Integral parsial

1. 1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang memiliki sifat universal,
dimana matematika ini memiliki peran penting di semua bidang ilmu
pengetahuan. Melalui perkembangan penalaran dan abstraksi, matematika
berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran dan pengkajian sistematis
terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika secara praktis
menjadi salah satu kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis. Kini,
matematika digunakan di seluruh duniasebagai alat penting di berbagai bidang,
termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran atau medis dan ilmu sosial seperti
ekonomi dan psikologi.
Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan
pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat
penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada
pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika
dan teori permainan. Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika
murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa
adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi
latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.
Salah satu cabang dari ilmu matematika yang patut dipelajari adalah
Integral. Integral adalah lawan dari proses diferensial. Integral terbagi atas
beberapa jenis yaitu integral tertentu dan integral tak tentu. Perbedaan antara
integral tertentu dan integral tak tentu yaitu jika integral tertentu memiliki
batasan-batasan, integral tak tentu tidak memiliki batasan-batasan. Penguasaan
mata pelajaran matematika khususnya mengenai integral bagi peserta didik juga
berfungsi membentuk kompetensi program keahlian.
Integral parsial adalah cara menyelesaikan integral yang memuat perkalian
fungsi, tetapi tidak dapat diselesaikan secara substitusi biasa. Integral parsial

2. 2
memiliki dua variabel pembantu yaitu (u) dan (v). Variabel (u) dan (v) ini dapat
membantu perhitungan nilai dua perkalian bilangan yang akan diintegralkan.
Untuk lebih memahami pembelajaran mengenai integral parsial, perlu
disusun sebuah makalah yang mampu menjadi wahana bagi setiap individu untuk
memperoleh wawasan, pengetahuan yang berhubungan dengan integral parsial.
Oleh sebab itu, penulis tertarik untuk menulis sebuah makalah yang berjudul
“Integral Parsial”.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, penulis merumuskan rumusan masalah
sebagai berikut.
1. Bagaimana rumus integral parsial?
2. Bagaimana menghitung integral tak tentu dengan cara parsial?
C. Tujuan Makalah
Sejalan dengan rumusan masalah di atas, makalah ini disusun dengan
tujuan untuk:
1. mengetahui rumus integral parsial?
2. menghitung integral tak tentu dengan cara parsial.
D. Manfaat Makalah
Makalah ini disusun dengan harapan memberikan manfaat baik untuk
penulis maupun pembaca, yaitu sebagai wahana dan media informasi penambah
pengetahuan tentang integral parsial.
E. Prosedur Makalah
Data teoritis dalam makalah ini dikumpulkan dengan menggunakan teknik
studi pustaka, artinya penulis mengambil data melalui kegiatan membaca berbagai
literatur yang berhubungan erat dengan tema makalah.

3. 3
BAB II
PEMBAHASAN
A. Landasan Teoritis
Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan
menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan
harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan
solusi diferensiasi. Lambang integral adalah ∫.
Integral parsial adalah suatu cara untuk menaikan pangkat suatu bilangan
dua perkalian fungsi yang berbeda sehingga fungsi bilangan tersebut dapat
menaikan pangkatnya (diintegralkan). Integral parsial dihubungkan dengan fungsi
bilangan (u) dan (dv) yang fungsi tersebut akan dikali dan diintegralkan sesuai
dengan aturan rumus integral parsial.
Integral Parsial memiliki cara khusus dimana dua bilangan fungsi dari (u)
dan (dv) akan dihitung untuk mencari penurunan pangkat dari (u) atau biasa
disebut (du) dan mencari kenaikan pangkat (dv) atau biasa disebut (v). Bilangan
fungsi-fungsi diatas memiliki hubungan yang sangat penting dalam integral
parsial
Sering kali terdapat banyak pendapat yang menyatakan bahwa integral
parsial hampir sama penyederhanaannya seperti integral subtitusi. Padahal dalam
konsep penyederhanaan integral parsial lebih rumit dibandingkan integral
subtitusi. Integral parsial menyederhanakan fungsi dengan pemilihan fungsi yang
akan diturunkan dan yang akan diintegralkan untuk membuat fungsi-fungsi baru
yang akan digunakan pada rumus integral parsial.
B. Pembahasan
1. Integral Parsial
Integral Parsial sebagian berdasar pada turunan suatu fungsi hasil kali.
Disebut integral parsial, karena sebagian bentuk dilakukan operasi turunan
sebagian operasi integral. Jika kita tidak dapat menyelesaikan integral suatu

