2. 9/6/2022 2
g
v
Gerak parabola, gerak dengan jejak (lintasan)
berupa grafik parabola (konsep ideal).
Contoh gerak parabola, gerak yang terjadi da-
lam medan gravitasi (g).
Gerak parabola, gerak dalam bidang (dua di-
mensi), yaitu bidang yang dibuat oleh percepat-
an ( ) dan kecepatan ( ) yang membuat sudut.
Syarat yang harus dipenuhi agar gerak menjadi
grafik parabola adalah:
1. kecepatan gerak (v) tidak terlalu besar.
Pendahuluan.
3. 9/6/2022 3
2. nilai percepatan gravitasi bumi (g) tetap.
Syarat g tetap, akan dipenuhi jika jangkauan
tidak terlalu jauh (tinggi) dari permukaan bu-
mi.
3. kelengkungan bumi dan gesekan udara diabai-
kan (bumi dianggap bidang datar).
Analisis gerak parabola menggunakan koordinat
kartesian dua dimensi (x, y).
Sudut antara v dengan garis mendatar (sudut )
disebut sudut elevasi (sudut pelemparan).
Lanjutan.
4. 9/6/2022 4
1. Gerak Parabola (Gerak Dalam Bidang Datar).
x
0
y
vo
vo cos
vo sin
ro
g
r
g
H
vy
vx
v
G
g
r
r
5. 9/6/2022 5
Gerak parabola merupakan paduan (jumlahan)
glb (pada sumbu x) dan glbb (pada sumbu y).
x = vo cos t t = x/vo cos glb
y = vo sin t - ½ g t2 glbb
Mengasilkan y = x tan - ½ g x2/vo cos2 atau
y = f (x2), yang menyimpulkan bentuk grafik
(lintasan) parabola.
Lanjutan.
6. 9/6/2022 6
Kecepatan gerak parabola setiap saat dipenuhi
dengan, dv = g dt (dalam hal ini besaran a = g)
Jika dihitung kecepatan partikel setiap saat (di
titik tertentu) akan diperoleh, v = vo + g t
Jika kecepatan gerak partikel dinyatakan de-
ngan komponen vektor maka menjadi,
i vx + j vy = i vo cos + j vo sin - g t j
Posisi partikel setiap saat dipenuhi dengan,
r = ro + vo t + ½ g t2
Analisis Gerak Parabola.
7. 9/6/2022 7
Jika posisi gerak partikel setiap saat dinyatakan
dengan komponen vektor maka persm menjadi,
i x + j y = yo j + i vo cos t + j vo sin t – ½ g t2 j
Persm posisi dan kecepatan jika dipisahkan maka
menjadi,
Gerak pada sumbu x,
Besar kecepatan partikel, vx = vo cos
Letak posisi partikel, x = vo cos t
Lanjutan.
8. 9/6/2022 8
Gerak pada sumbu y,
Besar kecepatan partikel,
Letak posisi partikel,
vy = vo sin t - g t
y = yo + vo sin t - ½ g t2.
Kecepatan partikel setiap saat,
2
2
y
x v
v
v
Lanjutan.
10. 9/6/2022 10
Letak posisi-posisi ekstrim pada gerak parabola
Titik tertinggi (H) dijangkau, jika partikel sudah
tidak akan naik lagi, maka dipenuhi vy = 0.
vy = vo sin - g tH = 0.
Dari persm tersebut, diperoleh waktu terbang
(tH) benda (partikel) untuk mencapai titik H (titik
tertinggi) yaitu:
g
v
t o
H
sin
Lanjutan.
11. 9/6/2022 11
Koordinat H (xH, yH)
2
sin
2
sin
cos
2
g
v
g
v
v
x o
o
o
H
2
2
2
sin
2
sin
2
1
sin
sin
g
v
y
g
v
g
g
v
v
y
y
o
o
o
o
o
o
H
Kecepatan partikel pada H adalah vo cos .
Lanjutan.
12. 9/6/2022 12
Titik terjauh, dipenuhi jika partikel sampai di
tanah (maka dipenuhi yG = 0).
Koordinat G (titik terjauh partikel jatuh).
yG = g t2 - 2 vo t sin - 2 yo = 0
Bentuk persm kuadrat dari t.
g
y
g
v
v
t o
o
o
G
2
8
sin
4
sin
2 2
2
)
2
,
1
(
Koordinat partikel menjadi (vo cos tG ; 0)
2
2
y
x v
v
v
Kecepatan partikel,
Ada dua nilai memenuhi, dan digunakan yang me-
menuhi syarat,
13. 9/6/2022 13
Contoh.
Peluru ditembakkan dari suatu tempat ketinggian
100 m dari permukaan tanah. Peluru vo = 80 m s-1
dengan membuat = 30o dengan bidang horison-
tal. Berapa ketinggian maksm yang dicapai peluru
tersebut ? Dimana dan dengan kecepatan berapa
peluru tersebut jatuh di tanah ? g = 10 m s-2.
