Dokumen tersebut memberikan contoh-contoh penggunaan logika predikat dan kuantor untuk menyatakan kalimat dalam bahasa matematika maupun bahasa sehari-hari. Termasuk cara menentukan nilai kebenaran proposisi logika, menuliskan kembali kalimat menggunakan simbol logika, dan mengubah antara kalimat positif dan negasinya.
Dokumen tersebut membahas tentang logika predikat, kuantor universal dan eksistensial, serta ingkaran kalimat berkuantor. Logika predikat memperluas logika proposisi dengan memungkinkan predikat untuk menyatakan sesuatu tentang banyak objek sekaligus. Kuantor digunakan untuk mengkuantifikasi seberapa banyak objek yang memenuhi suatu predikat, dan terdiri dari kuantor universal dan eksistensial. Ingkaran kalimat berkuantor meny
Relasi merupakan hubungan antara dua himpunan. Dokumen menjelaskan definisi relasi, contoh relasi, sifat-sifat relasi seperti refleksif, simetris, transitif, dan operasi-operasi pada relasi seperti invers dan komposisi relasi. Dokumen juga membahas relasi kesetaraan, kelas kesetaraan, matriks relasi, dan klosur relasi.
[/ringkasan]
Dokumen tersebut membahas tentang logika predikat, kuantor universal dan eksistensial, serta ingkaran kalimat berkuantor. Logika predikat memperluas logika proposisi dengan memungkinkan predikat untuk menyatakan sesuatu tentang banyak objek sekaligus. Kuantor digunakan untuk mengkuantifikasi seberapa banyak objek yang memenuhi suatu predikat, dan terdiri dari kuantor universal dan eksistensial. Ingkaran kalimat berkuantor meny
Relasi merupakan hubungan antara dua himpunan. Dokumen menjelaskan definisi relasi, contoh relasi, sifat-sifat relasi seperti refleksif, simetris, transitif, dan operasi-operasi pada relasi seperti invers dan komposisi relasi. Dokumen juga membahas relasi kesetaraan, kelas kesetaraan, matriks relasi, dan klosur relasi.
[/ringkasan]
Dokumen tersebut membahas tentang grup permutasi. Grup permutasi adalah himpunan permutasi-permutasi dari suatu himpunan yang membentuk sebuah grup dengan operasi komposisi fungsi. Dokumen tersebut menjelaskan definisi grup permutasi, sifat-sifatnya, cycle dan orbit dalam grup permutasi, serta beberapa teorema yang berkaitan dengan grup permutasi seperti teorema produk disjoint cycles dan order suatu permutasi.
Dokumen tersebut membahas tentang logika predikat, meliputi latar belakang, simbol, kuantor, dan contoh-contoh pernyataan logika predikat dalam 3 kalimat atau kurang.
Dokumen tersebut membahas relasi rekurensi, yang merupakan persamaan yang menghubungkan suatu fungsi numerik dengan dirinya sendiri atau fungsi sebelumnya. Relasi rekurensi dapat berupa linier atau non-linier, homogen atau non-homogen, dan metode penyelesaiannya bergantung pada akar karakteristik dari persamaan terkait. Contoh relasi rekurensi dan cara penyelesaiannya juga diberikan.
Aturan Inferensi dan Metode PembuktianFahrul Usman
Dokumen tersebut membahas tentang aturan inferensi dan metode pembuktian dalam logika matematika. Secara singkat, dibahas mengenai konsep dasar seperti argumen valid, aturan inferensi seperti modus ponens, dan metode pembuktian seperti pembuktian langsung.
Modul ini membahas persamaan Diophantine linier dan non linier. Persamaan Diophantine linier dapat diselesaikan dengan cara biasa, reduksi, dan kongruensi. Metode penyelesaian persamaan Diophantine non linier meliputi triple Pythagoras dan bilangan jumlah kuadrat. [/ringkuman]
Dokumen tersebut membahas tentang konsep pemetaan dalam matematika. Pemetaan adalah cara menghubungkan unsur-unsur dari satu himpunan ke himpunan lainnya. Ada beberapa jenis pemetaan seperti pemetaan injektif, surjektif, dan bijektif yang dijelaskan beserta contoh-contohnya.
