Dokumen tersebut membahas tentang turunan aljabar pada mata kuliah kalkulus I. Materi yang dibahas antara lain pengertian turunan fungsi aljabar, rumus-rumus turunan, turunan berantai, turunan tingkat tinggi, turunan implisit, dan turunan multivariabel beserta contoh-contoh penerapannya.

1. KALKULUS I
3 SKS
Pertemuan VIII

2. Turunan Aljabar
Materi:
Pengertian Turunan Fungsi Aljabar
Rumus Turunan Fungsi Aljabar
Turunan Berantai Fungsi Aljabar
Turunan Tingkat Tinggi Fungsi Aljabar
Turunan Implisit
Turunan multivariabel

3. Turunan Aljabar
Tujuan Perkuliahan:
Setelah mengikuti pertemuan ini,
mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan
konsep turunan, rumus-rumus, dan
menghitung turunan fungsi aljabar.

4. Pengertian Turunan
Suatu fungsi dikatakan dapat didiferensiasi di
bila fungsi itu mempunyai turunan di titik tersebut.
Suatu fungsi dikatakan dapat didiferensiasi pada
suatu selang bila fungsi itu dapat didiferensiasi di
setiap titik pada selang tersebut.
Aplikasi: mencari kecepatan sesaat (fisika), laju
pertumbuhan organisme (biologi), keuntungan
marjinal (ekonomi), dll
0xx =

5. Konsep Limit
mengingat konsep limit karena konsep turunan
dijelaskan lewat limit suatu fungsi
Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’
(dibaca “f aksen”) yang nilainya pada sembarang
bilangan c adalah:
Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau -∞
Jika limit ini ada, dikatakan bahwa f
terdiferensiasikan di c.
Pencarian turunan disebut diferensiasi
h
cfhcf
cf
h
)()(
lim)('
0
−+
=
→

6. Secara Grafis
pengertian turunan dapat dijelaskan sebagai berikut:
Misal P(a,f(a)) adalah sembarang titik pada sebuah
grafik suatu fungsi f. Titik lain pada gambar
dinotasikan dengan Q(a+h,f(a+h)),dimana h
adalah beda antara absis Q dan P. Kemiringan tali
busur yang melalui titik P dan Q adalah
mPQ
h
afhaf )()( −+
=

7. Secara Grafis

8. Secara Grafis
Jika sebuah fungsi f didefinisikan pada sebuah
interval terbuka yang memuat a, maka kemiringan
garis singgung m dari grafik fungsi f pada titik
P(a,f(a)) adalah:
Dengan catatan limitnya ada.
h
afhaf
m
h
)()(
lim
0
−+
=
→

9. Contoh
Diketahui fungsi f(x) = x2
dapatkan kemiringan
garis singgung ke grafik f(x) pada titik P(a,a2
)
Penyelesaian:
Dengan menggunakan penjelasan di atas maka
Jadi turunan suatu
fungsi adalah kemiringan
garis singgung fungsi
tersebut pada titik tertentu.

10. Contoh
1. Jika f(x) = 13x – 6, Carilah f’(4)
Penyelesaian:
[ ]
1313lim
13
lim
]6)4(13[6)4(13
lim
)4()4(
lim)4('
00
00
===
−−−+
=
−+
=
→→
→→
hh
hh
h
h
h
h
h
fhf
f

11. Contoh
2. Jika f(x)= x3
+ 7x, Carilah f’(c)
Penyelesaian
[ ]
73)733(lim
733
lim
]7[)(7)(
lim
)()(
lim)('
222
0
322
0
33
0
0
+=+++=
+++
=
+−+++
=
−+
=
→
→
→
→
chchc
h
hhchhc
h
cchchc
h
cfhcf
cf
h
h
h
h

12. Rumus Turunan Fungsi Aljabar (i)
Teorema I (Aturan Fungsi Konstanta)
Jika f(x) = k dengan k adalah suatu konstanta
untuk sembarang x, f’(x)= 0.
Bukti:
Contoh: f(x) = 2 maka f’(x) = 0
00limlim
)()(
lim)(
000
'
==
−
=
−+
=
→→→ hhh h
kk
h
xfhxf
xf

13. Rumus Turunan Fungsi Aljabar (i)
Teorema II (Aturan Fungsi Identitas)
Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
Bukti:
1limlim
)()(
lim)(
000
'
==
−+
=
−+
=
→→→ h
h
h
xhx
h
xfhxf
xf
hhh

