Türev

1. MATEMATİK DÖNEM
ÖDEVİ
TÜREV

2. TANIM
Varsa, lim f(x)-f(xo) limitinin değerine f fonksiyonunun xo noktasındaki
x- x x – xo
türevi denir. Bu türev f ’ (xo) veya df (xo) biçiminde gösterilir.
dx
UYARI
f ‘(x) = lim f(x) – f(x0) eşitliğinde,
x→x0 x – x0
x – x0 = h yazılırsa tanım;
f ‘(x0) = lim f (x0 + h) – f (x0) ,
h→0 h
x – x0 = ∆x, f (x) – f (x0) = ∆f yazılırsa ,
f ‘(x0) = lim ∆f biçimine dönüşür.
∆ x→0 ∆x

3. ÖRNEK :
3
f (x) = Vx olduğuna göre , f ‘ (1) = ?
ÇÖZÜM :
3
f ‘ (1) = lim f (x) – f (1) = lim V x - 1 olur.
x 1 x–1 x 1 x–1
3
V x = h alınırsa ,
f ‘ (1) = lim h - 1 = lim h–1 = 1 olur.
h 1 h - 1 h 1 (h-1) (h + h + 1) 3

4. ÖRNEK :
f ( x) = lnx ise , f ‘ (x0) = ?
ÇÖZÜM :
f ‘ (x0) = lim ln (x0 + h ) – lnx0 = lim 1 . ln ( x0 + h ) = lim 1 . (1 + h ) = lim ( 1 + h ) 1/h
olur.
h 0 h h 0 h x0 h 0 h x0 h 0 x0
e
f ‘ (x0) = lim ln [(1+1 )u ] 1 = lim 1 ln ( 1 + 1 )u = 1 . lne = 1 olur.
u x
u u x0 u x0 x0
8
8
0

5. SAĞDAN TÜREV – SOLDAN TÜREV
lim f ( x0 + h ) – f ( x0) limitine x0 noktasındaki soldan türev , lim f ( x0 + h ) – f ( x0) limitine de
h→0- h h→0+ h
x0 noktasındaki sağdan türev denir.
f fonksiyonunun x0 noktasında türevli olması için sağdan türevin soldan türeve eşit olması
gerekir.
ÖRNEK :
f (x) = x2 – 4 fonksiyonu , x0 = 2 de türevlimidir?
ÇÖZÜM :
Soldan türev: lim x2 – 4 - 0 = lim - x2 + 4 = - 4
x 2- x – 2 x 2- x – 2
Sağdan türev: lim x2 – 4 - 0 = 4 tür.
x 2+ x-2
O halde f ‘(2) yoktur.

6. BİR FONKSİYONUN TÜREV FONKSİYONU
A A
Bir f fonksiyonu x0C ( a , b ) için türevliyse, x C ( a , b )için bir f ‘ ( x 0 ) değeri elde
edilecektir. Burada f ‘ (x0) , x0 ın bir fonksiyonudur.
ÖRNEK :
f ( x ) = 3x2 – 4x ise, f ‘ (x) = ?
ÇÖZÜM:
F ‘(x0) = lim 3x2 – 4x –3x0 – 4x0 = lim 3 (x – x0) (x + x0) – 4 (x – x0)
x x0 x – x0 x x0 x – x0
= lim ( x – x0 ) ( 3x +3x0 – 4) = 6x0 – 4 olur.
x x0 x – x0
f ‘ ( x0 ) = 6x0 – 4 olduğundan , f ‘ (x) = 6x – 4 bulunur.
UYARI : Tek fonksiyonun türevi çift, çift fonksiyonun türevi tek fonksiyondur.

7. BAZI FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ VE TÜREV ALMA METOTLARI
1. Sabit fonksiyonun türevi sıfırdır. f (x) = V 2 ise, f ‘ (x) = 0 dır.
2. Birim fonksiyonun türevi 1 dir. I (x) = x ise, I ‘ (x) = 1 dir.
3. f (x) = a.x ise, f ‘(x) = a dır. ( aC R)
4. f (x) = a.x n ise, f ‘(x) = a.n..x n-1 ( n CR)
5. y = a.f (x) ise, y ‘ = a.f ‘ (x) ( aC R)
6. y = f (x) + g (x) ise, y ‘ = f ‘ (x) + g ‘ (x)
7. y = f (x) . g (x) ise, y ‘ = f ‘ (x) . g (x) + g ‘ (x) . f (x)
8. y = f ( x ) ise, y ‘ = f ‘ (x) . g (x) – g ‘ (x) . f (x)
g (x) (g (x) )2

