İntegral

2. 1.BELİRSİZ İNTEGRAL
2.BELİRSİZ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ
3.İNTEGRAL ALMA KURALLARI
4.İNTEGRAL ALMA METODLARI
Değişken Değiştirme (Yerine Koyma)Metodu
Kısmi İntegrasyon Yöntemi
Basit Kesire Ayırma metodu
5.TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER YARDIMIYLA ÇÖ
6.BAZI ÖZEL DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRMELER
7.DEĞERLENDİRME TESTİ

3. • Tanım: f : [ a , b] → R tanımlı iki fonksiyon olsun.Eğer F(x)
in türevi f(x) veya diferansiyeli f(x).dx olan F(x)
fonksiyonuna,f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali denir ve
∫ f (x).dx = F(x) + c biçiminde gösterilir.
∫
•∫ f ( x ).dx = F( x ) + c eşitliğinde; işaretine,integral işareti,f(x) e
integrand(integral altındaki fonksiyon),f(x).dx e diferansiyel
çarpanı,F(x) e f(x) in ilkel fonksiyonu ve C ye integral
sabiti denir.

4. 1.Bir belirsiz integralin türevi,integrali alınan fonksiyona
eşittir:
∫ ( '
)
f ( x ).dx = (F( x ) + C)' = f ( x )
2.Bir belirsiz integralin diferansiyeli,integral işaretinin
(∫ f ( x).dx )
altındaki ifadeye eşittir: ′
d = f ( x ).dx
3.Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali,bu
fonksiyon ile bir C sabitini toplamına eşittir:
∫ d ( f ( x)) = f ( x) + c

5. ∫4 x
5
Örnek-1- .dx belirsiz integralinin türevini bulunuz.
Çözüm :
d
dx
(∫4 x 5
)
.dx = x 5
4
Örnek-2-
∫ d ( x 3 + x) belirsiz integralini bulunuz.
∫d (x + x) = x + x + c
3 3
Çözüm :
Örnek-3- ∫ x 2 +1.dxbelirsiz integralinin diferansiyelini
bulunuz.
Çözüm :
∫ x 2 +1.dx = x 2 +1.dx

6. 1
1. ∫ x dx =
n
x n +1 +c (n ≠ −1)
n +1
1
2. ∫e .dx = e +c
x x
3. ∫ dx = ln x + c
x
4. ∫a x .dx = 1 a x +c (a > 0, a ≠ 1)
ln a
5. ∫ sin x.dx = − cos x + c 6. ∫ cos x.dx = sin x + c
∫
7. ∫ tan x. sec x.dx = sec x + c 8. cot x. cos ecx.dx = − cos ecx + c

7. 1
9. ∫ sec xdx = ∫ dx = ∫ (1 + tan 2 x)dx = tan x + c
2
cos 2 x
1
∫ cos ec xdx = ∫ 2 dx = ∫ (1 + cot 2 x)dx = − cot x + c
2
10. sin x
1
11. ∫1 + x 2 dx = arctan x +c
1
12. ∫ 1 −x 2
dx =arcsin x +c

8. Örnek-1-
∫x 5 dx belirsiz integralini bulunuz.
1 6
Çözüm: I =∫x dx = x +c
5
6
Örnek-2- ∫ (e 3 +e x ) dx belirsiz integralini bulunuz.
Çözüm: I = ∫ (e 3 + e x )dx = e 3 .x + e x + c
x5 + x 4 − 2x
Örnek-3-
∫ x5 dx belirsiz integralini bulunuz.
 1 2 dx
Çözüm:
I = ∫  1 + − 4 .dx = x + ln x − 2.∫ 4 = x + ln x − 2.∫ x − 4 dx
 x x  x
x −3 2
= x + ln x − 2. = x + ln x + 3 + c
−3 3x

9.  3−x 
Örnek-4- ∫ 3 x 1 +
 dx belirsiz integralini bulunuz.

