Dokumen tersebut membahas tentang induksi matematika, yaitu metode pembuktian untuk pernyataan yang menyangkut bilangan bulat. Terdapat penjelasan tentang pengertian, prinsip, dan tahapan induksi matematika serta beberapa contoh penerapannya untuk membuktikan pernyataan-pernyataan tertentu.

1. INDUKSI
MATEMATIKA

2. Pengertian
• Induksi matematika adalah sebuah metode
pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan
bulat.
• Induksi matematika merupakan pembuktian
deduktif, meski namanya induksi. Induksi
matematika atau disebut juga induksi lengkap
sering dipergunakan untuk pernyataanpernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan
asli.
• Induksi matematika merupakan suatu teknik
untuk membuktikan suatu pernyataan
matematika apakah benar atau salah.

3. • Induksi Matematika digunakan
untuk mengecek hasil proses yang
terjadi secara berulang sesuai
dengan pola tertentu
• Indukasi Matematika digunakan
untuk membuktikan universal
statements  n  A S(n) dengan A
 N dan N adalah himpunan
bilangan positif atau himpunan
bilangan asli.
• S(n) adalah fungsi propositional

4. TAHAPAN INDUKSI MATEMATIKA
• Basis Step (Langkah Basis) : Tunjukkan bahwa S(1)
benar. Menunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku
untuk bilangan 1.
• Inductive Step (Langkah Induksi): Sumsikan S(k) benar
akan dibuktikan S(k)  S(k+1) benar . Menunjukkan
bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n =
k, maka pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan n
=k+1.
• Conclusion(Kesimpulan): S(n) adalah benar untuk
setiap n bilangan integer positif

5. PRINSIP INDUKSI SEDERHANA
• Misalnya terdapat suatu deret tak berhingga
seperti berikut :
P(1),P(2),P(3),……
• Jika P(1) dapat dibuktikan benar, dan untuk
setiap k є ℕ, P(k)→P(k+1) benar (dengan
mengasumsikan P(k), akan dibuktikan bahwa
P(k+1)).
• Maka P(n) benar untuk setiap n є ℕ.
• P(1) benar, dan untuk semua bilangan bulat
positif n  1, jika p(n) benar maka p(n+1) juga
benar.

6. Prinsip Induksi yang Dirampatkan.
• Jika ingin membuktikan bahwa pernyataan
p(n) benar untuk semua bilangan bulat  n0 ,
prinsip induksi sederhana dapat dirampatkan
untuk menunjukkannya, dengan cara sebagai
berikut :
1. p (n0) benar, dan
2. Untuk semua bilangan bulat n  n0, jika
p(n) benar maka p(n+1) juga benar.

7. Prinsip Induksi Kuat
• Versi induksi yang lebih kuat diperlukan
untuk membuktikan pernyataan mengenai
bilangan bulat. Versi induksi yang lebih kuat
adalah sebagai berikut :
• 1. p (n0) benar, dan
• 2. Untuk semua bilangan bulat n  n0, jika
p(n0), p(n0+1),….p(n) benar maka p(n+1)
juga benar.

8. • Versi induksi yang lebih kuat, mirip dengan
induksi sederhana, kecuali bahwa pada
angkah 2 kita mengambil hipotesis induksi
yang lebih kuat bahwa semua pernyataan
p(1), p(2), …., p(n) adalah benar daripada
hipotesis yang menyatakan bahwa p(n) benar
pada induksi sederhana
• Prinsip induksi kuat memungkinkan kita
mencapai kesimpulan yang sama meskipun
emberlakukan andaian yang lebih banyak.

9. PEMBUKTIAN INDUKSI MATEMATIKA
CONTOH
1
CONTOH
2
CONTOH
3
CONTOH
4
CONTOH
5
CONTOH
6
CONTOH
7
CONTOH
8

10. CONTOH 1
• Buktikan 1 komputer + 3 komputer + 5
komputer + . . .+ (2n-1 komputer) = n2
komputer, untuk setiap n merupakan
komputer yang rusak.