8. ÖRNEKLER
1. f (x) = 3 x5 ise, f ‘(x) = 3 . 5 . x5-1 = 15 x4 tür.
2. f (x) = 4 ise, f (x) = 4 . x -3 olduğundan, f ‘ (x) = - 3 . 4 .x –3 – 1 = - 12 . x – 4 = - 12 bulunur.
x3 x4
3. f (x) = 1 = 1 = x –1/3 olduğundan, f ‘(x) = - 1 . x - 1/3 – 1 = - 1 . x –4/3 = -1 = -1 olur.
3
V x x 1/3 3 3 3 .3 Vx4 3x 3Vx
4. f (x) = 5 x2 + 1 = 5 x2 + x –1 olduğundan, f ‘(x) = 10x – x -2 = 10 x - 1 dir.
x x2
5. f (x) = Vx . (x3 – 2x) f ‘(x) = (Vx )’. (x3 – 2x) + (x3 – 2x)’ . Vx = 1 . (x3 – 2x) + (3x2 – 2) .Vx bulunur.
2 Vx
6. y = x - 1 ise, y ‘ = (x – 1)’ . (x2 – 2x) – (x2 – 2x)’ . (x – 1) = 1 . (x2 – 2x) – (2x – 2) . (x – 1) olur.
x2 – 2x (x2 – 2x)2 (x2 – 2x)2
7. f (x) = sin x ise, f ‘(x) = cos x
8. f (x) = cos x ise, f ‘(x) = - sin x
1
9. f (x) = tan x ise, f ‘(x) = 1 + tan2 x = cos2 x= sec2 x
1
10. f (x) = cot x ise, f ‘(x) = - (1 + cot2 x) = sin2 x - cosec2 x
=

9. ÖRNEK:
y= sin x + 1 ise,
cos x – 1
y ‘= (sinx + 1)’ .(cosx – 1) – (cosx –1)’ . (sinx + 1) = + cosx (cosx – 1) + sinx (sinx + 1)
(cosx – 1)2 (cosx – 1)2
= cos x + sin x + sinx + cosx 1 + sinx – cosx olur.
2 2
=
(cosx – 1)2 (cosx – 1)2

10. TERS FONKSİYONUN TÜREVİ
f, (a , b) de türevli ve bire – bir , f –1 fonksiyonu da f (a , b) de türevli ise, f (x0) = y0 iken,
11. (f –1)’ (y0) = 1 olur.
f ‘(x0)
ÖRNEK :
f (x) = 4x + 1 ise, (f –1)’ (1) = ?
2x – 3
ÇÖZÜM :
y0 = 1 olduğundan 4x0 + 1 = 1 ⇒ x0 = - 2 bulunur.
2x0 – 3
f ‘(x) = 4 (2x – 3) – 2 (4x + 1) = - 14 2 f ’(-2) = - 14 = - 2_
(2x – 3)2 (2x – 3) 49 7
(f –1 )’ (1) = 1 = 1 = -7 bulunur.
f ‘(-2) -2 2
7

11. TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARI
f (x) = sin x fonksiyonu R de bire-bir değildir. Ancak uygun bir tanım kümesi seçilerek
seçilen aralıkta bire-bir olması sağlanabilir. İşte f (x) = sin x fonksiyonunun bire-bir
olduğu bir aralıkta;
f –1 (x) = sin –1 x ters fonksiyonu vardır ve y = arcsin x biçiminde gösterilir. Aynı
biçimde y = arccos x, y = arctan x ve y = arccot x fonksiyonları elde edilebilir.
Burada; arcsin 1 π , arc tan 1 π ... v.s. yazılabilir.
2 6 4
Ayrıca, arc sin (sin x) = sin – 1 (sin x) = x
arc cot (cot x) = cot –1 (cot x) = x ...v.s. olur.

