Dokumen tersebut membahas tentang konsep dasar limit fungsi matematika, termasuk definisi limit, limit sepihak, contoh soal limit, dan teorema-teorema terkait limit fungsi.

1. Limit
Dr. Ely Susanti, M.Pd
FKIP Universitas Sriwijaya
22 Oktober 2015
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 1 / 16

2. Tujuan Perkuliahan
Setelah mengikuti perkuliahan ini:
Mahasiswa dapat menjelaskan konsep dasar limit
Mahasiswa lebih memahami dan dapat menjelaskan secara mendalam
definisi serta konsep limit
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 2 / 16

3. Tujuan Perkuliahan
Setelah mengikuti perkuliahan ini:
Mahasiswa dapat menjelaskan konsep dasar limit
Mahasiswa lebih memahami dan dapat menjelaskan secara mendalam
definisi serta konsep limit
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 2 / 16

4. Tujuan Perkuliahan
Setelah mengikuti perkuliahan ini:
Mahasiswa dapat menjelaskan konsep dasar limit
Mahasiswa lebih memahami dan dapat menjelaskan secara mendalam
definisi serta konsep limit
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 2 / 16

5. Konsep Dasar Limit
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 3 / 16

6. Konsep Dasar Limit
Perhatikan contoh di bawah ini:
f (x) = 2x2+x−3
x−1 ⇒ f (1) tidak mempunyai nilai
(tidak terdefinisi)
Tabel di bawah ini adalah simulasi nilai f (x):
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 3 / 16

7. Definisi Limit
Pengertian limit secara intuisi.Untuk mengatakan bahwa lim
x→a
f (x) = L
berarti bahwa bilamana x dekat tetapi berlainan dari a, maka f (x) dekat
ke L.
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 4 / 16

8. Dari tabel diperoleh:
0 < |x − 1| < 0.1 ⇒ |f (x) − 5| < 0.2
0 < |x − 1| < 0.01 ⇒ |f (x) − 5| < 0.02
0 < |x − 1| < 0.001 ⇒ |f (x) − 5| < 0.002
dan seterusnya.
Nilai f(x) dapat didekatkan ke 5 sekehendak kita asalkan nilai x diambil
cukup dekat ke 1.
Artinya, |f (x) − 5| dapat dibuat kecil asalkan |x − 1| cukup kecil pula.
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 5 / 16

9. Dari tabel diperoleh:
0 < |x − 1| < 0.1 ⇒ |f (x) − 5| < 0.2
0 < |x − 1| < 0.01 ⇒ |f (x) − 5| < 0.02
0 < |x − 1| < 0.001 ⇒ |f (x) − 5| < 0.002
dan seterusnya.
Nilai f(x) dapat didekatkan ke 5 sekehendak kita asalkan nilai x diambil
cukup dekat ke 1.
Artinya, |f (x) − 5| dapat dibuat kecil asalkan |x − 1| cukup kecil pula.
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 5 / 16

10. Definisi Limit
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 6 / 16

11. Limit Sepihak
1 lim
x→c+
f (x) = L
↔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 jika0 < x − c < δmaka|f (x) − L| < ε
2 lim
x→c−
f (x) = L
↔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 jika − δ < x − c < 0maka|f (x) − L| < ε
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 7 / 16

12. Limit Sepihak
1 lim
x→c+
f (x) = L
↔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 jika0 < x − c < δmaka|f (x) − L| < ε
2 lim
x→c−
f (x) = L
↔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 jika − δ < x − c < 0maka|f (x) − L| < ε
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 7 / 16

13. Limit Sepihak
1 lim
x→c+
f (x) = L
↔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 jika0 < x − c < δmaka|f (x) − L| < ε
2 lim
x→c−
f (x) = L
↔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 jika − δ < x − c < 0maka|f (x) − L| < ε
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 7 / 16

14. Contoh Soal
1 lim
x→−1
(5x + 2) = −3
2 lim
x→3
(x2
+ x − 5) = 7
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 8 / 16

15. Contoh Soal
1 lim
x→−1
(5x + 2) = −3
2 lim
x→3
(x2
+ x − 5) = 7
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 8 / 16

16. Contoh Soal
1 lim
x→−1
(5x + 2) = −3
2 lim
x→3
(x2
+ x − 5) = 7
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 8 / 16

17. Solusi
Ambil sembarang ε > 0 sehingga 5x + 2 − (−3) < ε akan dicari δ > 0
sehingga berlaku
|x − (−1)| < δ ⇒ |f (x) − (−3)| < ε
|x + 1| < δ ⇒ |f (x) + 3| < 3
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 9 / 16