14. Rumus Turunan Fungsi Aljabar (ii)
Teorema III (Aturan Pangkat)
Jika f(x) = xn
, dengan n bilangan-bilangan bulat
positif, maka f’(x) = nxn-1
Bukti:
h
hnxhhx
nn
nxh
h
xhnxhhx
nn
hnxx
h
xhx
h
xfhxf
xf
nnnn
h
nnnnnn
h
nn
hh




+++
−
+
=
−+++
−
++
=
−+
=
−+
=
−−−−
→
−−−
→
→→
1221
0
1221
0
00
'
...
2
)1(
lim
...
2
)1(
lim
)(
lim
)()(
lim)(

15. Rumus Turunan Fungsi Aljabar (ii)
Semua suku di dalam tanda kurung siku kecuali
suku pertama mempunyai h sebagai faktor,
sehingga masing-masing suku ini mempunyai
limit nol bila h mendekati nol. Jadi
Contoh:
f(x)=x2
maka f’(x) = 2x
1
)(' −
= n
nxxf

16. Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iii)
 Teorema IV (Aturan Kelipatan Konstanta)
Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang
terdiferensialkan, maka (kf)’ (x). Bukti: Misalkan
F(x) = k. f(x). Maka
Contoh:
F(x) =5x2
maka f’(x) =5(2x) =10x
)('.
)()(
lim.
)()(
lim
)(.)(.
lim
)()(
lim)(
00
00
xfk
h
xfhxf
k
h
xfhxf
k
h
xfkhxfk
h
xfhxf
xF
hh
hh
=
−+
=
−+
=
−+
=
−+
=
→→
→→

17. Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iii)
 Teorema V (Aturan Jumlah)
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang
terdiferensialkan, maka (f+g)’(x) =
f’ (x) + g’ (x). Bukti:
Contoh:
F(x)=x2
+3x maka f’(x)=2x+3
[ ] [ ]
)(')('
)()(
lim
)()(
lim
)()()()(
lim
)()()()(
lim)(
),()()(
00
0
0
xgxf
h
xghxg
h
xfhxf
h
xghxg
h
xfhxf
h
xgxfhxghxf
xF
makaxgxfxFAndaikan
hh
h
h
+=
−+
+
−+
=



 −+
+
−+
=
+−+−+
=
+=
→→
→
→

18. Rumus Turunan Fungsi Aljabar (iv)
Teorema VI (Aturan Selisih)
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang
terdiferensialkan, maka (f-g)’(x) = f’ (x) - g’ (x).
Bukti: (f-g)’(x) = (f+(-1)g)’ (x) = f’(x) – g’(x)
Contoh:
F(x) =3x2
-x maka f’(x) = 6x – 1

19. Rumus Turunan Fungsi Aljabar (v)
Teorema VII (Aturan Hasil Kali)
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang
terdiferensialkan, maka (f.g)’(x) = f(x).g’(x)
+f’(x).g(x). Bukti:
)(')()(')(
)()(
lim).(lim
)()(
lim).(lim
)()(
)(
)()(
)(lim
h
)()()()()()()()(
lim
h
)()()()(
lim
h
)()(
lim)(
),().()(
0000
0
0
00
xfxgxgxf
h
xfhxf
xg
h
xghxg
hxf
h
xfhxf
xg
h
xghxg
hxf
xgxfxghxfxghxfhxghxf
xgxfhxghxfxFhxF
xF
makaxgxfxFAndaikan
hhhh
h
h
hh
+=
−+
+
−+
+=



 −+
+
−+
+=
−+++−++
=
−++
=
−+
=
=
→→→→
→
→
→→

20. Rumus Turunan Fungsi Aljabar (v)
Contoh :
F(x) = (x+2)(x-5)2

21. Rumus Turunan Fungsi Aljabar (vi)
 Teorema VIII (Aturan Hasil Bagi)
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang
terdiferensialkan, dengan g(x) = 0.
Maka
)(
)(')()(')(
)( 2
'
xg
xgxfxfxg
x
g
f −
=






22. Rumus Turunan Fungsi Aljabar (vi)
[ ]
)()(
1
)(')()(')(
)()(
1)()(
)(
)()(
)(lim
)()(
1)()()()()()()()(
lim
)()(
1)()()()(
lim
)(
)(
)(
)(
lim
)()(
lim)(
,
)(
)()(
0
0
0
00
xgxg
xgxfxfxg
hxgxgh
xghxg
xf
h
xfhxf
xg
hxgxgh
hxgxfxgxfxfxghxfxg
hxgxgh
hxgxfhxfxg
h
xg
xf
hxg
hxf
h
xFhxF
xF
maka
xg
xfxMisalkanF
h
h
h
hh
−=






