
q~
p~
premis 1
premis 2
kesimpulan/konklusi
Contoh:
premis 1 Jika hari ini cuaca cerah , maka saya datang ke pestamu
premis 2 Saya tidak datang ke pestamu
konklusi Hari ini cuaca tidak cerah
Suatu argumentasi dikatakan sah jika konjungsi dari premis-premisnya berimplikasi
dengan konklusinya merupakan TAUTOLOGI
PENARIKAN KESIMPULAN
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI
TAUTOLOGI
TAUTOLOGI ADALAH SEBUAH PERNYATAAN MAJEMUK YANG SELALU BENAR UNTUK SEMUA
KEMUNGKINAN NILAI KEBENARAN DARI PERNYATAAN-PERNYATAAN KOMPONENNYA.
p q (pvq)
B
B
S
S
B
S
B
S
)( qppTabel
Contoh:
Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk )( qpp adalah sebuah tautologi
B
B
B
S
B
B
B
B
Jadi pernyataan merupakan tautologi)( qpp
KONTRADIKSI
Kontradiksi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua
kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
KEABSAHAN ARGUMENTASI
Periksalah sah atau tidaknya argumentasi berikut:1.
rp
rq
qp
~
~
B S
B B
B S
S B
B B
B B
S B
S B
)(~)( rqqp )~()](~)[( rprqqpp q r
B B B
B B S
B S B
B S S
S B B
S B S
S S B
S S S
~q ~r
S S
S B
B S
B B
S S
S B
B S
B B
B B S
B B B
B B S
B S B
B B B
B B B
S B B
S S B
qp rq~ rp ~
Dari tabel tampak bahwa bukan merupakan
tautologi (tidak bernilai benar semua). Jadi argumentasi tersebut tidak sah
)~()](~)[( rprqqp
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
KEABSAHAN ARGUMENTASI
Periksalah sah atau tidaknya argumentasi berikut:2.
Jika hutan gundul maka terjadi banjir
Tidak terjadi banjir
Hutan tidak gundul
Untuk menguji sah atau tidaknya argumentasi tersebut, digunakan tabel
kebenaran.
Misal : hutan gundul = p
terjadi banjir = q
p
q
qp
~
~
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
KEABSAHAN ARGUMENTASI
B S B
S S B
B S B
B B B
qp
Sehingga tabel kebenaran yang diuji adalah :
pqqp ~]~)[(qqp ~)(
qpqp ~]~)[(Dari tabel tampak bahwa merupakan tautologi
(bernilai benar semua). Jadi argumentasi tersebut sah
p q ~p ~q
B B S S
B S S B
S B B S
S S B B
TUGAS
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
TUGAS 7
Tentukanlah pola penarikan kesimpulan dari argumentasi berikut!1.
Premis 1: Jika log 10 = 1 maka 2log 8 = 3
Premis 2: log 10 = 1
Konklusi: 2log 8 = 3
b.
Premis 1: Jika Ibu pergi maka adik menangis
Premis 2: Adik tidak menangis
Konklusi: Ibu tidak pergi
a.
Premis 1: Jika semua masyarakat resah maka harga bbm naik
Premis 2: Harga BBM naik atau harga bahan pokok naik
Premis 3: Harga bahan pokok naik
c.
Premis 1: Jika Aldi seorang programer IT maka Aldi memahami flowchart
Premis 2: Jika Aldi memahami flowchart maka Aldi mampu mengoperasikan PC
Konklusi: Jika Aldi seorang programer IT maka Aldi mampu mengoperasikan PC
d.
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
TUGAS 7
Periksalah sah atau tidaknya argumentasi berikut:2.
Dengan menggunakan tabel kebenaran, periksa sah atau tidak argumentasi
berikut!
rp
rq
qpa
~
~
.
3.
Jika hari ini hujan maka pejalan kaki memakai payung
Pejalan kaki memakai payung
Hari ini tidak hujan
rp
rq
qpb
~
~
.
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
LATIHAN SOAL
Negasi dari: “Semua siswa tidak membuat tugas kokurikuler”
adalah ….
A
B
C
D
E
Semua siswa tidak membuat tugas
kokurikuler
Ada siswa yang tidak membuat tugas
kokurikuler
Beberapa siswa membuat tugas
kokurilkuler
Beberapa siswa tidak membuat tugas
kokurikuler
Tidak ada siswa membuat tugas
kokurikuler
1
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
LATIHAN SOAL
Jika pernyataan p bernilai benar dan q bernilai salah,
pernyataan berikut yang bernilai salah adalah ...
A
B
C
D
E
q ↔ ~p
~p ν q
~q Λ p
~p → ~q
~q ↔ p
2
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
LATIHAN SOAL
Ingkaran dari kalimat "Semua orang berdiri ketika tamu agung
memasuki ruangan" adalah ...
A
B
C
D
E
Semua orang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki
ruangan
Tidak ada orang yang berdiri ketika tamu agung memasuki
ruangan
Ada orang yang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan
Ada orang yang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki
ruangan
Semua orang tidak perlu berdiri ketika tamu agung keluar
ruangan
JAWABAN ANDA
SALAH
JAWABAN ANDA
SALAH
JAWABAN ANDA
SALAH
JAWABAN ANDA
BETUL
JAWABAN ANDA
SALAH
3
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
LATIHAN SOAL
p: Hari ini Jakarta hujan q: Hari ini Jakarta banjir
Bentuk konjungsi dari pernyataan diatas adalah ….
A
B
C
D
E
Hari ini Jakarta hujan tapi tidak banjir
Hari ini Jakarta hujan atau banjir
Hari ini Jakarta hujan dan banjir
Jika hari ini Jakarta hujan, maka hari ini banjir
Jakarta banjir jika dan hanya jika hari ini Jakarta
hujan
4
SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN
LATIHAN SOAL
Ditentukan pernyataan : (p ν ~q) → p
Konvers dari pernyataan tersebut adalah ….
A
B
C
D
E
p → (~p ν q)
p → (p ν q)
q → (p ν ~q)
p → ~(p ν ~q)
p → (p ν ~q)
5

More Related Content

What's hot

Koefisien binomial
Koefisien binomialKoefisien binomial
Koefisien binomialoilandgas24
 