12. ÖRNEK
tan (arc sin x) = ?
ÇÖZÜM
arc sin x = y olsun. sin y = x olacaktır. Yandaki şekilden; 1
y x
}
tan (arc sin x) = tan y x bulunur. y
V 1 – x2 V 1 – x2
ÖRNEK
tan (2 . arc sin x) = ?
ÇÖZÜM
arc sin x = y olsun. sin y = x olur. 1
y 2x__ x
}
tan (2.arc sin x) = tan (2y) = 2 tan y = V 12– x
2
y
1 - __x __ V 1 – x2
1 – x2
= 2x__ . 1 – x 2 bulunur.
2
V 1 – x2 1 – 2x

13. TÜREVİ
12. f (x) = arc sin x ise, f ‘(x) = 1 .
V 1 – x2
13. f (x) = arc cos x ise, f ‘(x) = -1 .
V 1 – x2
14. f (x) = arc tan x ise, f ‘(x) = 1 .
1 + x2
15. f (x) = arc cot x ise, f ‘(x) = -1 olur.
1 + x2
BİLEŞKE FONKSİYONUN TÜREVİ VE TÜREVDE ZİNCİR KURALI
f, x0 da, g de f (x0) da türevli fonksiyonlar olsun. Bu durumda, (gof) ‘(x0) = g ‘(f (x0)). f ‘(x0) olur.
Örneğin; y = 3 (x2 – 3x)5 fonksiyonu f (x) = x2 – 3x ve g (x) = 3x5 olmak üzere y = (gof) (x)
fonksiyonudur.
g ‘(x) = 15x4, g ‘(f(x)) = 15(x2 – 3x)4 , f ‘(x) = 2x – 3 olduğundan,
y ‘ = g ‘(f(x)).f ‘(x) = 15(x2 – 3x)4 .(2x – 3) bulunur.
Daha çok fonksiyonun bileşkesi için;
y = f (g (h (t (x) ) ) )
y ‘ = f ‘ (g (h (t (x) ) ) ) . g ‘(h (t (x) ) ) . h ‘(t (x) ) . t ‘(x) bulunur.

14. ÖRNEK
y = sin3 (x2 + x) ise, y ‘= 3 sin2 (x2 + x) . cos (x2 + x) .(2x + 1) olur.
ÖRNEK
y sin2 V cos (2x) ise, y ‘ = 2 sin V cos 2x . Cos V cos 2x . _____1____ . (- sin 2x) .2 olur.
2 V cos 2x
UYARI
y = g (f (h (t (x) ) ) ) için:
u = t (x) ⇒ y = g (f (h (u) ) )
v = h (u) ⇒ y = g (f (v) )
z = f (v) ⇒ y = g (z)
k = g (z) ⇒ y = k yazılırsa, dy/dx = dy/dk . dk/dz . dz/dv . dv/du . du/dx eşitliği
yardımıyla da türev alınabilir.

15. ÖRNEK
f (x) = sin3 (cos x) ise, f ‘(x) = ?
ÇÖZÜM
u = cos x ⇒ f (u) = sin3u, v = sin u ⇒ f (v) = v3 df/dx= df/dv . dv/du . du/dx
= 3v2 . cos u . (- sin x) = (- 3 sin2u . cos (cos x) . sin x
= - 3 sin2 (cos x) . cos (cos x) . sin x olur.
Buna göre türev kuraları;
1. y = (f (x) )n ise, y ‘ = n . (f(x) )n – 1 . f ‘(x) 2. y = V f (x) ise, y ‘ = _____f ‘(x)____
n
2 . V f (x)
3. y = V(f(x)) ise, y ‘ = _____ f ‘ (x) _____
m
4. y = cos f (x) = ise, y ‘ = - f ‘(x) . sin f (x)
n
n . V f (x)n – m
5. y = sin(f (x) ) =ise, y ‘ = f ‘(x) . cos f (x) 6. y = arc sin (f (x) ) = ise, y ‘ = ____f ‘(x)___
V 1 – f 2 (x)
7. y = tan(f (x) ) = ise, y ‘ = f ‘(x) . ( 1 + tan2 (f (x) )
8. y = arc tan x ise, y ‘ = ____f ‘(x)____
1 + f 2 (x)
ÖRNEK
f (x) = arc tan V x ise, f ‘(x) = ?
ÇÖZÜM
___1___
2Vx
f ‘(x) = ______________ olur.
1+x