+


 −+
−
−+
=






+
•
+−+−+
=
+
•
+−+
=
−
+
+
=
−+
=
=
→
→
→
→→

23. Rumus Turunan Fungsi Aljabar (vi)
)(
)(')()(')(
)( 2
'
xg
xgxfxfxg
x
g
f −
=






24. Bedakan antara Turunan dan Diferensial !
Pada waktu anda menuliskan Dxy atau dy/dx = anda
menuliskan lambang turunan
Jika dy = anda menyatakan lambang diferensial
Contoh:
Cari dy jika y = x3
- 3x+1
Jika kita mengetahui bagaimana menghitung
turunan, maka kita tahu bagaimana menghitung
diferensial. Yaitu cukup menghitung turunan lalu
mengalikannya dengan dx
Dy = (3x2
-3) dx
Hal ini karena dy = f’ (x) dx

25. Turunan Berantai Fungsi Aljabar
dw
dx
dx
du
Jika
dx
du
yJika
..
du
dy
y'
makah(w),xg(x),uf(u),y
.
du
dy
y'
makag(x)udan(u)
=
===
=
==
Contoh:
y = (3x+1)10

26. Turunan Berantai Fungsi Aljabar
Contoh:
1). y = (x2
+3x+5)9
x
x
y
−
+
=
1
12
).2
22
3
2
).3 




 +
=
x
xx
y

27. Turunan Tingkat Tinggi Aljabar
Turunan tingkat tinggi adalah turunan fungsi yang tidak hanya
sampai turunan pertama, bisa turunan kedua, ketiga, bahkan
sampai turunan ke n. Jika f’ adalah turunan suatu fungsi f,
maka f’ juga merupakan suatu fungsi, f’ adalah turunan
pertama dari f. Jika turunan dari f’ ada, turunan ini dinamakan
turunan kedua dan ditulis f’’. Dengan cara yang sama turunan
ketiga dari f didefinisikan sebagai turunan pertama dari f’’, jika
turunan ini ada. Turunan ketiga, ditulis f’’’. Turunan ke-n dari
fungsi f, di mana n bilangan positif yang lebih besar dari 1,
adalah turunan pertama dari turunan ke (n-1) dari f. Turunan
ke n dinyatakan dengan f(n)
. Berikut ini adalah tabel cara
penulisan turunan sampai dengan turunan ke-n:

28. Turunan Tingkat Tinggi Aljabar
Contoh:
Carilah turunan ke-3 dari fungsi berikut ini: 283)( 23
+−+= xxxxf

29. Turunan Trigonometri
Turunan dari:
Sin x = cos x
Cos x = -sin x
Tan x = sec2
x
Sec x = sec x tan x
Cot x = -csc2
x
Csc x = -csc x cot x

30. Turunan Trigonometri
Contoh:
[ ]32
)1sin()1 += xy
( )[ ]2
cossin)2 xy =
)1(cos)3 23
+= xy

31. Turunan Fungsi Implisit
Andaikan kita menjumpai sebuah persamaan
sebagai berikut :
y 3
+ 7y = x3
dan kita menginginkan untuk mencari turunannya,
maka hal seperti ini tentulah tidak dapat secara
gamblang (eksplisit) terselesaikan , akan tetapi kita
harus menggunakan cara tertentu, misalnya aturan
Rantai untuk dapat menyelesaikannya.

32. Turunan Fungsi Implisit lanjutan
Hal seperti di atas yang kita sebut sebagai Turunan
fungsi Implisit.
Cara untuk mendapatkan turunan fungsi
Implisit, yaitu :
Jika tidak terlalu sulit, atau jika mungkin, y
dinyatakan sebagai bentuk eksplisit dari x, lalu
didiferensialkan terhadap x (sebagai perubah
bebasnya)

33. Turunan Fungsi Implisit lanjutan
Contoh 1:
Tentukan turunan pertama dari
4x 2
y - 3y = x3
- 1
Fungsi Implisit tersebut diubah terlebih dahulu ke
dalam fungsi eksplisit menjadi :
4x 2
y - 3y = x3
- 1
atau y( 4x 2
- 3 ) = x3
-1

