induksi matematika kelas 11 SMA, jadi disini dijelaskan cara dari awal hingga akhir penjelasan yang memudahkan kita dalam mempelajari matematika tentang linear.

1. INDUKSI MATEMATIKA (1)
By: Immanuel Panjaitan

2. KOMPETENSI DASAR
KD 3.2 Menjelaskan metode pembuktian
pernyataan matematis berupa barisan,
ketidaksamaan, keterbagian dengan
induksi matematika
KD 4.2 Menggunakan metode
pembuktian induksi matematika untuk
menguji pernyataan berupa barisan,
ketidaksamaan, keterbagian

3. TOPIK BAHASAN
 Memahami Prinsip Induksi Matematika
 Membuktikan pernyataan dengan menggunakan
prinsip induksi matematika
 Menjelaskan langkah-langkah pembuktian.

4. REASONING AND PROOF
 Recognize reasoning and proof as fundamental
aspects of mathematics
 Make and investigate mathemmatical conjectures
 Develop and evaluate mathematical arguments and
proofs
 Select and use various types of reasoing and
methods of proof
Sumber: NCTM, Principle and Standards for School
Mathematics, p.342.

5. JUMLAH N BILANGAN GANJIL POSITIF
PERTAMA
n Bilangan ganjil Jumlah P(n)
1 1 1 12
2 1 + 3 4 22
3 1 + 3 + 5 9 32
4 1 + 3 + 5 + 7 16 42
5 1 + 3 + 5 + 7 + 9 25 52
6 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 36 62
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
k 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k2
Dugaan:
Jumlah n bilangan ganjil positif pertama adalah n2

6. APA DUGAANMU?
 Berapa lingkaran yang diperlukan pada pola ke-n.
Analogi: Un = ½ (tinggi)(alas)
=
𝑛
2
(𝑛 + 1)
..
Alas
Tinggi
..
2Un
n
n + 1

7. VISUAL THINKING
1 ∙ 2 + 23 ∙ 4 + ⋯ + 𝑛 𝑛 + 1 = ⋯ ?

8. MEMAHAMI PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA
 Manakah gambar di atas yang mungkin
mengakibatkan semua domino jatuh?
 Bagaimana mungkin itu terjadi?
 Apa yang terjadi dengan sisanya?

9. KASUS 1. SEMUA DOMINO JATUH
 Domino 1 Jatuh dan mengenai domino 2
 Domino 2 jatuh dan membuat domino 3 jatuh
 Jika setiap domino P(k) menjatuhkan domino P(k+1),
maka semua domino jatuh.

10. ANALOGI KASUS 1 PADA PRINSIP INDUKSI
MATEMATIS
 Misalkan domino mewakili premis dan P(1) benar.
 P(k) benar menyebabkan P (k+1) benar
 Jika P(1) benar dan setiap P(k) mengimplikasi P(k+1),
maka P (n) benar untuk semua bilangan asli.
Kemdikbud. 2015 . Matematika untuk SMA/MA/SMK Kelas XII

11. MEMBUKTIKAN DUGAAN
𝑃 𝑛 : 1 + 3 + 5 + ⋯ + 2𝑛 − 1 = 𝑛2
Langkah 1. Buktikan P(1) benar
𝑃 1 : 1 = 12
Langkah 2. Asumsikan P(k) benar
𝑃 𝑘 : 1 + 3 + 5 + ⋯ + 2𝑘 − 1 = 𝑘2
Akan dibuktikan P(k+1) benar.
𝑃 𝑘 + 1 : 1 + 2 + 3 + ⋯ + 2𝑘 − 1 + 2𝑘 + 1 = (𝑘 + 1)2

12. BUKTI INDUKSI MATEMATIKA
𝟏 + 𝟑 + 𝟓 + ⋯ + 𝟐𝒌 − 𝟏 + 2𝑘 + 1
= 𝑘2 + 2𝑘 + 1
= 𝑘 + 1 2
Jadi, kerana P(1) benar dan jika P(k)
benar maka P(k+1) benar
disimpulkan P(n) benar untuk semua
n bilangan asli.
Reasoning
Hipotesis induksi
Distributif
Langkah-langkah Pembuktian