Penyelesaian.
Lihat gambar gerak parabola di depan !.
Jika titik tertinggi H, maka koordinat H menjadi
14. 9/6/2022 14
x
0
y
vo
vo cos
vo sin
ro
g
H
g
yH = 180 m
titik
tertinggi
titik
terjauh
xH = 160√3 m
xG = 400 √3 m
G
15. 9/6/2022 15
Sambungan.
2
2
sin
2 g
v
y
y o
o
H
m
180
30
sin
)
10
(
2
80
100 2
2
H
y
m
3
160
60
sin
)
10
(
2
80
2
sin
2
2
2
o
o
H
g
v
x
Koordinat titik tertinggi, H (160√3; 180) m
g t2 - 2 vo t sin - 2 yo = 10 t2 – 80 t – 200 = 0
Peluru jatuh di titik G, maka
16. 9/6/2022 16
t2 – 8 t – 20 = 0 (t – 10)(t + 2) = 0
Waktu terbang peluru adalah 10 detik.
xG = vo tG cos = (80) (10) ½ √3 m
= 400 √3 m
Koordinat titik G atau peluru di bumi G (400√3; 0)
Kecepatan jatuh = ( vo cos )2 + (vo sin - g tG)2
= (40√3)2 + (40 – 100)2
= 4800 + 3600 = 8400 m s-1
Kecepatan partikel menumbuk tanah 20 √21 m s-1
( vo).
17. 9/6/2022 17
Arah kecepatan peluru jatuh di G, tan = vx /vy.
Tetapi jika peluru ditembakkan dari permukaan
tanah (yo = 0), besar kecepatan dan arah sam-
pai di tanah akan sama dengan saat awal peluru
ditembakkan, hanya arahnya yang berlawanan.
tan (40√3)/(- 60) = - (2/3)√3, = ……
18. 9/6/2022 18
Contoh.
Penyelesaian.
Dua peluru memiliki jangkauan R membutuhkan
waktu t1 dan t2 untuk mencapai ketinggian ma-
sing-masing. Buktikan t1 t2 = 2 R/g !
R
R = v cos t.
t = (2 v sin )/g.
sin2 + cos2 = 1
g2 t2/4 v2 + R2/v2 t2 = 1 g2 t4 – 4 v2 t2 + 4 R2 = 0
x2 = t2 g2 x2 – 4 v2 x + 4 R2 = 0.
20. 9/6/2022 20
2. Gerak Vertikal (Jatuh Bebas)
Gerak vertikal ke atas dapat dianggap, sebagai
gerak parabola khusus [yaitu sudut elevasi ben-
da = 90o, (nilai cos 90o = 0 dan sin 90o = 1)].
Persm gerak peluru tegak lurus, identik gerak lu-
rus vertikal (gerak dalam sb. y).
y j = yo j + vo j t + ½ g (- j) t2
Persm gerak ke atas (tegak lurus) menjadi,
y = yo + vo t - ½ g t2
Persm gerak ke bawah (tegak lurus dihempaskan)
menjadi, y = yo + vo t + ½ g t2
21. 9/6/2022 21
Jika partikel (peluru) dilempar ke atas, maka
suatu saat partikel akan mencapai puncak.
Partikel akan mencapai puncak dipenuhi v = 0.
Jika v = 0, akan dipenuhi vo = g t.
Koordinat puncak menjadi, y = yo +
g
vo
2
2
Kecepatan partikel, pada suatu posisi setiap saat
dinyatakan sebagai,
v2 = vo
2 ± 2 g y.
22. 9/6/2022 22
Seorang melempar benda (secara tegak lurus)
dengan kecepatan awal 40 m s-1 dari ketinggian
45 m. Berapakah ketinggian yang dicapai benda
tersebut dan dengan kecepatan berapa benda
akan menumbuk tanah ? g = 10 ms-2.
Contoh.
Penyelesaian.
Benda mencapai titik tertinggi, y = yo +
g
vo
2
2
y = 45 m + (1600/20) m = 125 m.
23. 9/6/2022 23
Kecepatan menumbuk tanah, v2 = vo
2 + 2 g y.
v2 = (40)2 + 2 (- 10)(- 45) = 1600 + 900
= 2500 m2 s-2.
Besar kecepatan benda menumbuk tanah,
v = 50 m s-1, dengan arah ke bawah.
24. 9/6/2022 24
Sebuah batu dijatuhkan dari ketinggian h. Se-
telah t detik batu kedua dijatuhkan ke bawah
dengan diberi kecepatan v. Kedua benda me-
ngenai permukaan tanah secara bersamaan. Per-
syaratan apa yang diperlukan agar hal tersebut
dapat terjadi ?
Contoh.
Penyelesaian.
Batu pertama, h = ½ g t1
2 atau
g
h
t
2
1
Batu kedua, h = v (t1 + t) + ½ g (t1 + t)2.