34. Turunan Fungsi Implisit lanjutan
Atau:
Setelah berubah menjadi fungsi eksplisit, maka
tinggal diturunkan sehingga menjadi
34
1
2
3
−
−
=
x
x
y
( ) ( )
( )
924x-16x
89x-4x
924x-16x
8x)-(8x-)9x-(12x
34
8.134.3
'
24
24
24
424
23
322
+
+
=
+
=
−
−−−
=
x
x
xxxx
y

35. Soal-soal latihan (i)
Carilah turunan pertama fungsi-fungsi di bawah
ini:
52
25
)()1
2
+
+
=
x
x
xf
3
)2)(1()()2 ++= xxxf
( )53
4)()3 += xxxf

36. Soal-soal latihan (ii)
 Carilah turunan berantai fungsi-fungsi di bawah
ini:
xxuuy 2,3)1 45
+=+=
2
),24(,)2 xvvvuuy =−==
2t
dt
dy
berapakah
,93tx2)3 22
=
+=−=
ketika
danxxyJika

37. Soal-soal latihan (iii)
Carilah turunan kedua fungsi-fungsi di bawah
ini:
243)()1 24
−+−= xxxxf
25)()2 += zzg
2/3
)2()()3 += ttf
xx
xf
4
2
1
)()4 2
+=

38. KALKULUS I
3 SKS
Pertemuan XI

39. Integral Tak Tentu
Jika diketahui F(x) = x2
, maka turunannya adalah F’(x) = 2x
= f(x). Bila operasi dibalik yakni diketahui f(x) = 2x
dapatkah ditemukan F(x) sebagai anti turunan dari f(x)
sedemikian sehingga F’(x) = 2x = f(x)? Jawabannya adalah
DAPAT. Caranya adalah sebagai berikut:
F(x) = x2
sebab F’(x) = 2x = f(x) atau
F(x) = x2
+ 1 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau
F(x) = x2
+ 7 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau
F(x) = x2
- 10 sebab F’(x) = 2x = f(x) atau
………… dan seterusnya sehingga dapat ditulis
F(x) = x2
+ C untuk sembarang konstanta C.
Ini benar sebab F’(x) = 2x = f(x)

40. Ternyata anti turunan F dari f jawabnya tidak hanya satu.
Dapat dikatakan bahwa himpunan anti turunan F dari
f(x)=2x adalah F(x) = x2
+ C berlaku untuk sembarang
konstanta C.
Dapat dimengerti bahwa himpunan anti turunan F dari f
yang dirumuskan oleh f(x) = xn
adalah
Sebab turunannya F’(x) = x2
= f(x)
Himpunan anti turunan F dari f ditulis dalam bentuk
integral (Leibniz)
1,
1
1
)( 1
−≠+
+
= +
nCx
n
xF n
∫= dxxfxF )()(

41. Kemunculan C ini disebut konstanta integrasi
Dari definisi , maka f(x) disebut integran
Sedang F(x) adalah hasil integrasi.
Karena hasil penghitungan bertambah dengan konstanta
sembarang C maka disebut integral tak
tentu
adalah rumus dasar
integral tak tentu
∫ += CxFxFd )()]([
∫= dxxfxF )()(
∫ += CxFxf )()(
1,
1
1 1
−≠+
+
= +
∫ nCx
n
dxx nn

42. Teori I (Aturan Pangkat)
Jika r adalah sembarang bilangan rasional kecuali -1, maka:
Contoh:
Berapa anti turunan dari f(x) = x4/3
1,C
1r
x
dxx
1r
r
−≠+
+
=
+
∫ n

43. Teori II (Aturan Trigonometri)
Cxcossec-xcotseccos
Cxsecxtansec
Cxcot-seccos
Cxtansec
Cxsincos
Cxcos-sin
2
2
+=
+=
+=
+=
+=
+=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
dxx
dxx
dxx
dxx
dxx
dxx

44. Teori II (Aturan Trigonometri)
Cxcxcossecln-xcossec
Cxtanxseclnxsec
Cxcossecln-Cxsinlnxcot
CxseclnCxcosln-xtan
++=
++=
+=+=
+=+=
∫
∫
∫
∫
otdx
dx
dx
dx

45. Teori III (Integral Tak Tentu - Linier)
Jika f dan g memiliki anti turunan (integral tak tentu) dan
andaikan k suatu konstanta, maka:
Cdxxgxf
Cdxxgxf
Cdxxkf
+−=−
++=+
+=
∫∫ ∫
∫∫ ∫
∫ ∫
g(x)dxf(x)dx)]()([
g(x)dxf(x)dx)]()([
f(x)dxk)(