Operator del memiliki sifat yang analog dengan vektor biasa dan digunakan untuk mendefinisikan besaran gradien, divergensi, dan curl yang muncul dalam aplikasi praktis. Gradien suatu medan skalar mendefinisikan medan vektor yang menunjukkan laju perubahan medan tersebut pada setiap arah.
Dokumen tersebut berisi uraian tentang:
1) Riwayat dan kontribusi Rene Descartes dan Blaise Pascal dalam bidang matematika dan sains
2) Penjelasan bilangan rasional dan irasional beserta contohnya
3) Prosedur penyelesaian ketaksamaan bentuk kuadratik dan pembagian
Dokumen tersebut membahas tentang grup permutasi. Grup permutasi adalah himpunan permutasi-permutasi dari suatu himpunan yang membentuk sebuah grup dengan operasi komposisi fungsi. Dokumen tersebut menjelaskan definisi grup permutasi, sifat-sifatnya, cycle dan orbit dalam grup permutasi, serta beberapa teorema yang berkaitan dengan grup permutasi seperti teorema produk disjoint cycles dan order suatu permutasi.
Dokumen tersebut membahas tentang logika predikat, meliputi latar belakang, simbol, kuantor, dan contoh-contoh pernyataan logika predikat dalam 3 kalimat atau kurang.
Dokumen tersebut membahas relasi rekurensi, yang merupakan persamaan yang menghubungkan suatu fungsi numerik dengan dirinya sendiri atau fungsi sebelumnya. Relasi rekurensi dapat berupa linier atau non-linier, homogen atau non-homogen, dan metode penyelesaiannya bergantung pada akar karakteristik dari persamaan terkait. Contoh relasi rekurensi dan cara penyelesaiannya juga diberikan.
Aturan Inferensi dan Metode PembuktianFahrul Usman
Dokumen tersebut membahas tentang aturan inferensi dan metode pembuktian dalam logika matematika. Secara singkat, dibahas mengenai konsep dasar seperti argumen valid, aturan inferensi seperti modus ponens, dan metode pembuktian seperti pembuktian langsung.
Modul ini membahas persamaan Diophantine linier dan non linier. Persamaan Diophantine linier dapat diselesaikan dengan cara biasa, reduksi, dan kongruensi. Metode penyelesaian persamaan Diophantine non linier meliputi triple Pythagoras dan bilangan jumlah kuadrat. [/ringkuman]
Dokumen tersebut membahas tentang konsep pemetaan dalam matematika. Pemetaan adalah cara menghubungkan unsur-unsur dari satu himpunan ke himpunan lainnya. Ada beberapa jenis pemetaan seperti pemetaan injektif, surjektif, dan bijektif yang dijelaskan beserta contoh-contohnya.
Operator del memiliki sifat yang analog dengan vektor biasa dan digunakan untuk mendefinisikan besaran gradien, divergensi, dan curl yang muncul dalam aplikasi praktis. Gradien suatu medan skalar mendefinisikan medan vektor yang menunjukkan laju perubahan medan tersebut pada setiap arah.
Dokumen tersebut berisi uraian tentang:
1) Riwayat dan kontribusi Rene Descartes dan Blaise Pascal dalam bidang matematika dan sains
2) Penjelasan bilangan rasional dan irasional beserta contohnya
3) Prosedur penyelesaian ketaksamaan bentuk kuadratik dan pembagian
Dokumen tersebut membahas tentang pemisahan variabel untuk menyelesaikan persamaan Laplace dalam menentukan potensial listrik di dalam pipa logam persegi panjang. Metode ini memungkinkan fungsi potensial ditulis sebagai hasil kali dua fungsi yang masing-masing hanya bergantung pada satu variabel saja. Dengan menggunakan kondisi batas dan sifat ortogonalitas fungsi trigonometri, didapatkan penyelesaian tunggal berupa deret Fourier.
