1. 1
SYARAT KONGRUENSI
MODULER DAPAT
DIPECAHKAN
Kongruensi merupakan salah satu
topik populer di matematika.
Kongruensi adalah landasan umum
sistem operasi, proses-proses disebut
kongruen jika proses-proses berada
pada saat yang sama. Dari definisi
tersebut bentuk kongruensi ax ≡ b
(mod m) bisa difaktorkan. Misalnya:
8 ≡ 2 (mod 6)
2.4 ≡ 2(mod 6)
2x ≡ 2 (mod 6)
artinya kita bisa mencari nilai x dari
bentuk kongruensi moduler diatas.
Lalu bagaimana menyelesaikan soal
berikut :
2x ≡ 3 (mod 6)
karena soal tersebut pada modulo 6,
maka peluang nilai x yang mungkin
yaitu :
x = 0
x = 1
x = 2
x = 3
x = 4
x = 5
setelah nilai x disubstitusikan pada
soal tersebut, ternyata tidak ada
satupun nilai x yang memenuhi.
Sebenarnya telah diidentifikasi
teorema bahwa kongruensi moduler
dalam bentuk ax ≡ b (mod m) akan
mempunyai penyelesaian jika dan
hanya jika d ǀ b dengan (a, m) = d,
dimana a, b, m ∈ 𝑵.
Jika kita perhatikan, bentuk
kongruensi ax ≡ b (mod m) maka
akan mempunyai peluang delapan
macam bentuk, dengan a, b, m ∈N
dan nilai a, b, m genap atau ganjil.
Bagan peluang :
Dari sini penulis tertarik menggali
lebih dalam syarat-syarat kongruensi
moduler bisa diselesaikan. Berikut
uraiannya :
1. Jika Genap x ≡ Genap (mod
Genap), maka (Genap, Genap)
= Genap dan Genap ǀ Genap
a. 2x ≡ 4 (Mod 6)
2x ≡ 4+6n, n 𝜖 N
2x ≡ 4+6
2x ≡10
x≡ 5
b. 8x ≡ 6 (Mod 10)
8x ≡ 6+10n, n 𝜖 N
a
Genap
Genap
Genap
Ganjil
Ganjil
Genap
Ganjil
Ganjil
Genap
Genap
Ganjil
Ganjil
Genap
Ganjil

2. 2
8x ≡ 6+10
8x ≡ 16
x≡ 2
c. 12x ≡ 4 (Mod 10)
12x ≡ 4+10n, n 𝜖 N
12x ≡ 4+10
12x ≡ 14+10
12x ≡ 24
x≡ 2
2. Jika Genap x ≡ Ganjil (mod
Ganjil), maka (Genap, Ganjil) =
Ganjil dan Ganjil ǀ Ganjil
a. 12x ≡ 3 (Mod 11)
12x ≡ 3+11n, n 𝜖 N
12x ≡ 3+11
12x ≡ 14+11
12x ≡ 25+11
12x ≡ 36
x≡ 3
b. 10x ≡ 5 (Mod 15)
10x ≡ 5+15n, n 𝜖 N
10x ≡ 5+15
10x ≡ 20
x≡ 2
c. 4x ≡ 9 (Mod 11)
4x ≡ 9+11n, n 𝜖 N
4x ≡ 9+11
4x ≡ 20
x≡ 5
3. Jika Genap x ≡ Genap (mod
Ganjil), maka (Genap, Ganjil) =
Ganjil dan Ganjil ǀ Genap
a. 8x ≡ 12 (mod 15)
8x ≡ 12+15n, n 𝜖 N
8x ≡ 12+15
8x ≡ 27+15