 x 
 x 1 3x
Çözüm: I = ∫ 3 + dx = + ln x + c
 x ln 3
Örnek-5- ∫ tan 2 xdx belirsiz integralini bulunuz.
Çözüm: I =
∫ (1 + tan x − 1) dx = ∫ (1 + tan 2 x ) dx − ∫ dx = tan x − x + c
2
∫
Örnek-6- cot 4 xdx integralini hesaplayınız.
Çözüm: cot 4 xdx = cos 4 x 1 4 cos 4 x 1 (sin 4 x)1
∫ ∫ sin 4 x dx = 4 ∫ sin 4 x dx = 4 ∫ sin 4 x
1
= ln sin 4 x + c
4

10. ∫ f ( g (x ) ) g ' ( x)dx İntegralinde u=g(x) ve u ' = g ' ( x)dx
Dönüşümü yapılarak integral ∫ f ( x)du haline getirilir.
Örnek-1- ∫ ( x 4 − 2 x 2 + 3).( x 3 − x).dx integralini hesaplayınız
Çözüm: u = x − 2 x + 3
4 2
⇒ du = (4 x − 4 x).dx
3
du
du = 4( x − x).dx
3
4
= ( x 3 − x ).dx
du 1 3 1 u4 1 4
I = ∫ u 3 = ∫ u .du = +c I = ( x − 2 x 2 + 3) 4 + c
4 4 4 4 16

11. ∫e
sin x
Örnek-2- . cos x.dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: u = sinx du = cosx.dx
I = ∫ e .du = e + c
u u
x
Örnek-3-
∫1 + x 2 dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: u = 1+ x 2 du = 2xdx ⇒ du =x.dx
2
du
I =∫ 2 = 1 ln u + c = 1 ln(1 + x 2 ) + c
u 2 2

12. ln x
Örnek-4-
∫ x
dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: u = ln x du =
1
x
dx
3
1
u 2
I =∫ u du = ∫ u du =
2
+c
3
2
3
2
= (ln x ) + c 2
3

13. dx
Örnek-5- ∫ e x + 1 dx integralini hesaplayınız.
Çözüm:
dx ex + 1− ex ex + 1 ex ex
I = ∫ x dx = ∫ dx = ∫ x dx − ∫ x dx = ∫ dx − ∫ x dx
e +1 e +1
x
e +1 e +1 e +1
ex
I2 = ∫ x dx u = e + 1 ⇒ du = e .dx
x x
e +1
du
I2 = ∫ = ln u + c
u
I = x − ln e +1 + c
x

14. x
e
Örnek-6- ∫ x
dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: 1 1
u= x du = dx 2du = dx
2 x x
I = ∫ e u .2du = 2 ∫ e u du = 2e u + c I = 2e + c x
Örnek-7- ∫ sin x. cos x.dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: u = sin x du = cos x.dx
2 2
u sin x
I = ∫ u.du = +c I= +c
2 2

15. Örnek-8- ∫ x 2 − 4 x ( x − 2).dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: u = x2 − 4x du = (2 x − 4 x).dx = 2( x − 2).dx
du
= ( x − 2).dx
2
3
3
du 1 1u 1 7 2
I= u = ∫ u .du = +c = u +c
2 2 2 3 3
2
3
1 2
I = ( x − 4 x) 2 + c
3

16. arctan x
Örnek-9- ∫ dx integralini hesaplayınız.
1+ x 2
u = arctan x du = 1
Çözüm: dx
1+ x 2
2
u arctan 2 x
I = ∫ u.du = + c I= +c
2 2
e x + e− x
Örnek-10-
∫ e x − e− x dx integralini hesaplayınız.
−x −x
u = e −e x
du = (e + e )dx
x
du −x
I =∫
u
= ln u + c I = ln e − e + c
x

17. Örnek-11-
∫ (cot x − tan x)dx integralini hesaplayınız.
Çözüm:
∫ cot xdx − ∫ tan xdx
I1 I2
u = sin x t = cos x
du = cos x dt = − sin x.dx
I = ln u + ln t + c
I = ln sin x + ln cos x + c