4. 4
fungsi dengan metode substitusi, maka mungkin dapat diselesaikan dengan
metode subtitusi ganda atau integral parsial.
Misalkan:
𝑢 = 𝑢(𝑥),𝑣 = 𝑣(𝑥) 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 𝑢. 𝑣
Berdasarkan rumus turunan diperoleh:
y'= u'.v+ u.v'
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑣 + 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
dy= v du+ u dv
Dengan mengintegralkan masing-masing ruas pada persamaan di atas, diperoleh:
∫𝑑𝑦 = ∫𝑣. 𝑑𝑢 + 𝑢. 𝑑𝑣
𝑦 = ∫𝑣.𝑑𝑢 + 𝑢. 𝑑𝑣
𝑢. 𝑣 = ∫𝑣. 𝑑𝑢 + 𝑢. 𝑑𝑣
∫𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢
Jadi, rumus integral parsial adalah:
∫𝑢.𝑑𝑣 = 𝑢.𝑣 − ∫𝑣. 𝑑𝑢
Pada rumus diatas biasanya dalam soal kita memiliki bilangan (u) dan
(dv). Bilangan (u) akan diturunkan menjadi (du) sedangkan (dv) akan
diintegralkan menjadi bilangan (v). Sehingga akan menemukan empat bilangan
yang akan dimasukan kedalam rumus integral parsial sehingga nilai dari integral
(u) dikali (dv) sama dengan (u) dikalikan dengan (v) dikurangi integral (v) dikali
(du).
Syarat umum yang harus dipenuhi:
a) pilih fungsi yang paling sederhana untuk dipakai sebagai “u”.
b) bagian yang dipilih sebagai “dv” harus dapat di integralkan.
c) integral v.du tidak boleh lebih sulit daripada integral u.dv

5. 5
2. Soal dan Pembahasan
1. Hasil dari ∫ 2𝑥(3𝑥 − 5)6 dx adalah….
Pembahasan:
∫ 2𝑥(3𝑥 − 5)6 ∫𝑢.𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫𝑣. 𝑑𝑢
a) Pilih fungsi paling sederhana yang akan dipakai sebagai u. Disini kita
memilih atau memakai 2x sebagai fungsi yang akan kita ganti atau
substitusi dengan u.
b) Gunakan fungsi yang lainnya sebagai dv.
c) Karena dalam rumus kita juga butuh nilai du dan v maka kita cari nilai
keduanya dengan:
 turunkan u = 2x maka f(u) =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2 du = 2x
 integralkan dv = (3x – 5)6 maka
v = ∫(3𝑥 − 5)6 dx =
1
7
(3𝑥 − 5)7
𝑑𝑢
3
=
1
7
.
1
3
(3𝑥 − 5)7 + C
=
1
21
(3𝑥 − 5)7 + C
d) Selesaikan rumus dengan menerapkan persamaan:
∫ 𝟐𝒙(𝟑𝒙 − 𝟓)6 ∫𝒖.𝒅𝒗 = 𝑢. 𝑣 − ∫𝑣. 𝑑𝑢
∫ 2𝑥(3𝑥 − 5)6 = 2𝑥.
1
21
(3𝑥 − 5)7 - ∫
1
21
(3𝑥 − 5)7. 2𝑑𝑥
=
2
21
𝑥(3𝑥 − 5)7 -
2
21
.
1
3
.
1
8
(3𝑥 − 5)8 + C
=
2
21
𝑥(3𝑥 − 5)7 -
2
504
(3𝑥 − 5)8 + C
=
2
21
𝑥(3𝑥 − 5)7 -
1
252
(3𝑥 − 5)8 + C
u = 2x
dv = (3x – 5)6

