Dokumen tersebut merangkum tentang: 1. Induksi matematika sebagai teknik pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat 2. Prinsip kerja induksi matematika yaitu langkah basis dan langkah induksi 3. Contoh soal pembuktian dengan induksi matematika

1. INDUKSI MATEMATIK
Mata Kuliah : Matematika Lanjut
Dosen
: Ririn Kusumawati, S.Si, M.Kom
Nama
: Abdul Wahid Mubarrak
NIM
: 12650079
Teknik Informatika

2. INDUKSI MATEMATIKA






Cara / Teknik membuktikan kebenaran dari suatu pernyataan
Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat
Induksi matematika merupakan teknik pembuktian yang baku
di dalam matematika.
Melalui induksi matematik kita dapat mengurangi langkahlangkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk
ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah
langkah terbatas.
Serta berfungsi untuk mengecek hasil proses yang terjadi
secara berulang-ulang sesuai dengan pola tertentu
Contoh:
p(n): “Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n
+ 1)/2”.
Buktikan p(n) benar!

3. PRINSIP KERJA INDUKSI
Misalkan p(n) adalah pernyataan mengenai
bilangan bulat positif.
 Kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk
semua bilangan bulat positif n.
 Untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya
perlu menunjukkan bahwa:
1. p(n0) benar, dan
2. jika p(n) benar, maka p(n + 1) juga benar, untuk
setiap n 1,


4. PRINSIP KERJA INDUKSI

Langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan
langkah 2 dinamakan langkah induksi.

Langkah basis induksi berisi asumsi (andaian) yang
menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut
dinamakan hipotesis induksi.

Hipotesis induksi digunakan untuk mendukung langkah
induksi.

Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut
benar maka kita sudah membuktikan bahwa p(n) benar
untuk semua bilangan bulat positif n.

5. 
Induksi matematik berlaku seperti efek domino.

6. CONTOH SOAL
1. Buktikan “Jumlah bilangan bulat positif dari 1
sampai n adalah n(n + 1)/2” !
Langkah I : Buktikan bahwa P(1) benar
P(1) = 1(1 + 1)/2 = 1 ………. Terbukti
 Langkah II : Buktikan bahwa jika P(n) benar, maka
P(n+1) juga benar
P(n+1)
= 1 + 2 + 3 + … + n + (n+1)
(n+1)((n+1) +1)/2 = P(n) + (n+1)
(n+1)(n+2)/2
= n(n+1)/2 + 2(n+1)/2
(n+1)(n+2)/2
= (n+2)(n+1)/2 ……. Terbukti


7. CONTOH (2)
Buktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif
pertama adalah n2!

Langkah 1 (Basis induksi):
Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif
pertama adalah n2 = 12 = 1. Ini benar karena jumlah
satu buah bilangan ganjil positif pertama memang
1.

8. 
Langkah 2 (Langkah Induksi):
Andaikan p(n) benar, yaitu pernyataan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)
= n2 adalah benar (hipotesis induksi)
catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah (2n – 1).
Kita harus memperlihatkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] +
(2n + 1)
= n2 + (2n + 1)
= n2 + 2n + 1
= (n + 1)2 ……………..Terbukti

9. SOLUSI CONTOH (3)
Buktikan
P(n) = 12 + 22 + 32 + … + n2 = n(n+1)(2n+1)/6 untuk n > 1

Langkah 1 :


P(1) = 1(1+1)(2 x 1 + 1) / 6 = 1
……. (Terbukti)




Langkah2:
Andaikan benar untuk n = k, maka P(k) = k(k+1)(2k + 1)/6
Akan dibuktikan bahwa P(k+1) = (k+1)(k+1+1)(2(k+1)+1)/6
= (k+1)(k+2)(2k+3)/6










Bukti:
P(k+1) = p(k) + (k+1)2
= k(k+1)(2k + 1)/6 + (k2 + 2k + 1)
= (2k3 + 3k2 + k)/6 + 6 (k2 + 2k + 1) / 6
= (2k3 + 3k2 + k + 6 (k2 + 2k + 1)) / 6
= (2k3 + 9k2 + 13k + 1) /6
= (k+1)(k+2)(2k+3)/6 …………. Terbukti

10. Contoh Soal (4)
. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n
buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.
Penyelesaian:
(i) Basis induksi: Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil
positif pertama adalah 12 = 1. Ini benar karena jumlah satu buah
bilangan ganjil positif pertama adalah 1.

