Από τη Lagrangian στις εξισώσεις κίνησης ενός συστήματος με δύο βαθμούς ελευθερίας.

1. ΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕ ΔΥΟ ΒΑΘΜΟΥΣ
ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ
Ένα σύστημα με δύο βαθμούς ελευθερίας (x,y) περιγράφεται
από την Lagrangian:
2 2 2 2 1 1
( 2 ) ( 2 )
2 2
L  m ax  bxy  cy  k ax  bxy  cy
(1)
όπου a,b και c είναι σταθερές, με 2 ac  b . Να γραφούν οι
εξισώσεις κίνησης του συστήματος.
Από τη Λαγκρανζιανή (1), έχουμε:
1
(2 2 ) ( )
2
L
m ax by m ax by
x


   
(2)
Οπότε:
( ) ( )
d L
m ax by
dt x


 
(3)
Και:
1
(2 2 ) ( )
2
L
k ax by k ax by
x


     
(4)
Η εξίσωση Lagrange για τη συντεταγμένη x, είναι:
( )
d L L
dt x x
 
 

(5)
Η (5) μέσω των σχέσεων (3) και (4), γράφεται:
m(ax by)  k(ax by) (6)

2. Ομοίως, για τη συντεταγμένη y είναι:
1
(2 2 ) ( )
2
L
m bx cy m bx cy
y


   
(7)
( ) ( )
d L
m bx cy
dt y


 
(8)
1
(2 2 ) ( )
2
L
k bx cy k bx cy
y


     
(9)
Η εξίσωση Lagrange για τη συντεταγμένη y είναι:
( )
d L L
dt y y
 
 

(10)
Μέσω των σχέσεων (8) και (9) η σχέση (10) γράφεται:
m(bx cy)  k(bx cy) (11)
Έχουμε λοιπόν το ακόλουθο σύστημα διαφορικών εξισώσεων:
m(ax by)  k(ax by) (12.1)
m(bx cy)  k(bx cy) (12.2)
Ακολούθως θα προσπαθήσουμε να «αποσυμπλέξουμε» τις
εξισώσεις (12.1) και (12.2). Για το σκοπό αυτό, αρχικά
πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της (12.1) με b και έχουμε:
2 2 m(abx b y)  k(abx b y) (13.1)
Καθώς και τα δύο μέλη της (12.2) με a , οπότε:

3. m(abx  acy)  k(abx  acy) (13.2)
Αφαιρώντας λοιπόν από την (13.1) την (13.2) βρίσκουμε:
2 2 m(b y  acy)  k(b y  acy) ή
2 2 m(b  ac)y  k(b  ac)y , οπότε με δεδομένο ότι: 2 ac  b
έχουμε:
my  ky (14)
Ομοίως, πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της (12.1) με c,
παίρνουμε:
m(acx bcy)  k(acx bcy) (15.1)
Ενώ πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της (12.2) με b, παίρνουμε:
2 2 m(b x bcy)  k(b x bcy) (15.2)
Αφαιρώντας λοιπόν κατά μέλη τις (15.1) και (15.2), έχουμε:
2 2 m(acx b x)  k(acx b x) ή
2 2 m(ac b )x  k(ac b )x, οπότε με δεδομένο ότι: 2 ac  b
έχουμε:
mx  kx (16)
Έτσι λοιπόν, οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση του
συστήματος, είναι:

4. mx  kx (17.1)
my  ky (17.2)
Οι παραπάνω εξισώσεις κίνησης αντιστοιχούν στην περίπτωση
ενός διδιάστατου αρμονικού ταλαντωτή. Για ένα τέτοιο ταλαντωτή η
Lagrangian δίνεται από τη σχέση:
2 2 2 2 1 1
( ) ( )
2 2
L  T V  m x  y  k x  y
(18)
Οι Λαγκρανζιανές λοιπόν (1) και (18) οδηγούν στις ίδιες
εξισώσεις κίνησης.
(Συγκρίνοντας τις (1) και (18), παρατηρούμε ότι η (18)
«αντιστοιχεί» στην (1), με a  c 1 και b  0 ).
Μπορούμε να «βρούμε» και άλλες Λαγκρανζιανές ξεκινώντας
από την (1), οι οποίες μας δίνουν τις ίδιες εξισώσεις κίνησης. Έτσι
πχ. αν βάλουμε a  c  0 και b 1, παίρνουμε:
L  mxy  kxy (19)
Ένας άλλος τρόπος να «αποσυμπλέξουμε» τις (12.1) και (12.2)
είναι και ο εξής:
Με μορφή πίνακα, οι δύο εξισώσεις γράφονται:
a b x a b x
m k
b c y b c y
     
       
     
(20)
Εφ’ όσον η διακρίνουσα του πίνακα
a b
b c
 
 
 
, είναι μη
μηδενική ( 2 ac  b ), υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας. Αυτός είναι:

5. 1
2
a b 1 c b
b c ac b b a

    
    
    
(21)
Πολλαπλασιάζοντας λοιπόν και τα δύο μέλη της (20) με τον
πίνακα (21), έχουμε:
2 2
m a b c b x k a b c b x
ac b b c b a y ac b b c b a y
         
         
          
ή
2 2
2 2 2 2
0 0
0 0
m ac b x k ac b x
ac b ac b y ac b ac b y
       
       
         
ή
1 0 1 0
0 1 0 1
x x
m k
y y
     
       
     
(22)
Από την (22) παίρνουμε τις:
mx  kx
my  ky
(Δηλαδή τις (17.1) και (17.2), που βρήκαμε και προηγουμένως).
ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ 2013
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