Dokumen tersebut membahas tentang limit fungsi pada matematika SMA dan strata satu, meliputi definisi limit, sifat-sifat limit, contoh soal limit, dan penjelasan lebih lanjut mengenai definisi limit.
Dokumen tersebut membahas tentang unsur-unsur aljabar seperti koefisien, variabel, konstanta, faktor, suku, dan jenis-jenis operasi hitung pada bentuk aljabar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian."
Dokumen tersebut berisi soal-soal tes untuk hari pertama dan kedua yang mencakup analisis real, aljabar linear, analisis kompleks, dan kombinatorika. Pada hari pertama terdapat 5 soal isian singkat dan 5 soal uraian yang membahas konvergensi barisan bilangan, fungsi monoton, operasi grup, dan relasi polinom. Pada hari kedua terdapat 5 soal isian singkat dan 5 soal uraian yang membahas pemetaan linear, nilai eigen matriks, persamaan
Teks tersebut membahas tentang teori probabilitas yang mencakup konsep-konsep dasar seperti himpunan, permutasi, dan kombinasi. Teori probabilitas didukung oleh konsep-konsep tersebut yang digunakan untuk mengukur peluang terjadinya suatu kejadian.
Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum ax^2 + bx + c = 0 dan jenis akar yang bergantung pada diskriminan D. Terdapat beberapa cara menyelesaikan persamaan kuadrat seperti faktorisasi, bentuk kuadrat sempurna, dan rumus abc. Nilai maksimum dan minimum fungsi kuadrat ditentukan oleh tanda koefisien x^2.
Persamaan kuadrat menggambarkan hubungan antara variabel dengan pangkat kuadrat dan konstanta. Ada beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat seperti faktorisasi, bentuk kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus. Jenis akar ditentukan oleh diskriminan, dan fungsi kuadrat memiliki nilai maksimum atau minimum tergantung pada tanda koefisien x kuadrat.
Dokumen tersebut membahas tentang pernyataan, kalimat terbuka, dan ingkaran (negasi) dari suatu pernyataan. Pernyataan adalah kalimat yang benar atau salah, sedangkan kalimat terbuka memuat variabel sehingga belum dapat ditentukan kebenarannya. Ingkaran dari suatu pernyataan ditulis dengan tanda tilde (~).
Dokumen tersebut membahas tentang polinomial dan operasi-operasi dasarnya, termasuk pembagian sukubanyak, teorema sisa, dan teorema faktor. Secara khusus, dibahas tentang algoritma pembagian sukubanyak, penentuan derajat hasil bagi dan sisa, serta penggunaan teorema untuk menentukan hasil bagi, sisa, dan akar-akar suatu persamaan polinomial.
"Jodoh Menurut Prespektif Al-Quran" (Kajian Tasir Ibnu Katsir Surah An-Nur ay...Muhammad Nur Hadi
Jurnal "Jodoh Menurut Prespektif Al-Quran" (Kajian Tasir Ibnu Katsir Surah An-Nur ayat 26 dan 32 dan Surah Al-Hujurat Ayat 13), Ditulis oleh Muhammmad Nur Hadi, Mahasiswa Program Studi Ilmu Hadist di UIN SUSKA RIAU.
JAWABAN PMM. guru kemendikbud tahun pelajaran 2024
Pernyataan berkuantor
1. Contoh :
a. Misalkan D adalah himpunan bulat.
Buktikan bahwa kalimat ( ∃m∊ D) m2 = m bernilai benar.
b. Misalkan E adalah himpunan bilangan bulat antara 5 dan 10.
Buktikan bahwa kalimat ( ∃ m∊ E) m2 = m bernilai salah.