Proposisi Logika Matematika
Proposisi Logika MatematikaProposisi Logika Matematika
Proposisi Logika MatematikaTaufik_Yui
 
Geometri datar dra. kusni- m.si
Geometri datar   dra. kusni- m.siGeometri datar   dra. kusni- m.si
Geometri datar dra. kusni- m.siKiki Ni
 
DEFINISI FUNGSI PROPOSISI DAN JENIS JENIS KUANTOR
DEFINISI FUNGSI PROPOSISI DAN JENIS JENIS KUANTORDEFINISI FUNGSI PROPOSISI DAN JENIS JENIS KUANTOR
DEFINISI FUNGSI PROPOSISI DAN JENIS JENIS KUANTORarlanridfan farid
 
Kata Hubung Kalimat Logika Matematika
Kata Hubung Kalimat Logika MatematikaKata Hubung Kalimat Logika Matematika
Kata Hubung Kalimat Logika MatematikaEman Mendrofa
 
Peubah acak diskrit dan kontinu
Peubah acak diskrit dan kontinuPeubah acak diskrit dan kontinu
Peubah acak diskrit dan kontinuAnderzend Awuy
 
BAB 2 Pencerminan (Refleksi)
BAB 2 Pencerminan (Refleksi)BAB 2 Pencerminan (Refleksi)
BAB 2 Pencerminan (Refleksi)Nia Matus
 
Metode pembuktian matematika
Metode pembuktian matematikaMetode pembuktian matematika
Metode pembuktian matematikaDidik Sadianto
 
Pertemuan 02 teori dasar himpunan
Pertemuan 02   teori dasar himpunanPertemuan 02   teori dasar himpunan
Pertemuan 02 teori dasar himpunanFajar Istiqomah
 
Aljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabarAljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabarmaman wijaya
 
Homomorfisma grup
Homomorfisma grupHomomorfisma grup
Homomorfisma grupYadi Pura
 
Analisis bab1 bab2
Analisis bab1 bab2Analisis bab1 bab2
Analisis bab1 bab2Charro NieZz
 
Aturan Inferensi dan Metode Pembuktian
Aturan Inferensi dan Metode PembuktianAturan Inferensi dan Metode Pembuktian
Aturan Inferensi dan Metode PembuktianFahrul Usman
 
Matematika Diskrit Relasi Rekursif
Matematika Diskrit Relasi RekursifMatematika Diskrit Relasi Rekursif
Matematika Diskrit Relasi RekursifAyuk Wulandari
 
proposisi majemuk & Tautologi
 proposisi majemuk & Tautologi proposisi majemuk & Tautologi
proposisi majemuk & TautologiHuzairi Zairi
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2Arvina Frida Karela
 

What's hot (20)

Koefisien binomial
Koefisien binomialKoefisien binomial
Koefisien binomial
 
Proposisi Logika Matematika
Proposisi Logika MatematikaProposisi Logika Matematika
Proposisi Logika Matematika
 
Teori Group
Teori GroupTeori Group
Teori Group
 
Geometri datar dra. kusni- m.si
Geometri datar   dra. kusni- m.siGeometri datar   dra. kusni- m.si
Geometri datar dra. kusni- m.si
 
DEFINISI FUNGSI PROPOSISI DAN JENIS JENIS KUANTOR
DEFINISI FUNGSI PROPOSISI DAN JENIS JENIS KUANTORDEFINISI FUNGSI PROPOSISI DAN JENIS JENIS KUANTOR
DEFINISI FUNGSI PROPOSISI DAN JENIS JENIS KUANTOR
 
Grup siklik
Grup siklikGrup siklik
Grup siklik
 
Kata Hubung Kalimat Logika Matematika
Kata Hubung Kalimat Logika MatematikaKata Hubung Kalimat Logika Matematika
Kata Hubung Kalimat Logika Matematika
 
Peubah acak diskrit dan kontinu
Peubah acak diskrit dan kontinuPeubah acak diskrit dan kontinu
Peubah acak diskrit dan kontinu
 
BAB 2 Pencerminan (Refleksi)
BAB 2 Pencerminan (Refleksi)BAB 2 Pencerminan (Refleksi)
BAB 2 Pencerminan (Refleksi)
 
Metode pembuktian matematika
Metode pembuktian matematikaMetode pembuktian matematika
Metode pembuktian matematika
 
Pertemuan 02 teori dasar himpunan
Pertemuan 02   teori dasar himpunanPertemuan 02   teori dasar himpunan
Pertemuan 02 teori dasar himpunan
 
Aljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabarAljabar 3-struktur-aljabar
Aljabar 3-struktur-aljabar
 
Homomorfisma grup
Homomorfisma grupHomomorfisma grup
Homomorfisma grup
 
Analisis bab1 bab2
Analisis bab1 bab2Analisis bab1 bab2
Analisis bab1 bab2
 
Aturan Inferensi dan Metode Pembuktian
Aturan Inferensi dan Metode PembuktianAturan Inferensi dan Metode Pembuktian
Aturan Inferensi dan Metode Pembuktian
 
Fungsi Pembangkit
Fungsi PembangkitFungsi Pembangkit
Fungsi Pembangkit
 
Prinsip Inklusi Eksklusi
Prinsip Inklusi EksklusiPrinsip Inklusi Eksklusi
Prinsip Inklusi Eksklusi
 
Matematika Diskrit Relasi Rekursif
Matematika Diskrit Relasi RekursifMatematika Diskrit Relasi Rekursif
Matematika Diskrit Relasi Rekursif
 
proposisi majemuk & Tautologi
 proposisi majemuk & Tautologi proposisi majemuk & Tautologi
proposisi majemuk & Tautologi
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
 

Similar to Logika Matematika

Modul logika matematika
Modul logika matematikaModul logika matematika
Modul logika matematikaarif_baehaqi
 
logika-matematika_edit.ppt
logika-matematika_edit.pptlogika-matematika_edit.ppt
logika-matematika_edit.pptrajatemran
 
1 - intro Diskrit Logika.ppt
1 - intro Diskrit   Logika.ppt1 - intro Diskrit   Logika.ppt
1 - intro Diskrit Logika.pptAskariB1
 
logika-matematika.ppt
logika-matematika.pptlogika-matematika.ppt
logika-matematika.pptssuser2693661
 