18. Solusi
Ambil sembarang ε > 0 sehingga 5x + 2 − (−3) < ε akan dicari δ > 0
sehingga berlaku
|x − (−1)| < δ ⇒ |f (x) − (−3)| < ε
|x + 1| < δ ⇒ |f (x) + 3| < 3
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 9 / 16

19. Solusi
Analisis Pendahuluan
|f (x) − (−3)| = |5x + 2 − (−3)|
= |5x + 5|
= |5(x + 1)|
= 5|x + 1|
≤ 5δ
Kalau diambil ε = 5δ, maka 0 < |x + 1| < δ ≤ 1/5ε
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 10 / 16

20. Solusi
Analisis Pendahuluan
|f (x) − (−3)| = |5x + 2 − (−3)|
= |5x + 5|
= |5(x + 1)|
= 5|x + 1|
≤ 5δ
Kalau diambil ε = 5δ, maka 0 < |x + 1| < δ ≤ 1/5ε
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 10 / 16

21. Solusi
Analisis Pendahuluan
|f (x) − (−3)| = |5x + 2 − (−3)|
= |5x + 5|
= |5(x + 1)|
= 5|x + 1|
≤ 5δ
Kalau diambil ε = 5δ, maka 0 < |x + 1| < δ ≤ 1/5ε
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 10 / 16

22. Solusi
Analisis Pendahuluan
|f (x) − (−3)| = |5x + 2 − (−3)|
= |5x + 5|
= |5(x + 1)|
= 5|x + 1|
≤ 5δ
Kalau diambil ε = 5δ, maka 0 < |x + 1| < δ ≤ 1/5ε
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 10 / 16

23. Solusi
Analisis Pendahuluan
|f (x) − (−3)| = |5x + 2 − (−3)|
= |5x + 5|
= |5(x + 1)|
= 5|x + 1|
≤ 5δ
Kalau diambil ε = 5δ, maka 0 < |x + 1| < δ ≤ 1/5ε
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 10 / 16

24. Solusi
Analisis Pendahuluan
|f (x) − (−3)| = |5x + 2 − (−3)|
= |5x + 5|
= |5(x + 1)|
= 5|x + 1|
≤ 5δ
Kalau diambil ε = 5δ, maka 0 < |x + 1| < δ ≤ 1/5ε
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 10 / 16

25. Solusi
Bukti
Diambil sembarang ε > 0 akan dicari δ > 0 sehingga
0 < |x + 1| < δ ⇒ |f (x) − (−3)| < ε
0 < |x + 1| < δ ⇒ |5x + 2 − (−3)| < ε
0 < |x + 1| < δ ⇒ |5x + 5| < ε
0 < |x + 1| < δ ⇒ 5|x + 1| < ε
Dipilih 0 < δ ≤ 1/5ε maka 0 < |x + 1| < δ ≤ 1/5ε
⇒ 5|x + 1| < 5.1/5ε < ε
terbukti.
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 11 / 16

26. Solusi
Bukti
Diambil sembarang ε > 0 akan dicari δ > 0 sehingga
0 < |x + 1| < δ ⇒ |f (x) − (−3)| < ε
0 < |x + 1| < δ ⇒ |5x + 2 − (−3)| < ε
0 < |x + 1| < δ ⇒ |5x + 5| < ε
0 < |x + 1| < δ ⇒ 5|x + 1| < ε
Dipilih 0 < δ ≤ 1/5ε maka 0 < |x + 1| < δ ≤ 1/5ε
⇒ 5|x + 1| < 5.1/5ε < ε
terbukti.
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 11 / 16

27. Solusi
Bukti
Diambil sembarang ε > 0 akan dicari δ > 0 sehingga
0 < |x + 1| < δ ⇒ |f (x) − (−3)| < ε
0 < |x + 1| < δ ⇒ |5x + 2 − (−3)| < ε
0 < |x + 1| < δ ⇒ |5x + 5| < ε
0 < |x + 1| < δ ⇒ 5|x + 1| < ε
Dipilih 0 < δ ≤ 1/5ε maka 0 < |x + 1| < δ ≤ 1/5ε
⇒ 5|x + 1| < 5.1/5ε < ε
terbukti.
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 11 / 16

28. Solusi
Bukti
Diambil sembarang ε > 0 akan dicari δ > 0 sehingga
0 < |x + 1| < δ ⇒ |f (x) − (−3)| < ε
0 < |x + 1| < δ ⇒ |5x + 2 − (−3)| < ε
0 < |x + 1| < δ ⇒ |5x + 5| < ε
0 < |x + 1| < δ ⇒ 5|x + 1| < ε
Dipilih 0 < δ ≤ 1/5ε maka 0 < |x + 1| < δ ≤ 1/5ε
⇒ 5|x + 1| < 5.1/5ε < ε
terbukti.
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 11 / 16