8x ≡ 42+15
8x ≡ 57+15
8x ≡ 72
x ≡ 9
b. 8x ≡ 10 (Mod 17)
8x ≡ 10+17n, n 𝜖 N
8x ≡ 10+17
8x ≡ 27+17
8x ≡ 44+17
8x ≡ 61+17
8x ≡ 78+17
8x ≡ 95+17
8x ≡ 112
x≡ 14
c. 2x ≡ 12 (Mod 15)
2x ≡ 12+15n, n 𝜖 N
2x ≡ 12+15
2x ≡ 27+15
2x ≡ 42
x ≡ 21
4. Jika Genap x ≡ Ganjil (mod
Genap), maka (Genap, Genap)
= Genap dan Genap∤ Ganjil
a. 4x ≡ 5 (Mod 6)
4x ≡ 5+6n, n 𝜖 N
4x ≡ 5+6
4x ≡ 11+6
4x ≡ 17+6
4x ≡ 23+6
4x ≡ 29
TIDAK DAPAT
DISELESAIKAN
b. 6x ≡ 9 (Mod 10)
6x ≡ 9+10n, n 𝜖 N
6x ≡ 9+10
6x ≡ 19+10
6x ≡ 29+10
6x ≡ 39+10
6x ≡ 49
TIDAK DAPAT
DISELESAIKAN
c. 2x ≡ 7 (Mod 8)
2x ≡ 7+8n, n 𝜖 N
2x ≡ 7+8

3. 3
2x ≡ 15+8
2x ≡ 23+8
2x ≡ 31+8
2x ≡ 39
TIDAK DAPAT
DISELESAIKAN
5. Jika Ganjil x ≡ Genap (mod
Genap), maka (Ganjil, Genap) =
Ganjil dan Ganjil ǀ Genap
a. 3x ≡ 4 (Mod 10)
3x ≡ 4+10n, n 𝜖 N
3x ≡ 4+10
3x ≡ 14+10
3x ≡ 24
x≡ 8
b. 5x ≡ 4 (Mod 12)
5x ≡ 4+12n, n 𝜖 N
5x ≡ 4+12
5x ≡ 16+12
5x ≡ 28+12
5x ≡ 40
x≡ 8
c. 11x ≡ 12 (Mod 16)
11x ≡ 12+16n, n 𝜖 N
11x ≡ 12+16
11x ≡ 28+16
11x ≡ 44
x≡ 4
6. Jika Ganjil x ≡ Ganjil (mod
Ganjil), maka (Ganjil, Ganjil) =
Ganjil dan Ganjil ǀ Ganjil
a. 3x ≡ 5 (Mod 7)
3x ≡ 5+7n, n 𝜖 N
3x ≡ 5+7
3x ≡ 12+7
3x ≡ 19+7
3x ≡ 26+7
3x ≡ 33
x≡ 11
b. 5x ≡ 7 (Mod 9)
5x ≡ 7+9n, n 𝜖 N
5x ≡ 7+9
5x ≡ 16+9
5x ≡ 25
x≡ 5
c. 7x ≡ 11 (Mod 13)
7x ≡ 11+13n, n 𝜖 N
7x ≡ 11+13
7x ≡ 24+13
7x ≡ 37+13
7x ≡ 50+13
7x ≡ 63
x≡ 9
7. Jika Ganjil x = Genap (mod
Ganjil), maka (Ganjil, Ganjil) =
Ganjil dan Ganjil ǀ Genap
a. 3x ≡ 4 (Mod 7)
3x ≡ 4+7n, n 𝜖 N
3x ≡ 4+7
3x ≡ 11+7
3x ≡ 18
x≡ 6
b. 5x ≡ 6 (Mod 7)
5x ≡ 6+7n, n 𝜖 N
5x ≡ 6+7
5x ≡ 13+7
5x ≡ 20
x≡ 4
c. 9x ≡ 12 (Mod 15)
9x ≡ 12+15n, n 𝜖 N
9x ≡ 12+15
9x ≡ 27
x≡ 3
8. Jika Ganjil x ≡ Ganjil (mod
Genap), maka (Ganjil, Genap) =
Ganjil dan Ganjil ǀ Ganjil
a. 5x ≡ 7 (Mod 8)
5x ≡ 7+8n, n 𝜖 N
5x ≡ 7+8
5x ≡ 15

4. 4
x≡ 3
b. 7x ≡ 9 (Mod 12)
7x ≡ 9+12n, n 𝜖 N
7x ≡ 9+12
7x ≡ 21
x≡ 3
c. 11x ≡ 15 (Mod 20)
11x ≡ 15+20n, n 𝜖
11x ≡ 15+20n
11x ≡ 35+20
11x ≡ 55
x≡ 5
Dari delapan fenomena diatas,
yang paling menarik atau berbeda
yaitu nomor 4. Hanya nomor 4 yang
tidak dapat diselesaikan.