Logika matematika edit
Logika matematika editLogika matematika edit
Logika matematika editsamsaharsam
 
KAPITA SELEKTA MATEMATIKA
KAPITA SELEKTA MATEMATIKAKAPITA SELEKTA MATEMATIKA
KAPITA SELEKTA MATEMATIKANety24
 
DASAR DASAR LOGIKA
DASAR DASAR LOGIKADASAR DASAR LOGIKA
DASAR DASAR LOGIKAjulyrusiani
 
Modul matematika Mahasiswa Pendidikan Matematika Universitas Sriwijaya 2015
Modul matematika Mahasiswa Pendidikan Matematika Universitas Sriwijaya 2015Modul matematika Mahasiswa Pendidikan Matematika Universitas Sriwijaya 2015
Modul matematika Mahasiswa Pendidikan Matematika Universitas Sriwijaya 2015Bella Timorti
 
Apriyanti arifin panduan belajar matematika ips sukses ujian 2015
Apriyanti arifin panduan belajar matematika ips sukses ujian 2015Apriyanti arifin panduan belajar matematika ips sukses ujian 2015
Apriyanti arifin panduan belajar matematika ips sukses ujian 2015Apriyanti Arifin
 
Pernyataan majemuk
Pernyataan  majemukPernyataan  majemuk
Pernyataan majemukpooeetry
 

Similar to Logika Matematika (20)

8. rpp1
8. rpp18. rpp1
8. rpp1
 
Logika matematika1
Logika matematika1Logika matematika1
Logika matematika1
 
Logika
LogikaLogika
Logika
 
Modul logika matematika
Modul logika matematikaModul logika matematika
Modul logika matematika
 
logika-matematika_edit.ppt
logika-matematika_edit.pptlogika-matematika_edit.ppt
logika-matematika_edit.ppt
 
Bab 9-logika-matematika
Bab 9-logika-matematikaBab 9-logika-matematika
Bab 9-logika-matematika
 
1 - intro Diskrit Logika.ppt
1 - intro Diskrit   Logika.ppt1 - intro Diskrit   Logika.ppt
1 - intro Diskrit Logika.ppt
 
Logika math1
Logika math1Logika math1
Logika math1
 
logika-matematika.ppt
logika-matematika.pptlogika-matematika.ppt
logika-matematika.ppt
 
Logika matematika edit
Logika matematika editLogika matematika edit
Logika matematika edit
 
Kelas x bab 7
Kelas x bab 7Kelas x bab 7
Kelas x bab 7
 
Kelas x bab 7
Kelas x bab 7Kelas x bab 7
Kelas x bab 7
 
Kelas x bab 7
Kelas x bab 7Kelas x bab 7
Kelas x bab 7
 
KAPITA SELEKTA MATEMATIKA
KAPITA SELEKTA MATEMATIKAKAPITA SELEKTA MATEMATIKA
KAPITA SELEKTA MATEMATIKA
 
DASAR DASAR LOGIKA
DASAR DASAR LOGIKADASAR DASAR LOGIKA
DASAR DASAR LOGIKA
 
Modul matematika Mahasiswa Pendidikan Matematika Universitas Sriwijaya 2015
Modul matematika Mahasiswa Pendidikan Matematika Universitas Sriwijaya 2015Modul matematika Mahasiswa Pendidikan Matematika Universitas Sriwijaya 2015
Modul matematika Mahasiswa Pendidikan Matematika Universitas Sriwijaya 2015
 
Apriyanti arifin panduan belajar matematika ips sukses ujian 2015
Apriyanti arifin panduan belajar matematika ips sukses ujian 2015Apriyanti arifin panduan belajar matematika ips sukses ujian 2015
Apriyanti arifin panduan belajar matematika ips sukses ujian 2015
 
Pernyataan majemuk
Pernyataan  majemukPernyataan  majemuk
Pernyataan majemuk
 
Logika matematika
Logika matematikaLogika matematika
Logika matematika
 
Slide-GNR105-Pertemuan-2.pptx
Slide-GNR105-Pertemuan-2.pptxSlide-GNR105-Pertemuan-2.pptx
Slide-GNR105-Pertemuan-2.pptx
 

More from A Sisdianto Sumarna

More from A Sisdianto Sumarna (8)

FTP1 Konfigurasi proftpd.pptx
FTP1 Konfigurasi proftpd.pptxFTP1 Konfigurasi proftpd.pptx
FTP1 Konfigurasi proftpd.pptx
 
Sistem Keamanan Jaringan
Sistem Keamanan JaringanSistem Keamanan Jaringan
Sistem Keamanan Jaringan
 
Keamanan Jaringan Komputer
Keamanan Jaringan KomputerKeamanan Jaringan Komputer
Keamanan Jaringan Komputer
 
Kebijakan Penggunaan Jaringan
Kebijakan Penggunaan JaringanKebijakan Penggunaan Jaringan
Kebijakan Penggunaan Jaringan
 
Alat Ukur Elektronik
Alat Ukur ElektronikAlat Ukur Elektronik
Alat Ukur Elektronik
 
Prinsip K3 dalam TIK
Prinsip K3 dalam TIKPrinsip K3 dalam TIK
Prinsip K3 dalam TIK
 
Jenis Layanan & Macam Sistem Operasi Jaringan
Jenis Layanan & Macam Sistem Operasi JaringanJenis Layanan & Macam Sistem Operasi Jaringan
Jenis Layanan & Macam Sistem Operasi Jaringan
 
Konsep dan Sejarah Sistem Operasi
Konsep dan Sejarah Sistem OperasiKonsep dan Sejarah Sistem Operasi
Konsep dan Sejarah Sistem Operasi
 