29. Solusi
Bukti
Diambil sembarang ε > 0 akan dicari δ > 0 sehingga
0 < |x + 1| < δ ⇒ |f (x) − (−3)| < ε
0 < |x + 1| < δ ⇒ |5x + 2 − (−3)| < ε
0 < |x + 1| < δ ⇒ |5x + 5| < ε
0 < |x + 1| < δ ⇒ 5|x + 1| < ε
Dipilih 0 < δ ≤ 1/5ε maka 0 < |x + 1| < δ ≤ 1/5ε
⇒ 5|x + 1| < 5.1/5ε < ε
terbukti.
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 11 / 16

30. Teorema-Teorema Limit Fungsi
Teorema 3.1 → Teorema Ketunggalan
lim
x→c
f (x) = L1 dan lim
x→c
f (x) = L2, maka L1 = L2
Bukti
Diketahui lim
x→c
f (x) = L1 dan lim
x→c
f (x) = L2.
Akan dibuktikan bahwa L1 = L2
Andaikan L1 = L2
lim
x→c
f (x) = L1maka lim
x→c−
f (x) = L1 (1)
lim
x→c
f (x) = L1maka lim
x→c+
f (x) = L1 (2)
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 12 / 16

31. Teorema-Teorema Limit Fungsi
Teorema 3.1 → Teorema Ketunggalan
lim
x→c
f (x) = L1 dan lim
x→c
f (x) = L2, maka L1 = L2
Bukti
Diketahui lim
x→c
f (x) = L1 dan lim
x→c
f (x) = L2.
Akan dibuktikan bahwa L1 = L2
Andaikan L1 = L2
lim
x→c
f (x) = L1maka lim
x→c−
f (x) = L1 (1)
lim
x→c
f (x) = L1maka lim
x→c+
f (x) = L1 (2)
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 12 / 16

32. Teorema-Teorema Limit Fungsi
Teorema 3.1 → Teorema Ketunggalan
lim
x→c
f (x) = L1 dan lim
x→c
f (x) = L2, maka L1 = L2
Bukti
Diketahui lim
x→c
f (x) = L1 dan lim
x→c
f (x) = L2.
Akan dibuktikan bahwa L1 = L2
Andaikan L1 = L2
lim
x→c
f (x) = L1maka lim
x→c−
f (x) = L1 (1)
lim
x→c
f (x) = L1maka lim
x→c+
f (x) = L1 (2)
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 12 / 16

33. Lanjutan
Demikian juga
lim
x→c
f (x) = L2maka lim
x→c−
f (x) = L2 (3)
lim
x→c
f (x) = L2maka lim
x→c+
f (x) = L2 (4)
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 13 / 16

34. Teorema Limit(Lanjutan)
Dari (1), (2), (3), dan (4) diperoleh
lim
x→c−
f (x) = lim
x→c+
f (x)
Dengan kata lain bahwa:
lim
x→c−
f (x) tidak ada. (Kontradiksi lim
x→c
f (x) = L1 dan lim
x→c
f (x) = L2)
Jadi,pengandaian salah, yang benar L1 = L2.
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 14 / 16

35. Teorema Limit(Lanjutan
Teorema 3.2 ⇒ Rumus-rumus Limit
1 lim
x→c
k = k untuk sembarang konstan k.
2 Jika lim
x→c
f (x) = L dan lim
x→c
g(x) = M , maka
lim
x→c
[f (x) ± g(x) = L ± M
lim
x→c
kf (x) = kL untuk sembarang konstan k.
lim
x→c
[f (x)g(x)] = LM
lim
x→c
=
f (x)
g(x) =
L
M
, M = 0
lim
x→c
[f (x)]n
= Ln
lim
x→c
|f (x)| = |L|
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 15 / 16

36. Teorema Limit(Lanjutan
Teorema 3.2 ⇒ Rumus-rumus Limit
1 lim
x→c
k = k untuk sembarang konstan k.
2 Jika lim
x→c
f (x) = L dan lim
x→c
g(x) = M , maka
lim
x→c
[f (x) ± g(x) = L ± M
lim
x→c
kf (x) = kL untuk sembarang konstan k.
lim
x→c
[f (x)g(x)] = LM
lim
x→c
=
f (x)
g(x) =
L
M
, M = 0
lim
x→c
[f (x)]n
= Ln
lim
x→c
|f (x)| = |L|
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 15 / 16

