Esercizi limiti 25-1-2011[1]

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LIMITI - ANALISI MATEMATICA

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Esercizi limiti 25-1-2011[1]

  1. 1. Matematica – dalle lezioni del 25 e 26 -1-2011 – Classe 5E turdel prof. L.G. CancelliereEsercizio – Controllare se il valore 7 è effettivamente il limite della espressione 1: x 23x−10 lim =7 x 2 x−2In questo tipo di limiti per calcolare il limite stesso basta sostituire alla variabile x il valore 2 2 numerico a cui la x tende; la funzione x 3x−10 2 3 2−10 46−10 0 lim = = = =? però ha un punto di discontinuità in 2: x2 x−2 2−2 0 0Tra laltro 0/0 è una forma indeterminatacalcolare questo tipo di limiti quindi non è banale, se non applicando opportune regole.In classe è stato mostrato un metodo empirico che permette di ricavare il risultato tabulando lafunzione medesima nei dintorni del punto di limite:{...[1,97;6,97] [1,98;6,98] [1,99;6,99] [2;?] [2,01;7,01] [2,02;7,02]...}1 Questo limite è del tipo limite di x che tende ad un valore finito con risultato finito (dove tende la y)Pagina 1 A. Veneziani – ri-analisi esercizi svolti a lezione
  2. 2. Controlliamo se è veramente così utilizzando il ∣ ∣ 2 x 3x−10teorema: −7  ove 0≪1 x−2la scrittura qui sopra stà ad indicare che epsilon è preso maggiore di zero ma molto piccolo, unvalore considerato piccolo a piacere.Verifichiamo se la disequazione vale per x che cade in un intorno del valore di 2, come dovrebbeessere (viceversa il risultato del limite vuol dire che è errato): ∣ ∣ ∣ ∣ 2 2 x 3x−10−7x14 x −4x4   x−2 x−2scomponiamo x 2−4x4=0 ora la parte superiore, ossia troviamo i fattori dellequazione disecondo grado al numeratore. il polinomio di secondo grado è il risultato del quadrato di (x – 2) 2. ∣ ∣ 2In questo senso risulta quindi che:  x−2 =∣ x−2∣ x−2Lo sviluppo di questa disequazione comporta la discussione di due casi:se ciò che è in mezzo al valore assoluto è > 0, allora: x−2viceversa se questa quantità dovesse essere < 0, allora: x−2−Lintervallo ± è lintorno che stiamo considerando.Per cadere nellintorno devono valere entrambe le condizioni e quindi: x2 e quindi come indicato, data la soluzione 7 x−2 risulta che il valore di x per questo limite x−2− cade effettivamente in un intorno di 2, → I(2) x2−si conclude che è vero che 7 è il risultato per il limite assegnato.Esercizio - Verificare il limite2: 2x5 lim =2 x  ∞ x4Siccome il limite è per x che tende ad infinito, si può considerare che le parti di grado inferiore siaal numeratore che al denominatore non contano.Le due quantità al numeratore e denominatore risultano quasi una il doppio dellaltra, per x grandi,e quindi il rapporto vale presto un numero sempre più prossimo a 2, al salire del valore di x.Verifichiamo comunque che il limite è corretto tramite la solita formula relativa ad un nototeorema:Questa ∣ ∣ f  x−l∣= 2x5 −2  x4 ∣ condizione indica che è vero che il limite è l, nel2 Questo limite è del tipo limite a valore infinito con risultato un valore finitoPagina 2 A. Veneziani – ri-analisi esercizi svolti a lezione
  3. 3. nostro caso 2, infatti preso un qualunque ε piccolo a piacere, osserviamo che è possibiletrovare una x tale per cui la differenza tra f(x) ed l sia inferiore di ε, ossia questo vuol direche la f(x) si avvicina ad l quanto si vuole, e quindi tende ad l. Se questo dunque siverifica, è effettivamente vero che l è il limite di f(x), per x che tende ad un opportunovalore, che è il valore limite.Verifichiamo quindi che: ∣ 2x5 x4 −2 ∣ ∣ 2x5−2 x4 x4  ∣ ∣ 2x5−2x−8 x4  ∣ effettuiamo il reciproco della disequazione, invertendo quindi il segno della ∣ ∣ −3 x4  stessa3:data la disequazione, studiamo ∣ ∣ x4 1 −3   le condizioni per cui viene soddisfatta, che sono 2: • Se x4 allora questa quantità dovrà essere maggiore del valore di 1/ ε e 0 −3 quindi dovrà essere: x4 1  −3  x4 • Se 0 allora questa quantità dovrà essere maggiore del valore di 1/ ε e −3 quindi dovrà essere: x4 1 − −3 Infatti lindicazione ∣ ∣ x4 1 −3   con luso di valori assoluti significa in altre parole che: 1 x4 1 essa rappresenta lo scarto in più o in meno dal valore limite, che −  deve  −3  essere riducibile a piacere.Risulta quindi: x4 1 3 3  x4− x−4− −3    U U U x4 1 3 3 − x4 x−4 −3   risulta a questo punto evidente che lintervallo di x in cui viene soddisfatto il teorema è un intornodi infinito, infatti, sullasse x, esso risulta: -3/ε -4 +3/ε X3 Effettuare un reciproco dei due membri in una disequazione comporta sempre il cambio del verso della stessa. Si pensi alla disequazione 3 > 2, che comporta anche 1/3 < 1/2 (reciproci dei valori precedenti)Pagina 3 A. Veneziani – ri-analisi esercizi svolti a lezione
  4. 4. In effetti al diminuire di ε i valori sottratti e sommati a 4 divengono sempre più grandi e quindi inquesto caso lintorno non è lintorno di un punto specifico sulla retta x, ma invece lintorno diinfinito. Lintervallo attorno a 4, in questo caso, si allarga e si “stringe” attorno al valore infinito.Quindi ciò conferma che ∞ è il punto di limite per il limite calcolato, e che il risultatocalcolato per il limite è corretto.La conferma ci viene anche dal calcolatore, ad esempio tracciando il grafico della funzionedi cui si è fatto il limite, ossia: 2x5 che per x tendente ad infinito (sia da y=valori positivi che da valori x4 negativi) converge al valore y = 2. 2x5GRAFICO DELLA FUNZIONE y= x4Pagina 4 A. Veneziani – ri-analisi esercizi svolti a lezione

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