Dokumen tersebut membahas delapan kondisi di mana kongruensi moduler dapat diselesaikan dan satu kondisi di mana tidak dapat diselesaikan. Kondisi yang tidak dapat diselesaikan adalah ketika bilangan genap dibagi bilangan ganjil modulo bilangan genap. Hal ini dibuktikan dengan menunjukkan bahwa hasil pembagian bilangan ganjil dengan bilangan genap tidak akan menghasilkan bilangan bulat.

1. 1
SYARAT KONGRUENSI
MODULER DAPAT
DIPECAHKAN
Kongruensi merupakan salah satu
topik populer di matematika.
Kongruensi adalah landasan umum
sistem operasi, proses-proses disebut
kongruen jika proses-proses berada
pada saat yang sama. Dari definisi
tersebut bentuk kongruensi ax ≡ b
(mod m) bisa difaktorkan. Misalnya:
8 ≡ 2 (mod 6)
2.4 ≡ 2(mod 6)
2x ≡ 2 (mod 6)
artinya kita bisa mencari nilai x dari
bentuk kongruensi moduler diatas.
Lalu bagaimana menyelesaikan soal
berikut :
2x ≡ 3 (mod 6)
karena soal tersebut pada modulo 6,
maka peluang nilai x yang mungkin
yaitu :
x = 0
x = 1
x = 2
x = 3
x = 4
x = 5
setelah nilai x disubstitusikan pada
soal tersebut, ternyata tidak ada
satupun nilai x yang memenuhi.
Sebenarnya telah diidentifikasi
teorema bahwa kongruensi moduler
dalam bentuk ax ≡ b (mod m) akan
mempunyai penyelesaian jika dan
hanya jika d ǀ b dengan (a, m) = d,
dimana a, b, m ∈ 𝑵.
Jika kita perhatikan, bentuk
kongruensi ax ≡ b (mod m) maka
akan mempunyai peluang delapan
macam bentuk, dengan a, b, m ∈N
dan nilai a, b, m genap atau ganjil.
Bagan peluang :
Dari sini penulis tertarik menggali
lebih dalam syarat-syarat kongruensi
moduler bisa diselesaikan. Berikut
uraiannya :
1. Jika Genap x ≡ Genap (mod
Genap), maka (Genap, Genap)
= Genap dan Genap ǀ Genap
a. 2x ≡ 4 (Mod 6)
2x ≡ 4+6n, n 𝜖 N
2x ≡ 4+6
2x ≡10
x≡ 5
b. 8x ≡ 6 (Mod 10)
8x ≡ 6+10n, n 𝜖 N
a
Genap
Genap
Genap
Ganjil
Ganjil
Genap
Ganjil
Ganjil
Genap
Genap
Ganjil
Ganjil
Genap
Ganjil

2. 2
8x ≡ 6+10
8x ≡ 16
x≡ 2
c. 12x ≡ 4 (Mod 10)
12x ≡ 4+10n, n 𝜖 N
12x ≡ 4+10
12x ≡ 14+10
12x ≡ 24
x≡ 2
2. Jika Genap x ≡ Ganjil (mod
Ganjil), maka (Genap, Ganjil) =
Ganjil dan Ganjil ǀ Ganjil
a. 12x ≡ 3 (Mod 11)
12x ≡ 3+11n, n 𝜖 N
12x ≡ 3+11
12x ≡ 14+11
12x ≡ 25+11
12x ≡ 36
x≡ 3
b. 10x ≡ 5 (Mod 15)
10x ≡ 5+15n, n 𝜖 N
10x ≡ 5+15
10x ≡ 20
x≡ 2
c. 4x ≡ 9 (Mod 11)
4x ≡ 9+11n, n 𝜖 N
4x ≡ 9+11
4x ≡ 20
x≡ 5
3. Jika Genap x ≡ Genap (mod
Ganjil), maka (Genap, Ganjil) =
Ganjil dan Ganjil ǀ Genap
a. 8x ≡ 12 (mod 15)
8x ≡ 12+15n, n 𝜖 N
8x ≡ 12+15
8x ≡ 27+15
8x ≡ 42+15
8x ≡ 57+15
8x ≡ 72
x ≡ 9
b. 8x ≡ 10 (Mod 17)
8x ≡ 10+17n, n 𝜖 N
8x ≡ 10+17
8x ≡ 27+17
8x ≡ 44+17
8x ≡ 61+17
8x ≡ 78+17
8x ≡ 95+17
8x ≡ 112
x≡ 14
c. 2x ≡ 12 (Mod 15)
2x ≡ 12+15n, n 𝜖 N
2x ≡ 12+15
2x ≡ 27+15
2x ≡ 42
x ≡ 21
4. Jika Genap x ≡ Ganjil (mod
Genap), maka (Genap, Genap)
= Genap dan Genap∤ Ganjil
a. 4x ≡ 5 (Mod 6)
4x ≡ 5+6n, n 𝜖 N
4x ≡ 5+6
4x ≡ 11+6
4x ≡ 17+6
4x ≡ 23+6
4x ≡ 29
TIDAK DAPAT
DISELESAIKAN
b. 6x ≡ 9 (Mod 10)
6x ≡ 9+10n, n 𝜖 N
6x ≡ 9+10
6x ≡ 19+10
6x ≡ 29+10
6x ≡ 39+10
6x ≡ 49
TIDAK DAPAT
DISELESAIKAN
c. 2x ≡ 7 (Mod 8)
2x ≡ 7+8n, n 𝜖 N
2x ≡ 7+8