Logika Matematika

  • 1. Oleh : Amo Sisdianto, S.Kom Matematika SMK Kelas X LOGIKA MATEMATIKA
  • 2. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN PENYUSUN Amo Sisdianto, S.Kom Guru SMK Bina Karya 2 Karawang untuk mata pelajaran Matematika kelas X dan XI asisdi4nto@yahoo.com aantomatika.blogspot.co m @sisdianto A Sisdianto Sumarna
  • 3. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN SK/KD STANDAR KOMPETENSI Menerapkan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. KOMPETENSI DASAR 1. Mendeskripsikan pernyataan dan bukan pernyataan (kalimat terbuka) 2. Mendeskripsikan ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi dan ingkarannya 3. Mendeskripsikan Invers, Konvers dan Kontraposisi 4. Menerapkan modus panens, modus tollens dan prinsip silogisme dalam menarik kesimpulan
  • 4. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN BAHASAN LOGIKA MATEMATIKA NEGASI PERNYATAAN MAJEMUK PERNYATAAN MAJEMUK OPERASI LOGIKA KONVERS, INVERS & KONTRAPOSISI PENARIKAN KESIMPULAN PERNYATAAN & BUKAN PERNYATAAN KALIMAT BERKUANTOR
  • 5. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN Logika adalah suatu metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran (pemikiran yang masuk akal). Logika matematika adalah ilmu yang digunakan untuk menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan atau penarikan kesimpulan berdasarkan aturan-aturan dasar yang berlaku. PERNYATAAN DAN BUKAN PERNYATAAN Dalam logika Matematika dikenal istilah: • Kalimat pernyataan • Kalimat bukan pernyataan • Kalimat terbuka
  • 6. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN PERNYATAAN DAN BUKAN PERNYATAAN Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti :a, b, c , dll. Contoh: a : 2 adalah bilangan genap b : 4 habis dibagi 3 c : Nilai x yang memenuhi 3x + 1 = 7 adalah 2 d : Ibukota Indonesia adalah Jakarta Pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran B (benar), sedangkan pernyataan yang salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran S (salah). Kata nilai kebenaran dilambangkan dengan (tau). Contoh: a : 8 adalah bilangan genap, merupakan pernyataan yang benar, (a)=B p : 5 lebih kecil dari 4, merupakan pernyataan yang salah, (p)=S Pernyataan adalah kalimat yang hanya bernilai benar saja atau salah saja, tidak bisa sekaligus benar dan salah
  • 7. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN Berdasarkan pengertian tadi, pernyataan merupakan suatu kalimat. Akan tetapi, suatu kalimat belum tentu pernyataan. Berikut ini merupakan contoh kalimat yang bukan pernyataan karena tidak deklaratif (menerangkan sesuatu) : a. Dilarang merokok! b. Awas... ada maling c. Berapa jumlah siswa SMK Bina Karya 2 ? d. Jangan melecehkan sesama teman. Berdasarkan contoh di atas, kalimat-kalimat yang digolongkan sebagai pernyataan adalah kalimat yang menerangkan sesuatu (deklaratif). Namun tidak semua kalimat deklaratif juga termasuk pernyataan. Berikut ini contohnya: a. Gaun itu indah sekali b. Siti gadis yang cantik c. Suasana di pantai sangat sejuk sekali d. Bronis kukus itu enak banget PERNYATAAN DAN BUKAN PERNYATAAN
  • 8. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN Variabel adalah simbol yang menunjukkan suatu anggota yang belum spesifik dalam semesta pembicaraan. Konstanta adalah simbol yang menunjukkan anggota tertentu dalam semesta pembicaraan. Kalimat terbuka: “Orang itu seorang petinju” Kalimat tertutup ”Mike Tyson seorang petinju” Yang bernilai benar. Orang itu merupakan variabel, sedangkan Mike Tyson merupakan konstanta. Kalimat terbuka : “4x + 10 = 25” Kalimat tertutup : “4(5) + 10 = 25” x merupakan variabel, sedangkan 5 merupakan konstanta. Perhatikan contoh berikut: Kalimat terbuka yaitu kalimat yang mengandung variabel yang belum pasti benar atau salah. Jika variabel tersebut diganti konstanta dengan semesta yang sesuai kalimat itu akan menjadi kalimat yang bernilai benar saja atau salah saja yang disebut Kalimat tertutup KALIMAT TERBUKA
  • 9. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN Berikut ini contoh lainnya untuk membedakan pernyataan dan bukan pernyataan serta kalimat terbuka : a. Siti gadis yang cantik dan pintar sekali b. Netherland adalah ibukota Belanda c. x adalah faktor dari 10 d. Cuaca hari ini sangat panas e. 21 adalah bilangan prima f. 24 habis dibagi 6 g. Kerjakan tugas-tugasmu dengan baik! h. Pemuda berkemeja panjang itu terjatuh dari motor i. Taman bergantung adalah salah satu keajaiban dunia yang dibangun kerajaan Babylonia (bukan pernyataan) (pernyataan bernilai salah) (bukan pernyataan/ kalimat terbuka) (bukan pernyataan) (pernyataan bernilai salah) (pernyataan bernilai benar) (bukan pernyataan) (bukan pernyataan) (pernyataan bernilai salah) KALIMAT TERBUKA TUGAS
  • 10. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN TUGAS 1 Dari kalimat-kalimat berikut ini, manakah yang termasuk pernyataan dan bukan pernyataan? Jika termasuk pernyataan, tentukan nilai kebenarannya! a : 4 + 5 = 7 b : Semua bilangan prima adalah ganjil c : Mudah-mudahan cuaca hari ini cerah d : Kota Madiun ada di pulau Jawa e : Kota Manokwari tidak jauh f : 1.250 habis dibagi 7 g : Suku ke-4 dari barisan 2, 6, 10, ... adalah 16 h : Hapus papan tulis itu i : Pantai Parangtritis indah sekali j : x2 – 3x + 4 < 0 k : Ibukota Inggris adalah Luxemburg l : Bigband berada di Amerika Serikat m : 2x2 -1 = 1 n : Faktor dari 12 adalah 2, 6, 4 dan 8 o : 7 adalah bilangan prima 1.