16. KAPALI FONKSİYONLAR VE TÜREVİ
F (x,y) = 0 biçimindeki bağıntılara kapalı fonksiyon denir. Burada, y = f (x) tir.
y3x2 + 2x2y + 3x – 5y2 +2 = 0 yx – x + y = 0 gibi.
ÖRNEK
y .x2 + 5y2 x – x2 + 3y + 2 = 0 ise, y ‘ = ?
ÇÖZÜM
y = f (x) olduğundan fonksiyon,
f (x) . x2 + 5 . (f (x) )2 . x – x2 + 3 f (x) + 2 = 0 biçiminde yazılabilir.
f ‘(x) . x2 + 2x .f (x) + 5 . 2f (x). f ‘(x) . x + 5 . (f (x) )2 – 2x + 2f ‘(x) = 0
f ‘(x) (x2 + 10x f (x) + 3) = -2x f (x) – 5 (f (x) )2 + 2x
- 2x f (x) – 5 (f (x) )2 + 2x
___________________________ - 2xy – 5y2 + 2x
_______________
f ‘(x) = olur. y‘ = bulunur.
x2 + 10x f (x) + 3 x2 + 10xy + 3
UYARI
y sabit düşünülerek alınan türev f ‘(x) ,
x sabit düşünülerek alınan türev f ‘(y) ise;
- f ‘(x)
y ‘ = _________ olur.
f ‘(y)

17. LOGARİTMİK FONKSİYONLARDA TÜREV
1. y = lnx ise, y ‘ = 1/x 2. y = lnf (x) ise, y ‘ = f ‘(x) / f (x)
3. y = log a x ise, y ‘ = 1/x . log a e 4. y = log a f (x) ise, y ‘ = f ‘(x) / f (x) . log a e
ÖRNEK
f (x) = ln (cos2x) ise f ‘(π/8) = ?
ÇÖZÜM
- 2 sin 2x
_____________ - 2 tan 2x
f ‘(x) = =
cos 2x
π π
f ‘( __ ) = - 2 tan __ = - 2 bulunur.
8 4

18. ÜSTEL FONKSİYONLARDA TÜREV
1. y = e x ise, y ‘ = e x
2. y = e f (x) ise, y ‘ = f ‘(x) . e f (x)
3. y = a x ise, y ‘ = a x . lna
4. y = a f (x) ise, y ‘=f ‘(x) . a f (x) . lna
ÖRNEK
y = (2x2 + 1)sin x ise, y ‘ = ?
ÇÖZÜM
Her iki tarafın doğal logaritması alınırsa
lny = ln (2x2 + 1)sin x ⇒ lny = sin x . Ln (2x2 + 1)
___‘ cos x . ln (2x2 + 1) + __________ . sin x
y 4x
y 2x2 + 1
4x . sin x
y ‘ = (2x2 + 1)sin x . [cos x . ln (2x2 + 1) + ____________ bulunur.
2x + 1

19. YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER ( ARDIŞIK TÜREV )
Bir y = f (x) fonksiyonun türevinin türevine 2 nci türev, onun da türevine 3 ncü
türev denir.
y = f (x) in 3 ncü türevi y’’’ = f ‘’’(x) veya _______ biçiminde gösterilir.
d3f
dx3
ÖRNEK
f (x) = 2x4 + 5x3 + 7 ise ,
d2f
df
_____ = 8x3 +15x2 , _____ = 24x2 +15x , ____ 48x +15 , ____ 48 ____ 0 bulunur.
d3f d4f = ,d5f =
dx dx2 = dx4
dx3 dx5

20. TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI
y y = f (x)
f (x) – f (x0)
____________ oranı, AB kirişinin O ile pozitif f (x)
x – x0 x B
yönde yaptığı açının tanjantı yani f (x0) A θ. f (x) – f (x0)
x – x0 C
AB nin eğimidir. x →x0 olması
durumunda AB kirişi eğriye A θ x
noktasında çizilen teğete yaklaşır. x x0
f (x) – f (x0)
O halde, f ‘(x0) = lim ____________ değeri y = f (x) eğrisine, x = x 0 da
x →x0 x – x0
çizilen teğetin eğimini vermektedir.

