Dokumen tersebut membahas tentang induksi matematika, yang merupakan salah satu metode pembuktian dalam matematika. Terdapat penjelasan mengenai sejarah, pengertian, tahapan pembuktian, dan contoh soal induksi matematika.

1. INDUKSI MATEMATIK
EXIT
Nama
OLEH :
T E O R I B I L NA G A N

2. BAB I PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
B. IDENTIFIKASI MASALAH
C. PEMBATASAN MASALAH
D. RUMUSAN MASALAH
E. TUJUAN MASALAH
F. MANFAAT MASALAH

3. BAB II PEMBAHASAN
INDUKSI
MATEMATIK
SEJARAHNYA:
Sebuah bukti implisit dengan induksi
matematika untuk urutan aritmatika
diperkenalkan dalam al-Fakhri yang
ditulis oleh al-Karaji sekitar 1000
Masehi. Selain al-Fakhri terdapat
juga ilmuwan Yunani kuno yang
membuktikan induksi matematika
untuk menyatakan bahwa sifat
bilangan prima yang tidak terbatas.
PENGERTIAN:
Induksi matematika merupakan
salah satu metode/cara
pembuktian yang absah dalam
matematik untuk membuktikan
suatu pernyataan matematika
apakah benar atau salah.
Barulah pada tahun 1665
ilmuwan Prancis yang bernama
Blaise Pascal dapat
membuktikannya secara
eksplisit. Bukti induksi secara
eksplisit dia tuliskan dalam
bukunya yang berjudul
arithmétique segitiga du Traité.
Pada akhir abad ke-19 ilmu
induksi matematika diperbarui
kembali oleh dua orang
matematikawan yang bernama
Richard Dedekind dan Guiseppe
Peano.

4. Tahapan
Pembuktian dengan cara ini terdiri dari tiga
langkah, yaitu:
1. Langkah Basis
Menunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku
untuk bilangan 1
2. Langkah Induksi
Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu
berlaku untuk bilangan n = k, maka
pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan n
= k + 1
3. Kesimpulan
Definisi :
Misalkan untuk setiap bilangan asli n kita
mempunyai pernyataan P(n) yang bisa benar atau
salah. Misalkan,
P(1), benar
Jika untuk n = k yaitu P(k) benar, maka untuk n = k
+ 1 harus kita buktikan P(k+1) benar
Sehingga P(n) benar untuk setiap bilangan asli n
INDUKSI
MATEMATIK

5. 1. Langkah Basis: Misalkan, p (n) adalah 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2
p (1) (2n – 1) = n2
(2.1– 1) = 12
1=1 (benar)
Jadi, p (1) benar.
2. Langkah induksi: mengasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar
untuk n = k, yaitu:
n = k 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k2
Kita harus memperlihatkan bahwa n = k +1
n = k +1 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2n-1) = n2
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)2
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 2-1) = (k + 1)2
k2 + (2k + 1) = (k + 1)2
(k + 1)2 = (k + 1)2 (Terbukti)
Jadi, p (k+1) benar.
3. Kesimpulan: Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah
diperlihatkann benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama
adalah n2
Contoh Soal
Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah
bilangan ganjil positif pertama adalah n2. 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2




6. PRINSIP
INDUKSI
MATEMATIK
1. Prinsip Induksi Sederhana
Misal p(n) adalah pernyataan yang bergantung
pada n bilangan bulat positif. Kita ingin
membuktikan bahwa p(n) benar utnuk semua
bilangan bulat positif. Langkah induksi:
1. Basis: tunjukan p (1) benar.
2. Induksi: Misal p (n) benar untuk semua
bilangan positif n ≥ 1.
3. Kesimpulan: Buktikan bahwa p (n+1) benar.
2. Prinsip Induksi yang Dirapatkan
(Generalized)
Prinsip induksi sederhana digunakan untuk
membuktikkan pernyataan p (n) dimana n
dimulai dari 1. Prinsip induksi yang
dirapatkan digunakan untuk membuktikkan
pernyataan p (n) dimana n tidak harus
dimulai dari 1, tetapi berlaku untuk untuk
semua bilangan bulat positif (non negatif).
Misal p (n) adalah pernyataan. Kita akan
buktikan p (n) benar untuk semua bilangan
bulat n ≥ n0. Langkah induksi:
1. Basis : p (n0) benar.
2. Induksi : Andaikan p(n) benar untuk n ≥
n0.
3. Kesimpulan : Buktikan bahwa p(n+1)
benar.
3. Prinsip Induksi Kuat
Misal p(n) adalah suatu
pernyataan yang menyangkut
bilangan bulat. Kita akan
buktikan bahwa p(n) adalah
benar untuk semua bilanagn n .
Langkah induksi:
1. Basis : p(n0) benar.
2. Induksi : Andaikan untuk
semua bilanagn bulat n , p(n0),
p(n0+1), …… p(n) benar.
3. Kesimpulan : Buktikan bahwa
p(n+1) benar.

