1. 1
ทรีทรี--ต้นไม้ต้นไม้((TreesTrees))

2. 2
วัตถุประสงค์
•เพื่อศึกษาหลักการเบื้องต้นเกี่ยวกับ
ทรี(tree)หรือต้นไม้ในทางคอมพิวเตอร์
•ประยุกต์ความสัมพันธ์ของข้อมูลในรูปทรี
สำาหรับกระบวนการทางคอมพิวเตอร์

3. 3
Outline
• Terminology:
• Tree application:
– Binary search tree(BST)
• Tree spanning:
– Minimum spanning tree by Prim’s algorithm
• Traversal:
– Pre-order, In-order and Post-order

4. 4
คำาศัพท์เกี่ยวข้อง
(Terminologies)
• โครงสร้างของทรี (structural)
– ราก(root), ใบ(leaf) , โหนดภายใน(internal node),
กิ่ง(branch), ต้นไม้ย่อย(subtree),
• ความสัมพันธ์(Relationship)
– พ่อไม้:parent( predecessor ), ลูก:child( successor ), พี่
น้อง:sibling
• ชนิดของทรี(Types)
– n-ary tree, binary tree
• คุณสมบัติ(Properties)
– ระดับ(level) และความสูง(height)ของทรี

5. 5
ทรี(Trees)
• ทรี กล่าวได้ว่าเป็น กราฟเชื่อมโยงแบบไม่ระบุ
ทิศทาง (connected undirected graph) ซึ่งจะต้องไม่มี
วงจรเกิดขึ้น (circuit)
• ทรีหลายทรีอยู่ที่เดียวกันเรียกว่า ป่า(forest)
• โครงสร้างของ ทรีประกอบไปด้วย เซตของ
โหนด(เทียบแล้วคือจุด บนกราฟ) กับเซตของเส้น
เชื่อมโยงระหว่างโหนด(เทียบแล้วคือ เส้น บน
กราฟ)
• มีการกำาหนดโหนดพิเศษที่เกิดเป็นโหนดแรกบนทรี
ถูก เรียกว่าโหนดราก (root node)

6. 6
A
B DC
E F G H I
J K L M
โครงสร้างและองค์ประกอบของ
ทรี
Tree
A
B DC
E F G H I
J K L M
Graph
ทรี ต่างกับกราฟ
อย่างไร ?

7. 7
ตัวอย่างทรี และ ป่า
(Tree and Forest Examples)
• A Tree: • A Forest:
Leaves in green, internal nodes in brown.

8. 8
โครงสร้างและองค์ประกอบของ
ทรี
T1
T2
T3
Forest F ={T1, T2, T3}
F
ฐานข้อมูล
นักศึกษา
CS
ฐานข้อมูล
นักศึกษา
CPE
ฐานข้อมูล
นักศึกษา
ICT

9. 9
A
B DC
E F G H I
J K L M
root
sibling
Height
1
2
3
4
leaf
Leaf of T = {E,J,K,G,H,L,M}
T:
A เป็น โหนดพ่อแม่ ของ B,Cและ D
โครงสร้างและองค์ประกอบของ
ทรี
B, C, D เป็น โหนดพี่น้อง ที่มี โหนด A เป็นโหนด
พ่อแม่

10. 10
ต้นไม้ย่อย หรือ สับทรี (subtree)
A
B DC
E F G H I
J K L M
A
B DC
E F G H I
J K L M
T:
ต้นไม้ T ประกอบด้วย ต้นไม้ย่อย T1, T2, T3
• ต้นไม้ย่อย T1 มีโหนด B เป็น root
• ต้นไม้ย่อย T2 มีโหนด C เป็น root
• ต้นไม้ย่อย T3 มีโหนด D เป็น root
T1 T2 T3

11. 11
n-ary trees
• แต่ละโหนดบนทรี(ยกเว้นโหนดใบ) จะมีจำำนวน
โหนดลูกไม่เกิน n โหนด
• ถ้ำ n ของ n-ary tree มีค่ำ n= 2 จะเรียน 2-ary
tree ซึ่งหมำยถึง ไบนำรีทรี (binary tree)

12. 12
B
A
DC E
F G H H I
T1
4-ary tree
K A
B C
D E F G
binary
tree
T2
n-ary tree & binary tree
level-0
level-1
level-2
height
1
2
3

13. ไบนำรีทรี (ต้นไม้ทวิภำค)
A
B C
D E F G
Binary tree
T
N = 2h
-1
เมื่อ N แทนจำำนวนโหนด
ทั้งหมดของ
ไบนำรีทรี ที่มีควำมสูง h
เช่น ไบนำรีทรีที่มีควำมสูง
เท่ำกับ 3 จะมีจำำนวนโหนด
มำกที่สุดบนไบนำรีทรีเท่ำกับ