Penyelesaian :
Kalimat (∃x) p(x) bernilai benar bila kita dapat menunjukkan bahwa ada satu x (atau lebih)
yang memenuhi sifat p.
a. Untuk m = 1 ∊ D, m2 = 12 = 1 = m
Jadi, kalimat (∃m∊D) m2 = m benar untuk m = 1
Terbukti bahwa kalimat (∃m ∊D) m2 = m benar.
b. Untuk 5 ≤ m ≤ 10, 52 = 25≠ 5 ; 62 = 36 ≠ 6 ; ... ; 102 = 100 ≠ 10.
Berarti tidak ada satupun ∃m ∊ E yang memenuhi relasi m2 = m. Jadi kalimat (m∊ E) m2 =
m salah.
Contoh 2.
Nyatakan kalimat berkuantor di bawah ini dalam bahasa sehari-hari!
a. (∀ bilangan riil x) x2 ≥ 0
b. (∀ bilangan riil x) x2 ≠ – 1
c. ( ∃ bilangan bulat m) m2 = m
2. Penyelesaian :
Berikut diberikan beberapa cara untuk menyatakannya:
a. Semua bilangan riil memiliki kuadrat tak negatif.
Setiap bilangan riil memiliki kuadrat tak negatif.
Sembarangan bilangan riil memiliki kuadrat tak negatif.
x memiliki kuadrat tak negatif untuk setiap bilangan riil x.
Kuadrat dari sembarang bilangan riil tidaklah negatif.
b. Semua bilangan riil memiliki kuadrat yang tidak sama dengan – 1 .
Tidak ada bilangan riil yang kuadratnya = - 1.
c. Ada bilangan bulat yang kuadratnya sama dengan bilangan itu sendiri.
Kita dapat menemukan paling sedikit satu bilangan bulat yang sama dengan kuadratnya
sendiri.
m2 = m untuk bilangan bulat m.
Beberapa bilangan bulat sama dengan kuadratnya sendiri.
Terdapat bilangan bulat yang kuadratnya sama dengan bilangan itu sendiri.
Contoh :
Tulislah ingkaran kalimat-kalimat berikut :
a. Terdapatlah bilangan bulat x sedemikian hingga x2 = 9
b. Semua dinosaurus telah musnah.
c. Tidak ada ahli matematika yang malas.
d. Beberapa bilangan riil adalah rasional.
e. Semua program Cobol memiliki panjang lebih dari 20 baris.
Penyelesaian :
3. Untuk lebih memudahkan penyelesaian, terlebih dahulu kalimat ditulis ulang menggunakan
kuantor, kemudian barulah dituliskan ingkarannya.
a. Kalimat mula-mula : (∃ x ∊ bulat) x2 = 9
Ingkaran : (∀x ∊ bulat) x2≠ 9
Atau : Kuadrat semua bilangan bulat tidak sama dengan 9.
b. Kalimat mula-mula : (∀x ∊ Dinosaurus) (x telah musnah)
Ingkaran :(∃x ∊ Dinosaaurus) (x belum musnah)
Atau : Ada Dinosaurus yang belum musnah.
c. Kalimat mula-mula dapat ditulis “Semua ahli matematika tidak malas” atau (∀x ∊ ahli
matematika) (x tidak malas)
Ingkaran : (∃x ∊ ahli matematika) (x malas)
Atau : Ada ahli matematika yang malas.
d. Kalimat mula-mula : (∃x ∊ riil)(x = rasional)
Ingkaran : (∀x ∊ riil) (x ≠ rasional)
Atau : Semua bilangan riil tidak rasional
e. Kalimat mula-mula: (∀x ∊ program Cobol) (panjang x > 20 baris)
Ingkaran : (∃ x ∊ program Cobol) (panjang x ≤ 20 baris)
Atau : Ada program Cobol yang panjangnya kurang atau sama dengan 20
baris.
4. Contoh :
Nyatakan kalimat berikut menggunakan kuantor!
a. Ada bintang film yang disukai oleh semua orang.
b. Untuk setiap bilangan positif, terdapatlah bilangan positif lain yang lebih kecil darinya.
c. Terdapatlah bilangan positif x sedemikian hingga untuk semua bilangan positif y,
berlakulah y < x.