18. sin 2 x
Örnek-12- ∫ 3 + cos2 x dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: u = 3 + cos 2 x du = − 2 cos x sin x = − sin x
du
I = ∫− = − ln u + c I = − ln 3 + cos 2 x + c
u
Örnek-13- ∫ (tan 4 x + tan 2 x )dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: I = ∫ tan x(tan x + 1)dx
2 2
u = tan x du = (1 + tan 2 x)dx
u 3
tan 3 x
I = ∫ u du = + c
2
I= +c
3 3

19. dx
Örnek-14- ∫ 9 − 25 x 2
integralini hesaplayınız.
Çözüm:
dx 1  bx 
a, b ∈ R − { 0} ⇒ ∫ a −b x
2 2 2
= arcsin  + c
b  a
dx 1  5x 
∫ 9 − 25 x 2
= arcsin  + c
5  3 

20. ∫u.dv =u.v −∫v.du
u ve v ' yi seçerken;
1. dv’nin integralinden v kolayca bulunabilir.
2. ∫ du integralini hesaplamak ∫u.du
v.
integralinden daha kolay olmalı.
2. u seçimi yaparken öncelik sırası :
L A P T Ü
logoritma arc polinom trigonometrik üstel

21. ∫ x.e .dx
x
Örnek-1- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
u=x dv = e .dx x
du = dx v=e x
∫ x.e .dx = x.e − ∫ e .dx
x x x
= x.e −e + c
x x

22. Örnek-2-
∫ ln x.dx integralini hesaplayınız.
Çözüm:
u = ln x dv = dx
1
du = dx v=x
x
1
∫ lnx.dx = x.lnx - ∫ x. x dx
= x.lnx - x + c

23. Örnek-3- ∫ e x . sin x.dx integralini hesaplayınız.
Çözüm:
u = sin x dv = e x dx
du = cos x.dx v = ex
sin x.e x − ∫ e x . cos x.dx
u = cos x dv = e x .dx
du = − sin x.dx v=e x
(
I = e x . sin x − e x . cos x − (e x cos x − ∫ − e x . sin x.dx )
I = e x . sin x − e x . cos x − ∫ e x . sin x.dx
I
ex
2 I = e .( sin x − cos x ) = .( sin x − cos x ) + c
x
2

24. ∫ (
Örnek-4- ln x + )
x 2 −1 .dx integralini hesaplayınız.
Çözüm:
(
u = ln x + x −1 2
) dv = dx
1
du = .dx v =x
x −1
2
(
I = x.lnx x + x −1 − ∫ 2
) x.dx
x 2 −1
(
I = x. ln x + x −1 − x −1 + c
2
) 2

25. Örnek-5- ∫ cos( ln x ).dx integralini hesaplayınız.
Çözüm:
u = cos( ln x ) dv = dx
1
du = -sinlnx. dx v=x
x
lnx
I = cos(lnx).x - ∫ - sin xdx
x
u = sin(lnx) dv = dx
1
du = cos(ln x).dx v = x
x
I = x.cos(lnx) + x.sin(lnx) - ∫ cos(lnx)
x I
I = ( cos(ln x) + sin(ln x) )
2

26. P ( x).dx
∫ Q( x) integralinde der[ p(x)] < der[Q( x)] ise Q( x)
çarpanlarına ayrilir .
der ( P ( x) ) ≥ der ( Q( x) ) ise adi bölme ile
P(x) K ( x)
= B( x) + haline getirilir.
Q(x) Q( x)

27. x3 + 2 x 2 + x + 2
Örnek-1- ∫ x+1
dx integralini hesaplayınız.
Çözüm:
x3 + 2 x2 + x + 2
3 2 X+1
x +x x2 + x
x2 + x + 2 2
- x +x+
2
- x +x
2
x +1
2
3 2
 2 2  x x 2dx
I = ∫x + x+ .dx = + + ∫
 x +1 3 2 x +1
3 2
x x
I = + + 2 ln x + 1 + c
3 2