  • 11. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN TUGAS 1 p : Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil q : 243 habis dibagi 9 dan 3 r : Mudah-mudahan kita sehat walafiat s : Ikan paus bernafas dengan paru-paru t : Jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 180o u : Kerjakan tugas-tugasmu dengan baik ! v : 21 adalah bilangan prima w : x adalah Faktor dari 10 x : Buktikan bahwa 3,14 adalah bilangan irasional y : 3x + 5x = 35 z : Lawan dari bilangan prima disebut bilangan komposit
  • 12. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN OPERASI LOGIKA & PERNYATAAN MAJEMUK Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung dalam suatu operasi logika. Beberapa operasi logika tersebut adalah : a. Negasi (ingkaran/ tidak) b. Disjungsi (atau) c. Konjungsi (dan) d. Implikasi (jika... maka...) e. Biimplikasi (... jika dan hanya jika ...) NEGASI BIIMPLIKASI OPERASI LOGIKA DISJUNGSI KONJUNGSI IMPLIKASI TUGAS
  • 13. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN NEGASI p ~p B S S B Contoh: p: 7 adalah bilangan prima , maka ~p: 7 bukan bilangan prima q : 3+2 sama dengan 6 , maka ~q: 3+2 tidak sama dengan 6 Tabel kebenarannya : Jika p merupakan sebuah pernyataan, maka ingkaran atau negasi dari p ditulis dengan lambang ~p.
  • 14. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN NEGASI 1. p : 2 + 5 = 7 ~p : 2 + 5 ≠ 7 ~p : Tidak benar bahwa 2 + 5 = 7 2. q : Semua pelajar berbaju putih ~q : Tidak semua pelajar berbaju putih ~q : Beberapa pelajar tidak berbaju putih ~q : Ada pelajar yang tidak berbaju putih Contoh : Tentukanlah negasi dari pernyataan berikut! (benar) (salah) (salah) (benar) (salah) (salah) (salah)
  • 15. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN DISJUNGSI p q B B S S B S B S B B B S qp Disjungsi adalah gabungan dari dua pernyataan yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung atau. Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q, ditulis dengan lambang: Disjungsi p ν q bernilai benar jika salah satu p atau q atau keduanya adalah benar; disjungsi bernilai salah hanya jika p dan q bernilai salah. Tabel kebenaran disjungsi sebagai berikut: qp dibaca p atau q
  • 16. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN CONTOH DISJUNGSI p : Saya rajin belajar q : Saya lulus UN pvq : Saya rajin belajar atau saya lulus UN p : 2 adalah bilangan prima q : 2 adalah bilangan genap pvq : 2 adalah bilangan prima atau 2 adalah bilangan genap p : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15 q : 15 adalah bilangan prima pvq : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15 atau 15 adalah bilangan prima p : 15 adalah bilangan prima q : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15 pvq : 15 adalah bilangan prima atau faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15 p : 9 adalah bilangan prima q : 9 adalah bilangan genap pvq : 9 adalah bilangan prima atau 9 adalah bilangan genap (benar) (benar) (benar) (benar) (salah) (benar) (salah) (benar) (benar) (salah) (salah) (salah) 1. 2. 3. 4. 5.
  • 17. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN p q B B S S B S B S B S S S KONJUNGSI Konjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan yang dirangkai dengan kata hubung dan. Konjungsi pernyataan p dan pernyataan q, ditulis dengan lambang: qp Dibaca p dan q Konjungsi bernilai benar jika p dan q keduanya adalah benar; konjungsi bernilai salah jika salah satu p atau q (atau keduanya) adalah salah. Tabel kebenarannya adalah: qp
  • 18. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN CONTOH KONJUNGSI p : Pagi ini udaranya segar q : Matahari bersinar terang p˄q : Pagi ini udaranya segar dan matahari bersinar terang p : 2 adalah bilangan prima q : 2 adalah bilangan genap p˄q : 2 adalah bilangan prima dan 2 adalah bilangan genap p : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15 q : 15 adalah bilangan prima p˄q : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15 dan 15 adalah bilangan prima p : 15 adalah bilangan prima q : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15 p˄q : 15 adalah bilangan prima dan faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15 p : 9 adalah bilangan prima q : 9 adalah bilangan genap p˄q : 9 adalah bilangan prima dan 9 adalah bilangan genap (benar) (benar) (benar) (benar) (salah) (salah) (salah) (benar) (salah) (salah) (salah) (salah) 1. 2. 3. 4. 5.
  • 19. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN IMPLIKASI p q B B S S B S B S B S B B qp Implikasi atau Kondisional adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan p dan pernyataan q dalam bentuk jika p maka q. Implikasi jika p maka q ditulis dengan lambang: qp Dibaca jika p maka q atau p hanya jika q q jika p p syarat cukup bagi q q syarat perlu bagi p Tabel kebenaran implikasi adalah sebagai berikut:
  • 20. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN CONTOH IMPLIKASI p : Kamu lulus ujian q : Kamu diberi hadiah : Jika kamu lulus ujian maka kamu diberi hadiah p : 2 adalah bilangan genap q : 2 + 3 adalah 5 : Jika 2 adalah bilangan genap maka 2 + 3 adalah 5 p : 2 adalah bilangan genap q : 2 + 3 adalah 7 : Jika 2 adalah bilangan genap maka 2 + 3 adalah 7 p : 2 + 3 adalah 7 q : 2 adalah bilangan genap : Jika 2 + 3 adalah 7 maka 2 adalah bilangan genap p : 2 + 3 adalah 7 q : 2 adalah bilangan ganjil : Jika 2 + 3 adalah 7 maka 2 adalah bilangan ganjil (benar) (benar) (benar) (benar) (salah) (salah) (salah) (benar) (benar) (salah) (salah) (benar) 1. 2. 3. 4. 5. qp qp qp qp qp