Penyelesaian :
a. Misalkan semestanya adalah himpunan semua manusia dan p(x,y) = y menyukai x, maka
kalimat dapat dituliskan sebagai (∃x)(∀y) p(x,y)
b. Kalimat mula-mula bisa dinyatakan “Untuk setiap bilangan positif x, terdapatlah bilangan
positif y sedemikian sehingga y < x.”
Dalam simbol logika (∀ bilangan x) ( ∃ bilangan positif y) y < x.
Jika semestanya bilangan riil, kalimat tersebut menyatakan bahwa tidak ada bilangan riil
positif yang terkecil.
c. Seperti pada soal (b), dalam simbol logika, kalimat mula-mula dapat dinyatakan sebagai:
(∃ bilangan positif x) ( ∀ bilangan positif y) y < x.
Ada 8 cara berbeda dalam menggunakan kuantor ∀dan ∃ dalam 2 variabel x dan y, masing-
masing adalah :
1. (∀x)( ∀y),
2. (∀y)( ∀x),
3. (∃x)( ∃y),
4. (∃y)( ∃x),
5. (∀x)( ∃y),
6. (∃y)( ∀x),
7. (∀y)( ∃x),
8. (∃x)( ∀y),
5. Contoh 2 :
Misalkan p(x,y) : “y adalah ibu dari x”.
Nyatakan arti simbol logika di bawah ini dalam bahasa sehari-hari dan tentukan nilai
kebenarannya!
a. (∀x)(∃y) p(x,y)
b. (∃y)(∀x) p(x,y)
Penyelesaian :
a. Untuk setiap orang x, terdapatlah seorang y sedemikian hingga y adalah ibu dari x. Dengan
kata lain, setiap seorang memiliki ibu.
b. Terdapatlah seorang y sehingga untuk semua orang x,y adalah ibu dari x. Dengan kata lain,
ada seseorang yang merupakan ibu dari semua orang di dunia ini.
Jelaslah bahwa kedua pernyataan tersebut memiliki arti yang berbeda. Nilai kebenaran
(a) adalah benar, sedangkan (b) adalah salah.
Contoh
”Semua tanaman hijau membutuhkan air untuk tumbuh ”.
Jika x adalah tanaman hijau, maka x membutuhkan air untuk tumbuh Tanaman hijau(x) ⇒
membutuhkan air untuk tumbuh(x)
(∀x) (Tanaman hijau(x) ⇒ membutuhkan air untuk tumbuh(x))
(∀x)(T(x) ⇒ A(x))
”Semua artis adalah cantik”.
Jika x adalah artis, maka x cantik, Artis(x) ⇒ cantik(x).
(∀x)( Artis(x) ⇒ cantik(x))
(∀x)(A(x) ⇒ C(x))
Jika diketahui persamaan x+3>10, dengan x adalah himpunan bilangan bulat positif A > 5 .
Tentukan nilai kebenaran (∀x∈A) x+3>10. Untuk menentukan nilai kebenarannya, maka
harus dicek satu persatu.
A={1,2,3,4}. Jika kuantor universal, maka untuk semua nilai A yang dimasukkan harus
memenuhi persamaan yaitu x+3>10
6. Untuk A=1, maka 1+3>10 ≡ 4>10 Memenuhi
A=2, maka 2+3>10 ≡ 5>10 Memenuhi
A=3, maka 3+3>10 ≡ 6>10 Memenuhi
A=4, maka 4+3>10 ≡ 7>10 Memenuhi
Karena semua himpunan A memenuhi, maka (∀x) x+3>10 bernilai benar. Tapi jika ada satu
saja nilai A yang tidak memenuhi, misalnya dimasukkan A=8, sehingga 8+3>10 ≡ 11>10,
dimana hasilnya salah maka (∀x) x+3>10 bernilai salah. Nilai x yang menyebabkan suatu
kuantor bernilai salah disebut dengan contoh penyangkal atau counter example.
Contoh
“Beberapa orang rajin beribadah”.
Jika ditulis dengan menggunakan logika predikat, maka:
”Ada x yang adalah orang, dan x rajin beribadah”.