28. x −1
Örnek-2- ∫ x.( x + 1)dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: x −1 A B
=− + x - 1 = A(x + 1) + B(x)
x.( x + 1) x x+1
x -1 1 2
x = 0 için A = -1 =− +
x.(x + 1) x x+1
x = -1 için B = 2
 1 2 
∫  − x + x + 1 dx = − ln x + 2 ln x + 1 + c
( x + 1) 2
I = ln +c
x

29. dx
Örnek-3- ∫ x.(x − 1) 2 integralini hesaplayınız.
Çözüm: 1 A B C
= + +
x.( x −1) 2
x x −1 ( x −1) 2
1 = A( x −1) + Bx( x −1) + Cx
2
x =1 için C =1, x = o için A =1
x = 2 için B = -1
dx 1 −1 1
∫ x.(x - 1) 2 = ∫ ( x + x −1 + ( x −1) 2 )dx
1
I = ln x − ln x −1 − +c
x −1

30. dx
Örnek-4-
∫ x 2 −16 integralini hesaplayınız.
Çözüm: dx dx
∫ x 2 − 16 = ∫ ( x − 4).( x + 4)
1 A B
= +
( x − 4).( x + 4) x − 4 x + 4
1 = A( x + 4) + B ( x − 4)
1
x = −4 için B = −
8
1
x =4 için A =
8
 1 1 
 − 
dx 1 x −4
 8 + 8 dx = ln
∫ x 2 −16 = ∫  x − 4 x + 4  8 x + 4 + c
 
 

31. sin 2 x = 2 sin x. cos x
1. sin 2 x + cos 2 x = 1 3.
2. sec 2 x − tan 2 x = 1 4. cos 2 x = 2. cos 2 x − 1
= 1− 2 sin 2 x
1
*
sin a. sin b = − [ cos(a + b) − cos(a − b)]
2
1
* sin a. cos b = [ sin( a + b) + sin( a − b)]
2
1
* cos a. cos b = [ cos(a + b) + cos(a − b)]
2

32. ∫ sin ax. sin bx, ∫ sin bx. cos bx, ∫ cos ax. cos bx
BİÇİMİNDEKİ İNTEGRALLER
Örnek: ∫ cos 4 x.cos 2 x.dx integralini hesaplayınız.
Çözüm:
1 11 1 
I = ∫ (cos 6 x + cos 2 x).dx =  sin 6 x + sin 2 x  + c
2 26 2 
1 1
I = sin 6 x + sin 2 x + c
12 4

33. ∫ sin x.dx, ∫ cos x.dx
n n
BİÇİMİNDEKİ İNTEGRALLER
Örnek-1- ∫ sin 2 x.dx integralini hesaplayınız.
Çözüm:
1 − cos 2 x 1 1
∫ sin x.dx = ∫ 2 dx = ∫ 2dx − 2 ∫ cos 2 x.dx
2
1 1
= sin 6 x + sin 2 x + c
12 4

34. ∫ sin
4
Örnek-2- x.dx integralini hesaplayınız.
Çözüm:
2
 1 − cos 2 x  1
∫ sin x.dx = ∫ (sin x) .dx = ∫  dx = ∫ (1 − cos 2 x)2 .dx
4 2 2

 2  4
1 1 1
= ∫ (1 − 2 cos 2 x + cos 2 x)dx = ( x − 2. sin 2 x + ∫ cos 2 xdx)
2 2
4 4 2
1 + cos 4 x
=
2
x 1 1 1 + cos 4 x x 1 1 1
I = − sin 2 x + ∫ dx = − sin 2 x + ( x + sin 4 x) + c
4 4 4 2 4 4 8 4
3 x sin 2 x 1
I= − + sin 4 x + c
8 4 32