  • 21. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN BIIMPLIKASI p q B B S S B S B S B S S B qp Biimplikasi atau disebut juga Bikondisional adalah hubungan pernyataan- pernyataan p dan q yang dituliskan sebagai berikut: qp dibaca : p jika dan hanya jika q Jika p maka q dan jika q maka p p syarat perlu dan cukup bagi q q syarat perlu dan cukup bagi p Tabel kebenaran
  • 22. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN CONTOH BIIMPLIKASI p : Kucing termasuk karnivora q : Kucing pemakan daging : Kucing termasuk karnivora jika dan hanya jika kucing pemakan daging (benar) (benar) (benar) (benar) (salah) (salah) (salah) (benar) (salah) (salah) (salah) (benar) 1. 2. 3. 4. 5. p : 2 adalah bilangan genap q : 2 x 3 = 6 : 2 adalah bilangan genap jika dan hanya jika 2 x 3 = 6 p : 2 adalah bilangan genap q : 2 x 3 = 5 : 2 adalah bilangan genap jika dan hanya jika 2 x 3 = 5 p : 2 adalah bilangan ganjil q : 2 x 3 = 6 : 2 adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika 2 x 3 = 6 p : 2 adalah bilangan ganjil q : 2 x 3 = 5 : 2 adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika 2 x 3 = 5 (benar) (benar) (benar)qp qp qp qp qp
  • 23. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN TUGAS 2 Hubungkan dua pernyataan berikut sebagai bentuk disjungsi, konjungsi, implikasi dan biimplikasi ! 1. a. p: 4 bukan bilangan ganjil q: 4 habis dibagi 2 b. p: Jam Gadang berada di Sumatera Selatan q: Gedung tertinggi di dunia adalah Burj Khalifa c. p: dua garis sejajar tidak mempunyai titik potong q: dua garis sejajar mempunyai gradient yang sama d. p: Iwan memakai topi q: Iwan memakai dasi e. p: Hari ini mendung q: Hari ini akan hujan
  • 24. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN TUGAS 2 Jika pernyataan p: “ia kaya” dan pernyataan q: “ia bahagia”, maka terjemahkan lambang-lambang berikut ! a. p ∧ q b. ~p ∨ ~q c. p → q d. p ∨ q e. ~p ∧ q f. q ↔ ~p g. p ↔ q h. p ∨ ~q i. ~q → p j. ~p → q k. ~p → ~q l. ~(p → ~q) 2. Jika pernyataan p: “hari ini cuaca cerah” dan pernyataan q: “matahari bersinar”, maka tulislah lambang-lambang dari penyataan-pernyataan berikut ! a. Hari ini cuaca cerah dan matahari bersinar b. Hari ini cuaca cerah atau matahari bersinar c. Jika hari ini cuaca cerah, maka matahari tidak bersinar d. Hari ini cuaca tidak cerah atau matahari bersinar e. Hari ini cuaca tidak cerah jika dan hanya jika matahari bersinar f. Jika matahari tidak bersinar, maka hari ini cuaca cerah g. Matahari tidak bersinar jika dan hanya jika hari ini cuaca cerah 3.
  • 25. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN PERNYATAAN MAJEMUK Pernyataan majemuk dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal (componen) yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung logika. Contohnya: qp~ pqp )~(2. 1. Contoh: Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut: pqp )~( Untuk menentukan nilai kebenarannya, digunakan tabel kebenaran Jadi nilai kebenaran dari pqp )~( adalah B,B,B,S Atau ditulis: ])~[( pqp B B B S B S B S B B S S qp pqp )~(q~ )~( qp S B S B B B S B B B B S 1.
  • 26. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN PERNYATAAN MAJEMUK Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut: rqp )(~ Untuk menentukan nilai kebenarannya, digunakan tabel kebenaran sebagai berikut: 2. p q r ~p (~p ˄q) B B B S S B B B S S S B B S B S S B B S S S S B S B B B B B S B S B B S S S B B S B S S S B S B rqp )(~
  • 27. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN qp Dua buah penyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu memiliki nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan komponen-komponennya Lambang dari dua buah pernyataan majemuk yang equivalen adalah )~(~)(~ qpqp )~(~)(~ qpqp )~()(~ qpqp )~()~()(~ pqqpqp )(~)( qpqp Contoh :
  • 28. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN p q ~p ~q (p v q) ~(p v q) (~p ˄ ~q) B B S S B S S B S S B B S S S B B S B S S S S B B S B B p q ~p B B S B B B S S S S S B B B B S S B B B )( qp )(~ qp )~(~)(~ qpqp bahwaterbukti )(~)( qpqp bahwaterbukti
  • 29. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN )~(~)(~ qpqp p : Mama mengantar adik , q : Saya belajar (p V q) : Mama mengantar adik atau saya belajar ~(p V q) : (~p ~q) =Mama tidak mengantar adik dan saya tidak belajar )~()(~ qpqp p : Saya naik kelas , q : Saya dapat hadiah p q : Jika Saya naik kelas maka Saya dapat hadiah ~(p q) =(p ~q) : Saya naik kelas dan Saya tidak dapat hadiah Saya naik kelas tetapi Saya tidak dapat hadiah PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN
  • 30. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN pqqp pqqp Sifat Komutatif )()( rqprqp )()( rqprqp Sifat Asosiatif Distributif konjungsi terhadap disjungsi Sifat Distributif )()()( rpqprqp Distibutif konjungsi terhadap disjungsi )()()( rpqprqp Dari ekuivalensi pernyataan-pernyataan majemuk didapat sifat-sifat yang berlaku pada operasi logika yaitu: TUGAS
  • 31. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN TUGAS 3 Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut:1. a. ~p ∧ ~q b. ~ (p ↔ q) c. p → ~q d. ~p → q e. (p ∨ q) ↔ ~p f. p → (p ∨ q) g. p → (~p ∨ q) h. ~p → ~q i. (p ∧ ~q) → (`~p ∨ q) j. p → (~q ↔ p) k. (p ∧ q) ↔ p l. (p → ~q) ∨ ~p
  • 32. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN TUGAS 3 Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut: rqpe rqpd rqpc rqpb rqpa )(. )~(~. ~)~(. )~(~. )(~~. 2. Selidiki dengan tabel kebenaran apakah pernyataan berikut ekuivalen: )()(~. )()()(. pqqpqpb rpqprqpa 3.
