1. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ n+1 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ
n+1
ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
ΦΥΣΙΚΟΣ
MSc. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ
ΑΘΗΝΑ 2011
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

2. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ n+1 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
Στα επόμενα θα προσπαθήσουμε να λύσουμε την εξίσωση του κύματος (1) σε n+1
διαστάσεις:
2
(

1 2
) ( x, t ) 0
2
2
c t
(1),
για σφαιρικά συμμετρικό κύμα:

( x, t )
(r , t ) ,
r2
x12
2
2
x2 ... xn ,
(2)
και θα προσπαθήσουμε να δούμε (σε επίπεδο λύσεων), ότι η αρχή του Huygens ισχύει μόνο
για περιττές χωρικές διαστάσεις: ν=1,3,5,...
Θεωρούμε τη λύση:

( x, t )
(r , t )
(3)
R(r )T (t )
Έτσι λοιπόν θα έχουμε:
2
(
1 2
) (r , t ) 0 ,
c2 t 2
ή
2
(
1 2
)[ R(r )T (t )] 0
c2 t 2
ή
2
[ R(r )T (t )]
1 2
[ R(r )T (t )] 0
c2 t 2
ή
T (t )
2
R(r )
2
1
R(r ) 2 T (t ) 0 ,
c2
t
οπότε διαιρώντας και τα δύο μέλη με: R(r )T (t ) ,
έχουμε:
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

3. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ n+1 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
1
R(r )
2
R(r )
1 1 d 2T (t )
c 2 T (t ) dt 2
(4).
0
Στη σχέση (4) ο όρος :
1
R( r )
2
R(r ) , είναι συνάρτηση (μόνο) του r,
ενώ ο όρος:
1 1 d 2T (t )
, είναι συνάρτηση (μόνο) του t.
c 2 T (t ) dt 2
Αν θέλουμε λοιπόν να ισχύει η (4), θα πρέπει οι δύο αυτοί όροι να ισούνται με την ίδια
σταθερά. Έτσι λοιπόν, αντί να λύσουμε την (4), έχουμε να λύσουμε το (ισοδύναμο)
σύστημα:
1
R( r )
2
(5)
k2
R(r )
1 1 d 2T (t )
c 2 T (t ) dt 2
(6).
k2
Από τη σχέση (6), έχουμε:
1 d 2T (t )
T (t ) dt 2
c2k 2
ή
d 2T (t ) 2 2
c k T (t ) 0
dt 2
(7)
Η εξίσωση (7) δέχεται σαν λύση την:
(8)
T (t ) c1 cos(kct ) c2 sin(kct )
Ας δούμε στη συνέχεια πως διαμορφώνεται ο τελεστής
Είναι λοιπόν:
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
2
στις n (χωρικές) διαστάσεις.

4. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ n+1 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
2
2
2
x12
2
x2
2
...
(9)
2
xn
Για την περίπτωση σφαιρικού κύματος:

R( r )
R( r ) ,
με : r 2
x12
2
2
x2 ... xn
Στα επόμενα θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις:
r
xj
1
2 x j ( x12
2
xj
r
2
r
x2
j
xj
xj
2
2
... x )
r
xj
1
2
x2
j
x
2
n
r
r2
xj
r
r2
r
r2
x2
j
r3
r
xj
ή
,
xj
2
,
r2
r
x2
j
ή
(10),
r
x2
j
r3
(11)
Επίσης:
n
(
j 1
x12
r2
r 2
)
xj
2
x2
r2
...
2
xn
r2
r2
r2
n
1,
ή
(
j 1
r 2
)
xj
1
(12)
n 1
r
(13)
καθώς επίσης:
2
n
j 1
r
x2
j
nr 2 r 2
r3
(n 1)r 2
r3
n 1
,
r
n
ή
j 1
2
r
x2
j
Επιστρέφοντας στην Λαπλασιανή, έχουμε τις παρακάτω μερικές παραγώγπους:
R
xj
R r
,
r xj
2
R 2r
r x2
j
R
x2
j
2
R r
xj r xj
(14)
Όμως:
2
R
xj r
2
R
r xj
R
( )
r xj
R r
(
)
r r xj
R 2r
r r xj
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
r 2R
xj r2
(15)

5. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ n+1 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
Τώρα και επειδή:
2
r
r xj
r
(
r
)
xj
(
xj
r
) 0
r
(16),
η (15) απλουστεύεται:
2
r 2R
xj r2
R
xj r
(17)
Έτσι λοιπόν η (14), γράφεται:
2
R 2r
r x2
j
R
x2
j
r 2 2R
)
xj
r2
(
(18)
Αθροίζοντας τις μερικές παραγώγους της σχέσης (18) από j=1 έως n, έχουμε:
2
n
R
x2
j
j 1
R
r
n
j 1
2
2
r
x2
j
R
r2
n
(
j 1
r 2
)
xj
(19),
οπότε με την βοήθεια των (12) και (13), έχουμε:
2
n
R n 1 R
(
)
x2
r
r
j
j 1
2
R
r2
(20)
ή
2
2
R n 1 R
(
)
r2
r
r
R
ή
(αφού R
2
R
R(r ) , αντικαθιστούμε:
d)
d 2 R n 1 dR
(
)
dr 2
r dr
(21)
Έτσι λοιπόν η σχέση (5) γράφεται:
1
R( r )
2
R(r )
k2
ή
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

6. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ n+1 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
1 d 2 R n 1 dR
[
(
) ]
R(r ) dr 2
r dr
k2
ή
d 2 R n 1 dR
(
) ] k 2 R( r ) 0
2
dr
r dr
ή
r
d 2R
dR
(n 1) ] k 2 rR(r ) 0
2
dr
dr
(22)
Η διαφορική εξίσωση με την γενική μορφή:
x 2 y ( x) (1 2a) xy ( x) (
2
2
x2
a2
2
2
(23),
) y ( x) 0
επιδέχεται σαν γενική λύση την ακόλουθη:
(24)
xa [C1 J ( x ) C2Y ( x )]
y( x)
(Βλέπε πχ: Mathematical methods for scientists and engineers, Donald A. McQuarrie, σελίδα 609)
Στην περίπτωσή μας: r
x , R(r )
y ( x) ,
και έτσι η (22) γράφεται:
(25)
x 2 y ( x) x(n 1) y ( x) x 2 k 2 y ( x) 0
οπότε συγκρίνοντας την (25) με την (23) έχουμε:
k,
1,
1 2a
2
2 2
x
n 1
a2
2a
2
2 n
2
x2k 2
a 1
n
,
2
x 2 k 2 (1
n 2
)
2
2
x2k 2
Έτσι λοιπόν η γενική λύση της (22) γράφεται:
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
n
1
2

7. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ n+1 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
R(r )
r
n
2
1
(26),
[C1 J n (kr ) C2Yn (kr )]
2
1
2
1
όπου:
J n (kr ) , είναι η συνάρτηση Bessel πρώτου είδους και
1
2
n
1 τάξεως, ενώ
2
Yn (kr ) , είναι η συνάρτηση Bessel δευτέρου είδους και
1
2
n
1 τάξεως, αμφότερες με
2
όρισμα: kr
Για τις συναρτήσεις Bessel είναι γνωστή η αναπαράσταση:
2
Jm
sin( z cosh s
0
m
) cosh(ms)ds
2
(27),
οπότε:
Jn
2
2
1
sin[ z cosh s (
0
n
n
1) ]cosh[( 1) s]ds
2
2
2
 Έστω λοιπόν ότι: n
n
1 0,
2
2
J0
2 (Διδιάστατος χώρος). Τότε:
και
(29)
sin( z cosh s)ds
0
Η λύση για το χρονικό μέρος είναι:
T (t )
sin(kct ) ,
οπότε:
(r , t ) r
(28)
1
n
2
2
sin( z cosh s)ds sin(kct )
0
n
1 0
2
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

8. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ n+1 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
(r , t )
2
(30)
sin( z cosh s)ds sin(kct )
0
Για ευκολία ας θέσουμε k 1 . Βάζοντας το sin(ct ) μέσα στο ολοκλήρωμα (αφού η
ολοκλήρωση είναι ως προς s, θα έχουμε:
1
(r , t )
(31)
[cos(r cosh s ct ) cos(r cosh s ct ]ds
0
Στη σχέση (31) παρατηρούμε ότι η λύση δεν είναι κάποια συνάρτηση με όρισμα
r ct , (όπως παρακάτω θα αποδείξουμε ότι συμβαίνει για n = περιττός) αλλά είναι ένα
ολοκλήρωμα συναρτήσεων με όρισμα r cosh s ct . Σε κάθε τιμή λοιπόν του s αντιστοιχεί
c
ταχύτητα ίση προς:
και έτσι η ταχύτητα παίρνει τιμές από c μέχρι μηδέν. Έτσι η
cosh s
διάδοση της διαταραχής δεν γίνεται μόνο πάνω στον κώνο φωτός αλλά και στο εσωτερικό
του. Επομένως στην περίπτωση αυτή ( n 2 ) δεν ισχύει η αρχή του Huygens.
n ά
Γενικότερα για
, οπότε:
n
1
2
έ
, η λύση της κυματικής
εξίσωσης θα είναι:
(r , t )
r
1
n
2
Jn
2
r
m
1
(r )sin(ct ) r
m
2
1 m
0
ds{[cos(r cosh s
0
[ sin(r cosh s
m
2
οπότε όπως και προηγουμένως (για n
ct ) cos(r cosh s
 Για n 3 , έχουμε:
2
1
J 1 ( z) (
2
2 1
) 2 sin z ,
z
και επίσης:
Y1 ( z )
2
(
m
2
ct )]cosh(ms) ,
2 ), το κύμα θα διαδίδεται και στο εσωτερικό του
κώνου φωτός και άρα δεν θα ισχύει η αρχή του Huygens.
J 3 ( z)
m
) cosh(ms)ds]sin(ct )
2
2 1
) 2 cos z ,
z
ενώ για το χρονικό μέρος θεωρούμε τη λύση:
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

9. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ n+1 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
T (t ) cos(ct ) sin(ct ) ,
οπότε τελικά μπορούμε να σχηματίσουμε λύση της μορφής:
1
(r , t )
r
1
2
(
2 1
) 2 [cos r cos(ct ) sin r sin(ct )]
r
ή
1
2
cos(r ct )
(32)
r
Βλέπουμε λοιπόν ότι έχουμε να κάνουμε με ένα κύμα που διαδίδεται με ταχύτητα c,
(r , t )
2
( )
άρα η διαταραχή διαδίδεται πάνω στον κώνο φωτός, οπότε ισχύει η αρχή του Huygens.
 Για n 5 , έχουμε:
2
( r cos r sin r )
J 3 (r )
(33),
r 3/2
2
ενώ επίσης:
2
(cos r r sin r )
Y3 (r )
(34),
r 3/2
2
που θα πολλαπλασιασθούν με τη χρονική λύση: T (t )
cos(ct ) sin(ct ) και άρα μπορούν
να μας δώσουν σαν λύση συναρτήσεις ανάλογες της μορφής: cos(r ct ) cos(r ct ) .
Έχουμε λοιπόν και πάλι ένα κύμα που ταξιδεύει με ταχύτητα c.
Είναι γνωστό ότι οι συναρτήσεις Bessel ημιακέραιας τάξεως μπορούν να εκφρασθούν
απλά μέσω τιγωνομετρικών συναρτήσεων (βλέπε πχ Mathematical Methods of Physics,
Mathews/Walker
n
1
2
έ
σελίδα
,
η
180).
Έτσι
λύση
λοιπόν
τελικά
θα
για
είναι
n
ανάλογη
ό ,
της
οπότε
μορφής:
cos(r ct ) cos(r ct ) , δηλαδή θα αντιστοιχεί σε κύμα που διαδίδεται με ταχύτητα c, για
το οποίο επομένως θα ισχύει η αρχή του Huygens.
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

10. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ n+1 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
Bessel Functions (1ου είδους, n=0,1,2)
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

11. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ n+1 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
Bessel Functions (2ου είδους, n=0,1,2)
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

12. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ n+1 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
Bessel Functions (1ου είδους, n=1/2,3/2,5/2)
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

13. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ n+1 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
Bessel Functions (2ου είδους, n=1/2,3/2,5/2)
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

14. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ n+1 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
Christiaan Huygens
(1629-1695)
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

15. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ n+1 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
Friedrich Bessel
(1784-1846)
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

16. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ n+1 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

17. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΙΣ n+1 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
1. Handbook of Mathematical Functions, with Formulas, Graphs and Mathematical Tables, M.
Abramowitz and I. Stegun, tenth edition, Dover Publications, Inc, New York 1972.
2. Special functions for Scientists and Engineers,
York 2004.
W. W. Bell, Dover Publications, Inc, New
3. Μαθηματικό τυπολόγιο, Murray Spiegel, μετάφραση Σωτήρης Περσίδης, ΕΣΠΙ, Αθήνα,
1976
4. Tables of Integrals, Series and Products, Gradsthteyn I. S., Ryzhik I. M., Academic Press,
New York and London 1965.
5. Special functions, G. E. Andrews, R. Askey, R. Roy, Cambridge University Press 2007
6. The Cambridge Handbook of Physics Formulas, Graham Woan, Cambridge University Press
2000.
7. Classical Mechanics, third edition, H. Goldstein, C. Poole, J. Safko, Pearson Education
International 2002.
8. Methods Of Theoretical Physics, volume I , P. M. Morse and H. Feshbach, Mc Graw Hill,
N.Y. 1953
9. Mathematical Physics, Bruce R. Kusse and Eric A. Westwig, WILEY-VCH Verlag
GmbH & Co. 2006.
10. Introduction to Mathematical Physics, Michael T. Vaughn, WILEY-VCH Verlag GmbH &
Co. 2007
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