35. 5
Örnek-3- sin xdx integralini hesaplayınız.
Çözüm:
sin xdx = ∫ (sin x) .sin x.dx = ∫ (1 − cos x) .sin x.dx
5 2 2 2 2
du = − sin xdx
u = cos x I = ∫ (1 − u ) .(− du )
2 2
− du = sin x.dx
I = ∫ (1 − 2u + u ).(−du ) = ∫ (−1 + 2u − u ).du
2 4 2 4
2 3 u5 2 3 1 5
I = −u + u − I = − cos x + cos x − cos x + c
3 5 3 5

36. ∫ sin n x. cos m x.dx
BİÇİMİNDEKİ İNTEGRALLER
Örnek:-1-
∫ sin 2 x. cos3 x.dx integralini hesaplayınız.
Çözüm:
∫ sin x. cos x.dx = ∫ sin x. cos x. cos x.dx
2 3 2 2
= ∫ sin x.(1 − sin x). cos x.dx
2 2
u = sin x du = cos x.dx
I = ∫ u 2 .(1 − u 2 ).du = ∫ (u 2 − u 4 ).du
3 5 3 5
u u sin x sin x
= − +c= − +c
3 5 3 5

37. x. sin 3 x.dx ∫ cos
Örnek-2- 4 integralini hesaplayınız.
Çözüm: 4
x. sin 3 x.dx = ∫ cos 4 x. sin 2 x. sin x.dx ∫ cos
= ∫ cos 4 x .(1 − cos 2 x). sin x.dx u = cos x du = − sin x.dx
I = ∫ u .(1 − u ).(− du ) = ∫ (−u + u ).du
4 2 4 6
− u5 u7 − cos 5 x cos 7 x
I= + +c = + +c
5 7 5 7

38. ∫ tan x.dx, ∫ cot x.dx
n n
BİÇİMİNDEKİ İNTEGRALLER
Örnek-1- ∫ tan x.dx integralini hesaplayınız.
Çözüm:
sin x
∫ tan x.dx = ∫ cos x .dx
u = cos x du = −sin x.dx
I = − ln cos x + c

39. ∫ tan x.dx
Örnek-2- 2 integralini hesaplayınız.
Çözüm:
∫ tan x.dx = ∫ (tan x + 1 − 1).dx
2 2
= ∫ (tan x + 1).dx − ∫ dx
2
I = tan x − x + c

40. Örnek-3-
∫ tan 4 x.dx integralini hesaplayınız.
Çözüm:
∫ tan 4 x.dx = ∫ tan 2 x. tan 2 x.dx = ∫ (sec 2 − 1). tan 2 x.dx
∫ sec 2 . tan 2 x.dx − ∫ tan 2 x.dx
u = tan x 2
= ∫ (tan x + 1 − 1)dx
du = sec 2 x
I = ∫ u 2 .du − ∫ tan 2 ( x + 1).dx + ∫ dx
3 3
u tan x
= − tan x + x + c = − tan x + x + c
3 3

41. ∫ tan x.dx
5
Örnek-4- integralini hesaplayınız.
Çözüm:
I = ∫ tan x.dx = ∫ tan x. tan x.dx = ∫ tan x.(sec x − 1).dx
5 3 2 3 2
= ∫ tan x. sec x.dx − ∫ tan x.dx
3 2 3
u = tan x du = sec 2 x.dx
tan 2 x tan 4 x tan 2 x
I = ∫ u .du −
3
− ln cos x + c = − − ln cos x + c
2 4 2

42. ∫ sec x. tan
n m
x.dx
BİÇİMİNDEKİ İNTEGRALLER
Örnek-1- ∫ sec x. tan 3 x.dx integralini hesaplayınız.
Çözüm:
∫ sec x. tan x.dx = ∫ tan x. sec x. tan x.dx
3 2
= ∫ (sec x −1). sec x. tan x.dx
2
u = secx du = secx.tanx.dx
u3 sec 3 x
I = ∫ (u 2 −1)du = −u + c = − sec x + c
3 3