3. 3
2x ≡ 15+8
2x ≡ 23+8
2x ≡ 31+8
2x ≡ 39
TIDAK DAPAT
DISELESAIKAN
5. Jika Ganjil x ≡ Genap (mod
Genap), maka (Ganjil, Genap) =
Ganjil dan Ganjil ǀ Genap
a. 3x ≡ 4 (Mod 10)
3x ≡ 4+10n, n 𝜖 N
3x ≡ 4+10
3x ≡ 14+10
3x ≡ 24
x≡ 8
b. 5x ≡ 4 (Mod 12)
5x ≡ 4+12n, n 𝜖 N
5x ≡ 4+12
5x ≡ 16+12
5x ≡ 28+12
5x ≡ 40
x≡ 8
c. 11x ≡ 12 (Mod 16)
11x ≡ 12+16n, n 𝜖 N
11x ≡ 12+16
11x ≡ 28+16
11x ≡ 44
x≡ 4
6. Jika Ganjil x ≡ Ganjil (mod
Ganjil), maka (Ganjil, Ganjil) =
Ganjil dan Ganjil ǀ Ganjil
a. 3x ≡ 5 (Mod 7)
3x ≡ 5+7n, n 𝜖 N
3x ≡ 5+7
3x ≡ 12+7
3x ≡ 19+7
3x ≡ 26+7
3x ≡ 33
x≡ 11
b. 5x ≡ 7 (Mod 9)
5x ≡ 7+9n, n 𝜖 N
5x ≡ 7+9
5x ≡ 16+9
5x ≡ 25
x≡ 5
c. 7x ≡ 11 (Mod 13)
7x ≡ 11+13n, n 𝜖 N
7x ≡ 11+13
7x ≡ 24+13
7x ≡ 37+13
7x ≡ 50+13
7x ≡ 63
x≡ 9
7. Jika Ganjil x = Genap (mod
Ganjil), maka (Ganjil, Ganjil) =
Ganjil dan Ganjil ǀ Genap
a. 3x ≡ 4 (Mod 7)
3x ≡ 4+7n, n 𝜖 N
3x ≡ 4+7
3x ≡ 11+7
3x ≡ 18
x≡ 6
b. 5x ≡ 6 (Mod 7)
5x ≡ 6+7n, n 𝜖 N
5x ≡ 6+7
5x ≡ 13+7
5x ≡ 20
x≡ 4
c. 9x ≡ 12 (Mod 15)
9x ≡ 12+15n, n 𝜖 N
9x ≡ 12+15
9x ≡ 27
x≡ 3
8. Jika Ganjil x ≡ Ganjil (mod
Genap), maka (Ganjil, Genap) =
Ganjil dan Ganjil ǀ Ganjil
a. 5x ≡ 7 (Mod 8)
5x ≡ 7+8n, n 𝜖 N
5x ≡ 7+8
5x ≡ 15