21. ÖRNEK
Vx
f (x) = eğrisine x0 = 1 de çizilen teğetin eksenlerle oluşturduğu üçgenin
2x – 1
alanı nedir ?
ÇÖZÜM
_____ . (2x – 1) – 2 . V x
1
V1
x0 = 1 ⇒ y = = 1, A (1,1) f ‘(x) = ___________________________
2 Vx
2–1 (2x – 1)2
___ . 1 – 2
1
2 3
m = f ‘(1) = ____________ = ___ - 2 = - ___
1
_ 1 2 2
değerleri y – y0 = m (x – x0) da yerine yazılırsa;
3 3 5
___ (x – 1) ⇒ y = - ___ x + ___ olur.
y – 1 =- 2 2
2
5 5
___ . ___
___
5 ___ _________ ___ olur.
2 3 25
x=0 ⇒y= , y = 0 ⇒ x = 5 ve A
3 = 12
2 2
=

22. ÖRNEK
y = x2 + 2x eğrisinin y = 4x + 1 doğrusuna paralel teğetinin A değme noktasının
koordinatları nedir ?
ÇÖZÜM
y = 4x + 1 doğrusunun eğimi m = 4 olduğundan, teğetin eğimi de 4 olmalıdır.
f ‘(x0) = 4 ⇒ 2x0 + 2 = 4 ⇒ x0 = 1
x0 = 1 ⇒ y0 = 12 + 2 .1 = 3 ve A(1,3) olur.

23. ÖRNEK
Bir cisim 20m/sn ilk hızla dikey olarak fırlatılıyor. Bu cisim kaç metre yüksekliğe ulaşır?
ÇÖZÜM
x(t) = - ____ at2 + V0 . t den, x(t) = -5t2 + 20t olur.
1
2
Cisim maksimum yüksekliğe ulaştığında hızı sıfırdır.
x’(t) = - 10t + 20 = 0 ⇒ t = 2. saniye ve x(2) = -5.4 + 20.2 = 20 m yüksekliğe ulaşır.
ÖRNEK
Yandaki şekilde birbirini dik kesen iki yolda, 10m
→ 5 m/sn I.
{
iki aracın başlangıç durumları verilmiştir. Aynı
anda ok yönünde 2m/sn ve 5m/sn hızlarla
→
hareket eden bu iki aracın 1. Saniyede 2 m/sn
birbirlerinden uzaklaşma hızı ne olur ?
II.
ÇÖZÜM
I . hareketli x(t) = 10 + 5t , II . hareketli x(t) = 2t kuralı ile yol alır. Aralarındaki uzaklık ;
58t + 100
l(t) = V 4t2 + (10 + 5t)2 l(t) = V 29t2 + 100t + 100 ⇒ l(t) = ________________
2 V 29t2 + 100t + 100
______ = ______ m/sn bulunur.
158 79
ve l’(1) = V229
2 . V229

24. TÜREVİN HAREKET PROBLEMLERİNE UYGULANMASI
Zaman yol fonksiyonu verilen bir hareketlinin,
t1 saniyede aldığı yol x (t1) olsun.
x (t) – x (t1)
____________ oranı t , t zaman aralığındaki
t – t1 1
ortalama hızı, t → t1 için limitte t1 anındaki ani hızı verir.
x (t) – x (t1) ∆x
____________ , V (t1) = lim _____ = x’ (t ) olur.
Vort = t – t1 t → t1 ∆ t 1
Yani, yolun zamana göre türevi hızı verir. Benzer düşünülürse hızın
zamana göre türevinin (yolun zamana göre 2. türevi) anlık ivmeyi verdiği
bulunur.

25. TÜREVİN UYGULAMALARI
TANIM: Bir fonksiyonun [a,b] aralığında aldığı en büyük ve en küçük değerlere
maximum ve minimum veya extramum değerler denir.
TANIM: Bir f(x) fonksiyonu C > 0 için, (x1 - C , x1 + C ) aralığında extramum
A
değer alıyorsa, bu değerlere yerel maximum ve minimum denir. y
Yandaki şekilde f:[a,b] → R,
y = f(x) fonksiyonunun
a x1 x2 x
grafiği verilmiştir.
0 x3 b
1. [a,b] aralığında, x = a için fonksiyonun minimum değeri, x = x 3 için maximum
değeri elde edilir.
2. x = x1 ve x = x3 için yerel maximum, x = x2 için yerel minimum var.