43. ∫ sec
6 3
Örnek-2- x. tan x.dx integralini hesaplayınız.
Çözüm:
∫ sec 6 x. tan 3 x.dx = ∫ sec5 x. tan 2 x. sec x. tan x.dx
u = secx du = secx.tanx.dx
I = ∫ u 5 (u 2 − 1).du = ∫ (u 7 − u 5 ).du = ∫ u 7 .du − ∫ u 5 .du
sec8 x sec 6 x
I= − +c
8 6

44. İNTEGRALİNDE sinx VE cosx' in RASYONEL OLARAK
BULUNDUGU İNTEGRALLER
x
u = tan
2
1+ u2
4 2u
x sinx =
2
1+ u 2
2
1- u
1 cosx =
1+ u 2
2du
dx =
1+ u 2

45. dx
Örnek-1-
∫ 1 + sin x − cos x integralini hesaplayınız.
Çözüm: 2du
dx 1+ u2 du
∫ 1 + sin x − cos x = 2u 1 − u 2 = u (u + 1)
1+ −
1+ u 1+ u2
2
A B
I = + 1=A(u + +
1) B(u)
u u +1
u(A +B) ⇒+ =
A B 0
A =1 B =-1
du du
I =∫u +−∫ u += u − u +
1
ln ln 1
x
tan
u 2
=ln + =
c ln +c
u +1 x
tan + 1
2

46. dx
Örnek-2-
∫ 2 − sin x integralini hesaplayınız.
Çözüm:
2du
dx 1 +u 2 du
∫ 2 −sin x = ∫ 2 + 2u 2 − 2u = ∫ u 2 −u +1
1 +u 2
du 1 du
= 2
− +1 = ∫ 2
 1 u  1  3
2
u −  u −  +  
⇒
 2  2  2 
 

47. du 1 u
∫ u 2 + a 2 = a arctan a
 x 
2  2 tan − 1 
I= arctan  2 +c
3  3 
 
 

48. a −b x
2 2 2 ‘den başka köklü ifade bulundurmayan
integralleri hesaplamak için
a  ∏ ∏
x = sin u - ≤ u ≤ 
b  2 2
Değişken değiştirmesi yapılır.

49. Örnek:
bulunuz.
∫ 4 − 9 x 2 .dx integralinin değerini
2 2
Çözüm: x = sin u deg.deg. dx = cosu.du
3 3
2
2 
4 - 9x = 4 - 9 sin u  = 4 - 4sin 2u = 2 cos u
2
3 
2 4 1 + cos 2u
I = ∫ 2 cos u. cos u.du = ∫ .du
3 3 2u
2 2 1 
I = ∫ (1 + cos 2u ) du =  u + sin 2u  + c
3 3 2 
2 3x 1 3x
I = arcsin + 4 − 9x + c
2
3 2 3 2

50. a 2 + b 2 x 2 ‘den başka köklü ifade bulunmayan
integralleri hesaplamak için
a  ∏ ∏
x = tan u - ≤ u ≤ 
b  2 2
Değişken değiştirmesi yapılır.

51. dx
Örnek: ∫ 4 + x2
integralini hesaplayınız.
Çözüm:
x = 2 tan u deg.deg. yap. dx = 2(1 + tan u ) = 2. sec du
2 u
4 + x = 4 + 4 tan u = 2 1 + tan u = 2 sec u = 2 sec u
2 2 2 2
sec x(sec x + tan x) (sec 2 x + sec x. tan x)dx
∫ sec x.dx = ∫ sec x + tan x dx = ∫ sec x + tan x
u = secx + tanx
du = (secx - tanx + sec 2 x)dx
du
I = ∫ = ln u + c = ln sec x + tan x + c
u

52. b x −a
2 2 2
‘den başka köklü ifade bulundurmayan
integralleri hesaplamak için:
a
x = sec u
b
Değişken değiştirmesi yapılır.