11. (ii) L a n g ka h in d u ksi: A n d aik an p (n ) b en ar, yaitu p ern yataan
1 + 3 + 5 + … + (2 n – 1 ) = n
2
ad alah b en ar (h ip o tesis in d u k si) [catatlah b ah w a b ilan g an g an jil
p o sitif k e-n ad alah (2 n – 1 )]. K ita h aru s m em p erlih atk an b ah w a
p (n + 1 ) ju g a b en ar, yaitu
1 + 3 + 5 + … + (2 n – 1 ) + (2 n + 1 ) = (n + 1 )
2
ju g a b en ar. H al in i d ap at k ita tu n ju k k an seb ag ai b erik u t:
1 + 3 + 5 + … + (2 n – 1 ) + (2 n + 1 ) = [1 +
(2 n
2
= n +
2
= n +
= (n +
3 + 5 + … +
– 1 )] + (2 n + 1 )
(2 n + 1 )
2n + 1
2
1)
K aren a lan g k ah b asis d an lan g k ah in d u k si k ed u an ya telah
d ip erlih atk an b en ar, m ak a ju m lah n b u ah b ilan g an g an jil p o sitif
2
p ertam a ad alah n .

12. PRINSIP INDUKSI YANG DIRAMPATKAN
Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat
dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk
semua bilangan bulat n
n0. Untuk membuktikan
ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:
1. p(n0) benar, dan
2. jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar,
untuk semua bilangan bulat n n0,

13. Contoh Soal (1)
. Untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, buktikan dengan
induksi matematik bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 - 1
Penyelesaian:
(i) Basis induksi. Untuk n = 0 (bilangan bulat tidak negatif
pertama), kita peroleh: 20 = 20+1 – 1.
Ini jelas benar, sebab 20 = 1 = 20+1 – 1
= 21 – 1
=2–1
=1

14. (ii) Langkah induksi. Andaikan bahwa p(n) benar, yaitu
20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 - 1
adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa
p(n +1) juga benar, yaitu
20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = 2(n+1) + 1 - 1
juga benar. Ini kita tunjukkan sebagai berikut:
20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = (20 + 21 + 22 + … + 2n) + 2n+1
= (2n+1 – 1) + 2n+1 (hipotesis induksi)
= (2n+1 + 2n+1) – 1
= (2 . 2n+1) – 1
= 2n+2 - 1
= 2(n+1) + 1 – 1
Karena langkah 1 dan 2 keduanya telah diperlihatkan benar, maka untuk
semua bilangan bulat tidak-negatif n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … +
2n = 2n+1 – 1


15. APLIKASI INDUKSI MATEMATIK UNTUK
MEMBUKTIKAN KEBENARAN PROGRAM

16. function Exp2(N:integer, M: integer )
{menghitung N2M }
Algoritma:
R1
k  2*M
While (k > 0)
RR*N
kk–1
end
return R
{ Computes : R = N2M
Loop invariant : R x Nk = N2M
}
Buktikan algoritma di atas benar dengan induksi matematika
(semua variabel menggambarkan bilangan bulat non negatif)

17. Misal Rn dan Kn adalah nilai berturut-turut dari R dan
K, setelah melewati loop while sebanyak n kali, n ≥ 0.
Misalkan p(n) adalah pernyataan: Rn x NKn = N2M , n ≥ 0.
Akan ditunjukkan bahwa p(n) benar dengan induksi
matematika
(i) Basis:
Untuk n = 0, maka R0 = 1, K0 = 2M adalah nilai variabel
sebelum melewati loop. Maka pernyataan p(0): R0 x NK0
= N2M
1 x N2M = N2M
adalah benar

18. (ii) Langkah Induksi
Asumsikan bahwa p(n) adalah benar untuk suatu n ≥ 0 setelah
melewati loop n kali. Sehingga pernyataan p(n) dapat ditulis : Rn x NKn
= N2M .. Harus ditunjukkan bahwa untuk satu tambahan loop, maka
Rn+1 x NKn+1 = N2M
Hal ini ditunjukkan sebagai berikut: Setelah satu tambahan melewati
loop,
Rn+1 = Rn x N dan Kn+1 = Kn – 1 maka
Rn+1 x NKn+1 = (Rn x N) x NKn – 1 (dari hipotesis)
= (Rn x N) x NKn x N-1
= Rn x NKn
= N2M
Jadi, Rn+1 x NKn+1 = N2M
Sehingga p(n+1) menjadi benar. Karena itu, dengan prinsip dari
induksi matematika, p(n) adalah benar untuk setiap n ≥ 0

19. TERIMA KASIH...!