1. ΕΝΑ ΤΠΕΡΑΓΩΓΙΜΟ ΠΗΝΙΟ – ΕΛΑΣΗΡΙΟ.
(Αρχική Ιδέα: ΢αράντος Οικονομίδης)
Ένα υπεραγώγιμο πηνίο – ελατήριο έχει Ν σπείρες, ακτίνας R,
αρχικό μήκος l 0 και σταθερά ελατηρίου k. Αν από το πηνίο περνάει
ρεύμα I 0 , πόση θα είναι η μεταβολή στο μήκος του;
΢τα επόμενα θα θεωρήσουμε το πηνίο - ελατήριο σαν
υπεραγώγιμο
πηνίο,
μέσα
από
το
οποίο
κάποια
στιγμή
«διοχετεύουμε» ένα ρεύμα I 0 και ταυτόχρονα σαν ελατήριο με
σταθερά k . Καθώς οι σπείρες διαρρέονται από «ομόρροπα»
ρεύματα, θα έλκονται και έτσι το πηνίο θα «συσταλλεί».

2. Αρχικά:
Τποθέτοντας ότι μήκος του πηνίου είναι πολύ μεγαλύτερο από
την ακτίνα των σπειρών του, στο εσωτερικό του πηνίου έχουμε ένα
ομογενές μαγνητικό πεδίο, με επαγωγή:
B0  0 I 0
N
l0
(1)
Η ροή λοιπόν μέσα από μια σπείρα θα είναι:
1  0 I 0
N
 R2
l0
(2)
Η συνολική λοιπόν μαγνητική ροή μέσα από το πηνίο θα είναι:
N2
0  N 1  0 I 0
 R2
l0
(3)
Σελικά:
Όταν το πηνίο βρίσκεται στη θέση μέγιστης συσπείρωσης, ας
θεωρήσουμε ότι το μήκος του είναι l ( l  l0 ).
Η ροή λοιπόν μέσα από μια σπείρα θα είναι τώρα:
B  0 I
N
l
(4)
Έτσι λοιπόν η συνολική λοιπόν μαγνητική ροή μέσα από το
πηνίο θα είναι:
2
  0 I N  R2
l
(5)

3. Όμως το πηνίο είναι υπεραγώγιμο και έτσι η μεταβολή στο
μήκος του δεν πρέπει να συνοδεύεται από μεταβολή της ολικής ροής
που το διαπερνά. Και τούτο διότι οιαδήποτε μεταβολή στη
μαγνητική ροή μέσα από το πηνίο θα είχε σαν αποτέλεσμα την
εμφάνιση ηλεκτρεγερτικής δύναμης, που με τη σειρά της (λόγω της
μηδενικής αντίστασης του πηνίου) θα οδηγούσε σε «άπειρο» ρεύμα.
Για να αποφύγουμε λοιπόν τον απειρισμό του ρεύματος, είμαστε
υποχρεωμένοι να δεχτούμε ότι η ολική μαγμητική ροή μέσα από το
πηνίο, παραμένει αμετάβλητη. Έτσι λοιπόν έχουμε:
 
(6)
0
Οπότε:
N2
N2
2
0 I 0
 R  0 I
 R2
l0
l
I  I0
ή
l
l0
(7)
Ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου είναι:
Αρχικά:
N2
L0  0
 R2
l0
(8)
N2
L  0  R2
l
(9)
Σελικά:

4. Η αποθηκευμένη λοιπόν μαγνητική ενέργεια στο πηνίο θα είναι:
Αρχικά:
1
2
E ,0  L0 I 02
ή
E ,0
(10)
1
N2
 0
 R 2 I 02
2
l0
Σελικά:
1 2 1
N2
E  LI  0
 R2 I 2
2
2
l
ή
(με τη βοήθεια της σχέσης (7)):
(11)
1
N2
E  0 2  R 2 I 02l
2
l0
Έτσι λοιπόν η αρχική ενέργεια του υπεραγώγιμου πηνίου –
ελατηρίου είναι:
E0  E ,0
(12)
1
N2
 0
 R 2 I 02
2
l0
Ενώ η τελική (στη θεωρούμενη δηλαδή θέση μέγιστης
συσπείρωσης) θα είναι:
(13)
1
N2
1
E  E  E  0 2  R 2 I 02l  k (l  l0 ) 2
2
l0
2
Από την αρχή λοιπόν της διατήρησης της ενέργειας
(εξισώνοντας τις (12) και (13)), έχουμε:
E0  E
ή

5. 1
N2
1
N2
1
2 2
0
 R I 0  0 2  R 2 I 02l  k (l  l0 ) 2
2
l0
2
l0
2
ή
N2
2
k (l  l0 )  0 2  R 2 I 0 (l0  l )
l0
,
2
οπότε τελικά:
N2
2
l0  l  0 2  R 2 I 0
kl0
ΙΟΤΛΙΟ΢ 2013
ΥΙΟΡΕΝΣΙΝΟ΢ ΓΙΑΝΝΗ΢
(14)