14. 14
กำรประยุกต์ใช้ทรี กับกำร
ค้นหำ
(Binary Search Tree :BST)
T จะเป็น BST ถ้ำ
(1) T ต้องเป็น ไบนำรีทรี
(2) และทุกโหนดในต้นไม้ย่อยทำงซ้ำย
มีค่ำน้อยกว่ำทุกโหนดที่เป็นโหนดรำก
ของต้นไม้ย่อยและทุกโหนดใน
ต้นไม้ย่อยทำงขวำ
7
3 12
1 5 9 15
0 2 8 11
T:

15. 15
Recursive Binary Tree Insert
procedure insert(T: binary tree, x: item)
v := root[T]
if v = null then begin
root[T] := x; return “Done” end
else if v = x return “Already present”
else if x < v then
return insert(leftSubtree[T], x)
else {must be x > v}
return insert(rightSubtree[T], x)

16. • ตัวอย่ำง เมื่อกำำหนดข้องมูล(ที่นำำไปสร้ำง
BST)โดยมีลำำดับกำรเข้ำข้อมูลของต้นไม้ BST
ดังนี้ {7,3,12,1,5, 9,15,0,2,8,11 }
กำรสร้ำง BST
7
3 12
1 5
7 7
3
7
3 12
7
3 12
1
นักศึกษำสร้ำงต่อให้เสร็จ ?

17. 17
กำรสร้ำง BST
7
3 12
1 5 9 15
7
3 12
1 5
{7,3,12,1,5,9,15,0,2,8,11 }
7
3 12
1 5 9

18. 18
กำรสร้ำง BST
{7,3,12,1,5,9,15,0,2,8,11 }
7
3 12
1 5 9 15
0
7
3 12
1 5 9 15
0 2
7
3 12
1 5 9 15
20 8
7
3 12
1 5 9 15
20 8 11

19. 19
A B
C D E
F G
G:
2
3
4
5
1
2
3
1
62
Minimum Spanning Tree (MST)
by Prim’s Algorithm
• MST เป็นการการเยี่ยมเดินไป
ให้ทั่วบนกราฟอย่างไม่ซำ้ากัน
โดยมีค่าผลรวมของ weight(ค่า
กำากับเส้นทาง) ที่น้อยที่สุด
• Prim’s algorithm ใช้หลักการ
– (1) พิจารณาโหนดในกราฟที่มี
ค่ากำากับเส้นทางที่น้อยที่สุด ณ
ขณะนั้นเข้าไปเป็นโหนดในทรี
โดยที่โหนดนั้นจะต้องไม่ทำาให้
เกิดวงจรบนทรี

20. 20
A B
C D E
F G
G:
2
3
4
5
1
2
3
1
62
Minimum Spanning Tree (MST)
by Prim’s Algorithm
สมมุติว่าเลือกโหนด
D เป็นโหนดเริ่มต้น
ของการทำา MST
D
5
1
3
2 1
D
F

21. 21
A B
C D E
F G
G:
2
3
4
5
1
2
3
1
62
Minimum Spanning Tree (MST)
by Prim’s Algorithm
สมมุติว่าเลือกโหนด
D เป็นโหนดเริ่มต้น
ของการทำา MST
D
5
3
2 1
D
F
4
1F 1 G

22. 22
A B
C D E
F G
G:
2
3
4
5
1
2
3
1
62
Minimum Spanning Tree (MST)
by Prim’s Algorithm
สมมุติว่าเลือกโหนด
D เป็นโหนดเริ่มต้น
ของการทำา MST
D
5
3
1
D
F
4
F 1 G
G
6
3 E

23. 23
A B
C D E
F G
G:
2
3
4
5
1
2
3
1
62
Minimum Spanning Tree (MST)
by Prim’s Algorithm
สมมุติว่าเลือกโหนด
D เป็นโหนดเริ่มต้น
ของการทำา MST
D
5
1
D
F
4
F 1 G
G
6
3 E
2
E
B
2

24. 24
A B
C D E
F G
G:
2
3
4
5
1
2
3
1
62
Minimum Spanning Tree (MST)
by Prim’s Algorithm
สมมุติว่าเลือกโหนด
D เป็นโหนดเริ่มต้น
ของการทำา MST
D
5
1
D
F
4
F 1 G
G
6
3 EE
B
2
B
3 3A

25. 25
A B
C D E
F G
G:
2
3
4
5
1
2
3
1
62
Minimum Spanning Tree (MST)
by Prim’s Algorithm
สมมุติว่าเลือกโหนด
D เป็นโหนดเริ่มต้น
ของการทำา MST
D
1
D
F
4
F 1 G
G
6
3 EE
B
2
B 3AA
2 2
C