6. 6
Selain dengan cara di atas, soal tersebut dapat diselesaikan dengan cara
tanzali. Berikut adalah pembahasannya:
∫ 2𝑥(3𝑥 − 5)6
Turunkan Integralkan
+ 2x (3x – 5)6
- 2 1
21
(3x – 5)7
+ 0
1
504
(3x – 5)8
∫ 2𝑥(3𝑥 − 5)6 = 2𝑥.
1
21
(3𝑥 − 5)7 - 2.
1
504
(3𝑥 − 5)8 + C
=
2
21
𝑥(3𝑥 − 5)7 -
2
504
(3𝑥 − 5)8 + C
=
2
21
𝑥(3𝑥 − 5)7 -
1
252
(3𝑥 − 5)8 + C
2. Hasil dari ∫ 6x (3x − 1)−1/3 dx adalah ........
Pembahasan:
a) Cara dengan rumus integral parsial : ∫ 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢
Misal: u = 6x du = 6dx
dv = (3x − 1)−1/3 v =
1
3(−
1
3
+1)
(3𝑥 − 1)2/3
=
1
2
(3𝑥 − 1)2/3
∫ 6x(3x − 1)−1/3 dx = 6𝑥.
1
2
(3𝑥 −1)2/3 - ∫
1
2
(3𝑥− 1)2/3. 6dx
=
6
2
𝑥 (3𝑥 − 1)2/3 -
6
2
.
1
3(
2
3
+1)
(3𝑥 − 1)5/3
=
6
2
𝑥 (3𝑥 − 1)2/3 - 3.
1
5
(3𝑥 − 1)5/3
= 3x (3x-1)2/3 −
3
5
(3x-1)5/3 + C

7. 7
b) Cara Tanzalin
∫ 6x (3x − 1)−1/3 dx
Turunkan Integralkan
+ 6x (3x-1)-1/3
- 6 1
2
(3x-1)2/3
+ 0
1
10
(3x-1)5/3
∫ 6x (3x − 1)−1/3 dx = 6𝑥.
1
2
(3x-1)2/3 − 6.
1
10
(3x-1)5/3 + C
= 3x (3x-1)2/3 −
3
5
(3x-1)5/3 + C
3. Hasil dari ∫ 𝑥 √𝑥 + 1 dx adalah….
Pembahasan:
∫ 𝑥 √𝑥 + 1 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 (𝑥 + 1)1/2
a) Cara dengan rumus integral parsial : ∫ 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢
Misal: u = x du = dx
dv = (𝑥 + 1)1/2 v =
2
3
(x + 1) 3/2 dx
∫ 𝑥 √𝑥 + 1𝑑𝑥 dx = 𝑥.
2
3
– ∫
2
3
(𝑥 + 1)3/2 dx
=
2
3
𝑥 (x + 1) 3/2 -
2
3
.
2
5
(x + 1)5/2 + C
=
2
3
𝑥 (x + 1) 3/2 -
4
15
(x + 1) 5/2 + C

8. 8
b) Cara Tanzalin
∫ 𝑥 √𝑥 + 1𝑑𝑥
Turunkan Integralkan
+ x (x + 1)1/2
- 1 2
3
(𝑥 + 1)3/2
+ 0
4
15
(𝑥 + 1) 5/2
∫ 𝑥 √(1 + 𝑥) dx = 𝑥.
2
3
(𝑥 + 1) 3/2 – 1.
4
15
(𝑥 + 1) 5/2 + C
=
2
3
𝑥 (𝑥 + 1) 3/2 –
4
15
(𝑥 + 1) 5/2 + C
4. Hasil dari ∫ 4𝑥 √3𝑥 − 2 dx adalah ..........
Pembahasan:
∫ 4𝑥 √3𝑥 − 2 𝑑𝑥 = ∫ 4𝑥 (3𝑥 − 2)1/2 dx
a) Cara dengan rumus integral parsial : ∫ 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢
Misal: u = 4x du = 4dx
dv = (3𝑥 − 2)1/2 v =
1
3 (
1
2
+1)
(3𝑥 − 2)3/2
=
1
9/2
(3𝑥 − 2)3/2
=
2
9
(3𝑥 − 2)3/2
∫ 4𝑥 √3𝑥 − 2dx = 4𝑥.
2
9
(3𝑥 − 2)3/2 – ∫
2
9
(3𝑥 − 2)3/2 .4dx
=
8
9
𝑥 (3𝑥 − 2)3/2 -
8
9
.
1
3 (
3
2
+1)
(3𝑥 − 2)5/2 + C
=
8
9
𝑥 (3𝑥 − 2)3/2 -
8
9
.
2
15
(3𝑥 − 2)5/2 + C