4. 4
x≡ 3
b. 7x ≡ 9 (Mod 12)
7x ≡ 9+12n, n 𝜖 N
7x ≡ 9+12
7x ≡ 21
x≡ 3
c. 11x ≡ 15 (Mod 20)
11x ≡ 15+20n, n 𝜖
11x ≡ 15+20n
11x ≡ 35+20
11x ≡ 55
x≡ 5
Dari delapan fenomena diatas,
yang paling menarik atau berbeda
yaitu nomor 4. Hanya nomor 4 yang
tidak dapat diselesaikan.
Berikut adalah pembuktian dari
fenomena nomor 4 :
ax ≡ b (Mod m), dengan a = genap;
b = ganjil; m = genap
4x ≡ 5 (Mod 6)
1. Pembuktian (a,m) | b :
 Berdasarkan definisi
aritmetika modulo bentuk
kongruensi ax ≡ b (Mod m)
dapat dinyatakan dengan a =
b + mk dengan k sembarang
bilangan bulat.
 Berdasarkan Teorema bahwa
bentuk kongruensi ax ≡ b
(Mod m) salah satunya juga
dapat dinyatakan dalam
bentuk a + c ≡ b + c (Mod m)
dengan c sembarang bilangan
bulat.
Maka, dari definisi dan teorema
diatas dapat dinyatakan bahwa :
a ≡ b + mk
a + c ≡ b + mk + c
(a) + (c) ≡ (b + mk) + (c)
(a) + (c) – (c) ≡ (b + mk) + (c) – (c)
(a) + (c – c) ≡ (b + mk) + (c – c)
a ≡ b + mk → ax ≡ b (Mod m)
TERBUKTI
2. Pembuktian (Genap, Genap)
= Genap dan Genap ∤ Ganjil
 Berdasarkan kekongruenan
lanjar bentuk kongruensi ax
≡ b (Mod m) dapat
dinyatakan dalam bentuk x =
𝑏+𝑚𝑘
𝑎
dengan a, b 𝜖 Z; m 𝜖 Z+
dan k 𝜖 Z.
Maka, berdasarkan kekongruenan
lanjar diatas dapat dibuktikan bahwa:
x =
𝑏+𝑚𝑘
𝑎
dengan b = bilangan
ganjil; a, m = bilangan genap dan k =
sembarang bilangan bulat. Karena
mk genap dan b ganjil maka
penjumlahannya menghasilkan
ganjil, sehingga hasil penjumlahan
tersebut jika dibagi 2 tidak
menghasilkan Z.
Akan dibuktikan bahwa
bilangan ganjil
bilangan genap
= bilangan bulat.
ax ≡ b (Mod m)
ax ≡ b + mk
x =
𝑏+𝑚𝑘
𝑎
x harus bilangan bulat
karena m 𝜖 Z maka mk 𝜖 Z
2n1x ≡ 2n2 – 1 (Mod 2n3) n1,2,3 𝜖 z
2n1x ≡ 2n2 - 1 + 2n3k

5. 5
x =
2n2− 1 + 2n3𝑘
2𝑛1
x =
2n2− 1 + 2n3
2𝑛1
x =
2(n2+ n3) − 1
2n1
misal (n2 + n3) = n4
x =
2n4 − 1
2𝑛1
, x 𝜖 Z
2n4 - 1 = 2n1x
Misal n1x = n5 , karena n1, x 𝜖 Z
maka 2n4 - 1 = 2n5
2n4 - 1adalah bilangan ganjil dan 2n5
adalah bilangan genap.
Disisi lain, bilangan genap ≠
bilangan ganjil. Artinya
bilangan ganjil
bilangan genap
= bilangan bulat
TIDAK TERBUKTI
Karena
bilangan ganjil
bilangan genap
= bilangan
bulat tidak terbukti maka kongruensi
ax ≡ b (Mod m) dengan a, m 𝜖
bilangan genap, b 𝜖 bilangan ganjil,
sehingga (a, m) = genap, tidak dapat
diselesaikan.
DAFTAR PUSTAKA
Bayoe(2009).”Definisi
Kongruensi”.[Online].Tersedia :
(http://bayoe.staff.uns.ac.id
/files/2009/11/kongruensi.
pdf ) [1 Juni 2015]
TN(2010).”Pdf Teori
Bilangan”.[Online].Tersedia :
(http://asimtot.files.wordpr
ess.com/2010/06/teori-
bilangan.pdf) [1 Juni
2015].