26. 26
A B
C D E
F G
G:
2
3
4
5
1
2
3
1
62
Minimum Spanning Tree (MST)
by Prim’s Algorithm
D
F E
1 3
G
1
B
2
A
3
T:
ค่าผลรวมของค่ากำากับเส้นทางน้อยที่สุด = 1+1+3+2+3+2
1
D
F 1 G
3 E
B
2
3A
2
C
C
2

27. • Tree traversal หมายถึงการเดิมเยี่ยมโหนดทุกโหนดบนทรี ให้
ทั่ว อย่างไม่ซำ้ากัน
• สามารถทำาได้ 3 วิธี คือ : NLR(Pre-order), LNR(In-order)
และ LRN(Post-order)
• โดยพิจารณาโครงสร้างของทรี ดังนี้
27
Tree Traversal
(การเดินท่องไปให้ทั่วบนทรี)
R
N
L
N:แทนโหนดรากของทรี หรือ สับทรี
(subtree)L:แทนโหนดลูกทางซ้ายของทรี หรือ สับทรี
R:แทนโหนดลูกทางขวาของทรี หรือ สับทรี

28. 28
Tree Traversal: NLR (Pre-order)
1
2 3
4 5 6 7
T:
8 9
NLR: ให้เดิน root ของ
แต่ subtree ก่อนแล้วจึง
เดิน
left subtree แล้วตามด้วย
right subtreeผลลัพธ์การเดิน:
1,2,4,5,8,9,3,6,7

29. 29
Tree Traversal: LNR(In-order)
1
2 3
4 5 6 7
T:
8 9
LNR: ให้เดิน left
subtree ก่อนแล้วจึงเดิน
กลับไปที่
rootของ subtree แล้ว
ตามด้วย right subtree
ผลลัพธ์การเดิน:
4,2,8,5,9,1,6,3,7

30. 30
Tree Traversal: LRN(Post-order)
1
2 3
4 5 6 7
T:
8 9
LRN: ให้เดิน left
subtree ก่อนแล้วจึงเดิน
right subtree แล้วตาม
ด้วย root ของ subtree
ผลลัพธ์การเดิน:
4,8,9,5,2,6,7,3,1

31. 31
1.กำาหนดทรีทั่วไปมาหนึ่งต้น ให้แสดงการทำา
tree traversalทั้งสามแบบ (NLR, LNR และ
LRN)
2.กำาหนดชุดข้อมูลให้จำานวนหนึ่ง ให้แสดงการนำา
ชุดข้อมูลนี้ไปสร้าง BST
(20 นาที)
Quiz -VI

32. (1) กำาหนดกราฟ Gให้ดังรูป จงใช้ prim’s algorithm เพื่อหาผล
รวมของค่ากำากับเส้นทางที่น้อยที่สุดของต้นไม้กระจายทั่ว
ถึง(spanning tree)
32
คำาถามท้ายบท
A B
C D E
F G
G:
2
3
5
4
1
2
3
3
69
2

33. (2) เมื่อกำาหนดทรี Tให้ดังรูป จงหาผลลัพธ์การเดินเยี่ยมให้ทั่วบน
ทรี(tree traversal) ในแบบ NLR, LNR และ LRN
33
คำาถามท้ายบท
1
2 3
4 5 6 7
T:
8 9 10 11

34. (3) เมื่อกำาหนดทรี Tให้ดังรูป จงหาผลลัพธ์ของคำาถามต่อไปนี้
34
คำาถามท้ายบท
1
2 3
4 5 6 7
T:
8 9 10 11
3.1 ถ้าให้ T เป็นไบนารีทรี ทรีต้นนี้
มีความสูงเท่าใด
3.2 ทรี T จะมีจำานวนโหนดมาก
ที่สุดเท่าใด ถ้าความสูงของทรี T มี
ค่าเป็น 7

35. (4) จงใช้ข้อมูลที่กำาหนดให้ต่อไปนี้ นำาไปสร้าง BST: T2
ข้อมูล = {25,30,73,12,9,84,49,11,98,77,33,130}
35
คำาถามท้ายบท
(5) จาก BST ในข้อ 4 ถ้าต้องการทราบว่ามีข้อมูล 53 อยู่ใน T2
หรือไม่ จะต้องทำาการเปรียบเทียบทั้งหมดกี่ครั้งถึงจะทราบคำา
ตอบ
(6) จาก BST ในข้อ 4 จะสามารถสร้างทรีที่มีความสูงน้อยที่สุด
ด้วยค่าความสูงเท่าใด

36. Final Exam 1/53
• 1.(10) ตรวจสอบสมบัติความสัมพันธ์
• 2.(10) การแทนกราฟ
• 3.(10) isomorphic
• 4.(10) graph connectivity
• 5.(15) Dijkstra’s algorithm
• 6.(10) Prim’s algorithm
• 7.(5) วงจรตรรกเชิงผสม
• 8.(10) วงจรตรรกเชิงผสม
36