46. Contoh:
Tentukan besarnya nilai integral berikut!
( )dx4x3x.1 2
∫ +
( )duuu 123.2 2/3
∫ +−
dtt
t∫ 





+2
1
.3

47. Teori IV (Aturan Pangkat yang digeneralisir)
Andaikan g suatu fungsi terdiferensiasikan dan r suatu
bilangan rasional yang bukan -1, maka:
[ ] [ ] C
r
xgxg
r
r
+
+
=
+
∫ 1
g(x)
dx)(')(
1

48. Contoh:
Selesaikan integral berikut!
( ) ( )dx34x3xx.1 3
30
4
++∫
dxxxcossin.2 10
∫
( ) ( )dx216x6xx.3 253
∫ ++
dxx
x 2
22
3
2
.4 ∫ 





+
( ) dxxx 24.5
10
2
∫ +

49. Selesaikan integral berikut!
( )dxxx.1 2
∫ +
( ) dxx 1.2
2
∫ +
( ) dz
z
z 1
.3
22
∫
+
( ) θθθ dcossin.4 ∫ −
dy
52y
3y
.5
2∫ +
Latihan

50. Selesaikan integral berikut!
dxxxsin2.1 ∫
( ) dxxx cos1.2 2
∫ +
( ) dt
t
t 4
.3
3
∫
+
dx4-2x.4 3
∫
dx
82x
18x
.5
3
2
∫ +
Latihan

51. Integral Tentu
Anggaplah f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang
tertutup [a, b]. Jika:
Ada, maka f adalah terintegrasikan pada [a, b]
Lebih lanjut disebut integral tentu
(atau integral Riemann) f dari a ke b, diberikan oleh
i
n
i
P
xixf ∆∑=
−
→
)(lim
1
0
∫
b
a
dxxf )(
=∫
b
a
dxxf )( i
n
i
P
xixf ∆∑=
−
→
)(lim
1
0

52. Selesaikan integral berikut!
Berdasarkan definisi
0)( =∫
a
a
dxxf ∫∫ 〉−=
a
b
b
a
badxxfdxxf ,)()(
0
2
2
3
=∫ dxx ∫∫ −=
6
2
3
2
6
3
dxxdxx

53. Anggaplah f kontinu pada selang tertutup [a, b] dan
anggaplah x sebagai sebuah titik (peubah) pada
(a, b). Maka:
Teorema 1
)()( xfdttf
dx
d
x
a
=∫

54. Jika f dan g terintegrasikan pada [a, b] dan jika
f(x)≤g (x) untuk semua x dalam [a, b], maka:
Teorema 2 (Sifat Perbandingan)
∫∫ ≤
b
b
b
a
dxxgdxxf )()(

55. Jika f terintegrasikan pada selang [a, b] dan
m≤ f(x) ≤ M untuk semua x dalam [a, b], maka:
Teorema 3 (Sifat Keterbatasan)
∫ −≤≤−
b
a
abMdxxfabm )()()(

56. Andaikan bahwa f dan g terintegrasikan pada [a, b]
dan bahwa k konstanta. Maka kf dan f+g
terintegrasikan dan
Teorema 4 (Kelinieran Integral Tentu)
[ ]
[ ] ∫∫∫
∫ ∫∫
∫∫
−=−
+=+
=
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf
dxxgdxxfdxxgxf
dxxfkdxxkf
)()()()(
)()()()(
)()(

57. Contoh soal
∫ +
2
0
)1( dxx
∫ +
2
0
2
)1( dxx
∫−
+
1
2
2
)23( dxx
∫ ++
5
0
2
)1( dxxx
( )∫−
+−
2
1
24
13 dxxx
[ ]∫−
+−
2
2
2
)1)(1( dxxx ∫
x
tdt
0
sin3
∫−
+
π
π
dxxx )cos(sin
∫
2/
0
223
)cos()(sin
π
dxxxx

58. Selesaikan integral berikut!
dx
x 4
x
.1
5
5-
2
5
∫ +
dx
x
xcos
.2
/4
/9
2
2
∫
π
π
dxsinxxcos.3
/2
0
2
∫
π
( )
dt
2t
1
.4
3
1-
2∫ +
( )dxxx.5
8
1
4/31/3
∫ +
Latihan