26. TEOREM: f:[a,b] →R, fonksiyonu [a,b] de sürekli, (a,b) de türevli olsun. Bu
fonksiyon x1 C (a,b) de extramum değer alıyorsa, f ‘(x1) = 0 dır.
TANIM: x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) ise, artan
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) oluyorsa, f(x) azalan fonksiyon dur.
TEOREM: Bir fonksiyonun artan olduğu aralıkta türev pozitif, azalan olduğu
aralıkta türev negatiftir. y y=f(x)
f:[a,b] → R
a x1 x
1. x1 ve x3 te yerel minimum, x2 x6 x2 x4 x3 x5 b
de yerel maximum var. f ‘(x1) =
f ‘(x2) = f ‘ (x3) = 0 dır.
2. f, (a,x1), (x2,x3) aralıklarında azalan. Bu nedenle f ‘(x4)<0, f ‘(0)<0 dır.
3. f, (x1,x2), (x3,b) aralıklarında artan. Bu nedenle f ‘(x6) >0, f ‘(x5)>0 olur.

27. İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI
İkinci türevin pozitif olduğu aralıklarda eğri içbükey, negatif olduğu aralıklarda
eğri dışbükey dir. F “(x0) = 0 için, x0 da ikinci türev işaret değiştiriyorsa, x = x 0 da
dönüm noktası vardır denir.
Öğrendiklerimizi aşağıdaki grafikte özetleyelim.
y
y=f(x)
D.N
D.N D.N
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x
1. f(x1) = 0, f ‘(x1)> 0, f “(x1)< 0
2. f “(x4) = f “(0) = 0, f ‘(x3) = f ‘(x5) = f ‘(x6),= f ‘(x8) = 0
3. f(x2) > 0, f ‘(x2)> 0, f “(x2) < 0

28. SONUÇLAR
I. f ‘(x1) = 0, f “(x1) > 0 ise, x1 de yerel minimum vardır.
II. f ‘(x2) = 0, f “(x1) < 0 ise, x2 de yerel maximum vardır.
ÖRNEK
f(x) = x3 – 6x2 – 1 fonksiyonunun artan – azalan olduğu aralıklar, extramum
noktalar ve dönüm noktasını bulunuz.
ÇÖZÜM
x 0 2 4
y’=3x2-12x + - - +
y’’=6x-12 - - + +
Artan dış Azalan dış Azalan Artan iç
bükey max. bükey iç bükey bükey
D.N min

29. ÇÖZÜMLÜ TESTLER
SORU - 1
f(x) =[x+1]+x2-x-6 +sgn x ise f ‘( ___ = ?
1)
2
A) 0 B) – 1 C) 1 D) – ___
1 E) ___
1
2 2
ÇÖZÜM
x = ___ civarında; [x+1] = 1, x2-x-6 = -x2+x-6 ve sgn(x) = 1 olduğundan,
1
2
f ‘(x) = 0-2x+1+0 = -2x+1 ve f ‘( ___ = -2 . ___ = 0 bulunur.
1) 1 +1
2 2
YANIT : A

30. SORU - 2
π
f(x) =x2 , g(x) = 6x – 1 ve h(x) = sinx olduğuna göre (fogoh)’(_____ ) = ?
6
A) 12 V 3 B) 6 V 3 C) 3 V 3 D) 2 V 3 E) 3
ÇÖZÜM
(fogoh)’(x) = f ‘(g(h(x))) . g’(h(x)) . h’(x) olduğundan,
f ‘(x) = 2x ⇒ f ‘(g(h(x))) = 2 . (6sinx – 1) g ‘(x) = 6 ⇒ g‘(h(x)) = 6, h’(x) = cosx
olduğundan,
π π π
(fogoh) ‘(x) = 2 . (6sinx – 1) . 6 . Cosx ve (fogoh) ‘ (___ ) 2 . (6sin___ - 1) . 6 . cos___
6 6 6
1 V3
2 . (6. ___ -1) . 6 ._____ = 12V 3
2 olur.
2
YANIT : A