  • 33. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN NEGASI PERNYATAAN MAJEMUK OPERASI LAMBANG NEGASI DISJUNGSI p v q ~p ˄ ~q KONJUNGSI p ˄ q ~p v ~q Bandung adalah kota kembang atau ibukota Jawa Barat Contoh disjungsi : Bandung bukan kota kembang dan bukan ibukota Jawa Barat Bentuk negasinya: Soal ulangan Matematika jumlahnya sedikit dan sulit Contoh konjungsi : Soal ulangan Matematika jumlahnya banyak atau mudah Bentuk negasinya:
  • 34. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN NEGASI PERNYATAAN MAJEMUK Contoh implikasi : Jika 5 adalah faktor dari 25, maka 5 adalah bilangan prima 5 adalah faktor dari 25 dan 5 bukan bilangan prima Bentuk negasinya: Contoh biimplikasi : 2log 8 = 3 jika dan hanya jika 23 = 8 2log 8 = 3 jika dan hanya jika 23 ≠ 8 Bentuk negasinya: 2log 8 ≠ 3 jika dan hanya jika 23 = 8atau: OPERASI LAMBANG NEGASI IMPLIKASI BIIMPLIKASI qp qp qp ~ qpatauqp ~~ TUGAS
  • 35. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN TUGAS 4 Tentukan negasi dari pernyataan majemuk berikut !1. a. 123 adalah bilangan ganjil dan habis dibagi 3. b. Ibu sedang memasak sayur atau pergi ke pasar. c. Jika x bilangan real, maka x2 ≥ 0. d. Budi lulus SMPTN jika dan hanya jika ia rajin belajar. e. Heru ujian nasional dan Budi lulus SMPTN. f. Tujuh adalah bilangan ganjil atau besi adalah benda cair. g. Jika hari ini tidak turun hujan, maka ia pergi ke pasar. h. Jika pak Amir seorang profesor, maka ia seorang dosen. i. Aku dan kau suka membaca buku cerita j. Hari ini hujan atau anginnya kencang k. Emas tenggelam dalam air raksa atau air tawar l. Segitiga ABC siku-siku dan sama kaki m. Katak bernafas dengan insang atau paru-paru n. Harga barang-barang murah dan jumlah barang tidak berkurang
  • 36. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN KONVERS, INVERS & KONTRAPOSISI p q ~p ~q p q ~q ~p q p ~p ~q pq qp qp ~~ qp pq ~~ qp , disebut konvers dari implikasi , disebut invers dari implikasi , disebut kontraposisi dari implikasi qp maka kita bisa membuat beberapa buah implikasi yang lain, yaitu Jika kita mempunyai sebuah implikasi B B S S B S B S S S B B B S B B B B S B B B S B B S B B S B S B qp pq ~~≡ Implikasi ekuivalen dengan kontraposisi pq qp ~~≡ Konvers ekuivalen dengan invers
  • 37. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN Jika x = 90o maka x adalah sudut dalam persegiKonvers : Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari tiap implikasi berikut: )(~. rqpb a. Jika x adalah sudut dalam persegi maka x = 90o. Kontraposisi : Invers : Jika x bukan sudut dalam persegi maka x ≠ 90o. Jika x ≠ 90o maka x bukan sudut dalam persegi a. b. Konvers : Kontraposisi : Invers : prq ~)( prq )~(~ )~(~ rqp KONVERS, INVERS & KONTRAPOSISI Penyeleseian : TUGAS
  • 38. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN TUGAS 5 Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari tiap implikasi berikut: )(~. )(. rqpb rqpa 1. Buatlah pernyataan konvers, invers, dan kontrapositif dalam bentuk kalimat! a. Jika engkau rajin belajar, maka engkau dapat naik kelas b. Jika ABCD persegi panjang, maka AC=BD c. Jika x bilangan genap, maka x2habis dibagi 4 d. Jika x2 bilangan ganjil, maka x bilangan ganjil e. Jika 3 + 3 = 7 maka 4 + 4 = 8 f. Jika guru tidak datang, maka semua murid senang g. Jika hari hujan, maka matahari tidak bersinar 2.
  • 39. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN KALIMAT BERKUANTOR CONTOH: SEMUA SISWA KELAS X SMK 2 BINABAKTI PANDAI. KATA SEMUA ATAU SETIAP MERUPAKAN KUANTOR UNIVERSAL (UMUM) LAMBANG DARI KUATOR UNIVERSAL ADALAH: KUANTOR UMUM (KUANTOR UNIVERSAL) dibaca, untuk semua x anggota S berlakulah p(x))(, xpSx )(, xpx dibaca, untuk semua x berlakulah p(x) atau
  • 40. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN KALIMAT BERKUANTOR BxAxx dan, Beberapa siswa kelas X SMA Satu pandai. Kata beberapa atau ada merupakan kuantor eksistensial (khusus) Misalkan: U=himpunan semua siswa SMA di Jakarta A=himpunan semua siswa SMA Satu B=himpunan semua siswa kelas X SMA satu yang pandai Pernyataan “Beberapa siswa kelas X SMA Satu pandai”, dapat ditulis dengan lambang berikut: dibaca: Beberapa siswa SMA Satu pandai, atau Sekurang-kurangnya ada seorang ada seorang siswa kelas X SMA Satu yang pandai. KUANTOR KHUSUS (KUANTOR EKSISTENSIAL)
  • 41. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR )(~,)](,[~ xpxxpx )(~,)](,[~ xpxxpx p : Semua siswa Satu rajin belajar ~p : Ada siswa Satu yang tidak rajin belajar q : Ada siswa Satu yang rumahnya di Kelapa Gading ~q : Semua siswa Satu rumahnya tidak di Kelapa Gading r : Jika semua siswa kelas satu naik kelas maka Saya senang ~r : Semua siswa kelas satu naik kelas dan Saya tidak senang ~r : Semua siswa kelas satu naik kelas tetapi Saya tidak senang Contoh: KALIMAT BERKUANTOR TUGAS
  • 42. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN TUGAS 6 1. Tulislah ingkaran dari kalimat-kalimat dibawah ini ! a. Semua burung bersayap. b. Semua orang Indonesia makanan pokoknya nasi. c. Beberapa guru susah jika ada beberapa murid yang tidak lulus ujian. d. Di semua sekolah ada murid yang menganggap matematika mudah. e. Tidak ada seorang pun yang boleh melihat.
  • 43. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN Pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya disebut premis Kemudian dengan menggunakan prinsip logika dapat diturunkan pernyataan baru (kesimpulan/ konklusi). Penarikan kesimpulan tersebut sering juga disebut argumentasi. Suatu argumentasi dikatakan sah jika premis-premisnya benar, maka konklusinya juga benar Contoh: Jika hari ini hujan, maka jalanan basah premis 1 Jika jalanan basah, maka saya tidak berangkat sekolah premis 2 Jika hari ini hujan, maka saya tidak berangkat sekolah rp kesimpulan/konklusi qp rq premis 1 premis 2 1. Sillogisme konklusi PENARIKAN KESIMPULAN
