Dokumen ini membahas tentang pohon dan sifat-sifatnya sebagai graf tak berarah. Pohon didefinisikan sebagai graf tak berarah yang terhubung tanpa sirkuit, sedangkan hutan adalah kumpulan pohon yang saling lepas atau graf tak terhubung tanpa sirkuit. Dokumen ini juga menjelaskan sifat pohon merentang sebagai upagraf merentang dari graf asli, dan pohon merentang minimum sebagai pohon merentang berbobot

1. 1
Pohon
Duano Sapta Nusantara
06022681923006

2. 2
Definisi
 Pohon (tree) adalah graf tak-berarah
terhubung yang tidak mengandung sirkuit
pohon pohon bukan pohon
a b
c d
e f
a b
c d
e f
a b
c d
e f
a b
c d
e f

3. 3
Hutan (forest) adalah
- kumpulan pohon yang saling lepas, atau
- graf tidak terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Setiap
komponen di dalam graf terhubung tersebut adalah pohon.
Hutan yang terdiri dari tiga buah pohon

4. 4
Sifat-sifat (properti) pohon
 Misalkan G = (V, E) adalah graf tak-berarah sederhana dan
jumlah simpulnya n. Maka, semua pernyataan di bawah ini
adalah ekivalen:
1. G adalah pohon.
2. Setiap pasang simpul di dalam G terhubung dengan
lintasan tunggal.
3. G terhubung dan memiliki m = n – 1 buah sisi.
4. G tidak mengandung sirkuit.
5. G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi
pada graf akan membuat hanya satu sirkuit.
6. G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan.
 Sifat di atas dapat dikatakan sebagai definisi lain dari pohon.

5. 5
Pohon Merentang (spanning tree)
 Pohon merentang dari graf terhubung adalah upagraf
merentang yang berupa pohon.
 Pohon merentang diperoleh dengan memutus sirkuit di
dalam graf.
G T1 T2 T3 T4

6. 6
 Setiap graf terhubung mempunyai paling sedikit satu buah
pohon merentang.
 Graf tak-terhubung dengan k komponen mempunyai k buah
hutan merentang yang disebut hutan merentang (spanning
forest).

7. 7
Aplikasi Pohon Merentang
1. Jumlah ruas jalan seminimum mungkin yang
menghubungkan semua kota sehingga setiap kota tetap
terhubung satu sama lain.
2. Perutean (routing) pesan pada jaringan komputer.
(a) (b)
Router
Subnetwork
(a) Jaringan komputer, (b) Pohon merentang multicast

8. 8
Pohon Merentang Minimum
 Graf terhubung-berbobot mungkin mempunyai lebih dari 1
pohon merentang.
 Pohon merentang yang berbobot minimum –dinamakan pohon
merentang minimum (minimum spanning tree).
a
b
c
d
e
f
g
h
55
5
40
25
45
30
50
20
15
35 10
a
b
c
d
e
f
g
h
5
40
25 30
20
15
10

9. 9
Contoh:
1 2
3
4
5
6
10
50
4530
20
15
35
55
25
40

10. 10
Langkah Sisi Bobot Pohon rentang
1 (1, 2) 10
1 210
2 (2, 6) 25
1 2
6
10
25
3 (3, 6) 15
1
3
6
10
15
25
4 (4, 6) 20
1 2
3
4
6
10
20
15
25
5 (3, 5) 35
1 2
3
4
5
6
10
45
20
15
35
55
25

11. 11
Pohon merentang minimum yang dihasilkan:
Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105
1 2
3
4
5
6
10
45
20
15
35
55
25

12. 12
 Pohon merentang yang dihasilkan tidak
selalu unik meskipun bobotnya tetap sama.
 Hal ini terjadi jika ada beberapa sisi yang
akan dipilih berbobot sama.

13. 13
Contoh:
Tiga buah pohon merentang minimumnya:
a b c d
e
f g h
i j k l
3 2
4 2 3
5 4
4 2
4
a b c d
e
f h
i j k l
3 2
4 2 3
5 3 4
4 2
4
a b c d
e
f g h
i j k l
3 4 2
4 2 3
5 3 4
2
4
3
Bobotnya sama yaitu = 36
a b c d
e
f g
h
i j k l
3
5
6
5 3 5 4
4 2
4 4
4 2
6324