31. SORU - 3
1 1
x = arctan _____ - arctan _____ olduğuna göre, sin x = ?
2 3
1 1
_____ V7 _____
5 _____
1
A) _____ B) C)_____ D) V 2 E)
7 V7 2 5V2
ÇÖZÜM
1 1
x = arctan _____ - arctan _____ her iki tarafın tanjantı alınırsa;
2 3
1 1
tan(arctan __ ) – tan(arctan __ ) 1 1
_____ - _____ 1
_____
tanx = ____________________________
2 3 2 3
_ + tan(arctan 1 1
__ ) . tan(arctan __ ) tanx = _______________ = ________
6
1 1 1
2 3 1 + _____ . _____ 1 + _____
1
2 3 6
1 sinx = _____
1 6
_____ . ____ = _____ olur. 1
= 6 bulunur.
7 7 5V2
YANIT : E

32. SORU - 4
lim _____________ = ?
sinπx
x→2+ x2 – 4x + 4
1
A) - ___ B) 1
- ___ C) - 1 D) + ∞ E) - ∞
2 4
ÇÖZÜM
π . cos π x
lim _____________ = lim _____________ = + ∞
sinπx
x→2+ x2 – 4x + 4 x→2+ 2x - 4
YANIT : D

33. SORU - 5 y
y= f(x)
6
-1
9x
B
y=
y = 9x – 16 doğrusunu apsisi – 4 olan A -4 0 x
noktasından kesen ve aynı doğruya B 2
noktasında teğet olan üçüncü derece
fonksiyonu hangisidir ? A
A) f (x) = x3 – 3x B) f (x) = x3 – 3x – 2 C) f (x) = x3 – x + 1
D) f (x) = x3 – 3x – 1 E) f (x) = x3 – 3x – 3
ÇÖZÜM
f (x) = x3 + ax2 + bx olur. x = 2 ⇒ f (x) = 2 ve 4a + 2b = - 6 ⇒ 2a + b = - 3 ( I )
Ayrıca, ortak çözüm x = - 4 için sağlanmalıdır. Buna göre; x3 + ax2 + bx = 9x - 16
ifadesinde; x = - 4 ise, - 64 + 16 – 4b = - 36 – 16 ⇒ 4a – b = 3 ( II )
2a + b = - 3 ⇒ a = 0, b = - 3 ve f (x) = x3 – 3x olur.
4a – b = 3
YANIT A

34. SORU - 6 y
f : [0 , 6] → R olmak üzere üçüncü 2 4 5 6 x
dereceden y = f (x) polinom fonksiyonunun 0
grafiği yandaki şekilde verilmiştir.
Aşağıdakilerden hangisi YANLIŞTIR ? D.N
A) f (3) < 0 B) f ‘(3) < 0 C) f “(3) < 0
D) f ‘(1) > 0 E) f “(1) > 0
ÇÖZÜM
f , x = 1 civarında dış bükey olduğundan f ”(1) < 0 olmalıdır. Oysa, E çeldiricisinde
bunun tersi yazılıdır.
YANIT E

35. SORU - 7
x2 + ax + 2 eğrisinin – 1 apsisli noktasında extramumu vardır. a = ?
f (x) =
x2 + 2x
A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 2
ÇÖZÜM
(2x+a)(x2+2x) – (2x+2) (x2+ax+2)
f ‘(x) =
(x2+2x)2
x = - 1 ⇒ f ‘(x) = 0 olduğundan, (- 2 + a) (1 - 2) – (-2 + 2) (1 - a + 2) = 0 ⇒ - 2 + a = 0
⇒ a = 2 olur.
YANIT E

36. SORU - 8
x2 - 1
f (x) = x ise f ’ (1) = ?
1
A) B) C) 2 D) 0 E) 1
2
ÇÖZÜM
y=x
x2 – 1
olsun. l ny = (x2 –1) . l nx y1 = 2x l nx + 1 .(x2 – 1). l nx
y x
x2 – 1
f ’(x) = x . [ 2x.l nx+ x2-1 ] f ’(1)=10.[2.1.0.0]=0 bulunur.
x
YANIT D

37. SORU - 9
e f (x) + e – f (x) = 2x ve f (1) = 2 olduğuna göre f ‘(1) = ?
2 2e e2
A) B) 2 -2 C) e – e
4 2
D) 2 E) e
e2 – e-2 e –e e –1
ÇÖZÜM
2
(ef (x) + e-f (x))’ = (2x)’ f ‘(x) . ef (x) - f ‘(x) . e-f (x) = 2 f ‘(x) = olur.
e f (x)
–e -f (x)
2
f ‘(1) =
e2 – e-2
YANIT D