  • 44. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN 2. Modus ponen qp p q premis 1 premis 2 kesimpulan/konklusi Contoh: premis 1 Jika saya punya uang banyak, maka saya akan membeli rumah premis 2 Saya punya uang banyak konklusi Saya akan membeli rumah PENARIKAN KESIMPULAN
  • 45. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN 3. Modus tollens qp q~ p~ premis 1 premis 2 kesimpulan/konklusi Contoh: premis 1 Jika hari ini cuaca cerah , maka saya datang ke pestamu premis 2 Saya tidak datang ke pestamu konklusi Hari ini cuaca tidak cerah Suatu argumentasi dikatakan sah jika konjungsi dari premis-premisnya berimplikasi dengan konklusinya merupakan TAUTOLOGI PENARIKAN KESIMPULAN
  • 46. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI TAUTOLOGI TAUTOLOGI ADALAH SEBUAH PERNYATAAN MAJEMUK YANG SELALU BENAR UNTUK SEMUA KEMUNGKINAN NILAI KEBENARAN DARI PERNYATAAN-PERNYATAAN KOMPONENNYA. p q (pvq) B B S S B S B S )( qppTabel Contoh: Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk )( qpp adalah sebuah tautologi B B B S B B B B Jadi pernyataan merupakan tautologi)( qpp KONTRADIKSI Kontradiksi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.
  • 47. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN KEABSAHAN ARGUMENTASI Periksalah sah atau tidaknya argumentasi berikut:1. rp rq qp ~ ~ B S B B B S S B B B B B S B S B )(~)( rqqp )~()](~)[( rprqqpp q r B B B B B S B S B B S S S B B S B S S S B S S S ~q ~r S S S B B S B B S S S B B S B B B B S B B B B B S B S B B B B B B B S B B S S B qp rq~ rp ~ Dari tabel tampak bahwa bukan merupakan tautologi (tidak bernilai benar semua). Jadi argumentasi tersebut tidak sah )~()](~)[( rprqqp
  • 48. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN KEABSAHAN ARGUMENTASI Periksalah sah atau tidaknya argumentasi berikut:2. Jika hutan gundul maka terjadi banjir Tidak terjadi banjir Hutan tidak gundul Untuk menguji sah atau tidaknya argumentasi tersebut, digunakan tabel kebenaran. Misal : hutan gundul = p terjadi banjir = q p q qp ~ ~
  • 49. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN KEABSAHAN ARGUMENTASI B S B S S B B S B B B B qp Sehingga tabel kebenaran yang diuji adalah : pqqp ~]~)[(qqp ~)( qpqp ~]~)[(Dari tabel tampak bahwa merupakan tautologi (bernilai benar semua). Jadi argumentasi tersebut sah p q ~p ~q B B S S B S S B S B B S S S B B TUGAS
  • 50. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN TUGAS 7 Tentukanlah pola penarikan kesimpulan dari argumentasi berikut!1. Premis 1: Jika log 10 = 1 maka 2log 8 = 3 Premis 2: log 10 = 1 Konklusi: 2log 8 = 3 b. Premis 1: Jika Ibu pergi maka adik menangis Premis 2: Adik tidak menangis Konklusi: Ibu tidak pergi a. Premis 1: Jika semua masyarakat resah maka harga bbm naik Premis 2: Harga BBM naik atau harga bahan pokok naik Premis 3: Harga bahan pokok naik c. Premis 1: Jika Aldi seorang programer IT maka Aldi memahami flowchart Premis 2: Jika Aldi memahami flowchart maka Aldi mampu mengoperasikan PC Konklusi: Jika Aldi seorang programer IT maka Aldi mampu mengoperasikan PC d.
  • 51. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN TUGAS 7 Periksalah sah atau tidaknya argumentasi berikut:2. Dengan menggunakan tabel kebenaran, periksa sah atau tidak argumentasi berikut! rp rq qpa ~ ~ . 3. Jika hari ini hujan maka pejalan kaki memakai payung Pejalan kaki memakai payung Hari ini tidak hujan rp rq qpb ~ ~ .
  • 52. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN LATIHAN SOAL Negasi dari: “Semua siswa tidak membuat tugas kokurikuler” adalah …. A B C D E Semua siswa tidak membuat tugas kokurikuler Ada siswa yang tidak membuat tugas kokurikuler Beberapa siswa membuat tugas kokurilkuler Beberapa siswa tidak membuat tugas kokurikuler Tidak ada siswa membuat tugas kokurikuler 1
  • 53. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN LATIHAN SOAL Jika pernyataan p bernilai benar dan q bernilai salah, pernyataan berikut yang bernilai salah adalah ... A B C D E q ↔ ~p ~p ν q ~q Λ p ~p → ~q ~q ↔ p 2
  • 54. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN LATIHAN SOAL Ingkaran dari kalimat "Semua orang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan" adalah ... A B C D E Semua orang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan Tidak ada orang yang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan Ada orang yang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan Ada orang yang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan Semua orang tidak perlu berdiri ketika tamu agung keluar ruangan JAWABAN ANDA SALAH JAWABAN ANDA SALAH JAWABAN ANDA SALAH JAWABAN ANDA BETUL JAWABAN ANDA SALAH 3
  • 55. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN LATIHAN SOAL p: Hari ini Jakarta hujan q: Hari ini Jakarta banjir Bentuk konjungsi dari pernyataan diatas adalah …. A B C D E Hari ini Jakarta hujan tapi tidak banjir Hari ini Jakarta hujan atau banjir Hari ini Jakarta hujan dan banjir Jika hari ini Jakarta hujan, maka hari ini banjir Jakarta banjir jika dan hanya jika hari ini Jakarta hujan 4
  • 56. SK/KD MATERI LAT. SOALPENYUSUN LATIHAN SOAL Ditentukan pernyataan : (p ν ~q) → p Konvers dari pernyataan tersebut adalah …. A B C D E p → (~p ν q) p → (p ν q) q → (p ν ~q) p → ~(p ν ~q) p → (p ν ~q) 5