(∃x)(Orang(x) ∧ rajin beribadah(x))
(∃x)(O(x) ∧ I(x))
“Ada binatang yang tidak mempunyai kaki”.
“Terdapat x yang adalah binatang, dan x tidak mempunyai kaki”.
(∃x)(binatang(x) ∧ tidak mempunyai kaki(x))
(∃x)(B(x) ∧ ¬K(x))
Misalkan B adalah himpunan bilangan bulat. Tentukan nilai kebenaran (∃x ∈ B)(x2=x).
(∃x ∈ B)(x2=x) dapat dibaca “Terdapat x yang adalah bilangan bulat dan x memenuhi
x^2=x”. (∃x ∈ B)(x^2=x) akan bernilai benar jika dapat ditunjukkan paling sedikit ada satu
bilangan bulat yang memenuhi x^2=x.
Misal x= -1, maka 〖-1〗^21 Tidak memenuhi
x= 1, maka 〖(1)〗^2=1 Memenuhi
Karena ada satu nilai yang memenuhi, yaitu x=1, maka pernyataan di atas bernilai benar.
Contoh
H(x)∶ x hidup
M(x)∶ x mati
(∀x)(H(x) ∨M(x)) dibaca“Untuksemuax,x hidupatau x mati” Akantetapi jikaditulisnya(∀x)(H(x)) ∨
M(x) maka dibaca“Untuk semuax hidup,ataux mati”. Pada“x mati”,x tidakterhubingdengan
7. kuantoruniversal,yangterhubunghanya”x hidup”.Sekali lagi,perhatikanpenulisansertapeletakan
tanda kurungnya.
Secara umum,hubunganantarapenempatankuantorgandaadalahsebagai berikut:
(∀x)(∀y) P(x,y) ≡(∀y)(∀x) P(x,y)
(∃x)(∃y)P(x,y) ≡(∃y)(∃x) P(x,y)
(∃x)(∀y) P(x,y)≡(∀y)(∃x) P(x,y)
Ingkarankalimatberkuantorgandadilakukandengancarayangsama seperti ingkaranpadakalimat
berkuantortunggal.
¬[(∃x)(∀y) P(x,y)] ≡(∀x)(∃y) ¬P(x,y)
¬[(∀x)(∃y) P(x,y)] ≡(∃x)(∀y) ¬P(x,y)
Contoh:
Tentukannegasi dari logikapredikatberikutini :
(∀x)(∃y) x=2ydengandomainnyaadalahbilanganbulat
(∀x)(∃y) x=2ydibaca“Untuksemuabilanganbulatx,terdapatbilangan bulatyyangmemenuhi x=2y.
Maka negasinya:¬[(∀x)(∃y)x=2y] ≡ (∃x)(∀y) x≠2y
Ada tokobuahyang menjual segalajenisbuah.Dapatditulis(∃x)(∀y) x menjualy.Maka negasinya
¬[(∃x)(∀y) x menjualy] ≡ (∀x)(∃y)x tidak menjual yDibaca“Semuatokobuahtidakmenjual paling
sedikitsatujenisbuah”.
Mengubahpernyataanke dalamlogikapredikatyangmemilikikuantorganda
Misal : “Adaseseorangyangmengenal setiap orang”
Langkah-langkahnya:
Jadikanpotonganpernyataan”x kenal y”,maka akanmenjadi K(x,y).K(x,y)∶ x kenal y
Jadikanpotonganpernyataan”x kenal semuay”,sehinggamenjadi(∀y) K(x,y)
Jadikanpernyataan“adax, yangx kenal semuay”,sehinggamenjadi(∃x)(∀y)K(x,y)
Contoh:
-Semua dinosaurus telah musnah
-tidak ada ahli matematika yang malas
Penyelesaian;
¬ (( ∀xЄD)p(x)) ≡ (ƎxЄD) ¬ p(x)
¬ ((ƎxЄD) q(x))≡ ( ∀xЄD)¬ q(x)