9. 9
=
8
9
𝑥 (3𝑥 − 2)3/2 -
16
135
(3𝑥 − 2)5/2 + C
b) Cara Tanzalin
∫ 4𝑥 √3𝑥 − 2 𝑑𝑥
Turunkan Integralkan
+ 4x (3𝑥 − 2)1/2
- 4 2
9
(3𝑥 − 2)3/2
+ 0
4
135
(3𝑥 − 2)5/2
∫ 4𝑥 √3𝑥 − 2dx = 4𝑥.
2
9
(3𝑥 − 2)3/2 – 4.
4
135
(3𝑥 − 2) 5/2 + C
=
8
9
𝑥 (3𝑥 − 2)3/2 -
16
135
(3𝑥 − 2)5/2 + C
5. Hasil dari ∫ 𝑥 cos𝑥 𝑑𝑥 adalah .........
Pembahasan:
a) Cara dengan rumus integral parsial : ∫ 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢
Misal: u = x du = dx
dv = cos x v = sin 𝑥
∫ 𝑥 cos𝑥 𝑑𝑥 = x.sin x - ∫ sin x dx
= x.sin x – (- cos x) + C
= x.sin x + cos x + C
b) Cara Tanzalin
∫ 𝑥 cos𝑥 𝑑𝑥
Turunkan Integralkan
+ x cos x
- 1 sin x
+ 0 -cos x
∫ 𝑥 cos𝑥 𝑑𝑥 = x.sin x – 1.(-cos x)

10. 10
= x.sin x – (- cos x) + C
= x.sin x + cos x + C
6. Hasil dari ∫ 3𝑥 cos2𝑥 𝑑𝑥 adalah ..........
Pembahasan:
a) Cara dengan rumus integral parsial : ∫ 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢
Misal: u = 3x du = 3dx
dv = cos 2x v =
1
2
sin 2x
∫ 3𝑥 cos2𝑥 𝑑𝑥 = (3x) (
1
2
sin 2𝑥) –∫(
1
2
sin 2𝑥) (3𝑑𝑥)
=
3
2
𝑥 sin2x –
3
2
∫ sin 2𝑥 𝑑𝑥
=
3
2
𝑥sin 2x +
3
4
cos 2x + C
b) Cara Tanzalin
∫ 3𝑥 cos2𝑥 𝑑𝑥
Turunkan Integralkan
+ 3x cos 2x
- 3 1
2
sin 2x
+ 0 −
1
4
cos 2x
∫ 3𝑥 cos2𝑥 𝑑𝑥 = 3𝑥.
1
2
sin 2x – 3. (−
1
4
cos 2x) + C
=
3
2
𝑥 sin 2x +
3
4
cos 2x + C
7. Hasil dari ∫ (3x + 2) cos (3x + 2) dx adalah .............
Pembahasan:
a) Cara dengan rumus integral parsial : ∫ 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢
Misal: u = 3x + 2 du = 3dx
dv = cos (3x + 2) v =
1
3
sin (3x + 2)

11. 11
∫ (3x + 2) cos (3x + 2) dx = (3x + 2).
1
3
sin (3x + 2) - ∫
1
3
sin (3x + 2).3dx
= (x +
2
3
) sin (3x + 2) – (- 3.
1
3
.
1
3
cos (3x + 2)) + C
= (x +
2
3
) sin (3x + 2) +
1
3
cos (3x + 2) + C
b) Cara Tanzalin
∫ (3x + 2) cos (3x + 2) dx
∫ (3x + 2) cos (3x + 2) dx
= (3x + 2)
1
3
sin (3x + 2) + (3)
1
29
cos (3x + 2) + C
= (x +
2
3
) sin (3x + 2) +
1
3
cos (3x + 2) + C

12. 12
BAB III
PENUTUP
A. Simpulan
Berdasarkan uraian bab sebelumnya penulis dapat mengemukakan
simpulan sebagai berikut.
1. Pengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika pengintegralan dengan
teknik substitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian sisa
pengintegralan lebih sederhana dari integral mula-mula.
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
2. Integral Parsial adalah suatu cara dimana mengerjakan soal-soal perkalian
integral dengan dua fungsi yang berbeda. Integral Parsial menggunakan
fungsi u dan dv. Pada integral Parsial dua fungsi tersebut akan diubah untuk
menemukan dua hasil fungsi yang baru yang akan digunakan pada rumus
Integral Parsial.
B. Saran
Seharusnya untuk belajar matematika itu tidak dengan menghapal tetapi
dengan banyak berlatih.