37. Teorema Limit(Lanjutan
Teorema 3.2 ⇒ Rumus-rumus Limit
1 lim
x→c
k = k untuk sembarang konstan k.
2 Jika lim
x→c
f (x) = L dan lim
x→c
g(x) = M , maka
lim
x→c
[f (x) ± g(x) = L ± M
lim
x→c
kf (x) = kL untuk sembarang konstan k.
lim
x→c
[f (x)g(x)] = LM
lim
x→c
=
f (x)
g(x) =
L
M
, M = 0
lim
x→c
[f (x)]n
= Ln
lim
x→c
|f (x)| = |L|
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 15 / 16

38. Teorema Limit(Lanjutan
Teorema 3.2 ⇒ Rumus-rumus Limit
1 lim
x→c
k = k untuk sembarang konstan k.
2 Jika lim
x→c
f (x) = L dan lim
x→c
g(x) = M , maka
lim
x→c
[f (x) ± g(x) = L ± M
lim
x→c
kf (x) = kL untuk sembarang konstan k.
lim
x→c
[f (x)g(x)] = LM
lim
x→c
=
f (x)
g(x) =
L
M
, M = 0
lim
x→c
[f (x)]n
= Ln
lim
x→c
|f (x)| = |L|
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 15 / 16

39. Teorema Limit(Lanjutan
Teorema 3.2 ⇒ Rumus-rumus Limit
1 lim
x→c
k = k untuk sembarang konstan k.
2 Jika lim
x→c
f (x) = L dan lim
x→c
g(x) = M , maka
lim
x→c
[f (x) ± g(x) = L ± M
lim
x→c
kf (x) = kL untuk sembarang konstan k.
lim
x→c
[f (x)g(x)] = LM
lim
x→c
=
f (x)
g(x) =
L
M
, M = 0
lim
x→c
[f (x)]n
= Ln
lim
x→c
|f (x)| = |L|
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 15 / 16

40. Teorema Limit(Lanjutan
Teorema 3.2 ⇒ Rumus-rumus Limit
1 lim
x→c
k = k untuk sembarang konstan k.
2 Jika lim
x→c
f (x) = L dan lim
x→c
g(x) = M , maka
lim
x→c
[f (x) ± g(x) = L ± M
lim
x→c
kf (x) = kL untuk sembarang konstan k.
lim
x→c
[f (x)g(x)] = LM
lim
x→c
=
f (x)
g(x) =
L
M
, M = 0
lim
x→c
[f (x)]n
= Ln
lim
x→c
|f (x)| = |L|
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 15 / 16

41. Teorema Limit(Lanjutan
Teorema 3.2 ⇒ Rumus-rumus Limit
1 lim
x→c
k = k untuk sembarang konstan k.
2 Jika lim
x→c
f (x) = L dan lim
x→c
g(x) = M , maka
lim
x→c
[f (x) ± g(x) = L ± M
lim
x→c
kf (x) = kL untuk sembarang konstan k.
lim
x→c
[f (x)g(x)] = LM
lim
x→c
=
f (x)
g(x) =
L
M
, M = 0
lim
x→c
[f (x)]n
= Ln
lim
x→c
|f (x)| = |L|
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 15 / 16

42. Teorema Limit(Lanjutan
Teorema 3.2 ⇒ Rumus-rumus Limit
1 lim
x→c
k = k untuk sembarang konstan k.
2 Jika lim
x→c
f (x) = L dan lim
x→c
g(x) = M , maka
lim
x→c
[f (x) ± g(x) = L ± M
lim
x→c
kf (x) = kL untuk sembarang konstan k.
lim
x→c
[f (x)g(x)] = LM
lim
x→c
=
f (x)
g(x) =
L
M
, M = 0
lim
x→c
[f (x)]n
= Ln
lim
x→c
|f (x)| = |L|
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 15 / 16

43. Teorema Limit(Lanjutan
Teorema 3.2 ⇒ Rumus-rumus Limit
1 lim
x→c
k = k untuk sembarang konstan k.
2 Jika lim
x→c
f (x) = L dan lim
x→c
g(x) = M , maka
lim
x→c
[f (x) ± g(x) = L ± M
lim
x→c
kf (x) = kL untuk sembarang konstan k.
lim
x→c
[f (x)g(x)] = LM
lim
x→c
=
f (x)
g(x) =
L
M
, M = 0
lim
x→c
[f (x)]n
= Ln
lim
x→c
|f (x)| = |L|
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 15 / 16

44. Latihan
Tentukan nilai limit berikut.
1 lim
x→3
(7x + 4)
2 lim
x→−1
(2x3
− 5x)
3 lim
x→0
(4x2
− 3)(7x3
+ 2x)
4 lim
x→4
2x
3x3 − 16
5 lim
x→3
√
3x − 5
Dr. Ely Susanti, M.Pd (FKIP Universitas Sriwijaya) Limit 22 Oktober 2015 16 / 16