25. 9/6/2022 25
2
2
2
2
2
t
g
h
g
t
g
h
v
h
2
2
2
2
2
2
2 t
g
h
t
g
h
g
t
g
h
v
h
2
8
2
2
0 t
g
gh
t
t
g
h
v
t
v
t
g
g
h
v
t
g
h
2
8
8 2
Persm di atas dikuadratkan dan dikalikan g men-
jadi,
26. 9/6/2022 26
8 h (g2 t2 + v2 - 2 v t) = g t2 (g2 t2 + 4 v2 – 4 v g t)
8 h (g t - v)2 = g t2 (g t - 2 v)2
bersamaan
jatuh
akan
benda
2
8
Dipenuhi
2
2
gt
v
gt
v
t
g
h
27. 9/6/2022 27
Beberapa buah benda dilepas dari ketinggian yang
sama bergerak menuju tanah dengan jalan yang
berbeda-beda tanpa geseran (lihat gambar). Bukti-
kan kecepatan benda sampai di tanah sama !
Contoh.
Penyelesaian.
β
s2
s1
B
A
g
g
h
g sin β
g sin
28. 9/6/2022 28
lanjutan.
Benda A menempuh jarak s1 dengan memiliki per-
cepatan g sin dan B, s2 dengan percepatan g sin
β. Persm gerak benda A, mencapai tanah dengan
waktu t1, s1 = ½ g sin t1
2.
h
g
s
g
g
s
g
t
g
v
g
s
t
2
sin
2
sin
2
sin
sin
sin
2
1
1
1
1
1
1
Dalam hal ini t1 akan,
29. 9/6/2022 29
lanjutan.
Persm gerak benda B mencapai tanah dengan
waktu t2, lintasan ditempuh s2 = ½ g sin t2.
Dalam hal ini t2 akan sama dengan,
h
g
s
g
g
s
g
t
g
v
g
s
t
2
sin
2
sin
2
sin
sin
sin
2
2
2
2
2
2
2
30. 9/6/2022 30
lanjutan.
Kecepatan benda sampai di tanah hanya tergan-
tung pada ketinggian benda (h) dan tidak tergan
tung pada jalan atau lintasan.
Perhatikan v1 = v2, terbukti !.
31. 9/6/2022 31
3. Gerak Parabola Dalam Bidang Miring
Gerak parabola dalam bidang miring merupakan
gerak parabola dengan sumbu x tidak menunjuk-
kan garis horizontal tetapi miring.
Analisis gerakan tersebut identik dengan gerak
parabola horizontal [sumbu datar (sb x)] dengan
dilakukan transformasi.
Sudut β merupakan sudut bidang miring.
Bidang miring dijadikan sebagai sumbu x yang
baru dan dibuat sumbu y baru (sb. y baru sb. x
baru).
32. 9/6/2022 32
0 β
vo
g cos β
g sin β
g
vo cos
vo sin
y
x
x = vo t cos – ½ g t2 sin β
y = vo t sin – ½ g t2 cos β
Persm gerak parabola,
Analisis gerakan, untuk seterusnya sama dengan
gerak peluru dalam bidang datar.
33. 9/6/2022 33
Contoh.
Sebuah bola elastis dijatuhkan di atas bidang mi-
ring dengan tinggi h. Bola tersebut terpantul dan
jatuh pada bidang miring dalam titik yang ber-
beda dan seterusnya (bola terpantul dan jatuh
pada bidang miring dalam posisi yang berbeda-
beda), (lihat gambar). Jika jarak antara posisi
pertama (1) bola jatuh dan posisi kedua (2), d12
dan jarak jatuh antara titik kedua (2) dan ketiga
(3) adalah d23.
23
12
d
d
Tentukan perbandingan jarak !
35. 9/6/2022 35
Kecepatan benda pada posisi (1) vo = √2gh.
Persm gerak pada sb. y menjadi,
y = vo t cos θ – ½ g t2 cos θ .
Mencapai bidang miring kembali y = 0 sehingga
diperlukan waktu t = (2 vo)/g.
Jarak tempuh bola jatuh d12 akan menjadi,
d12 = vo t sin θ + ½ g t2 sin θ
sin
8
sin
4
sin
2
sin
2
2
2
2
1
12
h
g
v
g
v
g
g
v
v
d
o
o
o
o
36. 9/6/2022 36
sin
4
nilai
berlaku
2
23
23
g
v
d
d
)
sin
8
1
(
2 2
h
g
v
sin
)
sin
8
(1
8
menjadi 2
23
h
d
Besar nilai v adalah benda jatuh pada ketinggian,
h + 8 h sin2 θ atau h (1 + 8 sin2 θ)
Sehingga kecepatan pada posisi (2) menjadi,
2
23
12
sin
8
1
1
an
Perbanding
d
d
,nilai tetap.