53. 9 x 2 −1
Örnek:
∫ x
dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: 1 1
x = sec u dx = sec u. tan u.du
3 3
1
9 x −1 =9.
2
sec 2 u −1 = tan u
9
1
tan u sec u. tan u.du
I =∫ 3 = ∫ tan 2 u.du
1
sec u
3
I = tan u −u +c = 9 x 2 −1 −u +c
I = 9 x 2 −1 −arctan ( 9 x 2 −1 +c)

54. cos x − sin x
1. ∫ sin x + cos x dx belirsiz integrali için
Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) I = sin x + cos x + c
B) I = 2. sin x + c
C) I = 2 sin x + cos x + c
D) I = sin x. cos x + c
E) I = 2 sin x. cos x + c

55. x 4 +4
2. ∫ x 4 dx Belirsiz integrali aşağıdakilerden
hangisi olamaz?
3x 4 + x 3 −
3 4
A) 3x 3
3x 4 + x 3 −
4 4
B) 3x 3
3x 4 + x 3 − x
5 4
C 3x 3
3x 4 + x 3 −
6 4
D) 3x 3
3x 4 −4
E)
3x 3

56. 3.
∫ sin 2 x. cos 2 x.dx İntegralinin çözümü aşağıdakilerden
hangisidir?
x sin 4 x
A) I= + +c
8 32
3x sin 4 x
B) I = − +c
8 32
x sin 4 x
C) I =− − +c
8 32
D) I = x −sin 4 x +c
8 32
E) I = −3x −sin 4 x +c
8 32

57. 2 x3 + 2 x + 1
4 ∫ dx Belirsiz integrali için aşağıdakilerden
x +1
2
hangisi doğrudur?
x 2 + arctan x + c
A)
x 3 + arctan x + c
B)
C) x 2 + ln( x 2 + 1) + c
1
D) x + ln( x 2 + 1) + c
2
E)
x + arctan( x + 1) + c
2 2

58. ln x
5. ∫ x 2 dx belirsiz integrali için aşağıdakilerden
hangisi doğrudur?
ln x 1
I= − +c
A) x x
ln x 1
I= + +c
B) x x
−ln x 1
I= + +c
C) x x
1
D) I =ln − +c
x
ln x 1
E) I =− − +c
x x

59. 6. ∫ 8 sin x. cos x. cos 2 x.dx belirsiz integrali için
Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) cos 4 x +c
−cos 4 x +c
B)
1
sin 4 x +c
C) 4
cos 8 x
D) − 2 +c
E) − cos 4 x +c
2

60. ∫ sin x.dx
7. 3 integralinin değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
cos 3 x
I =−cos x + +c
A) 3
cos 3 x
B) I =cos x + +c
3
sin 3 x
C) I =sin x + +c
3
cos 3 x
D) I =sin x + +c
3
E) cos 3 x
I =−sin x + +c
3

61. dx
8. ∫ x2 + x belirsiz integrali için, aşağıdakilerden
hangisi doğrudur?
1
ln +c
A) x+ 1
1
ln +c
B) x +
2
1
ln x 2 + +
x c
C)
x
ln +c
D) x+ 1
x2
E) ln +c
x+ 1

62. 9. ∫ − sin(sin 2 x). sin 2 x.dx aşağıdakilerden hangisidir?
A) cos(sin x) + c
B) sin(sin 2 x) + c
C) cos(sin x) + c
D) cos(sin 2 x) + c
E) cos x + c

63. 3x + x − 2
2
10.∫ dx integralinin değeri
( x −1)( x +1)
2
aşağıdakilerden hangisidir?
A) I = − ln x − 1 + ln x 2 + 1 + 3 arctan x + c
B) I = ln x − 1 + ln x 2 + 1 + 3 arctan x + c
C) I = ln x − 1 − ln x 2 + 1 + 3 arctan x + c
D) I = ln x − 1 − ln x 2 + 1 − 3 arctan x + c
E) I = − ln x − 1 + ln x 2 + 1 − 3 arctan x + c