13. MEMBUKTIKAN DUGAAN
𝑃 𝑛 : 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =
𝑛
2
𝑛 + 1
Langkah 1. Buktikan P(1) benar
𝑃 𝑛 : 1 =
1
2
1 + 1
1 =
1
2
2
1 = 1
Langkah 2. Asumsikan P(k) benar
𝑃 𝑘 : 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 =
𝑘
2
𝑘 + 1
Akan dibuktikan P(k+1) benar.
𝑃 𝑘 + 1 : 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + 𝑘 + 1 =
𝑘 + 1
2
𝑘 + 2

14. BUKTI INDUKSI MATEMATIKA
𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + ⋯ + 𝒌 + 𝑘 + 1 =
𝒌
𝟐
𝒌 + 𝟏 + 𝑘 + 1
=
𝑘
2
+ 1 𝑘 + 1
=
𝑘 + 2
2
𝑘 + 1
=
𝑘 + 1
2
𝑘 + 2
Jadi, kerana P(1) benar dan jika P(k) benar maka
P(k+1) benar disimpulkan P(n) benar untuk semua
n bilangan asli.
Reasoning
P(k) benar
Distributif
Menyamakan
penyebut
Asosifatif Perkalian
Prinsip Induksi
Matematika
Langkah-langkah Pembuktian

15. 𝑃 𝑛 ≡
1
1 ∙ 2
+
1
2 ∙ 3
+
1
3 ∙ 4
+ ⋯ +
1
𝑛 𝑛 + 1
=
𝑛
𝑛 + 1
Langkah 1. Buktikan P(1) benar.
𝑃 1 ≡
1
1 ∙ 2
=
1
1 + 1
1
2
=
1
2
Langkah 2. Asumsikan P(k) benar.
𝑃 𝑘 ≡
1
1 ∙ 2
+
1
2 ∙ 3
+
1
3 ∙ 4
+ ⋯ +
1
𝑘 𝑘 + 1
=
𝑘
𝑘 + 1
Akan dibuktikan
𝑃 𝑘 ≡
1
1 ∙ 2
+
1
2 ∙ 3
+
1
3 ∙ 4
+ ⋯ +
1
𝑘 𝑘 + 1
+
1
𝑘 + 1 𝑘 + 2
=
𝑘 + 1
𝑘 + 2

16. BUKTI INDUKSI MATEMATIKA
𝟏
𝟏 ∙ 𝟐
+
𝟏
𝟐 ∙ 𝟑
+
𝟏
𝟑 ∙ 𝟒
+ ⋯ +
𝟏
𝒌 𝒌 + 𝟏
+
1
𝑘 + 1 𝑘 + 2
=
𝒌
𝒌 + 𝟏
+
1
𝑘 + 1 𝑘 + 2
=
1
𝑘 + 1
𝑘 +
1
𝑘 + 2
=
1
𝑘 + 1
𝑘 𝑘 + 2 + 1
𝑘 + 2
=
1
𝑘 + 1
𝑘 + 1 2
𝑘 + 2
=
𝑘 + 1
𝑘 + 2
Jadi, kerana P(1) benar dan jika P(k) benar maka P(k+1) benar
disimpulkan P(n) benar untuk semua n bilangan asli.
Reasoning
Hipotesis induksi
Distributif
Menyamakan penyebut
Distributif
Eksponen
Langkah-langkah Pembuktian

17. MARI BERPIKIR KRITIS
 Buktikan bahwa untuk setiap bilangan cacah n
berlaku 5 ∙ 𝑛 = 0.
Bukti:
 Langkah pertama: 5 ∙ 𝑛 = 0 . Jadi, pernyataan
berlaku untuk n = 0.
 Anggap bahwa pernyataan 5 ∙ 𝑗 = 0 berlaku bagi
sebarang bilangan bulat j yang memenuhi 0 ≤
𝑗 ≤ 𝑘 . Sekarang kita akan membuktikan
pernyataan berlaku bagi 𝑘 + 1.
 Tulis 𝑘 + 1 = 𝑝 + 𝑞 dengan 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑘 dan 0 ≤
𝑞 ≤ 𝑘, maka
5 𝑘 + 1 = 5 𝑝 + 𝑞
=5 p + 5 q = 0 + 0 = 0