7. Contoh Soal
1. Tunjukkan bahwa 1 + 2 + 3 + …+ n = , untuk setiap bilangan asli n.
Penyelesaian:
1. Langkah Basis: Misalkan, p (n) adalah 1 + 2 + 3 + … + n =
p = 1
1 =
1 =
1 = 1 (benar)
Jadi, p (1) benar.
2. Langkah Induksi: Diasumsikan bahwa p (k) benar untuk suatu bilangan asli
k, yaitu:
)1(
2
1
1  nn
)1(
2
1
nn
)11(1
2
1

)2(
2
1
)1(
2
1
nn

8.  
benar.1)+(kpJadi,
(Terbukti)2)+(k1)(k
2
1
=2)1)(k(k
2
1
2)+1)(k(k
2
1
=2)3k(k
2
1
2)+1)(k(k
2
1
=2)2kk(k
2
1
2)+1)(k(k
2
1
=2)(2kk)(k
2
1
2)+1)(k(k
2
1
=2)(2k
2
1
+k)(k
2
1
2)+1)(k(k
2
1
=1)(k
2
2
+k)(k
2
1
2)+(k1)(k
2
1
=1)(k
2
2
+k)(k
2
1
2)+(k=1)+(k+1)k(k
2
1
1)+1)+1)((k(k
2
1
=1)+(k+k+…+3+2+1
1)n(n
2
1
=n+k+…+3+2+11)+(k=n
1)k(k
2
1
=k+…+3+2+1
)1(
2
1
=n+…+3+2+1k=n
2
2
2
2
2
2











 nn
3. Kesimpulan: Jadi, 1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1)= (k+2),
berarti p (k+1) benar. Sehingga p (n) benar untuk setiap bilangan asli n.
)1(
2
1
kk
Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa p (k+1) benar, yaitu:

9. Contoh Soal:
2. Tunjukkan bahwa untuk semua bilangan bulat non negatif.
122.......222 1210
 nn
122 100
 
Penyelesaian:
1. Langkah Basis: Misalkan, p (n) adalah
Untuk p (0)
1 = 2 – 1
1 = 1 (benar)
Jadi, p (0) benar.
2. Langkah Induksi: andaikan n = 0,
adalah benar.
Akan dibuktikan untuk p (n+1):
122.......222 1210
 nn
122.......222 1210
 nn
 
)1(Terbukti-21-2
1212.2
1-21-22
12212
1222...222
1222...2221)+(n=n
2n2n
21
2n1n1
211n
1)1(1210
1210












nn
n
nn
nnn
nnn
3. Kesimpulan: , untuk semua
bilangan bulat positif.
122.......222 1210
 nn

10. 3. Contoh Soal:
Tunjukkan bahwa bilangan bulat positif adalah bilangan prima jika
dan hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri.
1. Langkah Basis:
Misalnya, untuk n = 2 (dapat dinyatakan sebagai perkalian satu bilangan
prima) benar.
2. Langkah Induksi:
Misalkan 2, 3. 4. …..n dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih
bilangan prima.
Buktikan bahwa (n+1) dapat dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih
bilangan prima.
Jika (n+1) adalah bilangan prima, maka (n+1) dapat dinyatakan sebagai hasil
kali satu bilangan prima yaitu (n+1) = 1.(n+1)
Jika (n+1) bukan bilangan prima, maka terdapat bilangan positif a
sedemikian sehingga 2 < a < (n+1) yang membagi habis (n+1).
Dengan kata lain:
(n+1) = ab (Terbukti)
3. Kesimpulan: Karena 2 < a , b < n maka a dan b dapat dinyatakan sebagai
hasil kali satu atau lebih bilangan prima jadi, ab juga dapat dinyatakan
sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima, sehingga (n+1) dapat
dinyatakan sebagai hasil kali satu atau lebih bilangan prima.
b
a
n

 )1(

11. Konsep, Prinsip dan Contoh Penggunaan Notasi
(Sigma)
Jumlahan untuk bilangan-bilangan yang teratur dapat ditulis
lebih singkat dengan menggunakan notasi (sigma).
Berikut ini konsep, prinsip, dan contoh-contoh penggunaan
notasi -notasi .
1.
2.
3. , dengan c = konstanta
4.
5.
Keterangan: dengan n = suku ke-.


nk
n
k

...321
1
)12(...321)12(
1

nkk
n
k
  

n
k
n
k
kcck
1 1
    

n
l
n
l
l
n
l
lll baba
1 1 1
)(
ndddddd
n
l

...
1

12. 1554321
5
1
k
k
168)7654321(666
7
1
7
1
  l l
ii
6010101010101010
6
1
l
32)222()321(32323 321
3
1
3
1
3
1
   k
k
kk
k
kk
Contoh Soal:
1.
2.
3
4
5 Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n.   nnk
n
k

2
1
3
2
1
23

13. Penyelesaian:
1. Langkah Basis: Misalkan p (n) menyatakan    nnk
n
k

2
1
3
2
1
23
   
benar.(1)pJadi,
(benar)1=1
(2)
2
1
=2-3
1)-(3
2
1
21.3
11.3
2
1
2-3k(1)P 2
n
1k

 
2. Langkah Induksi: Diasumsikan p (t) benar untuk suatu bilangan asli
t, yaitu:
Tunjukkan bahwa p (t+1) benar, yaitu:
)3(
2
1
2)-(3k
)3(
2
1
2)-(3kt=n
t
1k
2
2
n
1k






tt
nn

14. 3. Kesimpulan: Jadi p (t+1) benar sehingga p (n) benar untuk setiap
bilangan.
 
 
 
 
 
benar.1)+(tpJadi
(Terbukti)2)5t(3t
2
1
2)-5t(3t
2
1
)253(
2
1
)263(
2
1
)253(
2
1
)26()3(
2
1
)253(
2
1
)26(
2
1
)(3t
2
1
)253(
2
1
)13(
2
2
)3(
2
1
)253(
2
1
)13()3(
2
1
1)363(
2
1
)233()3(
2
1
1)12(3
2
1
2-1)3(t2)-(3k
)1()1(3
2
1
)23(
3
2
1
2)-(3k1)+(t=n
22
22
22
22
22
22
22
t
1k
2
1
1
2
2
n
1k

















ttttt
ttttt
tttt
ttttt
ttttt
tttttt
ttt
ttk
nn
t
k

15. 3
A. KESIMPULAN
B. SARAN

16. TERIMA KASIH
HOME
T E O R I B I L NA G A N