Berikut adalah pembuktian dari
fenomena nomor 4 :
ax ≡ b (Mod m), dengan a = genap;
b = ganjil; m = genap
4x ≡ 5 (Mod 6)
1. Pembuktian (a,m) | b :
 Berdasarkan definisi
aritmetika modulo bentuk
kongruensi ax ≡ b (Mod m)
dapat dinyatakan dengan a =
b + mk dengan k sembarang
bilangan bulat.
 Berdasarkan Teorema bahwa
bentuk kongruensi ax ≡ b
(Mod m) salah satunya juga
dapat dinyatakan dalam
bentuk a + c ≡ b + c (Mod m)
dengan c sembarang bilangan
bulat.
Maka, dari definisi dan teorema
diatas dapat dinyatakan bahwa :
a ≡ b + mk
a + c ≡ b + mk + c
(a) + (c) ≡ (b + mk) + (c)
(a) + (c) – (c) ≡ (b + mk) + (c) – (c)
(a) + (c – c) ≡ (b + mk) + (c – c)
a ≡ b + mk → ax ≡ b (Mod m)
TERBUKTI
2. Pembuktian (Genap, Genap)
= Genap dan Genap ∤ Ganjil
 Berdasarkan kekongruenan
lanjar bentuk kongruensi ax
≡ b (Mod m) dapat
dinyatakan dalam bentuk x =
𝑏+𝑚𝑘
𝑎
dengan a, b 𝜖 Z; m 𝜖 Z+
dan k 𝜖 Z.
Maka, berdasarkan kekongruenan
lanjar diatas dapat dibuktikan bahwa:
x =
𝑏+𝑚𝑘
𝑎
dengan b = bilangan
ganjil; a, m = bilangan genap dan k =
sembarang bilangan bulat. Karena
mk genap dan b ganjil maka
penjumlahannya menghasilkan
ganjil, sehingga hasil penjumlahan
tersebut jika dibagi 2 tidak
menghasilkan Z.
Akan dibuktikan bahwa
bilangan ganjil
bilangan genap
= bilangan bulat.
ax ≡ b (Mod m)
ax ≡ b + mk
x =
𝑏+𝑚𝑘
𝑎
x harus bilangan bulat
karena m 𝜖 Z maka mk 𝜖 Z
2n1x ≡ 2n2 – 1 (Mod 2n3) n1,2,3 𝜖 z
2n1x ≡ 2n2 - 1 + 2n3k

5. 5
x =
2n2− 1 + 2n3𝑘
2𝑛1
x =
2n2− 1 + 2n3
2𝑛1
x =
2(n2+ n3) − 1
2n1
misal (n2 + n3) = n4
x =
2n4 − 1
2𝑛1
, x 𝜖 Z
2n4 - 1 = 2n1x
Misal n1x = n5 , karena n1, x 𝜖 Z
maka 2n4 - 1 = 2n5
2n4 - 1adalah bilangan ganjil dan 2n5
adalah bilangan genap.
Disisi lain, bilangan genap ≠
bilangan ganjil. Artinya
bilangan ganjil
bilangan genap
= bilangan bulat
TIDAK TERBUKTI
Karena
bilangan ganjil
bilangan genap
= bilangan
bulat tidak terbukti maka kongruensi
ax ≡ b (Mod m) dengan a, m 𝜖
bilangan genap, b 𝜖 bilangan ganjil,
sehingga (a, m) = genap, tidak dapat
diselesaikan.