11. CONTOH 2
• Buktikan bahwa :
• N 3 + 2n adalah kelipatan 3
• untuk setiap n bilangan bulat positif

12. CONTOH 3
• Diberikan P(n) ≡ 52n - 1 . Tunjukkan P(n)
habis dibagi 8, untuk semua n ∈ N.

13. CONTOH 4
• Buktikan: 2n ≤ 2k, untuk k ∈ N.

14. CONTOH 5

15. CONTOH 6

16. CONTOH 7

17. CONTOH 8

18. Jawaban 1
• Penyelesaian:
• Sn : 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n-1)= n2
Harus dibuktikan benar untuk n = 1
• S1 : 1 = 12 .............( ternyata benar untuk n = 1)
• Andaikan berlaku untuk n=k, harus dibuktikan berlaku untuk n=
k+1.
• Anggap n =k berlaku, berarti Sk: 1 + 3 + 5 + . . + (2k – 1) = k2
• Untuk n= k+1, berlaku :
• 1+3+5+...+2k-1+(2(k+1) – 1 = k2 + 2(k+1) -1 → k2+ 2k+2 – 1
•
k2+ 2k+1= (k+1)2,
ternyata benar untuk n=k+1
• Sehingga Sn berlaku untuk setiap n merupakan komputer yang
rusak.

19. Jawaban 2
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :
1 = 13 + 2(1)  1 = 3 , kelipatan 3
Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan k 3 + 2k = 3x
adib. Untuk n = k + 1 berlaku
(k + 1)3 + 2(k + 1) adalah kelipatan 3
(k 3 + 3k 2 + 3 k+1) + 2k + 2
(k 3 + 2k) + (3k 2 + 3k + 3)
(k 3 + 2k) + 3 (k 2 + k + 1)
Induksi
3x + 3 (k 2 + k + 1)
3 (x + k 2 + k + 1)
Kesimpulan : N 3 + 2n adalah kelipatan 3
Untuk setiap bilangan bulat positif n

20. Jawaban 3
•
•
•
•
•
•
•
Tulis:
N : himpunan bilangan asli (Natural).
Diberikan P(n) ≡ 52n - 1.
Ditunjukkan P(1) benar.
Jelas P(1) ≡ 52.1 - 1 = 52 - 1 = 25 - 1 = 24
Jelas 24 habis dibagi 8.
Jadi P(1) benar. ... (1*)

21. • Ditunjukkan: Jika P(k) habis dibagi 8 maka P(k + 1) habis di bagi 8. ...
(#)
• Dipunyai P(k) benar.
• Jelas P(k) ≡ 52k - 1 = 8m, untuk suatu m ∈ N. ... (2*)
• Jelas P(k + 1) ≡ 52(k+1) - 1
• = 52k+2 - 1
• = 52k . 25 - 1
• = [(52k - 1).25] + 24
[langkah ini merupakan kunci dari
pembuktian]
• = [8m.25] + 8.3
[langkah ini sah karena berdasarkan
(2*), 52k - 1 = 8m]
= 8 . (25m + 3)
= 8p, untuk suatu p = 25m + 3, m, p ∈ N.
• Diperoleh P(k + 1) = 8p, untuk suatu p ∈ N.
• Jadi P(k + 1) habis dibagi 8. ... (3*)
• Dari (1*) dan (3*) disimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua n ∈ N.
• Jadi P(N) benar.

22. Jawaban 4
• Bukti:
Dibuktikan: P(1) benar. Jelas P(1) ≡ 2.1 ≤ 21 ≡ 2 ≤ 2.
Jadi P(1) benar. ... (1*)
Dibuktikan: Jika P(k) benar maka P(k+1) benar.
Dipunyai P(k) benar.
Jelas P(k) ≡ 2k ≤ 2k.
Jelas:
2k ≤ 2k
≡ 2k + 2 ≤ 2k + 2
≡ 2k + 2 ≤ 2k . 2
≡ 2(k+1) ≤ 2(k+1).
Jadi P(k+1) benar. ... (2*)
Dari (1*) dan (2*) dapat disimpulkan bahwa P(n) berlaku untuk
semua n ∈ N.
Jadi P(N) benar.

23. Jawaban 5

24. Jawaban 6

25. Jawaban 7

26. Jawaban 8

27. KAMSAHAMNIDA...